【摘 ? 要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》指出：“乘法是加法的簡便運算。”通過語義分析和歷史考察發(fā)現(xiàn)，像這樣用加法定義乘法是一種偶然，而且并不準確。除“加法說”外，關(guān)于乘法的定義還有“比例說”，據(jù)此可提取出乘法運算與加法運算不同的本質(zhì)屬性，至少包括“以數(shù)生數(shù)、相得乃生和構(gòu)成比例”。由此得出結(jié)論：乘法并非加法的簡便運算，其意義在數(shù)學(xué)課程中是不斷進化與拓展的，因此學(xué)生的認知過程應(yīng)當是提升與修正的概念轉(zhuǎn)變過程，而不是通過還原為加法，把“多元的意義變?yōu)閱我弧?，把“多樣的算法變?yōu)橐粯印保粦?yīng)讓學(xué)生形成“所有乘法都要還原成加法”以及“所有數(shù)的乘法都一樣”的誤解。

【關(guān)鍵詞】乘法；加法；比例；一致性

小學(xué)數(shù)學(xué)課程通常用加法定義乘法，把乘法運算視為相同加數(shù)求和，是加法的簡便運算，這不妨稱作乘法定義的“加法說”。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）在第一學(xué)段的“學(xué)業(yè)要求”和“教學(xué)提示”中要求學(xué)生描述并理解“乘法是加法的簡便運算”，默認了“乘法是加法”的判斷為真命題。然而，通過語義分析和歷史考察，發(fā)現(xiàn)事實并非如此。

一、語義分析

“乘法是加法”的表述屬于“A是B ”的句式，當A與B分別表示同類事物、事件和人時，二者的關(guān)系主要有兩種：“同一關(guān)系”和“包含—被包含關(guān)系”。［1］乘法和加法同屬運算類，并不符合這樣的語義關(guān)系。

“同一關(guān)系”指的是兩個不同的名稱所指的是同一對象或同樣意義。如“中國的首都是北京”，“中國的首都（A）”與“北京（B）”是同一城市的兩個不同名稱，所指對象和意義相同。此時主語A與賓語B具有順序的可交換性，“A是B ”與“B是A”具有相同的意義，“中國的首都是北京”與“北京是中國的首都”意義相同。數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中類似的例子很多，如“下午3點是15點”。乘法與加法兩種運算顯然不是這樣的同一關(guān)系，即乘法不等于加法。

“包含—被包含關(guān)系”指的是將賓語B所指對象視為一個集合（屬概念），主語A所指對象是賓語B中的元素或子集（種概念），所以也叫種屬關(guān)系。如“我們是教師”，“教師（B）”是一個職業(yè)名稱，是包含很多人的集合，“我們（A）”是被包含于或?qū)儆谶@個集合的元素或子集。此時，“A是B ”中的主語和賓語不具有順序的可交換性，也即不能說“教師是我們”。正如數(shù)學(xué)中可以說“2是質(zhì)數(shù)”，但不能說“質(zhì)數(shù)是2”；可以說“正方形是長方形”，但不能說“長方形是正方形”。乘法與加法當然也不是這樣的種屬關(guān)系，即乘法不屬于加法。

無論是同一關(guān)系還是種屬關(guān)系，如果“A是B ”為真，就意味著A要具備B的全部屬性，即“如果是A則是B ”與其逆否命題“如果非B則非A”需要同時為真。比如，如果“我們是教師”為真，那么“我們”中的任何成員都一定是教師；反之，不是教師的人一定不是“我們”中的成員。再如，因為“2是質(zhì)數(shù)”為真，所以不是質(zhì)數(shù)的數(shù)一定不是2。

對于乘法與加法兩個運算，如果說“乘法是加法”為真，就意味著每一個乘法運算應(yīng)當具有加法運算的全部屬性，即“如果是乘則是加”與“如果非加則非乘”同時為真。從算法的角度看，這樣的判斷適用于整數(shù)（自然數(shù)），如乘法算式“2×3”等價于加法算式“2+2+2”或“3+3”。但類似于“0.2×0.3”以及“[23]×[34]”這樣的小數(shù)和分數(shù)乘法，就會呈現(xiàn)出“乘法未必是加法”的特征。

