徐秋華

摘要：根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》可知，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地離不開(kāi)教學(xué)實(shí)踐.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是一種綜合性的能力和知識(shí)結(jié)構(gòu)，涉及的知識(shí)面很廣.九尺高臺(tái)起于壘土，學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升來(lái)自日積月累的沉淀.高中數(shù)學(xué)課堂應(yīng)以學(xué)生自主探究為主線，滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：雙曲線;核心素養(yǎng);探究教學(xué)

蔡金法等［1］在《做探究型教師》一書(shū)的緒論中明確提出：教師作為研究者，首先要思考的根本問(wèn)題是“我們究竟要培養(yǎng)什么樣的人”.在傳統(tǒng)課堂教學(xué)中，教師“滿堂灌”現(xiàn)象極為普遍，多數(shù)學(xué)生缺乏獨(dú)立思考、自我探究以及勇于創(chuàng)新的能力.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，開(kāi)啟探究式課堂，培養(yǎng)學(xué)生思維的獨(dú)立性、深刻性與靈活性是新一代課堂的教學(xué)目標(biāo)［2］.

探究型課堂的設(shè)計(jì)理念是以問(wèn)題鏈為驅(qū)動(dòng)力，重視知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程.課堂采用教師講授與學(xué)生探究相結(jié)合的教學(xué)方式，讓學(xué)生經(jīng)歷質(zhì)疑、探究、釋疑的學(xué)習(xí)過(guò)程；體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造，經(jīng)歷從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程.正所謂“生”動(dòng)的課堂才會(huì)更生動(dòng).下面以筆者執(zhí)教的公開(kāi)課“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”（人教A版選擇性必修第一冊(cè)）為例，談一下自己的做法和幾點(diǎn)不成熟的想法，以就正于方家.

1 創(chuàng)設(shè)情境，實(shí)驗(yàn)感知，獲得概念

情境一：播放七彩燈光下的廣州電視塔、工作中的冷卻塔、艾洛依休斯教堂等動(dòng)態(tài)圖片.引導(dǎo)學(xué)生欣賞圖片的同時(shí)，提出問(wèn)題：這些建筑中蘊(yùn)藏著什么幾何圖形？

學(xué)生：雙曲線.

數(shù)學(xué)源于生活，用于生活.讓學(xué)生直觀感受數(shù)學(xué)美，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.

情境二：（課前折紙小實(shí)驗(yàn)）按要求折疊紙張，在紙上先確定兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，以F1為圓心，小于F1F2的長(zhǎng)為半徑作一個(gè)圓，在圓上任取一點(diǎn)P1，通過(guò)折疊，使P1與F2重合，并畫(huà)出折痕l1（如圖1），然后作出半徑F1P1所在直線并沿著該直線折疊，該折痕與l1相交于點(diǎn)M1；隨后依次確定點(diǎn)M2，M3，M4，……，由此發(fā)現(xiàn)折痕與l1的交點(diǎn)逐步形成了兩條對(duì)稱的曲線（如圖2）.

通過(guò)小組探究、討論，類比橢圓的定義，得出雙曲線的概念：把平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（非零常數(shù)小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距.（動(dòng)畫(huà)演示曲線形成過(guò)程.）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)兩種不同的方式引入課題.首先從生活情境引入，美麗的建筑讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)美；其次從數(shù)學(xué)問(wèn)題引入，通過(guò)折紙活動(dòng)，確定雙曲線的具體形態(tài)及其基本構(gòu)成條件.折紙使課堂氣氛變得活躍，激發(fā)了學(xué)生探究新知的積極性.

2 深度探究，體驗(yàn)概念生成過(guò)程，培養(yǎng)抽象概括能力

師：下面我們對(duì)雙曲線的定義進(jìn)行辨析.

追問(wèn)1：類比橢圓，雙曲線的定義中有哪些關(guān)鍵詞？

生：關(guān)鍵詞有“絕對(duì)值”“非零”“小于|F1F2|”.

師：很好！

追問(wèn)2：如果分別去掉或改變這幾個(gè)關(guān)鍵詞，曲線會(huì)發(fā)生怎樣的變化？

情形一：如果去掉“絕對(duì)值”，曲線會(huì)發(fā)生怎樣的變化？

師生共同研究，根據(jù)剛才的動(dòng)畫(huà)演示發(fā)現(xiàn)，如果去掉“絕對(duì)值”，軌跡應(yīng)該是雙曲線的一支.那么，到底是哪一支呢？

學(xué)生歸納并展示所得結(jié)論：如果|MF1|-|MF2|是一個(gè)負(fù)常數(shù)，那么點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的左支；如果|MF1|-|MF2|是一個(gè)正常數(shù)，那么點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的右支.

