顧麗娜

楊凌職業(yè)技術(shù)學(xué)院文理學(xué)院 陜西咸陽 712100

一、概述

隨著社會的進步與科技的發(fā)展,將數(shù)學(xué)建模思想融入高職數(shù)學(xué)教學(xué)中顯得尤為重要。但是在日常教學(xué)中,部分學(xué)生還不能應(yīng)用建模思想來解決實際問題,這將導(dǎo)致數(shù)學(xué)課程在教學(xué)改革探索中存在紕漏。所以本著數(shù)學(xué)教學(xué)改革的實際情況,積極重構(gòu)教學(xué)內(nèi)容,主動更新數(shù)學(xué)建模理念,詳盡梳理數(shù)學(xué)方法,為數(shù)學(xué)建模在職業(yè)院校數(shù)學(xué)課程中的教學(xué)改革與探索提出一條行之有效的發(fā)展路徑。結(jié)合實際情況,職業(yè)教育的改革仍然在路上,黨的二十大明確提出職業(yè)教育前景的發(fā)展大有可為,而對于職業(yè)教育的教學(xué)改革探索理應(yīng)持續(xù)深入。數(shù)學(xué)作為職業(yè)教育的基礎(chǔ)課程,對于加強學(xué)生邏輯思維、專業(yè)應(yīng)用等都有重要意義,所以研究如何將數(shù)學(xué)建模思維更好地應(yīng)用到實際教學(xué)中是極其重要的。

眾所周知,在高職數(shù)學(xué)教學(xué)改革中運用數(shù)學(xué)建模思想解決問題變得越來越普遍。雖然諸多教師已在建模這方面給予了相應(yīng)重視,并且在教學(xué)設(shè)計中也將其納入改革[1-3]。但從目前教學(xué)方式的發(fā)展趨勢分析,部分教師在數(shù)學(xué)建模思想方面仍然存在很多不足,如不能巧妙地結(jié)合實際模型來分析課堂教學(xué)內(nèi)容,這在某種程度上確實制約了教學(xué)改革的進步與發(fā)展。相較于本科院校,職業(yè)院校學(xué)生進行專業(yè)課程及公共課程學(xué)習(xí)的總課時極其有限,所以大多數(shù)課程的設(shè)置都是遵循“必需,夠用”的原則進行。但從長期從事的專業(yè)考慮,除具備過硬的專業(yè)本領(lǐng)外,更要依賴個人整體學(xué)習(xí)水平,如基本運算能力和邏輯思維,所以決不能輕視公共數(shù)學(xué)課的作用。而將數(shù)學(xué)建模融入課堂,這對培養(yǎng)高素質(zhì)、高品行的人才起到了非常大的作用?？紤]高職數(shù)學(xué)課程的特點,以及學(xué)生專業(yè)理論知識與數(shù)學(xué)建模知識的融合[4-5],進一步提高學(xué)生的人文素養(yǎng)和崗位素養(yǎng)顯得極其重要。

二、數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用

(一)數(shù)學(xué)建模在日常生活中的應(yīng)用

高職數(shù)學(xué)課程體系構(gòu)建與高等數(shù)學(xué)體系基本一致,不過考慮到專業(yè)需求程度,故對教學(xué)內(nèi)容進行了一定的重構(gòu),在基本知識學(xué)習(xí)的同時,融入了數(shù)學(xué)建模思想,確保課堂教學(xué)改革意義落到實處,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用效果。目前,數(shù)學(xué)建模思想其實已滲透到各行各業(yè)。如2021年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽E題,關(guān)于中藥材產(chǎn)地與種類的鑒定問題,既和專業(yè)結(jié)合,又與數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法融合。實際生活中,例如在超市購物時,發(fā)現(xiàn)每種物品擺放位置不一,這種情況其實也融入了數(shù)學(xué)建模思想,即通過調(diào)查獲取所需,進而構(gòu)建合適的模型來決策貨物的擺放位置。所以在數(shù)學(xué)教學(xué)改革中利用實際案例,引導(dǎo)學(xué)生思考,這樣才能使教學(xué)改革收到一定成效。