二、矛盾的出現(xiàn)

如果乘法在整數(shù)范圍內(nèi)是加法，在分數(shù)或小數(shù)范圍內(nèi)又不是加法，就出現(xiàn)了“乘法既是加法，又不是加法”的現(xiàn)象。形式邏輯中的“無矛盾律”要求兩個相互對立的判斷在同一系統(tǒng)中不能同時為真。如果把小學(xué)數(shù)學(xué)中的整數(shù)、分數(shù)和小數(shù)視為一個數(shù)的系統(tǒng)，那么“乘法是加法”與“乘法非加法”同時為真，就成了邏輯意義的自相矛盾，即乘法運算在數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中呈現(xiàn)出違背“一致性（consistency）”的“非一致性（inconsistency）”現(xiàn)象，因而成為學(xué)生認知上的障礙。

這樣的問題實際是源于乘法運算的意義進化。隨著學(xué)段的升高，數(shù)學(xué)課程中數(shù)的范圍不斷拓展，乘法運算的意義自然也會隨之變化和延伸。鞏子坤等認為：“從運算意義的角度而言，所有運算都可以還原成加法，加法是所有運算的基礎(chǔ)?！保?］并將這一判斷應(yīng)用于整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)乘法運算的一致性上，具體做法是利用所謂的“計數(shù)單位”［3-4］，將分數(shù)和小數(shù)這樣的“非整數(shù)”還原為整數(shù)，將分數(shù)與小數(shù)“非加法”的乘法運算還原為加法。趙莉等將乘法運算的一致性表述為：計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘，計數(shù)單位個數(shù)與計數(shù)單位個數(shù)相乘。［5］125如小數(shù)乘法“0.2×0.3=（2×0.1）×（3×0.1）=（2×3）×（0.1×0.1）=6×0.01=0.06”和分數(shù)乘法“[23]×[34]=（2×[13]）×（3×[14]）=（2×3）×（[13]×[14]）=6×[112]=[612]=[12]”的運算。她還將這樣的內(nèi)容用在六年級總復(fù)習教學(xué)中，并將教學(xué)效果表述為：“非常值得高興的是，課堂上幾乎所有的學(xué)生都恍然大悟，原來整數(shù)、分數(shù)和小數(shù)的運算都是一樣的?！保?］127 然而，這樣的教學(xué)設(shè)計與教學(xué)極易讓學(xué)生形成“所有數(shù)的乘法都一樣”的思維經(jīng)驗。試想，如果六年級學(xué)生形成了“所有數(shù)的乘法都一樣”的認識，他們進入中學(xué)面對諸如[2×3]這樣的無理數(shù)乘法時，該如何將其還原為加法進行認識與理解呢？

像這樣將“非整數(shù)還原為整數(shù)，非加法還原為加法”的做法，是把“多樣的算法”變?yōu)椤耙粯拥淖龇ā保瑑H是對小數(shù)和分數(shù)乘法運算的程序操作和正確性的解釋，具有類似于計算機程序的特征，局限于符號運算的程序性和正確性，并未呈現(xiàn)出乘法運算的實際意義和本質(zhì)屬性，而且由此形成的思維定勢，會對今后進一步學(xué)習數(shù)學(xué)產(chǎn)生加法“固著（fixation）”的負面影響。

長期以來，數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究中對“乘法是加法”的質(zhì)疑和反對的聲音很多。美國著名哲學(xué)家、教育家約翰·杜威（John Dewey）等早在19世紀出版的《數(shù)的心理學(xué)》中就明確指出：“如果有人堅持說乘法是加法，就請他用加法說明為什么[2×3=6]?！保?］美國20世紀著名心理學(xué)家愛德華·李·桑代克（Edward Lee Thorndike，1874—1949），在1922年出版的《算術(shù)心理學(xué)》中說：“研究表明，乘法源于計數(shù)（counting），而不是像許多教科書所說的，乘法源于加法?！保?］