情形二：如果將“小于”改為“等于”呢？

生：若點(diǎn)M在直線F1F2的外側(cè)，則點(diǎn)M，F(xiàn)1構(gòu)成三角形.根據(jù)三角形的性質(zhì)，兩邊之差小于第三邊，即||MF1|-|MF2||

師：非常好！分析問(wèn)題要從多角度入手，才能看透本質(zhì).

情形三：如果將“小于”改為“大于”呢？

生：（激烈討論，班級(jí)氣氛活躍）若點(diǎn)M在直線F1F2的外側(cè)，則點(diǎn)M，F(xiàn)1與F2構(gòu)成三角形，根據(jù)三角形的性質(zhì)，兩邊之差小于第三邊，即||MF1|-|MF2||<|F1F2|，不成立；若點(diǎn)M在線段F1F2的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上，則||MF1|-|MF2||=|F1F2|，也不成立；若點(diǎn)M在線段F1F2上，||MF1|-|MF2||不是定值，不成立.所以軌跡不存在. （全班鼓掌）

師：很棒的總結(jié).請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考.

情形四：如果去掉“非零”兩個(gè)字，那么曲線會(huì)發(fā)生怎樣的變化呢？

生：當(dāng)|MF1|-|MF2|=0時(shí)，根據(jù)中垂線的性質(zhì)可知，中垂線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，此時(shí)軌跡是線段F1F2的垂直平分線.

師：通過(guò)對(duì)上述四種情形的深入探究，我們對(duì)雙曲線的定義進(jìn)行了辨析，可知雙曲線定義中那些關(guān)鍵詞的重要性，大家一定要細(xì)細(xì)體會(huì).

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小組探究學(xué)習(xí)，深挖雙曲線概念形成的基本構(gòu)成條件，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，細(xì)致嚴(yán)密的分析過(guò)程有助于提升學(xué)生邏輯推理素養(yǎng).

3 類比探究，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

師：能否對(duì)照橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)步驟及方法，推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？

生：我們可以按照建立平面直角坐標(biāo)系—設(shè)出各點(diǎn)的坐標(biāo)—列出方程式—化簡(jiǎn)等式這四個(gè)步驟展開(kāi).

師：如何建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系呢？（學(xué)生借助學(xué)習(xí)橢圓的經(jīng)驗(yàn)展開(kāi)討論.）

類比橢圓，以直線F1F2為x軸，以F1F2的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.（如圖3）

師：如何寫(xiě)出曲線上滿足條件的點(diǎn)M的集合？

師：要將雙曲線的定義代數(shù)化，不妨設(shè)這個(gè)常數(shù)為2a，利用定義，曲線上的點(diǎn)M滿足的集合為{M|||MF1|-|MF2||=2a，0<2a<|F1F2|}，那么集合中的等式如何用坐標(biāo)來(lái)表示呢？

生：類比橢圓，可以設(shè)點(diǎn)M（x，y），雙曲線焦點(diǎn)為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）.由||MF1|-|MF2||=2a，得（x+c）2+y2-（x-c）2+y2=±2a.這個(gè)方程比較復(fù)雜，可以類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡(jiǎn)過(guò)程.第一步，將一個(gè)根號(hào)移到等式的右邊，再兩邊平方，得

（（x+c）2+y2）2=（±2a+（x-c）2+y2）2.

師：很好，處理問(wèn)題自信又果斷！兩邊平方是處理根號(hào)問(wèn)題的常用辦法.解決這類問(wèn)題不能有畏難心理，需要膽大心細(xì).下面請(qǐng)同學(xué)們?cè)诒咀由蠈?xiě)出自己的化簡(jiǎn)過(guò)程.（教師巡視并適當(dāng)點(diǎn)撥.）

生：第二步，將兩邊的式子展開(kāi)化簡(jiǎn)，等號(hào)右邊保留含根號(hào)的項(xiàng)，其余移項(xiàng)至等號(hào)左邊，整理得到cx-a2=±a（x-c）2+y2；第三步，兩邊繼續(xù)平方，徹底消掉根號(hào).下面的化簡(jiǎn)有一個(gè)關(guān)鍵步驟，可以類比橢圓，根據(jù)變量x2，y2，整理可得方程（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2）.