(二)數(shù)學(xué)建模在教學(xué)概念中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)教學(xué)改革的推動之所以困難,主要原因在于概念、定理、公式等較為抽象,從而導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)興趣低、不能靈活應(yīng)用等。例如,在講授一些較為抽象的內(nèi)容時,可以引入建模思想,從實際問題出發(fā),給出此內(nèi)容的應(yīng)用過程及方法等。這就將數(shù)學(xué)內(nèi)容由無形化為有形,由抽象化為具體,由復(fù)雜化為簡單。如拋出問題:椅子能否在不平的地面上放穩(wěn)?引導(dǎo)學(xué)生考慮用數(shù)學(xué)語言將椅子的位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來,逐步引出要構(gòu)建的模型,首先保證地面需要為連續(xù)曲面,進而提出連續(xù)函數(shù)模型來表征椅子的位置和四只腳著地的關(guān)系,使抽象的概念等具體化,加深學(xué)生們的理解。如學(xué)習(xí)定積分概念時,不但要知其然,還要知其所以然,這就要求學(xué)生不能只是死背硬記“分割、近似、求和、取極限”,還應(yīng)理解它的來源:利用割圓術(shù)的動態(tài)圖演示定積分的概念,使無形的概念化為有形的圖解。所以,通過數(shù)學(xué)在實際問題中的應(yīng)用同樣可以推動數(shù)學(xué)的教學(xué)改革。

(三)數(shù)學(xué)建模在專業(yè)大賽中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)教學(xué)改革不僅僅局限于課堂,它包括各個方面,尤其對于職業(yè)教學(xué)改革中的實踐鍛煉、技能大賽都顯得尤為重要。目前,諸多大賽內(nèi)容其實與數(shù)學(xué)建模思想息息相關(guān),例如“互聯(lián)網(wǎng)+”、建筑信息模型(BIM)應(yīng)用、高鐵軌道精測精調(diào)、工業(yè)產(chǎn)品數(shù)字化設(shè)計與制造、土壤pH的測定、智慧物流作業(yè)方案設(shè)計與實施等大賽都融入了數(shù)學(xué)建模的思想。當一個好的模型能夠成功建立時,問題也就迎刃而解了,這集中體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)建模的本質(zhì),即將理論融入實際專業(yè)大賽中。當下,學(xué)生技能大賽對于學(xué)生就業(yè)非常重要,所以在數(shù)學(xué)教學(xué)改革中可以通過引導(dǎo)學(xué)生積極參與專業(yè)大賽,進一步感受數(shù)學(xué)存在的意義。

(四)數(shù)學(xué)建模在實操軟件中的應(yīng)用

眾所周知,編程的實現(xiàn)以及大數(shù)據(jù)分析與處理都涉及建模思想,若能夠在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中充分實操演練,以數(shù)學(xué)方法和思想訓(xùn)練代碼,繼而呈現(xiàn)出實際效果,學(xué)生必然能夠感受到數(shù)學(xué)中建模思想的體現(xiàn)。目前,可通過引入解決數(shù)學(xué)模型的一些實操軟件,例如Matlab、Spss、Python等數(shù)學(xué)軟件,引導(dǎo)學(xué)生進一步感知數(shù)學(xué)建模的實際操作性,加強對此類軟件的學(xué)習(xí)及應(yīng)用,從而簡化數(shù)學(xué)建模步驟,降低數(shù)學(xué)建模難度。

(五)數(shù)學(xué)建模在實踐教學(xué)中的邏輯應(yīng)用

數(shù)學(xué)模型用途廣泛,主要體現(xiàn)在邏輯推理、結(jié)果解釋、框架設(shè)計、改進交流、指導(dǎo)行動、擬合預(yù)測和對比探索方面。在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時,往往需要疏通邏輯,然后借此逐步遞推。比如阿羅定理就是一個可以說明邏輯推理如何揭示不可能性的有效例子,此模型提出了個人偏好是否歸結(jié)為集體偏好的問題,偏好表示為各備選選項之間的排序情況。以對學(xué)校食堂學(xué)生用餐窗口為例,假設(shè)有5家窗口(飯菜質(zhì)量、種類一樣),分別用數(shù)字1～5表示,此模型有120種排序。阿羅定理特點是集體排序保持單調(diào)(若每個學(xué)生都將1排在2之前,則集體排序也是這樣)、獨立于無關(guān)的備選選項,且是公平的。結(jié)果表明該設(shè)法矛盾,如果允許任何偏好都存在,則就不存在集體排序。同樣,邏輯可以揭示悖論。其他方面亦是如此。

