沈金興

(浙江省桐鄉(xiāng)市鳳鳴高級(jí)中學(xué) 314500)

1 高中數(shù)學(xué)學(xué)科德育

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(下簡(jiǎn)稱新課標(biāo))的基本理念是“學(xué)生發(fā)展為本，立德樹人，提升素養(yǎng)”，并明確將“數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的功能”作為數(shù)學(xué)課程的性質(zhì)之一，因此數(shù)學(xué)也需發(fā)揮其學(xué)科德育功效.

數(shù)學(xué)學(xué)科德育就是指數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行德育滲透，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值[1].要在數(shù)學(xué)課堂上滲透學(xué)科德育，需挖掘教材中所蘊(yùn)藏著的育人素材，而行之有效的途徑之一就是融入數(shù)學(xué)文化，并以數(shù)學(xué)史為載體，潛移默化地發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的德育功能.

人教社2019年出版的《普通高中教科書數(shù)學(xué)A版》(下簡(jiǎn)稱新教材)是根據(jù)新課標(biāo)理念編寫的，其中有些欄目增添了許多值得挖掘的育人素材，比如選學(xué)內(nèi)容中的“閱讀與思考”“探究與發(fā)現(xiàn)”“文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作”等.鑒于此，筆者對(duì)人教A版必修第二冊(cè)選學(xué)內(nèi)容“探究與發(fā)現(xiàn)”中的“祖暅原理與柱體、錐體的體積”進(jìn)行了一次課堂實(shí)踐，充分挖掘了教材中的育人元素，并將數(shù)學(xué)學(xué)科德育要素潤(rùn)物細(xì)無聲地融入其中.

2 教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐

2.1 教學(xué)定位

學(xué)情分析：新教材中的選學(xué)內(nèi)容“祖暅原理與柱體、錐體的體積”，安排在8.3節(jié)“簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積”之后的“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目中，此時(shí)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)就是柱、錐、臺(tái)、球的體積公式，腦中還沒有形成理論體系，故立體感差，空間想象力弱是學(xué)生學(xué)習(xí)的邏輯起點(diǎn).

教學(xué)內(nèi)容分析：“祖暅原理”作為原理通俗易懂，在1990年版的人教社教材是作為公理來處理的，故只需說明原理正確即可.那么這個(gè)原理是在什么情況下發(fā)現(xiàn)的？怎么發(fā)現(xiàn)的？該原理發(fā)現(xiàn)后有什么用？等等，這些應(yīng)該是本節(jié)課所要解決的問題.

查閱文獻(xiàn)[2]，發(fā)現(xiàn)該原理正好能完整地呈現(xiàn)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的研究工作，體現(xiàn)了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的輝煌成就，其中還蘊(yùn)涵著很多育人素材，是一次給學(xué)生增加文化自信，提升民族自豪感的極佳機(jī)會(huì).因此筆者將教學(xué)內(nèi)容定位為：以探究祖暅原理為契機(jī)，來一次重走中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的發(fā)現(xiàn)之旅，寓德育于課堂，進(jìn)行一場(chǎng)愛國(guó)主義教育，從而實(shí)現(xiàn)從數(shù)學(xué)到文化、從文化到育人的教學(xué)目標(biāo).

2.2 教學(xué)過程

2.2.1 承上啟下，提升思維

師：同學(xué)們，到目前為止，我們已知道了哪些體積公式？

師：知道這些體積公式是怎么得來的嗎？

生1：不清楚，記得讀小學(xué)時(shí)，好像數(shù)學(xué)老師往容器里倒水后做實(shí)驗(yàn)得出的.

生2：初中數(shù)學(xué)老師好像是通過剪拼圖形得來的.

師：很好，大家還有點(diǎn)印象，但這些都是直觀感知.其實(shí)，我們前面學(xué)的體積公式也是直接告知的，你們覺得這樣嚴(yán)謹(jǐn)嗎？是否還應(yīng)該再做點(diǎn)什么？

生(齊答)：應(yīng)該要用理論進(jìn)行推導(dǎo).

師：說得好.高中階段應(yīng)該要進(jìn)行理性思考，以提升思維能力.今天我們上一節(jié)選學(xué)內(nèi)容中“探究與發(fā)現(xiàn)”的課：“祖暅原理”，來一次重走古代數(shù)學(xué)家的發(fā)現(xiàn)之旅.

