孟繁喆

（柳州長虹航天技術(shù)有限公司， 廣西 柳州 545002）

0 引言

經(jīng)濟(jì)型數(shù)控機(jī)床已廣泛應(yīng)用于汽車、石油、軍工等機(jī)械加工行業(yè)，。此類機(jī)床機(jī)床結(jié)構(gòu)成熟，但功能簡單、性能較差，使得加工零件的圓輪廓精度無法保證[1]。 而圓輪廓誤差的控制及補(bǔ)償是保證零件圓輪廓精度的關(guān)鍵[2]。 因此， 經(jīng)濟(jì)型數(shù)控機(jī)床圓輪廓誤差補(bǔ)償方法的研究對(duì)提高其圓輪廓加工精度具有重要意義。

數(shù)控加工過程中， 產(chǎn)生圓輪廓誤差的主要原因有機(jī)械結(jié)構(gòu)誤差、負(fù)載擾動(dòng)以及伺服增益不匹配等[3-4]?；谏鲜鲈颍瑖鴥?nèi)外學(xué)者提出多種圓輪廓誤差補(bǔ)償策略，可概括為如下三類：第一類，Koren[5]提出的交叉耦合控制器，可借由各軸間的影響來相互補(bǔ)償直接減小圓輪廓誤差，但控制器設(shè)計(jì)復(fù)雜，輪廓誤差計(jì)算量大，導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)速度慢；第二類，Tomizuka[6]提出的ZPETC 算法，通過降低跟蹤誤差進(jìn)而間接減少圓輪廓誤差，但由于死區(qū)、摩擦力、定位力等的干擾， 使得此類開環(huán)控制方法不能有效地改善系統(tǒng)的圓輪廓誤差[7]；第三類，通過調(diào)整各軸的伺服增益參數(shù)來優(yōu)化其動(dòng)態(tài)特性，進(jìn)而降低圓輪廓誤差。 如張彥方等[8]通過匹配雙軸伺服系統(tǒng)增益抑制系統(tǒng)出現(xiàn)的動(dòng)蕩和抖動(dòng)，進(jìn)而降低圓輪廓誤差；孫建仁等[9]通過理論推導(dǎo)，得出高的伺服增益或使兩軸伺服增益盡可能相等對(duì)降低圓輪廓誤差十分有用。 第三類方法較前兩類方法有簡單、穩(wěn)定且易于實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)， 很適用于經(jīng)濟(jì)型數(shù)控機(jī)床的圓輪廓誤差控制。

此外，由于經(jīng)濟(jì)型數(shù)控機(jī)床多以絲杠為傳動(dòng)件，而絲杠存在反向間隙誤差會(huì)影響圓輪廓誤差[10]。 因此，在優(yōu)化伺服增益的基礎(chǔ)上推導(dǎo)反向間隙誤差對(duì)圓輪廓誤差的影響機(jī)理， 并提出基于伺服增益優(yōu)化及反向間隙補(bǔ)償?shù)慕?jīng)濟(jì)型數(shù)控機(jī)床圓輪廓誤差補(bǔ)償方法。 在VMC850 數(shù)控機(jī)床X-Y 進(jìn)給系統(tǒng)上驗(yàn)證該方法的有效性和可行性。

1 伺服增益不匹配產(chǎn)生的圓輪廓誤差

XY 兩軸在實(shí)際加工過程中圓輪廓誤差如圖1 所示，其中A、A' 分別為半徑R 圓弧輪廓某時(shí)刻理論位置點(diǎn)與實(shí)際位置點(diǎn)，ΔR 為實(shí)際位置點(diǎn)A' 半徑誤差量； 當(dāng)前X軸、Y 軸運(yùn)動(dòng)速度分量分 別 為Vx、Vy，Ex，Ey，跟隨誤差分別為Ex、Ey，角度α 為過圓心O 與理想位置點(diǎn)A 連線和X軸之間夾角。

圖1 圓輪廓誤差模型圖

由圖1 中幾何關(guān)系分析得：

式中：Kx、Ky分別為X 軸、Y 軸伺服系統(tǒng)增益。 由于ΔR 為無窮小量，忽略ΔR2，則：

式（2）說明伺服系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時(shí)伺服增益與輪廓誤差的關(guān)系，由公式可知，當(dāng)Kx、Ky增益同時(shí)減小時(shí)，輪廓誤差也會(huì)減小。此外，在實(shí)際輪廓加工運(yùn)動(dòng)控制過程中伺服系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性對(duì)圓輪廓誤差的影響也不可忽視。

為研究伺服系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性對(duì)圓輪廓誤差的影響，設(shè)Kx、Ky分別為X 軸、Y 軸伺服系統(tǒng)閉環(huán)增益，Tx、Ty分別為X 軸、Y 軸時(shí)間常數(shù)，K 為系統(tǒng)閉環(huán)增益，T 為系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)。 則X、Y 兩軸聯(lián)動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為：

