馬曉丹　趙星玉

摘要 在小學(xué)低段幾何教學(xué)中促進(jìn)學(xué)生幾何思維從直觀水平向描述、分析水平發(fā)展是必要的。低段學(xué)生幾何思維的進(jìn)階路徑包括三個(gè)階段：一是接收外界刺激階段，借助多種感官發(fā)展學(xué)生直觀水平；二是信息的編碼與存儲(chǔ)階段，借助比較和分類發(fā)展學(xué)生描述水平；三是信息的提取階段，借助想象發(fā)展學(xué)生分析水平。

關(guān)? 鍵? 詞 幾何思維 直觀水平 描述水平 分析水平

引用格式 馬曉丹，趙星玉.小學(xué)低段學(xué)生幾何思維的進(jìn)階路徑[J].教學(xué)與管理，2023（29）：31-33.

隨著數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)化程度的不斷提升，數(shù)學(xué)思維表現(xiàn)出越來越強(qiáng)的學(xué)科特殊性，并逐步形成了一些獨(dú)有的思維形式，幾何思維就是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要概念性思維之一[1]。數(shù)學(xué)教育家范·希爾夫婦提出的幾何思維發(fā)展理論是具有典型意義的幾何思維研究之一，該理論將幾何思維劃分為直觀、描述/分析、抽象/關(guān)聯(lián)、形式推理、嚴(yán)密性/元認(rèn)知五個(gè)水平，一些學(xué)者還在這五個(gè)水平之前設(shè)置了前認(rèn)知水平。幾何思維的發(fā)展貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進(jìn)程，其中“直觀”是小學(xué)低段幾何學(xué)習(xí)需要重點(diǎn)發(fā)展的思維能力，但這一學(xué)段的學(xué)生不應(yīng)該止于直觀。正如鄭毓信教授指出：“如果小學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)始終停留于所謂的直觀幾何，也就是圖形的直觀感知，卻沒有認(rèn)識(shí)到必須超越直觀深入地去研究各個(gè)圖形的特征和相互聯(lián)系，這將被看成是一種‘淺度學(xué)習(xí)?！盵2]在低段數(shù)學(xué)教學(xué)中，促進(jìn)學(xué)生幾何思維從直觀水平向描述、分析水平發(fā)展是必要的。

學(xué)生在一年級(jí)上學(xué)期和下學(xué)期分別認(rèn)識(shí)立體圖形和平面圖形。從內(nèi)容進(jìn)階的角度來看，學(xué)生需要經(jīng)歷由體到面，由整體到部分的認(rèn)識(shí)過程。從幾何思維進(jìn)階的角度看，學(xué)生認(rèn)識(shí)立體圖形和平面圖形的過程都遵循著直觀、描述、分析三個(gè)層次。為探索低年級(jí)學(xué)生幾何思維進(jìn)階的實(shí)施路徑，筆者從這兩個(gè)單元的教學(xué)目標(biāo)（見表1）展開討論。

目標(biāo)1是對(duì)幾何圖形外觀的整體認(rèn)識(shí)，目標(biāo)2是對(duì)圖形特征的理解，目標(biāo)3是根據(jù)圖形的部分特征對(duì)圖形整體的識(shí)別。目標(biāo)1—3分別對(duì)應(yīng)幾何思維的直觀化水平、描述水平和分析水平，在達(dá)成的順序上遵循幾何思維進(jìn)階的順序。每一項(xiàng)教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)都以幾何思維的層層遞進(jìn)為目的（如圖1）?；顒?dòng)1借助多種感官接收外界刺激，以實(shí)現(xiàn)幾何思維直觀化；活動(dòng)2在比較和分類中，對(duì)信息進(jìn)行編碼和存儲(chǔ)，以實(shí)現(xiàn)幾何思維的描述水平；活動(dòng)3借助想象促進(jìn)信息的提取，以發(fā)展學(xué)生的分析水平。

一、接收外界刺激：借助多種感官發(fā)展學(xué)生直觀水平

兒童在達(dá)到直觀化水平之前，只能根據(jù)平面圖形和對(duì)應(yīng)立體圖形的某個(gè)相似點(diǎn)，片面地對(duì)圖形類別作出判斷，表現(xiàn)為不能區(qū)分平面圖形和其對(duì)應(yīng)的立體圖形。例如，混淆長(zhǎng)方形和長(zhǎng)方體、圓和球等。小學(xué)低段學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)需要借助手、眼、口、腦等身體感官發(fā)展其直觀水平。這是信息加工的初始階段，即通過觸覺、聽覺、視覺等接收外部環(huán)境中的刺激。弗賴登塔爾稱之為“直觀感知的低層次活動(dòng)”，其目的是“讓學(xué)生用肉眼觀察，借助手腦并用，進(jìn)而將物體現(xiàn)實(shí)抽象為幾何對(duì)象”[3]。