杜威與桑代克是從心理學(xué)研究的角度證明乘法與加法的思維過程和方式是不同的。美國哈佛大學(xué)的凱斯·德芙林（Keith Devlin）則于2008年發(fā)文，從數(shù)學(xué)專業(yè)的視角反對乘法定義的“加法說”，并強烈呼吁停止用加法定義乘法。［8］加拿大卡爾加里大學(xué)研究數(shù)學(xué)教育的布倫特·戴維斯（Brent Davis），于2011年在美國《科學(xué)》雜志中刊文指出，“乘法是加法”只在小學(xué)低年級適用，稍高年級就會發(fā)生變化，并用實例提出質(zhì)疑：

l 圓的直徑[d]與圓周率[π]相乘等于圓周長：[π×d]怎么是加法呢？

l 負數(shù)的乘法運算：（-1）×（-1）= +1怎么是加法呢？［9］

事實上，諸如此類都是“乘法是加法”這一命題的反例。著名數(shù)學(xué)哲學(xué)家馬克·斯坦納（Mark Steiner，1942—2020）把“加法說”的乘法定義稱為“偽定義（pseudo definition）”，它混淆了乘法的“應(yīng)用（application）”與乘法的“定義（definition）”。［10］也就是說，相同加數(shù)求和可以用乘法僅是乘法的一個應(yīng)用，并不意味著“乘法是加法”這一命題為真。由此看來，從語義、思維、數(shù)學(xué)和邏輯等方面看，“乘法是加法”和“乘法是加法的簡便運算”的說法都缺乏依據(jù)，至少是不準確的表述，試圖用其解決乘法運算的一致性問題自然是不可能實現(xiàn)的，因此需要從歷史的視角進一步考察：

l 乘法定義的“加法說”是如何形成與發(fā)展的？

l 乘法運算的實際意義和本質(zhì)屬性究竟是什么？

三、歷史考察

（一）加法說

不可否認，乘法定義的“加法說”是有歷史傳承的，古今中外普遍存在。我國歷史上最為經(jīng)典的是清代數(shù)學(xué)家焦循（1763—1820）在《加減乘除釋》第三卷中的說法：“乘以馭加之繁，除以馭減之繁?！保?1］英國19世紀著名數(shù)學(xué)家奧古斯丁·德·摩根（Augustus de Morgan，1806—1871）所著的《算術(shù)原本》中也有類似的表述。［12］

究其根源，這樣的認識源于古希臘歐幾里得《幾何原本》的第一個英譯本，出版時間為1570年，譯者是曾任英國倫敦市長的亨利·比林斯利（Henry Billingsley，1538—1606），他將希臘原文定義中的“συντεθ”譯為英文的“自身相加（added to itself）”。［13］后人經(jīng)考證，發(fā)現(xiàn)這是誤譯，希臘原文的本義是幾何圖形“放在一起（placed together）”（如圖1）。況且《幾何原本》中的乘法定義出現(xiàn)于第7卷，之前的6卷中從未出現(xiàn)過加法概念及其定義，按照《幾何原本》嚴謹?shù)难堇[推理風格，不可能用未定義的加法定義乘法。［14］

比林斯利翻譯的《幾何原本》英譯本廣為流傳，使“乘法是加法”的說法影響廣泛，后續(xù)許多《幾何原本》的英譯本都沿襲了比林斯利英譯本的表述，自然也影響到了《幾何原本》的中文譯本。蘭紀正等依據(jù)20世紀標準的希思（Thomas Little Heath，1861—1940）英譯評注本所翻譯的中譯本中，將乘法定義表述為：“所謂一個數(shù)乘一個數(shù)，就是被乘數(shù)自身相加多少次而得出的某數(shù)，這相加的個數(shù)是另一數(shù)中單位的個數(shù)?！保?5］這樣的表述與比林斯利英譯本中的表述意義一致。由此看來，乘法定義的“加法說”是一種歷史的偶然，而非必然。

（二）比例說

進一步考察發(fā)現(xiàn)，歷史上對乘法還有一種“以數(shù)生數(shù)”的定義。［16］17世紀英國藝術(shù)家、詩人愛德華·柯克爾（Edward Cocker，1631—1676）所著的《柯克爾算術(shù)（Cocker Arithmetick）》［17］在當時的歐洲影響廣泛，書中對乘法的定義為：“乘法是從兩個數(shù)生成①第三個數(shù)的運算，生成的第三個數(shù)與其中一個數(shù)的比，等于另一個數(shù)與單位的比。”［18］用數(shù)學(xué)符號語言表述為：[a×b=c]是由[a和b]生成[c]的運算，生成的[c]與[a和b]的關(guān)系為：[c：a=b：1]或[c：b=a：1]。17世紀偉大的科學(xué)家、數(shù)學(xué)家牛頓所著的《通用算術(shù)（Universal Arithmetic）》中對乘法意義的表述與此類似。［19］