設(shè)計(jì)意圖高中生再學(xué)體積公式，應(yīng)該從小學(xué)、初中時(shí)的直觀認(rèn)知上升到具有理論高度的思辨認(rèn)證，這是一次思維層面質(zhì)的飛躍，從而啟發(fā)學(xué)生思考.所以，這樣的設(shè)計(jì)既承上啟下，又能激發(fā)學(xué)生的探究欲.

2.2.2 阿基米德的缺憾

師：圖1是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德墓碑上的圖案：圓柱容球.圖上的3∶2是什么意思呢？

圖1

生3：應(yīng)該是指圓柱與球的體積之比是3∶2.

生4：圓柱與球的表面積之比也是3∶2.

師：都沒錯(cuò)，阿基米德已經(jīng)知道了圓柱、球等的體積與表面積公式，因此他引以為豪，將此作為了自己墓碑的圖案.大家想想，一個(gè)該有多么熱愛數(shù)學(xué)的人才會(huì)用數(shù)學(xué)圖案來代替他的墓志銘?。〔贿^比較遺憾的是，阿基米德采用了物理中的力學(xué)方法來推導(dǎo)，而非純幾何的方法.在這方面，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家作出了巨大貢獻(xiàn)，他們前赴后繼地研究球的體積公式，特別是在此過程中發(fā)現(xiàn)了更一般化的理論：祖暅原理.

設(shè)計(jì)意圖從國(guó)外古代數(shù)學(xué)家阿基米德墓碑說起，既有趣味性又突出了數(shù)學(xué)家的癡迷，同時(shí)又開宗明義地引出了我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的成就.

2.2.3 劉徽的遺憾

圖2

圖3

生5：有點(diǎn)像兩個(gè)水管的相交部分.

師：這位同學(xué)很有想象力嘛.為了能直觀感受，見圖片與視頻(展示圖4，圖5，并播放用3D打印牟合方蓋時(shí)的設(shè)計(jì)視頻).

圖5

師：請(qǐng)同學(xué)們觀看實(shí)物(每組有2個(gè)牟合方蓋讓學(xué)生互相傳遞看，教師展示大的實(shí)物)，上下像兩把對(duì)合的方傘，“牟”指相等的意思，故劉徽稱之為“牟合方蓋”(下簡(jiǎn)稱合蓋).其實(shí)，合蓋內(nèi)還有一個(gè)內(nèi)切球，如圖6.如果取圖5的八分之一，并用平行于底面的截面去截，會(huì)得到什么圖形？

圖6

生6：截面應(yīng)該是一個(gè)正方形和四分之一圓.

師：是的，如圖7.劉徽用了截面原理：如果兩個(gè)等高的立體，用平行于底面的平面截得的截面積之比是定值，則這兩個(gè)立體的體積之比也等于該定值.請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算一下球與合蓋體積之比.

圖7

生8：有道理，但合蓋的體積怎么求呢？

師：是的，劉徽也遇到了同樣的難題.因?yàn)樗徽襟w內(nèi)、合蓋之外的太復(fù)雜的立體圖形給難住了.于是留下了一句話：“敢不闕疑，以俟能言者”，意思就是我解決不了這個(gè)疑難問題，只能留著，希望以后更有能力的人解決它.這表明了劉徽敢于承認(rèn)自己的不足，謙虛謹(jǐn)慎的高尚治學(xué)態(tài)度，并寄托于后輩學(xué)者的寬廣胸懷.

設(shè)計(jì)意圖通過詳細(xì)呈現(xiàn)劉徽在推導(dǎo)球體積公式過程中所做的研究工作，讓學(xué)生了解到中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造力與實(shí)事求是、一絲不茍的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度.

2.2.4 祖沖之的期望

師：200多年后，祖沖之誕生了.他繼承了劉徽的研究工作，沿著劉徽思路繼續(xù)求合蓋體積.祖沖之把圖3的八分之一拿出來，如圖8，并稱A-A1B1C1D1為“內(nèi)棋”(圖7)，然后將剩下的部分稱為“外棋”.如果能算出“外棋”體積，那么合蓋體積就能求出.

圖8

生9：的確如此，可是“外棋”的體積也很難求呀！

師：是的，所以祖沖之又把“外棋”分成了三個(gè)部分，如圖9.可惜到了這一步，祖沖之也遇到了困難，做不下去了.但他希望自己的兒子祖暅能子承父業(yè)，完成他的未竟事業(yè).