三、融入數(shù)學(xué)建模的改革意義

數(shù)學(xué)建模本身就將數(shù)學(xué)知識與實際問題巧妙地聯(lián)系起來,數(shù)學(xué)建模思想蘊含知識較為豐富,不論是極限與導(dǎo)數(shù),抑或微分與積分都是其主要理論。知積分原理,方能探究積分與其存在的內(nèi)涵關(guān)系。眾所周知,數(shù)學(xué)的大多概念與定理都是極其抽象的,包括數(shù)學(xué)公式在內(nèi)的定義、性質(zhì)、推論等,對于多數(shù)學(xué)生來說理解起來難度較大。但若在數(shù)學(xué)教學(xué)中結(jié)合數(shù)學(xué)建模知識,以數(shù)學(xué)實驗進行演練講解,學(xué)習(xí)效果定會更佳。因此,選擇微分建模思想作為數(shù)學(xué)課程教學(xué)的第一個切入點,通過具體案例介紹了極限問題的起源、本質(zhì)和應(yīng)用。此外,本課程結(jié)合學(xué)生專業(yè)特點,加之高職學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)課及通識課的需求,通過“三段六環(huán)”式教學(xué)方法,形成了以情景導(dǎo)引、案例導(dǎo)思、公式導(dǎo)析、方法導(dǎo)練、案例導(dǎo)用為主線的教學(xué)脈絡(luò),融合數(shù)學(xué)實驗有效達成了培養(yǎng)學(xué)生動手操作和培養(yǎng)自身數(shù)學(xué)概括能力的教學(xué)目標。綜上,現(xiàn)以函數(shù)的微分內(nèi)容為例,對其建模具體如下:

案例1:基于數(shù)學(xué)背景求出某城市與鄉(xiāng)村之間用時最短的路徑。

在探析函數(shù)微分概念時,首先引入微分的實質(zhì)意義,并以數(shù)學(xué)知識為背景,探討某城市與鄉(xiāng)村之間兩點用時最短的路徑模型,以距離來衡量什么是可微,什么是可導(dǎo)。并設(shè)計了“若要富,先修路”的相關(guān)題目,設(shè)計此問題的實質(zhì)是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用,明確數(shù)學(xué)不僅是要學(xué)懂課本,更要明晰在實際生活中的應(yīng)用。理解數(shù)學(xué)建模思想,實時獲取城鄉(xiāng)之間的經(jīng)濟差距與現(xiàn)實狀況。同時以此為契機,感受微分幾何意義的“以直代曲”,充分把握微分的概念及其幾何意義。

案例2:利用人口普查現(xiàn)狀模型,分析某市人群年齡結(jié)構(gòu)的構(gòu)成,引入微分方程。

依據(jù)2021年第七次全國人口普查的結(jié)果,能夠了解到年齡結(jié)構(gòu)的合理對于社會發(fā)展極其重要。在學(xué)習(xí)和理解微分方程求解時,可以以實際應(yīng)用為主,預(yù)測和計算當下年齡結(jié)構(gòu)的合理程度。設(shè)計此案例,旨在讓學(xué)生不但要學(xué)習(xí)掌握函數(shù)的微分,更要掌握今后將要學(xué)習(xí)的微分方程模型,諸如人口增長模型、馬爾薩斯人口模型等。

四、“數(shù)學(xué)建模”教學(xué)實施思路

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思維,有助于增強學(xué)生的數(shù)學(xué)知識實際應(yīng)用能力?，F(xiàn)對本課程數(shù)學(xué)建模具體實施思路表述如下:

(一)落實數(shù)學(xué)建模理念,倡導(dǎo)探究性學(xué)習(xí)

本課程的數(shù)學(xué)建模理念強調(diào)對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng),倡導(dǎo)探究性學(xué)習(xí)使學(xué)生既能理解、掌握和應(yīng)用知識的同時,又發(fā)展了收集和處理科學(xué)信息的能力、獲取新知識的能力、分析解決問題的能力,以及交流與合作的能力,特別是培養(yǎng)了創(chuàng)新精神和實踐能力。此外,還將使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程更富有個性化,對情感的體驗、科學(xué)態(tài)度的養(yǎng)成、正確價值觀的樹立也會有極大的促進作用。只要將數(shù)學(xué)建模理念、思維能夠詳盡滲透到日常教學(xué)中,探究性學(xué)習(xí)定然會取得很大成效。

(二)圍繞“三全育人”,落實數(shù)學(xué)建?？刹僮餍?/h3>

為進一步貫徹落實“三全育人”成效,在掌握數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)上,應(yīng)積極探索數(shù)學(xué)建模的實際應(yīng)用效果和實際操作性。在教學(xué)內(nèi)容中應(yīng)充分挖掘數(shù)學(xué)建模元素,形成“全員育人、全程育人、全方位育人”的格局,全面推進學(xué)校大學(xué)生對于數(shù)學(xué)建模教學(xué)的把控工作。日常教學(xué)中,數(shù)學(xué)理論枯燥無味,如何將理論與實踐結(jié)合起來,讓學(xué)生產(chǎn)生濃厚興趣,必然要從數(shù)學(xué)建模的可操作性出發(fā),所以以“三全育人”統(tǒng)領(lǐng)教學(xué),效果必然更佳。

