文 |陳昱（特級教師） 萬榮 欒靜

不同于知識技能的顯性易測，具有整體性、情境性與反思性的核心素養(yǎng)關乎人的“關鍵能力”和“必備品格”，需要實施表現(xiàn)性評價?！皵?shù)學畫”是學生思維的表征，具有很強的表現(xiàn)性評價功能。借助“數(shù)學畫”作品可以實施表現(xiàn)性評價，下面以“雞兔同籠”教學為例來具體談一談。

一、學習目標的確立和具體化

實施表現(xiàn)性評價首先要確立學習目標，而核心素養(yǎng)導向應當是確定學習目標時必須把握的基本原則。參照《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》要求，我們確定“雞兔同籠”學習的核心目標為：模型意識和問題解決能力的養(yǎng)成與提升。這樣的目標要落實到課堂教學，還需要進一步解析和具體化：

1.能夠自主整理“雞兔同籠”問題，提取信息，明確條件和問題。

2.能夠自主探究和解決“雞兔同籠”問題。

3.交流解決問題的方法，會利用圖示、語言等清晰表達自己的想法，傾聽和理解同伴的不同想法，體驗方法的多樣性與趣味性。

4.比較不同方法，發(fā)現(xiàn)多樣方法背后“假設→驗證→調(diào)整”的問題解決策略的共通性，初步建立“雞兔同籠”問題的數(shù)學模型，并基于多樣比較和自我選擇實現(xiàn)方法的優(yōu)化。

5.能夠應用模型解決包括變式的雞兔同籠問題，能識別無關問題，反思并掌握問題解決的一般過程。

具體化的學習目標是表現(xiàn)性評價的依據(jù)，以上具有層級的學習目標也是評價目標。

二、表現(xiàn)性任務的設計和思考

有了表現(xiàn)性目標就可以設計表現(xiàn)性任務，表現(xiàn)性任務是表現(xiàn)性評價的核心要素之一。圍繞核心學習目標，我們整體設計單元學習任務（如表1）：分兩課時教學，第一課時對應目標1～4設計了三個任務；第二課時對應目標5也設計了三個任務。其中任務四同時也是第一課時的課后作業(yè)，在第二課時進行作業(yè)展評與反饋；任務六作為綜合性和研究性單元作業(yè)延伸到課外。如評價目標具有層次性一樣，六個任務也是環(huán)環(huán)相扣、層層遞進的，本文聚焦第一課時的三個任務（表中具體呈現(xiàn)）。

表1 “雞兔同籠”學習任務設計表（人教版四年級下冊第九單元）

表現(xiàn)性任務傾向于創(chuàng)設真實的問題情境，學生在問題解決過程中自然呈現(xiàn)處于不同理解水平的真實表現(xiàn)?！半u兔同籠”雖不是一般意義上的真實問題，卻是很經(jīng)典的古代數(shù)學趣題，其思考性、困惑性、可操作性、趣味性都具備，且是很好的建模及問題解決的教學素材。

三、表現(xiàn)性評價的實施和作用

依據(jù)評價目標和學習前測，教師首先建立本問題的作品評價框架（如表2）。在教學實踐中，作品評價框架主要有兩方面用途：課堂上對學生作品迅速分層，及時展評；學習前測、課堂探究和學習后測三者或兩兩之間進行對比分析。兩者都指向?qū)W生數(shù)學學習的診斷、改進，下面重點分析任務二、三的課堂展評。

表2 “雞兔同籠”問題探究作品評價框架

1.水平1作品展評：讓思考更全面、更靈動

【教學片斷1】

出示例題：

籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個頭；從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？

師：這里有兩幅作品（出示圖1、圖2），你能看懂嗎？

圖1

圖2

生：第一幅6只兔、2只雞錯了，第二幅也不對。

師：6只雞、2只兔加起來正好8個頭，哪里錯了？

生：雖然8個頭對了，但是腳數(shù)不對，一共有28只腳，實際是26只腳。

師：看來頭數(shù)、腳數(shù)都要滿足條件才行。看第二幅，你有什么想說的？

生：第二幅也不對，雖然她的腳數(shù)畫了26只，但是頭數(shù)不對，6只兔、1只雞，才7只。

師：那怎樣才能正確解決問題呢？讓我們再來看一幅作品（出示圖3），請小作者介紹一下。

圖3

生：雞兔一共是8個頭，我就把所有情況都列出來，一共有9種可能，然后再算出每一種情況的腳數(shù)。最后我發(fā)現(xiàn)當兔5只、雞3只時腳數(shù)正好是26只，這就是我找到的答案。