在“認(rèn)識(shí)立體圖形”單元中，學(xué)生從生活中的實(shí)物出發(fā)，通過看、摸、推、滾等方法，整體感知物體的幾何屬性，忽略顏色、圖案、功能等非幾何屬性。在“認(rèn)識(shí)平面圖形”單元中，學(xué)生將注意力聚焦到立體圖形的平面上，通過“描”或“印”的方法將立體圖形上的平面“繪制”在紙面上。學(xué)生借助多種感官進(jìn)行觀察、操作，所積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為建立立體/平面圖形的類屬關(guān)系做準(zhǔn)備。

學(xué)生在直觀水平上經(jīng)歷的轉(zhuǎn)化是雙向的：一方面是現(xiàn)實(shí)生活向數(shù)學(xué)世界的轉(zhuǎn)化，另一方面是數(shù)學(xué)世界向現(xiàn)實(shí)生活的轉(zhuǎn)化。教師不僅可以提問“保溫杯的形狀是怎樣的？”“牙膏盒上各個(gè)面的形狀是什么樣的？”還可以提出“生活中還有哪些物品是這樣的形狀？”“你從生活中的哪一件物品上看到過這樣的面？”等問題。此時(shí)，學(xué)生逐漸降低多種感官的依賴，通過回憶、再認(rèn)等行為發(fā)展更高層次的幾何思維。

二、信息的編碼與存儲(chǔ)：借助比較和分類發(fā)展學(xué)生描述水平

小學(xué)低段學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)需要在直觀水平的基礎(chǔ)上發(fā)展為描述水平，具體表現(xiàn)為能夠概括出圖形的特征，能夠根據(jù)特征對(duì)圖形進(jìn)行分類。類屬關(guān)系的形成標(biāo)志著學(xué)生已有知識(shí)結(jié)構(gòu)的重組和改建，此時(shí)學(xué)生接收的外部信息不再是一個(gè)一個(gè)的獨(dú)立事件，而是以結(jié)構(gòu)化的方式重新編碼，以“類”的形式存儲(chǔ)在長(zhǎng)時(shí)記憶中。

分類是數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)，比較為分類提供依據(jù)。在比較和分類的過程中，圖形本質(zhì)屬性的清晰化是形成具體概念的基礎(chǔ)。在“認(rèn)識(shí)立體圖形”單元，教師引導(dǎo)學(xué)生比較球、圓柱、長(zhǎng)方體和正方體的特征，并嘗試進(jìn)行分類活動(dòng)。學(xué)生首先在直觀操作的基礎(chǔ)上，根據(jù)“能否滾動(dòng)”將球、圓柱與長(zhǎng)、正方體區(qū)分開來；進(jìn)一步，根據(jù)“有無平面”將圓柱和球區(qū)分開，再根據(jù)“面的特點(diǎn)”將長(zhǎng)方體和正方體區(qū)分開。

類似地，在“認(rèn)識(shí)平面圖形”單元，教師引導(dǎo)學(xué)生比較長(zhǎng)方形、正方形、三角形和圓的特征，并嘗試進(jìn)行分類活動(dòng)。通過觀察，學(xué)生首先根據(jù)“有無曲邊”或者“有無角”，將圓與其他圖形區(qū)分開；再根據(jù)“邊的數(shù)量”或“角的數(shù)量”將三角形與長(zhǎng)方形、正方形區(qū)分開；進(jìn)一步，根據(jù)“方方正正”這一特點(diǎn)將正方形和長(zhǎng)方形區(qū)分開。教師通過發(fā)起生生互動(dòng)和師生互動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在比較的基礎(chǔ)上區(qū)分，讓每位學(xué)生嘗試描述分類背后的依據(jù)。

一年級(jí)不要求掌握?qǐng)D形的具體概念，學(xué)生對(duì)圖形特征的描述多是運(yùn)用兒童自己的語言，比如“立得住的”“平平的”“尖尖的”“方方正正的”等等。分類是信息加工的一種方式，更是一種數(shù)學(xué)思想方法?！胺忠环帧被顒?dòng)使學(xué)生頭腦中已有的關(guān)于立體圖形或平面圖形的“印象”更加清晰化，學(xué)生能用自己的語言描述圖形間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，為今后形成圖形概念做準(zhǔn)備。

