裘陸勤 章勤瓊

【摘 ? 要】“多邊形的面積”是小學(xué)階段“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容之一，其本質(zhì)是把未知圖形的面積通過割補、倍拼、分割等方法轉(zhuǎn)化為已知圖形的面積。教師基于學(xué)習(xí)路徑的分析，對“多邊形的面積”單元進行了整體教學(xué)思考，確定本單元的核心目標是用轉(zhuǎn)化思想探索多邊形面積的計算方法，并從意識、方法與策略等角度確定轉(zhuǎn)化的內(nèi)涵與層次，以此重新設(shè)計單元教學(xué)路徑。

【關(guān)鍵詞】學(xué)習(xí)路徑；單元整體教學(xué)；多邊形的面積；轉(zhuǎn)化思想

“多邊形的面積”是小學(xué)階段“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容之一，包括平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積、組合圖形的面積和不規(guī)則圖形的面積以及解決問題等學(xué)習(xí)內(nèi)容。一般而言，“多邊形的面積”單元是學(xué)生掌握了長方形和正方形的面積計算、多邊形的認識、圖形的平移與旋轉(zhuǎn)之后學(xué)習(xí)的內(nèi)容，也為后續(xù)學(xué)習(xí)立體圖形側(cè)面積、表面積和體積的計算以及圓面積計算等內(nèi)容奠定基礎(chǔ)。求多邊形的面積的本質(zhì)是把未知圖形的面積通過割補、倍拼、分割等方法轉(zhuǎn)化為已知圖形的面積。實際教學(xué)中，教師不僅要注重學(xué)生對多邊形的面積的推導(dǎo)過程，還要引導(dǎo)學(xué)生探究所研究的圖形與轉(zhuǎn)化后的圖形之間的聯(lián)系。

此外，在“多邊形的面積”的教學(xué)中，教師還需要落實推理意識這一核心素養(yǎng)表現(xiàn)。推理意識主要是指“對邏輯推理過程及其意義的初步感悟”［1］，在“圖形與幾何”領(lǐng)域的具體表現(xiàn)是能夠用化歸的方法形成局部的演繹推理［2］。這里的化歸是指將所研究的的圖形轉(zhuǎn)化為已經(jīng)會計算面積的圖形來求面積。然而，轉(zhuǎn)化思想的形成并不是一蹴而就的，要真正學(xué)會轉(zhuǎn)化，學(xué)生需要經(jīng)歷不同的層次。在“多邊形的面積”的教學(xué)中，教師可以從意識、方法與策略等角度真正滲透轉(zhuǎn)化思想。為此，筆者基于學(xué)習(xí)路徑分析的研究框架［3］，對“多邊形的面積”單元進行了整體教學(xué)的思考。

一、理解單元學(xué)習(xí)目標

（一）單元內(nèi)容概述

人教版教材五年級上冊“多邊形的面積”單元的教學(xué)目標主要包括：（1）探索并掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積公式；（2）會用面積公式計算平行四邊形、三角形和梯形的面積，并解決生活中一些簡單的實際問題；（3）認識簡單的組合圖形，會把組合圖形分解成已學(xué)過的平面圖形并計算出它的面積；（4）會用方格紙估計不規(guī)則圖形的面積。

北師大版教材五年級上冊將相關(guān)內(nèi)容分為“多邊形的面積”和“組合圖形的面積”兩個單元進行教學(xué)。“多邊形的面積”單元的教學(xué)目標主要包括：（1）體驗數(shù)方格及割補法在圖形面積探究中的應(yīng)用；（2）認識梯形、平行四邊形與三角形的高，會用三角尺畫這三種圖形的高；（3）理解并掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積計算公式，會計算這三種圖形的面積。

“組合圖形的面積”單元的教學(xué)目標主要包括：（1）能正確計算簡單的組合圖形的面積；（2）能估計不規(guī)則圖形面積的大小；（3）認識面積單位公頃和平方千米，會進行簡單的面積單位換算。