師：觀察表格，有什么發(fā)現(xiàn)？

生：他的方法特別有條理，按照順序一個一個算，讓我們看得很清楚。

生：我發(fā)現(xiàn)了表中的規(guī)律，兔的數(shù)量越來越少，雞的數(shù)量越來越多，腳數(shù)越來越少。

生：我發(fā)現(xiàn)每次腳數(shù)都會減少2只。

師：什么情況下腳數(shù)會減少2只呢？

生：每減少1只兔，增加1只雞，腳數(shù)就減少2只。

師：這是從上往下看的規(guī)律，如果從下往上看呢？

生：每增加1只兔，減少1只雞，腳數(shù)就增加2只。

師：非常棒！還有兩幅作品，對比一下（出示圖4、圖5），它們與圖3的方法相比有什么相同和不同？

圖4

圖5

組1：我們認為這三種都是列舉法，只是圖3列舉了所有情況，另外兩個只列舉了一部分，因為已經(jīng)找到答案了，不需要都列舉。

組2：我們發(fā)現(xiàn)圖3是用表格，這兩個是畫圖，還有列式。

組3：圖5是我們組的作品，我們發(fā)現(xiàn)圖4雖然也有列算式，但是算式不一樣：我們是用除法和減法算的，而他們是用乘法和加法算的。

師：很細致的一個發(fā)現(xiàn)，算法不同背后往往是思路不一樣，比較一下，兩種思路有什么不同？

組4：圖4是我們組的作品，假設幾只兔子和雞，然后算腳數(shù)；而圖5是用腳數(shù)來算頭數(shù)。

師：誰聽懂了？

生：他們的意思是，圖4是用頭數(shù)算腳數(shù)，用乘法和加法；圖5是用腳數(shù)算頭數(shù)，用減法和除法，思路是相反的。

【教學思考】

以上展評分三個層次來推進：（1）發(fā)現(xiàn)“雞兔同籠”問題需要兼顧兩個條件，只顧其一就會出錯，引導學生思考問題要全面；（2）發(fā)現(xiàn)有序列舉的所有情況，不但可以通過推算找到答案，還可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，突出有序思考的優(yōu)勢；（3）對比發(fā)現(xiàn)有序列舉不用窮舉更簡便，推算的思路可以不同，相應的推算方法也不同，讓學生體會指向問題解決的思考方法的多樣性、靈活性。以上交流為后面更高水平作品的展評及更重要的思維進階做好了鋪墊。

2.水平2作品展評：借圖說明和理解不同思路

【教學片斷2】

師：接下來再看幾位同學的想法（出示圖6），這個能看懂嗎？一開始小作者還畫了圖，看懂的同學能不能把圖畫完整？請一位同學說一說每道算式的意思，再請一位同學上臺畫圖說明，爭取圖式對應。

圖6

圖7

圖8

［教師指2×8=16（只）］

生1：假設8只都是雞，就有16只腳。

生2畫：［教師指26-16=10（只）］

生1：而實際上有26只腳，現(xiàn)在少了10只腳，對不上。

師：說明什么？

生1：說明假設有問題，肯定不能全是雞，其中有一些應該是兔子。我們可以把一些雞改成兔子。

生2接著畫：

［教師指10÷2=5（只）］

生1：每添2只腳，就改出1只兔子，10只腳就能改出5只兔子，說明兔子有5只。

［教師指8-5=3（只）］

生1：一共8只去掉5只兔就是3只雞。

師：（出示圖9、10）有同學還畫了這種方法的圖，你能看懂嗎？

圖9

圖10

生3：假設全是兔子，就有8×4=32只腳，比實際26只腳多了6只腳，兔子假設多了，需要將一些兔改成雞，也就是去掉2只腳，多6只腳就需要改6÷2=3次，這樣就有3只雞，剩下8-3=5只兔子。