(三)設(shè)數(shù)學(xué)實驗貼合專業(yè),庖丁解?；鬄樾?/h3>

依據(jù)教學(xué)內(nèi)容增設(shè)了動手操作實驗,體驗數(shù)學(xué)建模的思想,進一步加深了微分概念的印象,從而輕而易舉地引入函數(shù)增量。以循序漸進的方式深化微分概念的學(xué)習(xí),明確微分概念“一看二化三近似”的關(guān)鍵點,有效解決了微分概念理解難的問題。設(shè)計數(shù)學(xué)建模實驗,以實例探索微分概念,化大為小,化難為易,逐一攻破,以解決紛繁復(fù)雜的問題。例如,在學(xué)習(xí)定積分求立體體積時,可以用硬幣及不規(guī)則物體現(xiàn)場教學(xué)演示,讓學(xué)生“切片”親身體驗“微元法”的思想。

五、數(shù)學(xué)建模教學(xué)資源的配置

積極利用和開發(fā)數(shù)學(xué)建模課程資源是順利實施數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的重要組成部分,可以有效地發(fā)揮課程資源應(yīng)有的優(yōu)勢,達到提高數(shù)學(xué)課程教學(xué)質(zhì)量的目的。教學(xué)資源是當前教學(xué)能夠得以實施的必然要求,數(shù)學(xué)教學(xué)完全可以充分利用數(shù)學(xué)建模實驗室展開興趣教學(xué),以Matlab、Spss軟件為操作對象,有效模擬實際數(shù)學(xué)模型,以實驗調(diào)動學(xué)生興趣,教學(xué)效果事半功倍。加之配套教材的編寫使用,讓學(xué)生真切感受到應(yīng)用數(shù)學(xué)的實踐意義。

(一)編寫與數(shù)學(xué)教材配合使用的數(shù)學(xué)建模參考書

學(xué)以致用,在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,若能夠融入一些極其鮮活的實際模型,教學(xué)手段自然豐富,故應(yīng)結(jié)合教學(xué)目標、教學(xué)重點和預(yù)期的教學(xué)效果,出書配套實際教學(xué),以此解析疑難問題,并對學(xué)生的學(xué)習(xí)活動提出針對性建議。只有將數(shù)學(xué)模型貫穿教學(xué)始終,學(xué)生才會舉一反三,逐步體悟數(shù)學(xué)建模的要義所在。

(二)加強對數(shù)學(xué)建模實訓(xùn)室的建設(shè)和投入

加強對數(shù)學(xué)建模活動和數(shù)學(xué)建模實驗室的建設(shè)和投入,既豐富、活躍了廣大同學(xué)的課外生活,也為優(yōu)秀學(xué)生的脫穎而出創(chuàng)造了條件。競賽使學(xué)生學(xué)會了如何綜合應(yīng)用各種所學(xué)知識解決實際問題,從而使學(xué)生的知識水平和綜合能力上了一個新臺階。數(shù)學(xué)建模實訓(xùn)室的作用決不可忽略,對于工科學(xué)生而言,動手能力強,對電子元件具有一定的觸感,故可借助實訓(xùn)室進行實際模擬,用數(shù)學(xué)軟件模擬理論、模擬應(yīng)用,唯有如此,建模實訓(xùn)室才能發(fā)揮更大作用,提升教師教學(xué)水平。

(三)積極搭建數(shù)學(xué)建模課程平臺,完善建模課程資源

積極建設(shè)數(shù)學(xué)建模在線開放課程,繼續(xù)完善和優(yōu)化混合課程建設(shè)平臺。在相關(guān)建設(shè)中不斷豐富完善各種建模課程資源,包括文字資源、教學(xué)課件、在線測試、數(shù)學(xué)文化、視頻資源等。當前,慕課、精品在線開放課等資源已經(jīng)相當豐富充裕,教師除自身搭建課程平臺之外,完全有能力適當引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí),引導(dǎo)學(xué)生查閱相關(guān)書籍和資源,日積月累,學(xué)習(xí)效果自然突出。只要理論完善,實踐操作就顯得尤為容易。這樣,數(shù)學(xué)建模課程平臺才能發(fā)揮出優(yōu)良效果。

結(jié)語

數(shù)學(xué)教育若無數(shù)學(xué)建模元素的引領(lǐng),數(shù)學(xué)課程將變得枯燥而乏味,數(shù)學(xué)建模教學(xué)的成功將成為改變這一現(xiàn)狀的有利契機。實踐出真知,教學(xué)亦是如此,故需要借數(shù)學(xué)建模這一有利因素,結(jié)合數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革,提高學(xué)生課堂參與度,有效提升“三全育人”之成效,啟發(fā)學(xué)生在任何時候都要有厚積薄發(fā)的數(shù)學(xué)情懷,積累豐富的數(shù)學(xué)素養(yǎng),提高數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用能力,使學(xué)生充分認識到技能報國的作用,強化學(xué)生對數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)文化的認同和自信。