張凱超， 付銳， 袁偉， 羅耿， 賀冰清

（1. 長安大學(xué) 汽車學(xué)院，西安 710064；2. 中國聯(lián)合網(wǎng)絡(luò)通信有限公司陜西分公司，西安 710075）

工程結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中存在著大量的不確定性分析問題，特別是在復(fù)雜的汽車結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，受零部件加工、制造、裝配誤差，結(jié)構(gòu)中材料分布不均勻及復(fù)雜的工作環(huán)境等因素的影響，汽車結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中不可避免地存在不確定性［1-2］，不確定性分析對于汽車結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的分析、設(shè)計以及優(yōu)化等問題有著十分重要的意義。不確定性分析的主要內(nèi)容包括可靠性分析和靈敏度分析［3-4］：可靠性分析研究結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中輸入變量不確定性向輸出響應(yīng)的傳遞問題，也即研究結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中輸出響應(yīng)的不確定性特征問題；靈敏度分析通常也被稱作重要性分析，研究結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中輸出響應(yīng)不確定性向輸入變量不確定性的分配問題，也即研究結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中輸出響應(yīng)不確定性和輸入變量不確定性之間的關(guān)系。

目前，在針對靈敏度分析的研究方面，國內(nèi)外已經(jīng)有了大量的研究成果［5-7］，其中，SOBOL等［8-9］提出的基于方差的全局靈敏度分析理論因其概念清晰簡單、易于理解、具有模型通用性等特點，成為最主流的全局靈敏度分析方法，并且在工程實際中得到了廣泛應(yīng)用，但是該理論只適用于輸入變量獨立且輸出響應(yīng)為一維變量的模型。對于動態(tài)模型的靈敏度分析問題，可以通過時間維度的離散化將其轉(zhuǎn)化為多維輸出問題［10-14］，SALTELLI 等［10］建議將多維輸出問題轉(zhuǎn)化為單維問題，即依據(jù)實際問題定義一個綜合的輸出響應(yīng)，然后對這個定義的單個輸出響應(yīng)進行全局靈敏度分析。該方法可以處理一部分工程實際問題，但是還存在一些不能通過這樣的轉(zhuǎn)化來解決的問題。CAMPBELL 等［11］提出了一種多維輸出情況下的全局靈敏度分析方法，該方法首先利用正交基對多維輸出進行分解，然后對分解

式中的正交基系數(shù)進行全局靈敏度分析，該方法也被簡稱為輸出分解法。LAMBONI 等［12］對輸出分解法進行了補充完善，并定義了一套綜合的全局靈敏度指標以反映輸入變量對多維輸出的綜合影響。輸出分解法將一個維數(shù)較高的多維輸出全局靈敏度分析問題，轉(zhuǎn)化為維數(shù)較少的多維輸出問題，一定程度上簡化了多維輸出情況下的全局靈敏度分析。GAMBOA等［13］基于輸出響應(yīng)的協(xié)方差分解以及高維模型替代定義了一套多維輸出情況下的全局靈敏度指標，該方法可以認為是Sobol 基于方差的單維輸出全局靈敏度分析的一種拓展，并且該方法與輸出分解法具有一定的等價性。分析發(fā)現(xiàn)，輸出分解法和協(xié)方差分解法得到的靈敏度指標反映的是輸入變量對多維輸出響應(yīng)的協(xié)方差矩陣中的對角元素之和的影響，即只反映了輸入變量對多維輸出各個分量方差的影響，并不包含多維輸出之間的相關(guān)性。ZHANG Kaichao 等［14］在多維隨機變量不確定性方差量化的基礎(chǔ)上，將多維輸出響應(yīng)的不確定性歸結(jié)為輸入變量單獨的影響，輸入變量之間交叉作用的影響和模型模式不同的影響。

對于動態(tài)模型Y=g(X，t)，t∈T=[t1，t2]，工程實際中往往是通過在不同時刻進行采樣來近似研究動態(tài)模型的不確定性分析問題，當然，也可以通過該方法將動態(tài)模型轉(zhuǎn)化為多維輸出模型，來實現(xiàn)對動態(tài)模型進行全局靈敏度分析。但是依據(jù)這樣的思路分析得到的結(jié)果往往會受到時間t的離散精度的影響，因此，需要針對動態(tài)模型的全局靈敏度分析作進一步研究。動態(tài)模型隨著時間t的變化而變化，本文提出的動態(tài)模型基于方差的全局靈敏度分析將動態(tài)模型輸出響應(yīng)不確定性影響因素分解為：輸入變量單獨的影響、模型變化單獨的影響、輸入變量交互作用的影響、輸入變量與模型變化交互的影響。文中對各個不確定性影響因素的內(nèi)涵進行了詳細分析，得到的輸入變量靈敏度指標的物理意義解釋與一維輸出Sobol 基于方差的全局靈敏度分析相同，只多了一維反映模型變化對輸出響應(yīng)不確定性影響的量，因此，計算量方面與Sobol 基于方差的全局靈敏度分析相當，不會造成新的計算難度。

