■河南省洛陽(yáng)市孟津區(qū)第一高級(jí)中學(xué) 聶曉紅

新教材人教A 版《數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)》第41頁(yè)第7題(題目1)和第11題(題目2),出現(xiàn)了由遞推公式構(gòu)造新數(shù)列并求數(shù)列通項(xiàng)的題型,現(xiàn)將求數(shù)列通項(xiàng)的常見(jiàn)基本方法總結(jié)如下,以供大家參考。

題目1.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,且滿足an+1+an=3×2n。

(1)求證:{an-2n}是等比數(shù)列。

(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn。

解析:(1)由an+1+an=3×2n,可得an+1-2n+1=-(an-2n)。因?yàn)閍1=1,所以a1-2=-1,從而an+1-2n+1=-(an-2n)≠0。

類型一、形如an-an-1=f(n),用累加法構(gòu)造常見(jiàn)數(shù)列

類型三、形如an=pan-1+q(p ≠0),用待定系數(shù)法構(gòu)造常見(jiàn)數(shù)列

例3已知數(shù)列{an}滿足a1=50,2an+1=an-1,且滿足不等式akak+1<0的k(k為正整數(shù))的值為_(kāi)___。

分析:先用待定系數(shù)法求得{an}的通項(xiàng),進(jìn)而解不等式akak+1<0求得k的值。

練習(xí)3:已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且an+1=2an+1,則an=_____。

答案:an=2n-1。

類型四、形如panan-1=an-an-1,取倒數(shù)后構(gòu)造常見(jiàn)數(shù)列

例4已知數(shù)列滿足an+1·an=anan+1,,則a2023=____。

分析:由遞推公式可知為等差數(shù)列,根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得結(jié)果。

解:因?yàn)閍n+1·an=an-an+1,a1=,所是以2為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列。

類型五、形如an=pan-1+qn(p,q≠0),除以因式qn 后構(gòu)造常見(jiàn)數(shù)列

又21a1=3,所以數(shù)列{2nan}是以3為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列。

所以λ≥2,實(shí)數(shù)λ的最小值為2。

練習(xí)5:在數(shù)列{an}中,an+1=3an+(-1)n,a1=1,則an=_____。

類型六、直接構(gòu)造常見(jiàn)數(shù)列

例6已知數(shù)列滿足a1,a2分別為直線2x+y-2=0 在x軸,y軸上的截距,且,則an=_____。

分析:原式可化為an+2=2an+1+3an,可用待定系數(shù)法設(shè)an+2+xan+1=t(an+1+xan),求出x=1,t=3,借助等比數(shù)列求解。

解:由題易知a1=1,a2=2,可化為an+2=2an+1+3an。

設(shè)an+2+xan+1=t(an+1+xan),即an+2=(t-x)an+1+xtan,所以解得x=1,t=3。

故an+2+an+1=3(an+1+an),{an+1+an}是以a1+a2=3 為首項(xiàng),3 為公比的等比數(shù)列,即an+1+an=3n。

練習(xí)6:已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=4,且an+1-3an+2an-1=1,n≥2,n∈N*,則an=_____。

答案:an=2n+1-n-2。