圖9

設(shè)計(jì)意圖祖沖之繼承了劉徽的研究工作，雖未最終解決，但他把“外棋”分成3部分，為后續(xù)研究邁出了一大步，并期望兒子祖暅能有所突破.由此讓學(xué)生明白，在科學(xué)研究的道路上，從來沒有捷徑可言，都是通過代代相傳，歷經(jīng)千辛萬苦才有可能成功的道理.

2.2.5 祖暅的突破

師：祖暅沿著父親祖沖之的足跡繼續(xù)研究.他想，劉徽與他父親之所以研究不下去是由于“內(nèi)棋”或“外棋”都不太好算，那能否進(jìn)行轉(zhuǎn)化呢？即將它們的體積化為比較好算的幾何體的體積呢？于是祖暅聯(lián)想到了劉徽曾經(jīng)采用的截面原理.同學(xué)們，你能把該原理中的比值進(jìn)行特殊化嗎？

生10：當(dāng)然是比值為1時(shí)最特殊了.

師：不錯(cuò)，根據(jù)截面原理，如果比值為1，那么兩個(gè)幾何體的體積就相等了.為此，祖暅做了大量的實(shí)驗(yàn).現(xiàn)在我們不妨也來做兩個(gè)實(shí)驗(yàn).(教師分別演示了一摞書，見圖10；傾斜容器里的水，見圖11)

圖11

生11：這不是很明顯的嘛，實(shí)驗(yàn)前后的體積是不變的.

師：是的，結(jié)論顯然成立，道理也淺顯易懂，祖暅將它概括為：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，這就是“祖暅原理”.用現(xiàn)代語言描述：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于兩平面的任意平面所截，若截得的兩個(gè)截面面積總相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.祖暅提出的這個(gè)原理，比西方數(shù)學(xué)家早了一千多年，歐洲直到17世紀(jì)才有數(shù)學(xué)家提出相同結(jié)論.

生12(很驚訝)：我國(guó)古代數(shù)學(xué)家這么厲害，崇拜了！

師：的確，我國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就很高的.下面看看祖暅?zhǔn)侨绾谓鉀Q球的體積問題.

先看圖3，設(shè)球半徑為R，則外切正方體棱長(zhǎng)為2R，其八分之一小正方體棱長(zhǎng)也是R.再看圖8，在離底面A1B1C1D1任意高h(yuǎn)處作平行于底面的平面，截內(nèi)棋為1個(gè)正方形.顯然，這個(gè)正方形面積為R2-h2；與此同時(shí)，截外棋得2個(gè)長(zhǎng)方形和1個(gè)小正方形，即圖8中的陰影部分，其面積和為：R2-(R2-h2)=h2，也就是圖9中3個(gè)陰影部分面積和.因此，祖暅構(gòu)造了一個(gè)底面邊長(zhǎng)與高均為R的倒立陽馬(古人將底面為正方形，有一棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬)，如圖12，再在距頂點(diǎn)C1為h處作一截面，顯然截面面積為h2，正好等于外棋在同一高處的截面積，根據(jù)祖暅原理有：V外棋=V陽馬.

圖12

師：很好，有了祖暅原理，就解決了祖沖之面對(duì)外棋沒法做下去的難題.由此可見，祖暅原理是在推導(dǎo)球體積公式的過程中發(fā)現(xiàn)的，但它前后卻經(jīng)歷了200多年，從劉徽到祖沖之再到祖暅，正是一代代數(shù)學(xué)家堅(jiān)持不懈地薪火相傳才終獲成功.

設(shè)計(jì)意圖祖暅原理的發(fā)現(xiàn)并非一帆風(fēng)順，它是三代數(shù)學(xué)家面對(duì)困難永不放棄，堅(jiān)持到底才有所獲.課堂上重走這樣的一次發(fā)現(xiàn)之旅，不僅讓學(xué)生體會(huì)到中國(guó)古代數(shù)學(xué)的杰出成就，增強(qiáng)了民族自豪感，而且還可讓學(xué)生懂得任何知識(shí)都來之不易，如今的我們也要繼承這種刻苦鉆研精神.

2.2.6 祖暅原理的應(yīng)用

師：知道了我國(guó)古代數(shù)學(xué)家推導(dǎo)球體積公式的經(jīng)歷后還要明白，比球體積公式更重要的是發(fā)現(xiàn)了祖暅原理.因?yàn)橛辛嗽撛?，可將幾何體進(jìn)行轉(zhuǎn)化.如柱體積公式的推導(dǎo)，圖13.

圖13

生14：因?yàn)榻孛嫣幪幭嗟?，所以V棱柱=V圓柱=V長(zhǎng)方體=S底h，即V柱=Sh.