1 Sobol基于方差的全局靈敏度分析

假設(shè)所考慮結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的輸入-輸出關(guān)系可以由函數(shù)Y=g(X)來描述，其中X=(X1，X2，…，Xn)為n維相互獨立的輸入變量，Y為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的一維輸出響應(yīng)，輸入隨機變量Xi(i= 1，2，...，n)的概率密度函數(shù)表示為fXi(xi)，聯(lián)合概率密度函數(shù)表示為fX(x)。Sobol 基于方差的全局靈敏度分析以輸出響應(yīng)函數(shù)的高維模型展開為基礎(chǔ)，如式（1）所示［15-17］。

其中

式中：E( · )為期望算子。

在輸入變量獨立的情況下，對式（1）兩邊求方差，可得：

其中

式中：Var( · )為方差算子；式（3）右端的各個方差項為部分方差貢獻；Vi為主方差貢獻，Vi1i2為二階方差貢獻，依此類推。

輸入變量Xi的總方差貢獻VTi定義為與Xi有關(guān)的各階方差貢獻的總和，即：

總方差貢獻也可通過式（6）進行計算：

式中：X-i為除Xi以外的所有輸入變量組成的向量。

式（3）表明，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)的方差可以分解為每個輸入變量的方差貢獻及它們之間交互作用的方差貢獻。其中，Vi表示輸入變量Xi獨自變化對輸出響應(yīng)方差的貢獻，Vi1i2表示由于響應(yīng)函數(shù)結(jié)構(gòu)關(guān)系產(chǎn)生的Xi1與Xi2交互作用對輸出響應(yīng)方差的貢獻，依此可以解釋高階的方差貢獻?？偡讲钬暙I表示輸入變量Xi對輸出響應(yīng)方差的總貢獻。用式（3）中的部分方差貢獻除以無條件方差V，可得到SOBOL 等定義的基于方差的全局靈敏度指標，其中主貢獻靈敏度指標（主指標）為：

總貢獻靈敏度指標（總指標）為：

主貢獻靈敏度指標反映了輸入變量Xi單獨作用時對輸出響應(yīng)方差的貢獻（主影響）。而總貢獻靈敏度指標反映Xi對輸出響應(yīng)方差的總貢獻（總影響），其中，除了包含Xi單獨的貢獻外，還包括由于功能函數(shù)結(jié)構(gòu)形式而產(chǎn)生的Xi與所有其他變量的交互作用對輸出響應(yīng)方差的貢獻。

依據(jù)主指標和總指標可以獲得輸入變量對輸出響應(yīng)不確定性影響的重要性排序，對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的分析設(shè)計以及概率安全評估等有著非常重要的指導(dǎo)意義。可以通過忽略重要性程度低的變量達到降低問題維度的目的，工程實際中往往可以大大簡化所考慮問題的復(fù)雜程度。重點考慮重要性程度高的變量，可以大大改善分析、設(shè)計、評估等工程實際問題的效率。

2 動態(tài)模型基于方差的全局靈敏度分析

2.1 動態(tài)模型方差分解

動態(tài)模型隨著時間t的變化而變化，從而導(dǎo)致模型輸出也隨時間的變化而變化，將模型輸出隨時間的變化定義為模型不確定性，即在動態(tài)模型中除了存在輸入變量的不確定性外，還存在模型變化引起的輸出響應(yīng)不確定性。動態(tài)模型的模型變化不確定性是由時間t的不同取值而引起的，工程實際問題中一般通過對時間t進行均勻的離散化（不同時刻采樣）來處理動態(tài)模型不確定問題，分析發(fā)現(xiàn)這等于將時間t看做[t1，t2]區(qū)間上的均勻分布，因此動態(tài)模型的模型不確定性可以用時間區(qū)間[t1，t2]上的均勻分布變量來t描述，此時，可以得到動態(tài)模型輸出的方差分解，如式（9）所示。

其中

對比式（4）和式（9）可以發(fā)現(xiàn)，這里的方差分解式與式（4）形式上相同，但是需要注意這里的t是動態(tài)模型的時間參數(shù)，用來描述動態(tài)模型的模型不確定性。Vt是模型變化的主方差貢獻，它描述模型隨時間變化單獨作用時對動態(tài)模型輸出響應(yīng)方差的影響，實際含義是瞬態(tài)輸出響應(yīng)均值隨時間變化的變異性。VXi是輸入變量Xi的主方差貢獻，它是輸入變量Xi單獨作用時對動態(tài)模型輸出響應(yīng)方差的影響。主方差貢獻VXi可以作進一步推導(dǎo)，如式（11）所示。

