高嫄嫄,焦彥鵬,王 鵬,劉 志

(1. 燕山大學(xué) 建筑工程與力學(xué)學(xué)院,河北 秦皇島 066004; 2. 山東萊克工程設(shè)計有限公司,山東 東營 257000; 3. 天津市貳拾壹站檢測技術(shù)有限公司,天津 300110)

0 引 言

瀝青路面結(jié)構(gòu)在車輛荷載作用下的動力特性受到結(jié)構(gòu)幾何尺寸、材料性能及邊界條件等多因素的影響。在以往的路面結(jié)構(gòu)設(shè)計中,通常將瀝青路面結(jié)構(gòu)簡化為半空間層間連續(xù)的彈性層狀體系結(jié)構(gòu)[1], 但這并不符合路面結(jié)構(gòu)的真實工作狀態(tài)。由于瀝青混合料材料的黏彈性特性,若將瀝青面層簡化為線彈性體對路面結(jié)構(gòu)受力特性進行研究,必然會存在一定的誤差。學(xué)者們已認(rèn)識到這一問題并開展了相關(guān)研究工作[2-3],研究表明在瀝青路面力學(xué)性能計算過程中,將瀝青層視為黏彈性材料是十分必要的[4-5]。同樣,由于瀝青路面各結(jié)構(gòu)層材料不同及施工條件和施工技術(shù)的限制,使得瀝青路面結(jié)構(gòu)在工作中,層間接觸并不完全連續(xù),也非完全光滑,而是介于兩者之間的一種非完全連續(xù)狀態(tài)[6-7]。不同層間的黏結(jié)條件對瀝青路面結(jié)構(gòu)力學(xué)響應(yīng)的計算結(jié)果有何影響,是一個值得探討的問題。

筆者開展了層間非完全連續(xù)瀝青路面動力響應(yīng)的解析求解工作。通過兩類積分變換將位移控制偏微分方程組轉(zhuǎn)化為常微分方程組進行求解;采用轉(zhuǎn)換矩陣表征層間黏結(jié)狀態(tài),并通過傳遞矩陣對層狀體系問題進行求解;獲得考慮層間非完全連續(xù)條件的瀝青路面動力響應(yīng)的解析解,分析層間接觸狀態(tài)對路表彎沉計算結(jié)果的影響。

1 瀝青層黏彈性本構(gòu)模型

瀝青混合料具有典型的黏彈性特性,常采用的本構(gòu)模型有Maxwell模型、Kelvin模型、Burgers模型等[8]。采用修正的Burgers模型(圖1[9]),其為Burgers模型的進一步改善,能更好地反映出瀝青混合料永久變形的“固結(jié)效應(yīng)”。圖1中:σ為應(yīng)力;E11、E12分別為Maxwell模型、Kelvin模型中的彈性模量;η1、η2分別為Maxwell模型、Kelvin模型中的黏性系數(shù)。

圖1 修正的Burgers模型

該模型將Burgers模型中串聯(lián)的外部黏壺元件變更為廣義黏壺,其黏度如式(1):

η1(t)=AeBt

(1)

式中:A、B均為外部黏壺黏度系數(shù);t為加載時間。

Burgers模型的本構(gòu)方程為:

(2)

將η1=AeBt帶入式(2),并對式(2)的時間變量t進行Laplace變換,可得到黏彈性算子在Laplace域的表達式:

E(s)=σ(s)/ε(s)=[sA(s+B)E11(E12+sη2)]/{sA(s+B)(E11+E12+sη2)+E11[-B2E12-s2Bη2+B3η2+s(sE11+η2)]}

(3)

式中:s為Laplace域內(nèi)與時間t對應(yīng)的變量。

2 傳遞矩陣的推導(dǎo)

層間非完全連續(xù)瀝青路面的計算模型如圖2。其中:P(t)為車輛荷載;R為荷載半徑;hi為瀝青路面結(jié)構(gòu)第i層厚度;μi為第i層泊松比;Ei為第i層模量。

圖2 多層非完全連續(xù)瀝青路面模型

極坐標(biāo)下動力平衡方程如式(4)、式(5):

(4)

(5)

式中:σr、σθ、σz分別為r、θ、z方向上的應(yīng)力;u、w分別為水平、豎直方向的位移;τzr為剪切應(yīng)力;ρ為體密度。

用位移表示應(yīng)力的物理方程,如式(6)～式(9):

(6)

(7)

(8)

(9)

將式(6)～式(9)帶入式(4)、式(5)并化簡,可得由位移表示的動力平衡方程,如式(10)、式(11):

(10)

(11)

式(6)～式(11)均為關(guān)于z,r,t的偏微分方程,為便于求解,將式(8)～式(11)中的時間變量t進行Laplace積分變換并整理可得:

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

將式(16)～式(19)統(tǒng)一表示為矩陣形式:

(20)

由現(xiàn)代控制理論[10],式(20)的解可表示為:

(21)

由邊界條件可確定exp[zA(ξ)]的具體表達形式,用矩陣T表示。T建立了應(yīng)力與位移在各結(jié)構(gòu)層間的傳遞關(guān)系,即為傳遞矩陣,如式(21):

(22)

即:

(23)

式(23)中前兩個方程式可以寫為:

(24)

當(dāng)z=0時,由式(24)可得:

(25)

將式(25)化簡并移項可得應(yīng)力與位移之間的關(guān)系式:

(26)

3 層間非完全連續(xù)條件的表征

采用Goodman模型來表征層間接觸狀態(tài),即層間接觸條件如式(27):

