廣東省湛江市寸金培才學(xué)校(524037) 魏 欣

2023 年高考甲卷理科第21 題的命制繼續(xù)聚焦學(xué)科主干知識(shí),突出查考關(guān)鍵能力,彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的命題導(dǎo)向,必備知識(shí)方面主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、求含參數(shù)不等式恒成立的問(wèn)題等內(nèi)容,能力層面突出考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和推理論證能力. 下面以2023 年高考甲卷理科第21 題為例,進(jìn)行深入探究和思考并總結(jié)出相關(guān)的性質(zhì)結(jié)論與推廣,并給出其在歷年高考題中的應(yīng)用.

一、經(jīng)典試題展示與分析

題目(2023 年高考甲卷理科第21 題) 已知函數(shù)

(Ⅰ)當(dāng)a=8 時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

(Ⅱ)若f(x)

試題分析本題是三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合,作為壓軸題,難度很大,彰顯了綜合性要求. 高考數(shù)學(xué)試題的綜合性,一方面是數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部各個(gè)主題的相互綜合,另一方面是數(shù)學(xué)學(xué)科和其他學(xué)科的綜合. 本題將導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)巧妙地結(jié)合起來(lái),通過(guò)對(duì)導(dǎo)函數(shù)的分析,考查函數(shù)的單調(diào)性、極值等相關(guān)問(wèn)題,通過(guò)導(dǎo)數(shù)、函數(shù)不等式等知識(shí),深入考查分類(lèi)討論的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

二、多角度多種解法探究

解 (Ⅰ)

其中4cos2x+3>0,cos4x>0.

由于問(wèn)題(Ⅰ)較為簡(jiǎn)單,下面主要對(duì)問(wèn)題(Ⅱ)進(jìn)行多角度多種解法解答與分析.

解法一:構(gòu)造函數(shù)法

設(shè)g(x)=f(x)-sin 2x,x ∈[0,+∞),則

g′(x)>0,g(x) 在(0,arctan上單調(diào)遞增,g(x)>g(0)=0,f(x)>sin 2x,與已知矛盾.

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,3].

解法二:換元法

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,3].

解法三:半分離參數(shù)法

依題意,ax <

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,3].

解法四:放縮法

依題意,上恒成立;當(dāng)時(shí),易知0

下證:當(dāng)a≤3 時(shí),上恒成立;即證:上恒成立;令恒成立. 由于

故g(x)在上單調(diào)遞增,則g(x)>g(0),故a≤3.

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,3].

解法五:洛必達(dá)法則法

依題意,只需證明:在上恒成立;令

故a≤3.

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,3].

解法六:端點(diǎn)效應(yīng)法

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,3].

三、解法比較分析與選擇

從上述的解法過(guò)程,不難發(fā)現(xiàn),其思路各有側(cè)重.

基本策略解答過(guò)程主要適用題型難點(diǎn)分類(lèi)討論分析參數(shù)對(duì)函數(shù)相應(yīng)性質(zhì)的影響,然后劃分情況進(jìn)行相應(yīng)分析.導(dǎo)函數(shù)轉(zhuǎn)為二次函數(shù)形式.如何分類(lèi).參變分類(lèi)把參數(shù)和自變量進(jìn)行分離,分離到等式或不等式的兩邊,把含參問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的最值、單調(diào)性、零點(diǎn)等問(wèn)題.可參變分離,且新函數(shù)易處理.新函數(shù)的處理.通過(guò)充分性找范圍,再證必要性.通過(guò)理想狀態(tài),找到參數(shù)范圍:a ∈I,再證明當(dāng)a ∈I 時(shí),原不等式不成立.端點(diǎn)效應(yīng).特殊點(diǎn)的選取.邏輯證明通過(guò)必要性找范圍,再證充分性.通過(guò)特殊狀態(tài),找到參數(shù)范圍:a ∈I,再證明當(dāng)a ∈I 時(shí),原不等式成立.先猜再證.通過(guò)數(shù)形結(jié)合、切線(xiàn)放縮等方法,得到臨界值,再利用運(yùn)動(dòng)的思想,得到范圍,最后證明.參數(shù)具有幾何特征,易判斷運(yùn)動(dòng)趨勢(shì).臨界狀態(tài).不等式利用不等式找最值.先分離,通過(guò)構(gòu)造“定值”選擇不等式.可分離.構(gòu)造定值.