對比發(fā)現(xiàn)，兩個版本教材關(guān)于“多邊形的面積”的編排和教學(xué)目標有所不同，但都提出了探索并掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積公式，且能計算組合圖形和不規(guī)則圖形的面積等要求。具體而言，人教版教材在第1課時直接教學(xué)平行四邊形的面積；北師大版教材在第1課時先鋪墊了數(shù)方格及割補法在圖形面積探究中的應(yīng)用，幫助學(xué)生積累探索圖形面積的活動經(jīng)驗。

由此得出，本單元的教學(xué)內(nèi)容主要有以下三個方面：（1）探究多邊形的面積公式，會用面積公式解決問題；（2）會計算組合圖形的面積；（3）會估計不規(guī)則圖形的面積。

（二）確定核心目標

史寧中認為，面積度量的實質(zhì)就是計算該圖形包含多少個面積單位。［4］ “多邊形的面積”單元的教學(xué)目標就是讓學(xué)生運用度量單位計算圖形的面積，主要分為三個階段：第一階段，由于“不是整格”，故引導(dǎo)學(xué)生運用割補法實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，即讓學(xué)生先借助數(shù)方格的方法得到平行四邊形的面積，再把平行四邊形面積通過割補法轉(zhuǎn)化為長方形面積；第二階段，由于不能用割補法直接解決問題，所以需要引導(dǎo)學(xué)生用倍拼等方法，把三角形轉(zhuǎn)化為長方形或平行四邊形來求面積；第三階段，靈活選擇和運用多種方法，即讓學(xué)生把梯形轉(zhuǎn)化為長方形、平行四邊形或三角形來求面積，把組合圖形通過割補法轉(zhuǎn)化為已經(jīng)會計算面積的圖形，根據(jù)圖形的特點將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形等各種策略與方法，估計出不規(guī)則圖形的面積。

由此可知，“多邊形的面積”這一單元的核心目標是：在探索多邊形面積的過程中，滲透轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展學(xué)生的推理意識與空間觀念。

（三）核心目標具體化

結(jié)合以上整體分析可知，轉(zhuǎn)化思想是本單元需要落實的核心目標。具體而言，體現(xiàn)在以下三個方面：（1）在探究平行四邊形面積的過程中形成轉(zhuǎn)化意識。學(xué)生首先要以圖形內(nèi)在聯(lián)系為線索，思考學(xué)過面積計算的目標圖形有哪些，如學(xué)習(xí)平行四邊形面積之前，學(xué)生只學(xué)習(xí)了長方形和正方形的面積計算，因此學(xué)生要想辦法把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形或正方形；再探究怎樣把現(xiàn)有圖形轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)過的目標圖形；最后驗證現(xiàn)有圖形是否真的變成了學(xué)過的目標圖形，它們哪里變了，哪里沒有變。（2）在探究三角形面積的過程中掌握轉(zhuǎn)化方法。教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖形之間的轉(zhuǎn)化方法，如割補法、倍拼法、分割法，掌握其作用及適用范圍。（3）在探究梯形和組合圖形面積的過程中學(xué)會選擇合適的轉(zhuǎn)化策略。此時，學(xué)生已經(jīng)具備了轉(zhuǎn)化意識，掌握了轉(zhuǎn)化方法，能用較多的方法計算梯形和組合圖形的面積，教師要引導(dǎo)學(xué)生對比計算面積的不同方法，思考轉(zhuǎn)化過程中各種方法的相同點和不同點，積累圖形面積計算的活動經(jīng)驗。

二、確定學(xué)習(xí)起點

本單元的核心目標是滲透轉(zhuǎn)化思想，具體需要從轉(zhuǎn)化意識、轉(zhuǎn)化方法與轉(zhuǎn)化策略三個方面進行考查。因此，學(xué)生已經(jīng)具備怎樣的轉(zhuǎn)化水平是本單元教學(xué)的重要依據(jù)。為了解學(xué)生的轉(zhuǎn)化水平，筆者從學(xué)生是否具有轉(zhuǎn)化意識和所使用的轉(zhuǎn)化方法兩個方面入手，對五年級兩個教學(xué)班的56名學(xué)生進行了前測。而轉(zhuǎn)化策略作為本單元學(xué)習(xí)需要達成的最高轉(zhuǎn)化水平，在前測中沒有涉及。