師：很好，再看圖14，15，又可得出什么？

圖14

圖15

師：非常好，有了祖暅原理，柱體、錐體的體積公式很容易得到.事實(shí)上，應(yīng)用該原理還可反過來很方便地推導(dǎo)球體積公式，見圖16.

圖16

設(shè)計(jì)意圖應(yīng)用“祖暅原理”可方便地推出柱體、錐體的體積公式，甚至反過來還能很容易地推出球體積公式，從而讓學(xué)生體會(huì)到“祖暅原理”的好處，也進(jìn)一步明白了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的輝煌，增強(qiáng)了文化自信.

2.2.7 劉徽的啟發(fā)

師：同學(xué)們，用祖暅原理推出球體積公式后，還能繼續(xù)推導(dǎo)球的表面積公式.前面提到的數(shù)學(xué)家劉徽，為中國(guó)古代數(shù)學(xué)作出了很多貢獻(xiàn)，比如在《九章算術(shù)注》中記載了他計(jì)算π近似值時(shí)首創(chuàng)的“割圓術(shù)”.

生17：初中老師講過“割圓術(shù)”，把圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)不斷擴(kuò)大，從而使正多邊形的周長(zhǎng)接近圓周長(zhǎng).

師：說得沒錯(cuò)，見圖17.劉徽將圓從正六邊形割為正十二邊形、正二十四邊形，……，并說：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣！”這是非常偉大的創(chuàng)舉，通過“化曲為直”和無窮小思想，得出了比較精確的圓周率值，可見劉徽在他那個(gè)時(shí)代就已經(jīng)有了極限思想的萌芽.今天借鑒劉徽的方法來推導(dǎo)球表面積公式.

圖17

生18：受劉徽“割圓術(shù)”的啟發(fā)，可以將球的曲面化為平面，即“化曲為平”，分割得越細(xì)越接近于球的表面.

圖18

生19：不妨給它取名為“割球術(shù)”！

師：這個(gè)名字取得好！看來大家對(duì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就已有所體會(huì)了.事實(shí)上，我們現(xiàn)在課堂上所學(xué)的每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，都是古代數(shù)學(xué)家前赴后繼研究得出的結(jié)果，期間要經(jīng)過幾百年甚至上千年的艱辛歷程，因此大家要珍惜這樣的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，努力將前人的智慧結(jié)晶學(xué)到，這正是大家在教室里進(jìn)行學(xué)習(xí)的價(jià)值所在.

設(shè)計(jì)意圖重新回到起點(diǎn)，從劉徽的二維“割圓術(shù)”升級(jí)到三維“割球術(shù)”，讓學(xué)生明白“祖暅原理”的重要性，以加深理解中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的偉大之處，培養(yǎng)了愛國(guó)主義，同時(shí)也讓同學(xué)們懂得了在課堂學(xué)習(xí)的意義.

3 教學(xué)反思與啟示

這是一節(jié)能完整體現(xiàn)學(xué)科育人的數(shù)學(xué)課，也是新教材“探究與發(fā)現(xiàn)”選學(xué)欄目中比較適合開發(fā)學(xué)科德育的內(nèi)容之一.為了能綜合分析課中所蘊(yùn)含的育人元素，在教學(xué)反思時(shí)借鑒了栗小妮博士提出的數(shù)學(xué)學(xué)科德育分類框架[3]，從理性、人文、人格、責(zé)任四個(gè)方面進(jìn)行分析.

3.1 數(shù)學(xué)學(xué)科德育要素分析

(1)理性精神的塑造

上課伊始，引導(dǎo)學(xué)生達(dá)成共識(shí)：高中階段需要從理論上對(duì)公式進(jìn)行推導(dǎo)，以體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的理性精神.于是在接下來的每個(gè)環(huán)節(jié)，都是從思維邏輯上嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)，而大量的圖片或演示也只是為了幫助學(xué)生能較好地直觀理解，所以整節(jié)課都充滿著理性思考，培養(yǎng)了學(xué)生要辯證地分析問題和做事要有理有據(jù)的品德.

(2)人文精神的彰顯

無論從剛開始提到的古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德對(duì)數(shù)學(xué)的癡迷，還是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽、祖沖之、祖暅一代代的薪火相傳，孜孜不倦地研究，都可以讓學(xué)生感受到人類追求真理過程中所遇到的困難和越挫越勇、勇往直前的精神.這種人文精神可培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)韌不拔、刻苦鉆研的探索意識(shí)以及面對(duì)挫折不要輕易放棄的學(xué)習(xí)態(tài)度.