τzi+1=τzi=ki(ui+1-ui)

(27)

整理可得:

(28)

式中:τzi、ui分別為第i層的底應(yīng)力、位移;τzi+1,ui+1分別為第i+1層頂應(yīng)力、位移;ki為層間抗剪系數(shù)。

則第i+1層頂與第i層底的應(yīng)力和位移可表示為:

(29)

(30)

令TMc=TN-1TN-2…Ti+1TcTi…T2T1

則:

(31)

式中:TMc為前N-1層傳遞矩陣的累乘,可稱為整體傳遞矩陣,仍是一個4×4的矩陣。

這樣就建立了層間非完全連續(xù)瀝青路面任意深度ki→∞處的狀態(tài)向量與初始狀態(tài)向量之間的聯(lián)系。通過相應(yīng)的積分逆變換和邊界條件就可以得到路面結(jié)構(gòu)中任意位置、任意時刻的應(yīng)力與位移。

4 正確性驗證

為驗證筆者公式推導(dǎo)的正確性,采用如圖2的路面結(jié)構(gòu),將修正的Burgers模型退化為Burgers模型,將層間接觸條件視為完全連續(xù),即ki→∞,采用與文獻[3]相同的路面結(jié)構(gòu)參數(shù),應(yīng)用前述推導(dǎo)公式計算路表彎沉值,并與文獻[3]進行對比,如圖3。

圖3 與文獻[3]計算結(jié)果的對比

圖3中兩條曲線幾乎重合,可以認(rèn)為筆者推導(dǎo)的公式正確。

5 計算實例分析

為探討層間非完全連續(xù)條件對瀝青路面路表彎沉計算結(jié)果的影響。選取典型的四層瀝青路面結(jié)構(gòu)(圖2)。路面幾何尺寸與材料參數(shù)如表1,車輛荷載為P(t)=psin2(π/Td),p=0.7 MPa。Td為荷載作用時間,Td=0.32 ms。分別考慮了層間非完全連續(xù)性條件發(fā)生路面中的不同位置及面層與基層的黏結(jié)強度因素,計算了荷載中心處路表彎沉響應(yīng),結(jié)果如圖4、圖5。分析了面層與基層間黏結(jié)強度與路表彎沉計算結(jié)果的關(guān)聯(lián)性,如圖6。

表1 瀝青路面模型參數(shù)

圖4 不同位置層間非完全連續(xù)的路表彎沉響應(yīng)

圖5 不同黏結(jié)強度的路表彎沉響應(yīng)

圖6 彎沉隨層間黏結(jié)強度變化對比計算結(jié)果

圖4為瀝青路面中不同位置處存在層間非完全連續(xù)情況時的路表彎沉的計算結(jié)果。工況1～工況4分別為路面各結(jié)構(gòu)層層間完全連續(xù)、面層與基層、基層與底基層和底基層與土基的層間非完全連續(xù)并且ki=109N/m3。由圖4可知:工況2～工況4對瀝青路面路表彎沉的影響程度依次降低,狀況2(面層與基層非完全連續(xù))對瀝青路面路表彎沉的影響最大,彎沉峰值為36,相比層間連續(xù)狀態(tài),彎沉峰值升高了12.4%;工況4(底基層與土基非完全連續(xù))對瀝青路面路表彎沉的影響最小,彎沉峰值為30,基本接近層間完全連續(xù)狀態(tài)(29.9)。

面層與基層間的層間黏結(jié)強度對路表彎沉的影響最大。由圖5可知:當(dāng)層間黏結(jié)強度大于k1=1012N/m3時,路表彎沉峰值為29.9(0.01 mm),彎沉響應(yīng)曲線接近于層間完全連續(xù)狀態(tài);當(dāng)層間黏結(jié)強度逐漸減小時,任意時刻的路表彎沉響應(yīng)均不斷增大,所以在路面結(jié)構(gòu)設(shè)計時應(yīng)對面層與基層的黏結(jié)強度加以考慮。

由圖6可知:不同時刻彎沉值隨面-基層黏結(jié)強度的變化有相同的變化趨勢,彎沉值w都隨k1的增加而減小,并且k1在108～1010N/m3范圍內(nèi)時這種變化趨勢最為明顯。這也說明k1為108～1010N/m3時,對彎沉的計算結(jié)果影響最顯著,再次證明在此區(qū)間是不能將層間黏結(jié)條件簡單的視為完全滑移或者完全連續(xù)的狀態(tài)。

6 結(jié) 論

從動態(tài)平衡方程出發(fā),結(jié)合坐標(biāo)變換,考慮路面結(jié)構(gòu)層間結(jié)合條件,推導(dǎo)了車輛荷載作用下層間非完全連續(xù)瀝青路面動力響應(yīng)。通過實例計算,分析非完全連續(xù)層間條件出現(xiàn)的位置及層間黏結(jié)強度對瀝青路面路表彎沉響應(yīng)的影響。通過實例計算分析可知:

面-基層的層間黏結(jié)狀態(tài)對路表彎沉響應(yīng)的影響最大;實例中當(dāng)k1=108～1010N/m3時,其對彎沉計算結(jié)果的影響最為顯著;面-基層間黏結(jié)強度的增加可減低路表彎沉。在路面施工過程中不能實現(xiàn)面-基層間的完全連續(xù),但可盡量是層間的黏結(jié)強度控制在一個合理的范圍,提升路面服務(wù)能力,延長路面使用壽命。