這樣的認識與“加法說”不同，是將乘法運算看作“以數(shù)生數(shù)”的過程，生與被生的數(shù)構(gòu)成比例關(guān)系，因此這樣的乘法定義可以叫作“比例說”。按照美國著名數(shù)學(xué)史學(xué)家大衛(wèi)·史密斯（David Eugene Smith，1860—1944）的考證，乘法定義的“比例說”源于東方的印度，在歐洲首次出現(xiàn)于1300年出版的用拉丁文介紹印度十進制記數(shù)與計算的小冊子《十進制的技術(shù)（The Crafte of Nombrynge）》中。［20］

我國清代數(shù)學(xué)家李善蘭（1811—1882）與英國傳教士偉烈亞力（Alexander Wylie，1815—1887）合作翻譯的《幾何原本》第7卷中，也是用“比例說”定義乘法的：“甲乘乙既生丙，則乙度丙得若干，與甲中之若干一等?！保?1］其中的“度”就是“比”的意思，即甲乘乙生成丙，乙與丙的比等于甲與一的比。李善蘭與偉烈亞力在譯本中沒有具體指明譯文依據(jù)的底本，但從乘法定義的表述看，與比林斯利的英譯本明顯不同。

利用“以數(shù)生數(shù)”表達乘法在我國歷史上屢見不鮮。清代數(shù)學(xué)家梅文鼎（1633—1721）所著《筆算》中對乘法的定義為：“以數(shù)生數(shù)，是之謂乘，數(shù)不能自生，相得乃生，故乘亦曰因。生則不窮，故乘有升義，生則曰積，故乘有載義?！保?2］偉烈亞力在所著《數(shù)學(xué)啟蒙》中對乘法的表述為：“乘者生數(shù)也，以數(shù)生數(shù)，有生生不已之義焉?！保?3］ 此后，汪香祖（1815—不詳）的《中算斠》［24］ 以及民國時期出版的《增刪校正算法統(tǒng)宗》［25］中 ，都有類似的說法。

通過以上考察可以得出結(jié)論，乘法定義的“加法說”出自《幾何原本》，但并非是《幾何原本》中乘法的本義。除此之外，還存在類似于“比例說”的其他認識。從“比例說”的視角看乘法運算，可以提取出乘法運算的本質(zhì)屬性，主要表現(xiàn)為：以數(shù)生數(shù)、相得乃生和構(gòu)成比例。在此基礎(chǔ)上，可以進一步分析乘法與加法在實際意義方面的差異。

四、實際意義

從廣義的視角看，運算是一種“動作（operation）”，既有發(fā)生于現(xiàn)實世界具象的意義，也有發(fā)生于符號世界和思維世界抽象的意義。通過現(xiàn)實世界的具身動作、符號世界的程序操作和思維世界的推理想象三者之間的聯(lián)系與交互，就構(gòu)成了形成與理解運算意義的“概念域（conceptual field）”。［26］因此，對于乘法運算實際意義的形成與理解，僅局限于抽象符號的程序操作是遠遠不夠的。下面以小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的“搭配問題”為例，說明乘法與加法實際意義的不同。

l 問題：2件上衣和3條褲子，可以搭配出多少套衣服？

這一問題可以用抽象符號的乘法運算2×3=6得到“6套衣服”的答案。但從現(xiàn)實世界的具象意義看，此時2×3=6的意義并非“3個2”或“2個3”相加。數(shù)字符號“2”和“3”分別指現(xiàn)實世界的上衣和褲子，“3個2”是2件上衣重復(fù)3次，結(jié)果應(yīng)當是6件上衣；同樣，“2個3”是3條褲子重復(fù)2次，即6條褲子?？梢姡Y(jié)果都不是“6套衣服”。因此把2×3=6看作加法，就無法實現(xiàn)符號世界與現(xiàn)實世界的聯(lián)系與交互，自然也就無法形成并理解2×3=6的實際意義。