師：說得真好！很多同學都是用的假設全是雞或全是兔的方法。請思路不一樣的同學上臺展示你的方法！

生4：（出示圖11）我也是假設全是兔，但我的方法是———

師：我知道還有一些同學用的方法和思路也是這樣的，但是想著想著就亂了，沒有成功，有的換了別的方法，有的算錯了，說明這種方法可能有一定難度。為了幫助同學們很快明白，我們也可以借助畫圖來說明。生4，你能邊畫圖邊解釋算式的意思嗎？

生4：假設都是兔子，那26只腳會有幾只兔子呢？就用26÷4=6（只）……2（只）。

師：這個可以怎么畫圖？（引導畫圖，漸成圖12）

圖12

生4：剩下2只腳不可能是兔子的，就是雞的?，F(xiàn)在有6只兔子1只雞，一共是7只，不符合條件。說明兔子多了，我就把1只兔子改成2只雞。這樣，兔子5只，雞3只，正好8只。

師：你們聽懂了嗎？真好！下面請假設全是雞但是與剛才展示過的思路不一樣的同學來展示！

生5：（出示圖13）假設全是雞，26只腳就有13只雞，13-8=5（只），多了5只，不符合。那就把雞改成兔，2只雞才能改成1只兔（畫圖）。

圖13

圖14

師：大家注意看，這樣雞改成兔每改1次，減少幾只動物？（1只）多了5只，需要改幾次？（5次）好，請繼續(xù)！

生5：我這樣改了5次，現(xiàn)在是3只雞、5只兔。

生6：我的算式跟他的一樣，但是我的思路不一樣。

師：你是什么思路？說慢點。

生6：我用的是抬腳法。假設每只兔子和雞都抬起一半的腳，地上就剩下26÷2=13只腳，再讓它們各抬起1只腳，這樣就剩下13-8=5只腳，這個時候雞在地上沒腳了，這5只腳肯定是兔子的，1只兔子地上剩1只腳，所以兔子是5只，雞就是3只。

師：大家覺得怎么樣？

生7：原來同樣的算式還有不一樣的意思啊！

師：還有不一樣的方法和思路嗎？

生8：（出示圖15）我一開始假設4只雞、4只兔，對半分。算了一下，24只腳，說明兔子少算1只，所以就調(diào)整成3只雞、5只兔，再算一下，對了！

圖15

師：（出示圖16）這是誰的作品？好像沒有完成？說說你是怎么想的？

圖16

生9：我是這樣想的，既然雞兔同籠，那一定既有雞也有兔，干脆我把雞兔搭配，每組就是6只腳，26只腳里算一算，有4組雞兔，這里單位寫錯了，應該是“組”，還剩下2只腳，是雞的。

師：有沒有問題？

生10：想法很有意思，但得到的結(jié)果是5只雞、4只兔，超過8只啦！

師：他提供了一條不同的思路，能不能接著他的思路想下去？

生11：（出示圖17）我剛才用他的思路畫了圖，很容易就能解決。到他那里，4只雞、4只兔還剩2只腳，這2只腳絕對不可能是雞的，因為那樣就超過8只了！不能是雞的，那就是兔的，但是兔子有4只腳，就需要從雞里拿出2只腳，和剩余的2只腳組成1只兔，這時候是3只雞、5只兔，正好！

圖17

【教學思考】

（1）放手探究則方法多樣

教材中“雞兔同籠”的解法局限于“由頭數(shù)推算腳數(shù)”這一種思路，沒有顧及學生的真實學情，甚至限制了學生的思維。事實證明，只要放手讓學生自主探究，自然就能出現(xiàn)各種不同的思路和方法，既有“由頭數(shù)推算腳數(shù)”，也有“由腳數(shù)推算頭數(shù)”；既有假設全是雞，也有假設全是兔，還有假設半雞半兔、雞兔配組等……有近四分之一的學生采用不同種方法解決問題，這些方法不是教師“教”給學生的，而是學生自己探究出來的，學生真正成為了學習的主人。

（2）畫圖輔助則理解曉暢

畫圖在本課出現(xiàn)了很多次，大體可以分成兩種情況：一種是學生自覺使用的，比如畫圖整理信息，一部分學生解決問題時先畫圖探究等；還有一種是教師引導使用的，比如本環(huán)節(jié)畫圖輔助展評。之所以在展評時引導學生畫圖，是考慮到“數(shù)學畫”的直觀性特點，圖式對應能較好輔助學生理解別人的想法，也能幫助展示的學生說得更清楚，充分發(fā)揮了“數(shù)學畫”作為思維工具和表達工具的優(yōu)勢，有效促進學生數(shù)學理解和交流。