式中：VXi為輸入變量Xi對Et(Y)的主方差貢獻；Et(Y)為動態(tài)模型關(guān)于時間的平均模型；VXi，t為輸入變量Xi和模型不確定性的二階交叉貢獻，反映Xi和模型不確定性的二階交叉作用對動態(tài)模型輸出響應(yīng)方差的影響，也反映Xi對瞬態(tài)輸出主效應(yīng)隨時間變化的變異性。

VXi，Xj為輸入變量Xi和Xj對動態(tài)模型輸出響應(yīng)方差的二階交叉方差貢獻，對其可以進行推導(dǎo)，如式（12）所示。

因此，二階方差貢獻VXi，Xj實際上也是輸入變量Xi和Xj對Et(Y)的二階交叉方差貢獻。

動態(tài)模型的模型不確定性的總方差貢獻定義為式（9）中部分方差與t有關(guān)的所有方差貢獻的加和，如式（13）所示。

也可通過式（14）進行計算為：

總方差貢獻是動態(tài)模型的模型不確定性對輸出響應(yīng)方差的總影響，當總方差貢獻較小時，表明動態(tài)模型隨時間t的變化而變化較小。

輸入變量Xi的總方差貢獻定義為式（9）中部分方差與Xi有關(guān)的所有方差貢獻的加和，如（15）所示。

也可通過式（16）進行計算。

可以對其作進一步推導(dǎo)，如式（17）所示。

總方差貢獻是輸入變量Xi對動態(tài)模型輸出響應(yīng)方差的總影響，通過式（17）的結(jié)論可以發(fā)現(xiàn)，實際上也是輸入變量Xi對每一瞬時輸出響應(yīng)Y(t)的方差V[Y(t)]的總方差貢獻VX(Y(t)) -關(guān)于t的平均值。

2.2 準-方差貢獻及靈敏度指標

除了以上方差貢獻，根據(jù)實際問題分析的需要，定義準-方差貢獻為：

準-主方差貢獻Vi可以作如式（19）所示的推導(dǎo)。

由式（19）可知，Vi包含了主方差貢獻VXi和二階交叉貢獻VXi，t，通過式（19）的推導(dǎo)，Vi是輸入變量Xi對每一瞬時輸出Y(t)的方差V[Y(t)]的主方差貢獻VXi[EX-i(Y(t)|Xi)]關(guān)于t的平均值。類似的，由式（18）可知，Vij包含了二階方差貢獻VXi，Xj和三階方差貢獻VXi，Xj，t，同時，Vij是輸入變量Xi和Xj對每一瞬時輸出Y(t)的方差V[Y(t)]的二階方差貢獻關(guān)于t的平均值。

輸入變量Xi的準-總方差貢獻VTi定義為式（9）中所有與Xi有關(guān)的變量方差貢獻的加和（不包含與t有關(guān)的），如式（20）所示。

也可通過式（21）進行計算。

式中：為輸入變量Xi對動態(tài)模型關(guān)于時間的平均模型Et(Y)的總方差貢獻。

類似的，全局靈敏度指標定義為方差貢獻或準-方差貢獻與動態(tài)模型輸出響應(yīng)方差V(Y)的比值，其中應(yīng)用價值最高的是以下5類。

1）與模型不確定性的主方差貢獻Vt對應(yīng)的靈敏度指標St反映模型不確定性對動態(tài)模型輸出響應(yīng)方差的主影響，即瞬態(tài)輸出響應(yīng)均值隨時間變化的變異性；總方差貢獻對應(yīng)的靈敏度指標反映動態(tài)模型的模型不確定性，當= 0 時，模型不隨時間的變化而變化。

2）與主方差貢獻VXi對應(yīng)的靈敏度指標SXi反映輸入變量Xi對動態(tài)模型輸出響應(yīng)方差的主影響，也反映Xi對動態(tài)模型關(guān)于時間的平均模型Et(Y)的主影響。

3）與總方差貢獻對應(yīng)的靈敏度指標反映輸入變量Xi對動態(tài)模型輸出響應(yīng)方差的總影響，也反映輸入變量Xi對每一瞬時輸出響應(yīng)Y(t)的方差V[Y(t)]的總影響的平均。