式中：Xc（t）、Yc（t）—t 時(shí)刻目標(biāo)位置點(diǎn)；Xa（t）、Ya（t）—t 時(shí)刻實(shí)際位置點(diǎn)。

當(dāng)XY 平面內(nèi)兩軸運(yùn)行軌跡為半徑R 圓弧時(shí)， 輸入信號(hào)為：

式（5）為實(shí)際圓弧軌跡穩(wěn)態(tài)解，根據(jù)Xa2（t）+Ya2（t）=（R+ΔR）2，略去高階項(xiàng)ΔR2，得到t 時(shí)刻理想圓弧軌跡與實(shí)際圓弧軌跡之間誤差ea為：

將式（5）代入式（6）后展開，由于Tω＜1 ，略去其三階以上項(xiàng)可得：

分析式（7）可知，在其余變量保持不變的情況下，增大Kx和Ky或者使Kx與Ky盡量相等都能降低t 時(shí)刻理想圓弧軌跡與實(shí)際圓弧軌跡之間輪廓誤差ea；此外，增加Tx或Ty同樣能降低輪廓誤差ea。

2 反向間隙誤差產(chǎn)生的圓輪廓誤差

在以滾珠絲杠為傳動(dòng)部件的X-Y 平臺(tái)中，反向間隙誤差始終存在。由于X 軸、Y 軸在圓輪廓加工過程中需要不斷改變運(yùn)動(dòng)方向， 所以反向間隙誤差勢必會(huì)影響圓輪廓誤差。為分析反向間隙誤差對(duì)圓輪廓誤差的作用機(jī)理，假設(shè)X 軸、Y 軸伺服特性相同且K=1，X 軸、Y 軸的間隙誤差量分別為2Δx和2Δy。 軌跡x1（t）、y1（t）的穩(wěn)態(tài)解為：

假設(shè)起點(diǎn)位于xp（0）=rp-Δx，yp（0）=-Δy，則根據(jù)間隙非線性關(guān)系輸入輸出特性得到實(shí)際xp（t）、yp（t）為：

根據(jù)理想軌跡xc2（t）+yc2（t）=r2，設(shè)XY 兩進(jìn)給軸的方向誤差分量分別為ex和ey，則半徑誤差er為：

將實(shí)際軌跡表達(dá)式（9）代入式（10）并簡化后得半徑誤差er的表達(dá)式：

一般情況下間隙誤差量Δx、Δy遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于rp，故θx、θy很小，可忽略。則分析式（11）可知半徑誤差er在各象限內(nèi)按照余弦規(guī)律變化，而在換象限處有一跳躍變化。

3 圓輪廓誤差的補(bǔ)償策略及實(shí)驗(yàn)

3.1 圓輪廓誤差補(bǔ)償策略

基于伺服增益優(yōu)化及反向間隙誤差補(bǔ)償?shù)膱A輪廓誤差補(bǔ)償策略分為如下兩步：

第一步， 依據(jù)伺服增益產(chǎn)生圓輪廓誤差的機(jī)理對(duì)伺服增益進(jìn)行調(diào)整，進(jìn)而對(duì)圓輪廓誤差進(jìn)行補(bǔ)償。 采用單因素法依次對(duì)位置比例增益、前饋增益、速度比例增益以及速度積分常數(shù)等伺服參數(shù)進(jìn)行調(diào)整， 觀察對(duì)應(yīng)的響應(yīng)曲線并選擇出一組最優(yōu)參數(shù)，如表1 所示。

表1 X/Y 軸伺服驅(qū)動(dòng)器參數(shù)調(diào)整表

第二步，在伺服參數(shù)優(yōu)化的基礎(chǔ)上，基于自適應(yīng)加減速反向間隙誤差補(bǔ)償法分別補(bǔ)償X 軸、Y 軸的反向間隙誤差，進(jìn)一步改善圓輪廓誤差。

3.2 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

為驗(yàn)證通過優(yōu)化伺服增益和反向間隙誤差補(bǔ)償降低圓輪廓誤差方法的有效性，搭建如圖2 所示的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。該平臺(tái)主要由VMC850 數(shù)控機(jī)床、 運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)和雷尼紹QC20-W 無線球桿儀測量系統(tǒng)三部分構(gòu)成。 實(shí)驗(yàn)選取數(shù)控機(jī)床的X-Y 平面進(jìn)行測量，X 軸行程0～780mm，Y軸行程0～330mm。QC20-W 球桿儀的標(biāo)稱長度為100mm，行 程-1.25 ～+1.75mm，分辨率為0.1μm。

圖2 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

參照現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)GB/T17421.4—2003 《機(jī)床檢驗(yàn)通則第4 部分-數(shù)控機(jī)床的圓檢驗(yàn)內(nèi)容》，將實(shí)驗(yàn)分為三組： 第一組，在默認(rèn)的伺服參數(shù)且未進(jìn)行反向間隙誤差補(bǔ)償?shù)那闆r下進(jìn)行圓輪廓誤差測量；第二組，伺服參數(shù)按表1 優(yōu)化但未加入反向間隙誤差補(bǔ)償時(shí)進(jìn)行測量；第三組，既優(yōu)化伺服參數(shù)又進(jìn)行反向間隙誤差補(bǔ)償，然后再測量圓輪廓誤差。三組實(shí)驗(yàn)的因素對(duì)比表如表2。