(3)道德人格的熏陶

像劉徽這么一位對(duì)數(shù)學(xué)作出巨大貢獻(xiàn)的中國(guó)古代偉大數(shù)學(xué)家，都能實(shí)事求是，非常謙虛地承認(rèn)自己的不足，并希望后人超過自己的情懷，是值得每個(gè)人學(xué)習(xí)的.在這樣的道德人格熏陶下，希望學(xué)生學(xué)會(huì)不以自我為中心，要善于向他人學(xué)習(xí)，以培養(yǎng)多從他人角度去思考問題的人生觀與世界觀.

(4)社會(huì)責(zé)任的培育

劉徽為了證明《九章算術(shù)》中的球體積公式而構(gòu)造“牟合方蓋”，再到發(fā)現(xiàn)其公式的錯(cuò)誤后繼續(xù)深入研究，直到窮盡一生也無法解決的經(jīng)歷，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)家所具有的社會(huì)責(zé)任感和對(duì)數(shù)學(xué)研究認(rèn)真負(fù)責(zé)的態(tài)度.同樣，200年后的祖沖之、祖暅父子亦如此，他們耗盡一生心血也不放棄的使命感，可激發(fā)學(xué)生的愛國(guó)情感，能培養(yǎng)學(xué)生敢于擔(dān)當(dāng)、勇于承擔(dān)的優(yōu)秀品質(zhì).

3.2 選學(xué)內(nèi)容的教學(xué)啟示——學(xué)科德育的文化途徑

通過對(duì)新教材“探究與發(fā)現(xiàn)”選學(xué)內(nèi)容的開發(fā)設(shè)計(jì)與實(shí)踐嘗試，探索出讓數(shù)學(xué)學(xué)科育人在課堂上落地的較好途徑是融入數(shù)學(xué)文化.由此可得啟示：將新教材中的選學(xué)內(nèi)容加工開發(fā)成滲透學(xué)科德育的探究課，并從數(shù)學(xué)中的文化與文化中的數(shù)學(xué)兩條途徑來實(shí)施.

(1)數(shù)學(xué)中的文化途徑

任何一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)，在經(jīng)過了萌芽、誕生、發(fā)展與完善的過程后才最后成熟的，而這也是古今中外數(shù)學(xué)家在一代又一代持之以恒的研究中取得成功的過程，期間的篳路藍(lán)縷正是數(shù)學(xué)學(xué)科德育很好的育人素材.當(dāng)然，數(shù)學(xué)中的主要文化載體是數(shù)學(xué)史，因此，一線教師需要對(duì)新教材中“探究與發(fā)現(xiàn)”“閱讀與思考”等選學(xué)內(nèi)容多查閱些數(shù)學(xué)史料，把背后隱藏著的育人元素通過重構(gòu)設(shè)計(jì)落實(shí)到課堂.

(2)文化中的數(shù)學(xué)途徑

學(xué)科文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)博大精深，其涉及的范圍甚廣，包括社會(huì)生活、民族特征、科技進(jìn)步、歷史發(fā)展等方方面面，其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)元素不勝枚舉.數(shù)學(xué)家華羅庚說：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之迷，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué).”正因如此，新課標(biāo)理念提出了跨學(xué)科整合，而新教材中一些選學(xué)內(nèi)容與例習(xí)題都涉及到了各學(xué)科知識(shí)，一線教師可從文化中的數(shù)學(xué)途徑多挖掘一些育人素材后落地課堂.

4 結(jié)語

數(shù)學(xué)課上滲透學(xué)科德育的育人要素，從而將立德樹人落實(shí)在課堂教學(xué)上是新課標(biāo)理念之一.筆者對(duì)“祖暅原理”這節(jié)選學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了基于學(xué)科德育的設(shè)計(jì)，重走了一次發(fā)現(xiàn)“祖暅原理”的歷史軌跡，以數(shù)學(xué)中的文化為實(shí)施途徑，將育人要素這條主線貫穿始終，取得了不錯(cuò)的效果.當(dāng)然，如何將新教材中的選學(xué)內(nèi)容開展教學(xué)，學(xué)科德育究竟怎樣融入較好，采用什么路徑、策略實(shí)施有利于學(xué)生理解接受等也是見仁見智.筆者的這次實(shí)踐探索，也是拋磚引玉，冀盼有更多一線教師進(jìn)行開發(fā)嘗試.