四、性質(zhì)與定理推廣

根據(jù)含參數(shù)不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題常常是高考的壓軸題. 這類(lèi)題目靈活多變,解法多種多樣,一般的解法是利用題目的第I 問(wèn)或第II 問(wèn)的結(jié)果對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論,通過(guò)正、反兩個(gè)方面逐步篩選出結(jié)果. 可以引入了二階導(dǎo)數(shù),依然要分類(lèi)討論;也可以數(shù)形結(jié)合法,但部分題目所涉及函數(shù)的圖像不容易勾畫(huà),有些題目出現(xiàn)了極限的運(yùn)算,極限是高中課程中僅需“了解”的內(nèi)容,對(duì)考生的要求不高;或者采用構(gòu)造函數(shù)法. 下面就近幾年高考試題中四類(lèi)求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題給出通法. 這種方法是先證明一個(gè)與“含參數(shù)不等式恒成立”結(jié)構(gòu)相似的“不含參數(shù)恒成立的不等式”,然后對(duì)比這兩個(gè)恒成立的不等式,從而確定參數(shù)的范圍. 經(jīng)探究,針對(duì)四種類(lèi)型題目,給出如下四個(gè)定理.

題型一對(duì)于任意x≥0,都有F(x) ≥ax恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

容易理解, 若能證明“對(duì)于任意x≥0, 都有F(x) ≥F′(0)x恒成立”, 則F′(0) ≥a, 故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,F′(0)].

定理一若F′(x)、F′′(x)在[0,+∞)都有意義,F(0) =0,F′′(x) ≥0,則對(duì)于任意x≥0,都有F(x) ≥F′(0)x恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)x=0 時(shí)等號(hào)成立).

證明設(shè)G(x) =F(x)-F′(0)x(x≥0),則G(0) = 0,G′(x) =F′(x)-F′(0),G′′(x) =F′′(x) ≥0,G′(x)單調(diào)遞增,G′(x)≥0,F(x)-F′(0)x≥0(當(dāng)且僅當(dāng)x=0 時(shí)等號(hào)成立). 從而,對(duì)于任意x≥0,都有F(x)≥F′(0)x恒成立.

題型二對(duì)于任意x≥0,都有F(x) ≤ax恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

容易理解, 若能證明“對(duì)于任意x≥0, 都有F(x) ≤F′(0)x恒成立”, 則F′(0) ≤a, 故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[F′(0),+∞).

定理二若F′(x)、F′′(x)在[0,+∞)都有意義,F(0) =0,F′′(x) ≤0,則對(duì)于任意x≥0,都有F(x) ≤F′(0)x恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)x=0 時(shí)等號(hào)成立).

證明設(shè)G(x) =F(x)-F′(0)x(x≥0),則G(0) = 0,G′(x) =F′(x)-F′(0),G′′(x) =F′′(x) ≤0,G′(x)單調(diào)遞減,G′(x)≤0,F(x)-F′(0)x≤0(當(dāng)且僅當(dāng)x=0 時(shí)等號(hào)成立). 故對(duì)于任意x≥0,都有F(x)≤F′(0)x恒成立.

題型三對(duì)于任意x≥0,都有F(x) ≥ax2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

容易理解, 若能證明“對(duì)于任意x≥0, 都有F(x) ≥故實(shí)數(shù)a的取值范圍為

定理三若F′(x),F′′(x),F′′′(x) 在[0,+∞) 都有意義,F(0) = 0,F′′′(x) ≥ 0, 則 對(duì) 于 任 意x≥ 0, 都 有恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)x=0 取等號(hào)).