事實上，問題中的“搭配”體現(xiàn)的是乘法運算“以數(shù)生數(shù)”的意義，是現(xiàn)實世界“無中生有的制造”。給定的是“上衣”和“褲子”，此時現(xiàn)實世界中并不存在“1套衣服”，是人依據(jù)主觀意愿無中生有地制造出來的概念。將1件上衣和1條褲子搭配成“一對”，成為一個新對象，命名為“1套衣服”，相當于制造了一個新對象的單位，用符號表示為：

l 1件上衣[×]1條褲子=1套衣服

如果把上衣和褲子視為產(chǎn)生整套衣服的原因，那么“搭配問題”還體現(xiàn)出思維世界“雙因一果”的推理：給定1件上衣和1條褲子，使得“1套衣服”隨之確定；那么給定2件上衣和3條褲子，可以確定多少套衣服？用符號表示為：

l 2件上衣=2[×]（1件上衣）

l 3條褲子=3[×]（1條褲子）

l 2件上衣[×]3條褲子=2[×]［3[×]（1件上衣[×]1條褲子）］=6（套）

此時2[×]3運算中的數(shù)字符號“2”和“3”所指的不再是上衣和褲子，而是抽象為思維世界的“倍”。運算過程是兩次加倍，第一次是1套的3倍等于3套，第二次是3套的2倍等于6套（如圖2）。

因此，“搭配問題”體現(xiàn)的是乘法運算“以數(shù)生數(shù)”的實際意義，表現(xiàn)為現(xiàn)實世界“無中生有的制造”以及思維世界“雙因一果的推理”。小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的“長方形的面積=長[×]寬”與“長方體的體積=長[×]寬[×]高”，其乘法運算的實際意義都與此類似［27］，依據(jù)的都是乘法定義的“比例說”，而不是“加法說”。

乘法運算與加法運算的不同還表現(xiàn)為因數(shù)之間的“相得乃生”，即因數(shù)與因數(shù)相互關(guān)聯(lián)和相互作用的生數(shù)過程。對于加法算式ɑ+b=c，如果其中的加數(shù)b發(fā)生變化，比如增加1變?yōu)椤癰+1”，另一個加數(shù)ɑ保持不變，那么運算結(jié)果c隨之增加1，變?yōu)椤癱+1”，即ɑ+（b+1）=c+1。運算結(jié)果c的變化與加數(shù)b的變化一致，與加數(shù)ɑ沒有關(guān)系，這說明加法運算不具備“相得乃生”的屬性。

乘法算式ɑ[×]b=c與加法運算不同，如果因數(shù)b增加1變?yōu)椤癰+1”，相當于作用于另一個因數(shù)ɑ的方式改變，運算結(jié)果從c變?yōu)椤癱+ɑ”，即ɑ[×]（b+1）=c+ɑ。運算結(jié)果的變化與另一個因數(shù)ɑ是相關(guān)的，兩個因數(shù)ɑ與b是相互關(guān)聯(lián)、相互作用的，具有“相得乃生”的意義。在“搭配問題”中，如果3條褲子增加1條變?yōu)?條，相當于增加了與上衣數(shù)相同的搭配方式，因此總套數(shù)就變?yōu)?套（如圖3）。

由此可見，數(shù)學(xué)中的加法與乘法兩種運算從實際意義方面看，并非“同一關(guān)系”或“包含—被包含關(guān)系”，當然也就不應(yīng)將二者關(guān)系簡單地表述為“乘法是加法”或“乘法是加法的簡便運算”。因而“所有運算都可以還原成加法”這一命題也不成立。

數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的一個顯著特征是意義的進化與拓展，因而數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的目標之一是讓學(xué)生有機會經(jīng)歷“概念轉(zhuǎn)變”的過程。概念轉(zhuǎn)變是理解過程中的修正與提升，需要經(jīng)歷的是“從否認到確認”，而不是還原。［28］因此，需要進一步理解數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的一致性，謹防誤解。

五、謹防誤解“一致性”