3.任務三的全班反饋：對比展評實現(xiàn)思維進階

【教學片斷3】

師：時間關系，第1、2問一起反饋，這些方法有什么異同點？你有什么發(fā)現(xiàn)？

組1：我們發(fā)現(xiàn)，這些方法各不相同，但都有一個共同點，都是先假設，再通過計算驗證，發(fā)現(xiàn)有問題再調(diào)整，最后得出答案。

（板書：假設→驗證→調(diào)整）

生：不是所有方法都是假設法，比如列表的方法就不是假設。

組1：列表也可以看成假設，圖3就是假設了9種不同情況，通過計算找到符合條件的答案。

組2：我們同意這些方法都用了假設。補充兩點，第一，我們發(fā)現(xiàn)有的假設全是雞，有的假設全是兔，還有的假設4只雞、4只兔，或者假設雞兔組團，再計算調(diào)整，其實可以任意假設，就像列表那樣，先假設任意幾只雞、幾只兔，再調(diào)整，都行，關鍵是要滿足一共8頭和26只腳這兩個條件；第二，我們還發(fā)現(xiàn)，因為有頭數(shù)和腳數(shù)兩個條件，所以，假設之后，既可以由頭數(shù)推算腳數(shù)是不是符合，又可以由腳數(shù)推算頭數(shù)是不是符合。

組3：同意組2的發(fā)現(xiàn)，我們也發(fā)現(xiàn)了關鍵要同時符合頭數(shù)和腳數(shù)兩個條件，可以先假設，要么固定頭數(shù)推算腳數(shù)，要么固定腳數(shù)推算頭數(shù)，不符合就調(diào)整。

師：你們發(fā)現(xiàn)了不同方法背后都有著相同的解決策略和關鍵點。那你最喜歡哪一種方法？為什么？

生：我最喜歡圖9的方法，因為很容易理解。

生：我最喜歡圖13的方法，因為這個很簡便。

生：先對半假設，再調(diào)整的方法很方便，我最喜歡圖15的方法。

生：我最喜歡抬腳法，簡直太有趣了！

……

【教學思考】

從課堂作品看，學生原有思維水平多數(shù)處于水平2，少數(shù)處于水平1，個別處于水平0；通過作品展評和小組討論，大部分學生達到了水平3，實現(xiàn)了思維進階和課時學習目標。

學生經(jīng)歷了三個重要過程：（1）建立關聯(lián)。比較并從不同解法中找到聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)相同的問題解決策略，即：假設→驗證→調(diào)整；（2）見識多元。對比觀察，不僅感受到解法特別多樣，而且發(fā)現(xiàn)同樣是假設全是雞或全是兔，思路也可以截然不同，因為有頭數(shù)和腳數(shù)兩個已知條件，所以既可以固定頭數(shù)推算腳數(shù)，也可以固定腳數(shù)推算頭數(shù)——這種現(xiàn)象雖然非常普遍，但是要發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律卻并不容易，早在任務一整理信息和水平1的反饋中就已鋪墊，至此處發(fā)現(xiàn)水到渠成；（3）經(jīng)歷優(yōu)化。有了自主探究和解決問題，又有了交流不一樣的解法和思路，在深入理解之后，學生再結(jié)合自己的喜好選擇最喜歡的方法，實現(xiàn)有條件的方法優(yōu)化。之所以說“有條件”是指，首先，這里的“最喜歡”是基于自身特點和廣泛借鑒后的一種個性化選擇；其次，這個“最喜歡”是基于例題情境的選擇，如果以后問題情境有變化，可能選擇也會改變。三個統(tǒng)一的過程共同指向：初步建立問題模型，促進思維進階，提升問題解決能力。

整節(jié)課中，任務一、二學生整理信息、探索解法屬于表層學習階段，重在理解；任務三學生比較討論則進入深層學習階段，強調(diào)聯(lián)系；到下節(jié)課任務四、五模型及其變式的應用反思是遷移學習階段，將有更高階的遷移發(fā)生。