證明設(shè)則G(0)=0,G′(x)=F′(x)-F′′(0)x,G′(0)=F′(0),G′′(x)=F′′(x)- F′′(0),G′′(0) = 0,G′′′(x) =F′′′(x) ≥0,G′′(x)單調(diào)遞增,G′′(x) ≥0(當(dāng)且僅當(dāng)x= 0 取等號(hào)),G′(x) 單調(diào)遞增,G(x) ≥0(當(dāng)且僅當(dāng)x= 0 取等號(hào)), 對(duì)于任意的恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)x=0 取等號(hào)).

題型四對(duì)于任意x≥0,都有F(x) ≤ax2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

容易理解, 若能證明“對(duì)于任意x≥0, 都有F(x) ≤故實(shí)數(shù)a的取值范圍為

定理四若F′(x),F′′(x),F′′′(x) 在[0,+∞) 都有意義,F(0) = 0,F′′′(x) ≤ 0, 則 對(duì) 于 任 意x≥ 0, 都 有恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)x=0 取等號(hào)).

證明設(shè)則G(0) = 0,G′(x) =F′(x)- F′′(0)x,G′(0) =F′(0),G′′(x)=F′′(x)-F′′(0),G′′(0)=0,G′′′(x)=F′′′(x)≤0,G′′(x)單調(diào)遞減,G′′(x) ≤0(當(dāng)且僅當(dāng)x=0 取等號(hào)),G′(x)單調(diào)遞減,G(x) ≤0(當(dāng)且僅當(dāng)x= 0 取等號(hào)), 對(duì)于任意的恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)x=0 取等號(hào)).

五、定理的應(yīng)用

縱觀近幾年高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題, 都考查此類(lèi)問(wèn)題,體現(xiàn)了高考試題“?？汲Ｐ?推陳出新”的理念,所以我們要對(duì)這類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行總結(jié),并提出更加簡(jiǎn)便的通性通法,對(duì)解法的探索是在踐行所學(xué)的知識(shí)技能和思想方法.

例1(2023 年高考甲卷文科第20 題節(jié)選) 已知函數(shù)若f(x)+sinx<0,求a的取值范圍.

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,0].

例2(2019 年高考全國(guó)Ⅰ卷文科第20 題節(jié)選) 已知函數(shù)f(x) = 2 sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù). 若x ∈[0,π]時(shí),f(x)≥ax,求a的取值范圍.

簡(jiǎn)析通過(guò)轉(zhuǎn)化和換元可以得到: 對(duì)于任意的x ∈[0,π] 時(shí), 都有2 sinx - xcosx - x≥ax恒成立. 設(shè)F(x)=2 sinx-xcosx-x(0 ≤x≤π),所以F(0)=0. 所以F′(x) = cosx+xsinx-1(0 ≤x≤π), 所以F′′(x) =xsinx≥0,因?yàn)镕′(0)=0,而且對(duì)于任意的x ∈[0,π],都有2 sinx-xcosx-x≥ax恒成立,由定理一得:a≤0.

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,0].

例3(2016 年高考新課標(biāo)卷II 文科節(jié)選) 已知函數(shù)f(x) = (x+1)lnx-a(x-1),若對(duì)于任意的x >1,都有f(x)>0 恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

簡(jiǎn)析通過(guò)轉(zhuǎn)化和換元可以得到:對(duì)于任意的x >0 時(shí),都有(x+2)ln(x+1)>ax恒成立. 設(shè)F(x)=(x+1)ln(x+所以因?yàn)镕′(0) = 2, 以及對(duì)于任意的x >0,都有(x+2)ln(x+1)> ax恒成立,由定理一得:a≤2,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,2].