4）與準-主方差貢獻Vi對應(yīng)的靈敏度指標Si反映輸入變量Xi對每一瞬時輸出Y(t) 的方差V[Y(t)]的主影響的平均。

5）與準-總方差貢獻對應(yīng)的靈敏度指標反映輸入變量Xi對平均模型Et(Y)的總影響。

以上方差貢獻和靈敏度指標的具體計算方法與Sobol 方差貢獻及靈敏度指標計算完全相同，本文不再贅述。

3 算例分析

車橋通過懸架與車架連接，支承汽車大部份重量，并將車輪的牽引力或制動力，以及側(cè)向力經(jīng)懸架傳給車架［18］。由圖1可知，在轉(zhuǎn)向橋中起主要承載作用的是前軸，主要承受彎矩和轉(zhuǎn)矩，作為汽車上重要的安保件，前軸的力學(xué)性能要求極高，因此，有必要對其進行靈敏度分析，降低前軸力學(xué)性能的不確定性，提高其魯棒性和可靠性。

工字梁結(jié)構(gòu)由于彎曲強度高且質(zhì)量輕，所以在前軸設(shè)計中得到了廣泛應(yīng)用，如圖2 所示，危險橫截面位于工字梁部分。最大法向應(yīng)力和剪切應(yīng)力分別為σ=M/Wx和τ=T/Wρ，其中，M和T是彎矩和轉(zhuǎn)矩，并且它們是隨時間變化的，如式（22）～（23）所示。

圖2 工字梁前軸橫截面

式中：M0和T0分別為基礎(chǔ)彎矩和轉(zhuǎn)矩；z為連續(xù)動態(tài)因子，取值范圍是z∈[0，10]（與正弦和余弦函數(shù)一起使用時，以弧度為單位）。

Wx和Wρ分別為截面系數(shù)和極截面系數(shù)，如式（24）～（25）所示。

為了檢驗本例中前軸的強度，極限狀態(tài)函數(shù)可以表示為：

式中：σS為屈服極限應(yīng)力。根據(jù)前軸的材料特性，屈服極限應(yīng)力σS為460 MPa。

工字梁的幾何參數(shù)a，b，c，h和載荷M0和T0均為獨立正態(tài)分布變量，分布參數(shù)見表1。

表1 汽車前軸模型變量的分布參數(shù)

利用本文提出的動態(tài)模型基于方差的全局靈敏度分析，研究表1 中前軸模型變量對極限狀態(tài)函數(shù)輸出g的不確定性的影響，可以獲得主靈敏度指標、總靈敏度指標、準-主靈敏度指標和準-總靈敏度指標，見表2。準-主靈敏度指標Si和總靈敏度指標的柱狀圖，如圖3 所示；主靈敏度指標SXi和準-總靈敏度指標的柱狀圖，如圖4所示。

表2 汽車前軸模型全局靈敏度指標

圖3 主靈敏度指標和準-總靈敏度指標

圖4 準-主靈敏度指標和總靈敏度指標

根據(jù)全局靈敏度分析結(jié)果，可以得出以下結(jié)論：主靈敏度指標給出的變量重要性排序為T0＞c＞b＞a＞M0＞h，反映變量對平均模型Ez(g)的主影響程度；準-總靈敏度指標給出的重要性排序為T0＞c＞b＞a＞M0＞h，反映變量對平均模型Ez(g)的總影響程度；準-主靈敏度指標給出的重要性排序為T0＞c＞b＞a＞M0＞h，反映變量對每一瞬態(tài)輸出g(z)的主影響的平均；總靈敏度指標給出的重要性排序為T0＞c＞b＞a＞M0＞h，反映變量對每一瞬態(tài)輸出g(z)的總影響的平均。Sz≠0 表明g的瞬態(tài)均值隨著z值的變化而變化；表明模型g隨著z值的變化而變化。

依據(jù)以上靈敏度分析結(jié)果，可以對前軸強度極限狀態(tài)函數(shù)模型參數(shù)的不確定性影響關(guān)系有一個清晰的認識，本例中不同靈敏度指標反映出來的變量重要性排序基本一致，且其中基礎(chǔ)轉(zhuǎn)矩T0較其他變量表現(xiàn)出更大的影響，因此，在前軸的分析、設(shè)計中需要重點考慮其不確定性，以有效降低前軸強度的不確定性。

4 結(jié)論

本文在深入研究Sobol 基于方差的全局靈敏度分析基礎(chǔ)上，引入模型變化的不確定性，提出動態(tài)模型基于方差的全局靈敏度分析。

1）建立了動態(tài)模型基于方差的全局靈敏度分析，將輸出響應(yīng)不確定性影響因素分解為：輸入變量單獨的影響、模型變化單獨影響、輸入變量各階影響、輸入變量與模型變化的交叉影響。

2）對動態(tài)模型方差貢獻進行了解析，詳細論述其反映的變量、模型及交叉對輸出響應(yīng)不確定性的影響關(guān)系。

3）定義了準-方差貢獻，從反映的實際意義角度完善了方差貢獻及靈敏度指標，以汽車前軸強度靈敏度分析為例，闡述了5 類實用靈敏度指標的具體應(yīng)用。