■深圳技術(shù)大學(xué)附屬中學(xué) 邱崇洋

對(duì)于復(fù)雜的排列組合問(wèn)題,必須講究解題方法。常言道:兵來(lái)將擋,水來(lái)土掩。那么,破解復(fù)雜的排列組合問(wèn)題有哪些方法呢?

一、構(gòu)造模型法

例1馬路上有編號(hào)為1,2,3…,9這9盞路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,則滿(mǎn)足條件的關(guān)燈方案有多少種?

解析:把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型,在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3盞不亮的燈,有種方法,所以滿(mǎn)足條件的關(guān)燈方案有10種。

點(diǎn)評(píng):一些不易理解的排列組合題,如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型(如占位填空模型、排隊(duì)模型、裝盒模型等),可使問(wèn)題容易解決。

二、分解與合成法

例2(1)30 030能被多少個(gè)不同偶數(shù)整除?

(2)正方體8 個(gè)頂點(diǎn)可連成多少對(duì)異面直線?

解析:(1)先把30 030 分解成質(zhì)因數(shù)的形式:30 030=2×3×5×7×11×13。

依題意知偶因數(shù)2必取,再?gòu)?,5,7,11,13這5個(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)相乘。

由此可見(jiàn)，會(huì)計(jì)內(nèi)容在與時(shí)俱進(jìn)，變革速度很快，有可能給學(xué)生講授的財(cái)務(wù)會(huì)計(jì)內(nèi)容，還沒(méi)等學(xué)生畢業(yè)，所學(xué)內(nèi)容可能就已經(jīng)改變了，比如現(xiàn)在的經(jīng)融工具和收入的修改等。

(2)因?yàn)樗拿骟w中僅有3對(duì)異面直線,所以可將問(wèn)題分解成正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成多少個(gè)不同的四面體。

所以8個(gè)頂點(diǎn)可連成的異面直線有3×58=174(對(duì))。

點(diǎn)評(píng):分解與合成策略是排列組合問(wèn)題的一種最基本的解題策略。把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解成幾個(gè)小問(wèn)題逐一解決,然后依據(jù)問(wèn)題分解后的結(jié)構(gòu),用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理將問(wèn)題合成,從而得到問(wèn)題的答案,每個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題都要用到這種解題策略。

三、間接法

例38張卡片分別標(biāo)數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,從中取出6張卡片排成3行2 列,要求3行中僅有中間行的兩張卡片上的數(shù)字之和為5,則不同的排法共有( )。

A.1 344種 B.1 248種

C.1 056種 D.960種

解析:中間行數(shù)字之和為5 只有兩種情況,即1,4和2,3。但這兩組不能同時(shí)占據(jù)兩行,以1,4占中間行為例,則在安排時(shí)既要考慮另一組2,3是否同時(shí)被選中,還要考慮同時(shí)被選中時(shí)不能呆在同一行,情況比較復(fù)雜。所以考慮間接法,先求出中間數(shù)之和為5 的所有情況,再減去兩行和為5的情形。

先考慮中間和為5的所有情況:

再考慮兩行和為5的情況:

從而僅有中間行為5的情況有1 440-192=1 248(種),選B。

點(diǎn)評(píng):對(duì)于復(fù)雜的排列組合問(wèn)題,當(dāng)從正面入手解決比較困難時(shí),應(yīng)轉(zhuǎn)變思維角度,從反面考慮,這種方法體現(xiàn)了“正難則反”的解題思路。

四、轉(zhuǎn)化法

例4(1)平面上給定10個(gè)點(diǎn),任意三點(diǎn)不共線,將10個(gè)點(diǎn)中的任意兩個(gè)點(diǎn)連成線段,求這些線段的交點(diǎn)個(gè)數(shù)(假設(shè)這些交點(diǎn)都不重合)。

(2)某火車(chē)站共設(shè)有4個(gè)安檢入口,每個(gè)入口每次只能進(jìn)入1位乘客,求一個(gè)4 人小組進(jìn)站的不同方案種數(shù)。

解析:(1)本題如果采用直接法,覺(jué)得無(wú)從下手,但注意到一個(gè)平面四邊形的對(duì)角線只有一個(gè)交點(diǎn),那原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為平面上10個(gè)無(wú)三點(diǎn)共線的點(diǎn)可以構(gòu)成多少個(gè)四邊形。所以這些線段的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為=210。

(2)設(shè)4 名乘客中分別有z1,z2,z3,z4個(gè)人在第1個(gè)、第2個(gè)、第3 個(gè)、第4 個(gè)安檢口通過(guò),則z1+z2+z3+z4=4,即問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程z1+z2+z3+z4=4的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù),共有種情況,每一種進(jìn)站情況的4個(gè)位置由4個(gè)人去站,有種方法。

所以一個(gè)4人小組進(jìn)站的不同方案數(shù)為840。

點(diǎn)評(píng):處理復(fù)雜的排列組合問(wèn)題時(shí)可以把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題,通過(guò)解決這個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題從而解決原來(lái)的問(wèn)題。

五、定序問(wèn)題——除法倍縮法

例5甲、乙、丙、丁、戊這5 個(gè)人排成一排照相,且甲、乙不在丙的同側(cè),則不同的排法共有( )種。

A.48 B.40 C.60 D.64

解析:先對(duì)5人進(jìn)行全排列,則不同的排法有種。由于甲、乙、丙的不同順序共有種,而甲、乙不在丙的同側(cè)的相對(duì)順序有甲→丙→乙和乙→丙→甲這兩種情況,占了總數(shù)的,故不同的排法共有(種)。選B。

點(diǎn)評(píng):當(dāng)n個(gè)人排成一列并且其中m人位置固定時(shí),一般可先將n個(gè)人全排列,再除以m個(gè)人全排列總數(shù),即,這就是所謂的“除法倍縮”策略。