例4(2014 年高考陜西卷理科節(jié)選) 函數(shù)f(x) =ln(x+1),g(x) =xf′(x),f′(x) 是f(x) 的導(dǎo)函數(shù), 若對(duì)于任意x≥0,f(x)≥ag(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

簡(jiǎn)析因?yàn)樗酝ㄟ^(guò)轉(zhuǎn)化可以得到:對(duì)于任意x≥0,都有(x+1)ln(x+1) ≥ax恒成立. 設(shè)F(x) = (x+1)ln(x+1)(x≥0),所以F(0) = 0,所以F′(x) = ln(x+1)+1, 所以因?yàn)镕′(0) = 1,因?yàn)閷?duì)于任意的x≥0,都有f(x) ≥ax恒成立,由定理一得:a≤1,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,1].

例5(2007 年高考全國(guó)卷I 理科節(jié)選) 已知函數(shù)f(x) = ex -e-x, 若對(duì)于任意的x≥0, 都有f(x) ≥ax恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

簡(jiǎn)析設(shè)F(x) = ex -e-x, 則F(0) = 0,F′(x) =ex+ e-x,F′′(x) = ex -e-x≥0,F′(0) = 2, 因?yàn)閷?duì)于任意的x≥0,都有f(x)≥ax恒成立,由定理一得:a≤2,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,2].

例6(2006 年高考全國(guó)卷II 理科節(jié)選) 已知函數(shù)f(x)=(x+1)ln(x+1),若對(duì)于任意的x≥0,都有f(x)≥ax恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

簡(jiǎn)析設(shè)F(x)=(x+1)ln(x+1)(x≥0),所以F(0)=0, 所以F′(x) = ln(x+1)+1, 所以F′(0) = 1,因?yàn)閷?duì)于任意的x≥0,都有f(x) ≥ax恒成立,由定理一得:a≤1,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,1].

例7(2017 年高考新課標(biāo)卷II 文科節(jié)選) 已知函數(shù)f(x) =(1-x2)ex,對(duì)于任意的x≥0,都有f(x) ≤ax+1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

簡(jiǎn)析對(duì)于任意的x≥0,f(x) ≤ax+1 恒成立?對(duì)于任意的x≥0,(1-x2)ex -1 ≤ax恒成立. 設(shè)F(x) =(1-x2)ex-1,則F(0)=0,F′(x)=-2xex+(1-x2)ex,F′′(x) =-(x2+4x+1)ex <0,F′(0) = 1,因?yàn)閷?duì)于任意的x≥0,(1-x2)ex -1 ≤ax恒成立,由定理二得:1 ≤a,故a的取值范圍是[1,+∞).

例8(2009 年高考陜西卷理科節(jié)選)已知函數(shù)f(x) =若f(x)的最小值為1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

例9(2008 年高考全國(guó)卷II 理科節(jié)選) 已知函數(shù)若對(duì)于任意的x≥0, 都有f(x) ≤ax恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

簡(jiǎn)析設(shè)因?yàn)閷?duì)于任意的x≥0,都有f(x)≤ax恒成立,由定理二得:故a的取值范圍是

例10(2018 年高考Ⅱ卷理科節(jié)選) 已知f(x) =ex - ax2, 若對(duì)于任意的x≥0, 都有f(x) ≥1 恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

簡(jiǎn)析通過(guò)轉(zhuǎn)化可以得到: 對(duì)于任意的x≥0, 都有ex -1 ≥ax2恒成立. 設(shè)F(x) = ex -1, 則F(0) = 0,因?yàn)閷?duì)于任意的x≥0,都有ex -1 ≥ax2恒成立,由定理三得:故a的取值范圍是

例11(2010 年高考新課標(biāo)卷文科節(jié)選) 已知f(x) =x(ex-1)-ax2,若對(duì)于任意的x≥0,都有f(x) ≥0 恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

簡(jiǎn)析通過(guò)轉(zhuǎn)化可以得到: 對(duì)于任意的x≥ 0, 都有x(ex-1) ≥ax2恒成立. 設(shè)F(x) =x(ex-1), 則F(0) = 0,F′(x) = (x+1)ex -1,F′′(x) = (x+2)ex >0,F′′′(x) = (x+3)ex >0,因?yàn)閷?duì)于任意的x≥0,都有x(ex-1) ≥ax2恒成立,由定理三得:1 ≥a,故a的取值范圍是(-∞,1].