數(shù)學(xué)課程內(nèi)容與教學(xué)所追求的“一致性”，并非把不同的內(nèi)容變?yōu)橄嗤?，而是在承認進化與拓展的前提下，追求邏輯意義的“無矛盾性（consistency）”和認知上的“貫通性（coherence）”，讓數(shù)學(xué)課程內(nèi)容成為“無縫的序列（seamless sequence）”。［29］

邏輯意義的“無矛盾性”是同中之異在思維中的并存與契合，是矛盾的雙方在一定條件下的相互轉(zhuǎn)化，是“對立統(tǒng)一”辯證思維的表現(xiàn)。［30］比如計數(shù)過程中的自然數(shù)“3”，同時具有“第三”的序數(shù)意義和“三個”的基數(shù)意義，前者表示的“第三”是“一個”，后者表示的“三個”是“多個”，同一個數(shù)字符號出現(xiàn)了“既是一個，也非一個”或“既是三個，也非三個”的歧義現(xiàn)象，這是無法改變的現(xiàn)實。課程與教學(xué)設(shè)計首先需要承認這樣的現(xiàn)實，進而通過課程與教學(xué)設(shè)計實現(xiàn)不同意義并存與契合的對立統(tǒng)一。又如，小學(xué)數(shù)學(xué)中的“分數(shù)基本性質(zhì)”表明[13]=[26]是正確的，但在中學(xué)指數(shù)運算中就會出現(xiàn)不適用的情況，[（-8）13與（-8）26]就不是相等關(guān)系。［31］因此，出現(xiàn)了[13]=[26]有時成立有時不成立的現(xiàn)象。要解決此類問題，首先需要承認現(xiàn)實，在此基礎(chǔ)上進一步探究分數(shù)基本性質(zhì)在指數(shù)運算中的新的意義，進而發(fā)現(xiàn)[（a）13與（a）26]相等所需要的條件，逐步感悟到數(shù)學(xué)中所有真命題都是有條件的。

與此類似，如果在認識乘法之初就把乘法視為加法，那么在更大數(shù)域范圍內(nèi)，自然會出現(xiàn)乘法不是加法的情況。因此，處理的方式不應(yīng)是通過“復(fù)古式的還原”消滅矛盾，而應(yīng)是通過“進化式的拓展”探尋新的意義，進而實現(xiàn)概念意義進化過程中的概念轉(zhuǎn)變。這就需要樹立課程與教學(xué)設(shè)計中的動態(tài)觀念，認識到數(shù)學(xué)課程內(nèi)容并非一成不變、確信無疑的，而是具有時間和空間意義的可變與可誤的非確定性。正如偉大的科學(xué)家愛因斯坦（Albert Einstein，1879—1955）在一次演講中所說：“如果數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界（reality）相關(guān)，那它就不是確定的；如果數(shù)學(xué)是確定的，那它就與現(xiàn)實世界無關(guān)。”［32］將這樣動態(tài)與變化的數(shù)學(xué)觀融入數(shù)學(xué)課程與教學(xué)，自然有益于發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)：

l 用差異與發(fā)展的眼光看待現(xiàn)實世界；

l 用多元與靈活的思維思考現(xiàn)實世界；

l 用豐富與準確的語言表達現(xiàn)實世界。

總之，相同加數(shù)求和可以用乘法計算僅僅是乘法運算的一個應(yīng)用，并不意味著“乘法是加法的簡便運算”。學(xué)生對乘法運算的認知始于加法，但不能止于加法?！墩n程標準》中所說的“數(shù)與運算的一致性”應(yīng)當理解為，是在數(shù)與運算意義進化與拓展的前提下，在不同意義中思維的聯(lián)系與貫通［33］，而不是把“多元的意義變?yōu)閱我弧?，把“多樣的算法變?yōu)橐粯印?，更不?yīng)讓學(xué)生形成“所有乘法都要還原成加法”，以及“所有數(shù)的乘法都一樣”的誤解。課程內(nèi)容與教學(xué)設(shè)計中應(yīng)重點突出乘法與加法的差異，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習過程中逐步感悟到：雖然相同加數(shù)求和可以用乘法，但乘法真的不是加法！

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（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院）