師：思路清晰，運(yùn)算準(zhǔn)確，此處應(yīng)該有掌聲.大家發(fā)現(xiàn)這個(gè)式子是沒(méi)有辦法繼續(xù)化簡(jiǎn)的，類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，如何化簡(jiǎn)使得方程更加美觀？

生：雙曲線定義中，2c>2a，令c2-a2=b2，代入化簡(jiǎn)，得x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）.

師：所以曲線上的動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y）是滿足這個(gè)方程的解；反過(guò)來(lái)，以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)到點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離的差的絕對(duì)值等于2a，也就是說(shuō)，這個(gè)以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是雙曲線上的點(diǎn).我們稱x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.如果雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，它的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？（如圖4）

生：參考焦點(diǎn)在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，發(fā)現(xiàn)x與y的位置進(jìn)行了互換，所以焦點(diǎn)在y軸上的的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是y2a2-x2b2=1（a>0，b>0）.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，克服運(yùn)算過(guò)程中的畏難心理，探究并完成了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，達(dá)成了知識(shí)的遷移，通過(guò)運(yùn)算的相似性，化被動(dòng)為主動(dòng)，提高對(duì)復(fù)雜數(shù)據(jù)處理的能力，提升運(yùn)算素養(yǎng).

4 知識(shí)應(yīng)用，嘗試構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)創(chuàng)新能力

例1 已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-10，0），F(xiàn)2（10，0），雙曲線上一點(diǎn)P與F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于16，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

生：找出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)基本量，即2c=20，2a=16，計(jì)算出b=6，代入相應(yīng)方程即可.（教師詳細(xì)板書(shū).）

例2 已知A，B兩地相距800 m，在A地聽(tīng)到炮彈爆炸聲比在B地晚2 s，聲速為340 m/s，求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程.

生：先判斷軌跡的形狀.由A，B兩地聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間差及聲速，得出A，B兩地與爆炸點(diǎn)的距離差是定值.所以爆炸點(diǎn)在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線上，且爆炸點(diǎn)離A處比離B處遠(yuǎn)，所以爆炸點(diǎn)在靠近B處的雙曲線的一支上.（教師詳細(xì)板書(shū).）

設(shè)計(jì)意圖：例題來(lái)自教材，具有鮮明的基礎(chǔ)性、典型性和導(dǎo)向性，深入探究課本中的題目，在夯實(shí)基礎(chǔ)的同時(shí)，充分挖掘題目所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法，提升數(shù)學(xué)抽象思維，滲透數(shù)學(xué)建模能力，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

反思探索是教學(xué)的生命線.本堂課通過(guò)設(shè)計(jì)折紙游戲環(huán)節(jié)，引入探究性問(wèn)題，明確探究教學(xué)的任務(wù)要求.圍繞“雙曲線軌跡的發(fā)現(xiàn)—雙曲線定義的深度剖析—雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的建立—實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題的應(yīng)用”展開(kāi)，通過(guò)具體的折紙實(shí)驗(yàn)，直觀感知雙曲線的軌跡；通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析，抽象出雙曲線的定義，體現(xiàn)具體到抽象的數(shù)學(xué)思想.在整個(gè)教學(xué)中，筆者設(shè)計(jì)的問(wèn)題鏈一步步地引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)對(duì)雙曲線定義和方程的探究，在此過(guò)程中，筆者不做過(guò)多干預(yù)，只適時(shí)點(diǎn)撥，鋪設(shè)探究通道，引導(dǎo)學(xué)生朝著正確的方向思考.學(xué)生對(duì)新知的認(rèn)識(shí)是一次從“惑”到“識(shí)”、從“無(wú)”到“有”的自然生長(zhǎng)過(guò)程 ［3］.

“教是為了不教”.教學(xué)中要從大處著眼，小處著手，充分發(fā)揮學(xué)生的課堂主體地位，讓學(xué)生經(jīng)歷探究過(guò)程，從而深化數(shù)學(xué)思想，積累基本方法和基本經(jīng)驗(yàn).在課堂教學(xué)中，教師要不斷強(qiáng)化探究意識(shí)，讓學(xué)生能夠在潛移默化中建立數(shù)學(xué)眼光與抽象認(rèn)知，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］蔡金法，聶必凱，許世紅.做探究型教師［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2015：3.

［2］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2018.

［3］羅建宇.整體觀視角下高中數(shù)學(xué)教學(xué)的建構(gòu)與思考——兼談“雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué) ［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2022（10）：20-24.