表2 三組實(shí)驗(yàn)因素對(duì)比表

三組實(shí)驗(yàn)分別在順時(shí)針方向與逆時(shí)針方向進(jìn)行檢驗(yàn)。結(jié)合數(shù)控機(jī)床X 軸、Y 軸行程與雷尼紹QC20-W 無線球桿儀設(shè)備條件選擇測量直徑D=200mm，進(jìn)給率在常用速度段內(nèi)選用F=400mm/min。 為減少隨機(jī)誤差，每組實(shí)驗(yàn)都在同等實(shí)驗(yàn)條件下重復(fù)3 次， 并以3 次測試結(jié)果的算術(shù)平均值作為實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

依據(jù)實(shí)驗(yàn)條件， 分別按表2 實(shí)驗(yàn)條件對(duì)X 軸和Y 軸聯(lián)動(dòng)圓輪廓誤差各進(jìn)行3 次測量。 測量誤差項(xiàng)主要包括逆時(shí)針圓偏差Gxy、順時(shí)針圓偏差Gyx和圓滯后H，三組實(shí)驗(yàn)的測量結(jié)果如表3 所示。

表3 X-Y 進(jìn)給系統(tǒng)圓弧輪廓精度評(píng)價(jià)表

將三組實(shí)驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析可知： 第二組與第一組相比， 逆時(shí)針圓度偏差Gxy由0.0461mm 減少到0.0276mm，降低40.13%；順時(shí)針圓度偏差Gyx由0.0397mm減少到0.0293mm，減少26.20%；圓滯后H 由0.0207mm 減少到0.0153mm，減少26.09%。 第三組與第二組相比，逆時(shí)針圓度偏差Gxy由0.0276mm 增加至0.0306mm；順時(shí)針圓度偏差Gyx由0.0293mm 減少到0.0268mm，減少8.53%；圓滯后H 由0.0153mm 減少到0.0135mm，降低11.76%。三組實(shí)驗(yàn)的圓輪廓誤差評(píng)價(jià)直方圖如圖3 所示。

圖3 三組實(shí)驗(yàn)的圓輪廓誤差直方圖

由圖3， 加入反向間隙誤差補(bǔ)償后圓度和圓滯后指標(biāo)并沒有明顯改善，為進(jìn)一步驗(yàn)證反向間隙誤差補(bǔ)償對(duì)圓輪廓誤差的作用，分析圖4 所示的圓輪廓誤差診斷圖。 對(duì)比圖4（b）和圖4（a）可見，經(jīng)過伺服參數(shù)優(yōu)化后，有效改善由伺服動(dòng)態(tài)特性不匹配導(dǎo)致的圓輪廓誤差劇烈波動(dòng)， 有效減小機(jī)床圓度誤差。 再將加入反向間隙補(bǔ)償后的圓輪廓誤差診斷圖4（c）同圖4（b）對(duì)比可知，加入間隙誤差補(bǔ)償能有效避免圓輪廓在換象限處的跳躍誤差， 間接降低圓偏差和圓滯后。

圖4 三組實(shí)驗(yàn)的圓輪廓誤差診斷圖

4 結(jié)束語

以VMC850 數(shù)控機(jī)床XY 軸進(jìn)行圓輪廓誤差補(bǔ)償研究，通過對(duì)伺服增益、反向間隙誤差產(chǎn)生輪廓誤差的機(jī)理進(jìn)行推導(dǎo)， 并分別對(duì)比默認(rèn)伺服參數(shù)且未加入反向間隙誤差補(bǔ)償、優(yōu)化伺服參數(shù)但未加入反向間隙誤差補(bǔ)償、優(yōu)化伺服參數(shù)且加入反向間隙誤差補(bǔ)償三組圓輪廓誤差測量實(shí)驗(yàn)，得到如下結(jié)論：

（1） 基于伺服參數(shù)優(yōu)化的圓輪廓誤差補(bǔ)償法以其操作簡單、 不需改動(dòng)現(xiàn)有硬件等特點(diǎn)可有效降低機(jī)床XY平面的圓輪廓誤差。 對(duì)比未優(yōu)化時(shí)，逆時(shí)針圓度偏差Gxy降低40.13%；順時(shí)針圓度偏差Gyx減少26.20%。圓滯后H減少26.09%。

（2）反向間隙補(bǔ)償相比于伺服參數(shù)優(yōu)化，對(duì)圓輪廓誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)Gxy、Gyx、H 等改善并不明顯。 但對(duì)圓輪廓誤差診斷圖分析可知， 反向間隙誤差補(bǔ)償能有效避免圓輪廓在換向處的階梯性跳躍現(xiàn)象。