例12(2010 年高考新課標(biāo)理節(jié)選) 已知函數(shù)f(x) =ex -1-x-ax2,若對(duì)于任意的x≥0,都有x≥0 恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

簡(jiǎn)析通過(guò)轉(zhuǎn)化可以得到: 對(duì)于任意的x≥0, 都有ex -1- x≥ax2恒成立. 設(shè)F(x) = ex -1- x, 則F(0)=0,F′(x)=ex-1,F′′(x)=ex >0,F′′′(x)=ex >0,因?yàn)閷?duì)于任意的x≥0,都有ex-1-x≥ax2恒成立,由定理三得:故a的取值范圍是

例13(2020 年高考全國(guó)Ⅰ卷理科改編)設(shè)函數(shù)f(x) =-ex+x2-x,若對(duì)于任意的x≥0,都有f(x)≤ax2-1 恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

簡(jiǎn)析通過(guò)轉(zhuǎn)化可以得到: 對(duì)于任意的x≥0, 都有-ex -x+1 ≤(a-1)x2恒成立. 設(shè)F(x) =-ex -x+1,則F(0) = 0,F′(x) =-ex -1,F′′(x) =-ex <0,F′′′(x) =-ex <0,因?yàn)閷?duì)于任意的x≥0,都有ex-1-x≥ax2恒成立,由定理四得:故a的取值范圍是

例14(選自2012 年高考天津卷理科) 設(shè)函數(shù)f(x) =x-ln(x+1),若對(duì)于任意的x≥0,都有f(x)≤kx2恒成立,求實(shí)數(shù)k的最小值.

簡(jiǎn)析對(duì)于任意的x≥0,都有x-ln(x+1)≤kx2恒成立. 設(shè)F(x)=x-ln(x+1),則F(0)=0,F′(x)=因?yàn)閷?duì)于任意的x≥0,都有x-ln(x+1)≤kx2恒成立,由定理四得:所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是故實(shí)數(shù)k的最小值為

例15(選自2010 年高考湖北卷理科) 已知函數(shù)若對(duì)于任意的x≥1,都有f(x)≥lnx恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

簡(jiǎn)析通過(guò)轉(zhuǎn)化和換元可以得到: 對(duì)于任意的x≥0,都有(x+ 1)ln(x+ 1)- x≤ax2恒成立. 設(shè)F(x) =(x+ 1)ln(x+ 1)- x, 則F(0) = 0,F′(x) = ln(x+ 1),因?yàn)閷?duì)于任意的x≥0,都有(x+1)ln(x+1)-x≤ax2恒成立,由定理四得:故實(shí)數(shù)a的取值范圍是

縱觀近幾年高考導(dǎo)數(shù)壓軸題,求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題常常是高考的壓軸題,通常的解法是分類(lèi)討論,但是考生在有限的考試時(shí)間內(nèi)進(jìn)行分類(lèi)討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化、繁雜運(yùn)算,是很難正確解答的. 本文就近年高考試題中四類(lèi)求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題給出通法,是先證明一個(gè)與“含參數(shù)不等式恒成立”結(jié)構(gòu)相似的“不含參數(shù)恒成立的不等式”,然后對(duì)比這兩個(gè)恒成立的不等式,從而確定參數(shù)的范圍. 這樣,我們就可以大大減少運(yùn)算量,避免分類(lèi)討論等諸多復(fù)雜問(wèn)題. 從高考真題的研究和反思中掌握高考的變化趨勢(shì)和命題規(guī)律,并將學(xué)科主干知識(shí)和基本思想方法融會(huì)貫通,舉一反三,從而明晰復(fù)習(xí)備考方向,提升備考效率.