三、信息的提?。航柚胂蟀l(fā)展學(xué)生分析水平

小學(xué)低段學(xué)生需要進(jìn)一步發(fā)展幾何思維的分析水平，具體表現(xiàn)為根據(jù)圖形的特征識(shí)別圖形和圖形組合，這一過程涉及到信息的提取。信息的提取是對(duì)儲(chǔ)存在長(zhǎng)時(shí)記憶中的信息的回憶和再現(xiàn)。信息能否被快速、準(zhǔn)確地提取與信息的存儲(chǔ)方式有密切聯(lián)系。相對(duì)于碎片化的信息，結(jié)構(gòu)化的、整合后的信息更容易被提取。也就是說，信息的編碼和存儲(chǔ)對(duì)信息的提取至關(guān)重要。在信息提取的過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助想象，增加學(xué)生信息提取的線索，排除相似刺激帶來的干擾。

比如，教師可以設(shè)計(jì)“根據(jù)局部特征想象圖形全貌”的活動(dòng)，逐次提供有關(guān)圖形特征的信息，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形展開猜想和驗(yàn)證。在“認(rèn)識(shí)立體圖形”單元，教師可以提供立體圖形的部分特征，學(xué)生根據(jù)信息“圓圓的”，排除掉長(zhǎng)方體、正方體這兩種不符合信息的立體圖形，學(xué)生根據(jù)補(bǔ)充信息“上下一樣粗”，鎖定圓柱這一立體圖形。

類似地，在“認(rèn)識(shí)平面圖形”單元，教師同樣可以提供平面圖形的部分特征，比如用書本擋住圖形的一部分。學(xué)生根據(jù)信息（圖2-1），提出自己的思考“一定是三角形嗎？”“還有哪些圖形有這樣的角呢？”緊接著，教師讓擋住的圖形多露出一部分，學(xué)生根據(jù)補(bǔ)充信息（圖2-2），排除掉“三角形”，并引發(fā)持續(xù)的思考“一定是正方形嗎？”“還有可能是哪些圖形呢？”

此外，根據(jù)圖形特征對(duì)圖形進(jìn)行組合也是幾何思維達(dá)到分析水平的表現(xiàn)。例如，人教版和北師大版教材都設(shè)計(jì)了“搭積木”和“七巧板拼擺”的活動(dòng)。學(xué)生并非停留在圖形的直觀表征上，而是提取有關(guān)圖形點(diǎn)、線、面特征的信息，將合適的立體/平面圖形組合在一起，借助想象創(chuàng)造出多種可能的組合。

范·希爾夫婦認(rèn)為，決定學(xué)生幾何思維發(fā)展的主要因素不是年齡，而在很大程度上依賴于教師的課程[4]?！罢J(rèn)識(shí)立體圖形”和“認(rèn)識(shí)平面圖形”兩單元的課程建構(gòu)正是遵循了學(xué)生幾何思維的進(jìn)階規(guī)律。兒童并不是“讀出”他們的空間環(huán)境，而是通過主動(dòng)操作周圍環(huán)境中的形狀，建構(gòu)他們對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)[5]。多種感官的使用，以及比較、分類和想象等方法的運(yùn)用有效促進(jìn)了低年級(jí)學(xué)生的幾何思維進(jìn)階。值得注意的是，學(xué)生在一年級(jí)達(dá)成的描述和分析兩個(gè)層次的幾何思維需要在高年級(jí)給予持續(xù)的關(guān)注。當(dāng)學(xué)生在中、高學(xué)段再次學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形、正方形、三角形和圓時(shí)，學(xué)生在描述和分析水平上的表現(xiàn)會(huì)得到進(jìn)一步深化。以三角形為例，學(xué)生超越了“三條邊”和“三個(gè)角”的描述，形成了具體的數(shù)學(xué)概念（由三條線段順次首尾相接組成的圖形），學(xué)生對(duì)三角形的分析不再局限于外部特征的分析，而是基于三角形的穩(wěn)定性（定性的）和三邊關(guān)系（定量的）展開討論。此外，學(xué)生的幾何思維還將在有關(guān)周長(zhǎng)、面積的學(xué)習(xí)中，向更高層次的抽象、關(guān)聯(lián)和推理水平發(fā)展。

參考文獻(xiàn)

[1] 鄭毓信.數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)[M].南京：江蘇教育出版社，2008：66.

[2] 鄭毓信.數(shù)學(xué)深度教學(xué)的理論與實(shí)踐[M].南京：江蘇教育出版社，2020：139.

[3] 弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，等譯.上海：上海教育出版社，1995：278.

[4] 鄭毓信.小學(xué)數(shù)學(xué)教育的理論與實(shí)踐[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2017：150.

[5] 克萊門茨，薩拉馬.兒童早期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教育：基于學(xué)習(xí)路徑的研究[M].張俊，陶瑩，李正清，等譯.北京：教育科學(xué)出版社，2020：217.

［責(zé)任編輯：陳國(guó)慶］