（一）前測題設(shè)計

為了解學(xué)生的真實學(xué)習(xí)情況，筆者設(shè)計了3道前測題。第1題指向?qū)W生是否有意識地把平行四邊形轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的圖形，第2題指向?qū)W生能否檢驗轉(zhuǎn)化前后圖形的面積是否保持不變，第3題指向?qū)W生在探索三角形面積時是否有不同的轉(zhuǎn)化方法。具體前測題如下。

1.這個圖形的面積是多少？（每個方格的邊長是1厘米）

2.這個圖形的面積是多少？（每個方格的邊長是1厘米）

小明是這樣做的：7×4=28（cm2）。

（1）你覺得小明是怎么想的？

（2）你同意小明的做法嗎？為什么？

3.這個圖形的面積是多少？用盡可能多的方法計算該圖形的面積。（每個方格的邊長是1厘米）

（二）前測結(jié)果分析

從轉(zhuǎn)化意識和轉(zhuǎn)化方法兩個方面對前測結(jié)果進行分析，其中轉(zhuǎn)化意識又分為能將現(xiàn)有圖形轉(zhuǎn)化為目標圖形和能有意識地對現(xiàn)有圖形和目標圖形進行比較兩個不同的水平，可將前測結(jié)果劃分為四個水平層次：水平0，不會轉(zhuǎn)化；水平1，能把現(xiàn)有圖形變成目標圖形，即能就第1題給出合理解答；水平2，能對現(xiàn)有圖形和目標圖形進行比較，檢驗面積是否不變，即能就第2題給出合理解答；水平3，能用多樣化的方法解決多邊形面積問題，即能用2種及以上的方法解答第3題。具體的水平劃分如表1所示。

三、單元整體設(shè)計的思考

按照人教版教材的編排方式，“多邊形的面積”單元的學(xué)習(xí)分為三個階段：第一階段是學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形和梯形的面積，第二階段是學(xué)習(xí)組合圖形的面積，第三階段是估測不規(guī)則圖形的面積。教學(xué)時，教師不僅要讓學(xué)生掌握不同多邊形的面積計算公式，還要讓他們形成轉(zhuǎn)化思想。為此，教師要更加關(guān)注學(xué)生轉(zhuǎn)化思想的形成過程，讓他們通過學(xué)習(xí)不同圖形的面積，經(jīng)歷以下三個層次：首先是形成轉(zhuǎn)化意識，即學(xué)生要關(guān)聯(lián)目標圖形和現(xiàn)有圖形，嘗試把現(xiàn)有圖形轉(zhuǎn)化為目標圖形，這是轉(zhuǎn)化的開始；其次是學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化方法，即學(xué)生在把現(xiàn)有圖形轉(zhuǎn)化為目標圖形的過程中總結(jié)出轉(zhuǎn)化方法，豐富轉(zhuǎn)化經(jīng)驗，這是轉(zhuǎn)化思想的核心；最后是形成轉(zhuǎn)化策略，即學(xué)生在掌握了多種轉(zhuǎn)化方法后，再遇到新圖形的面積計算，要學(xué)會選擇合適的轉(zhuǎn)化策略，建立不同轉(zhuǎn)化方法之間的聯(lián)系，這是轉(zhuǎn)化的優(yōu)化。學(xué)生只有完整地經(jīng)歷轉(zhuǎn)化的三個層次，才能學(xué)會利用轉(zhuǎn)化思想解決生活中更多復(fù)雜圖形的面積計算。

基于以上思考，筆者對“多邊形的面積”單元的教學(xué)進行了如下重構(gòu)（如表2），以凸顯滲透轉(zhuǎn)化思想的不同層次。

表2 “多邊形的面積”單元教學(xué)內(nèi)容優(yōu)化前后的對比

[教材中教學(xué)內(nèi)容的安排 優(yōu)化后教學(xué)內(nèi)容的安排 課時 教學(xué)內(nèi)容 課時 教學(xué)內(nèi)容 1 平行四邊形的面積 1 圖形的轉(zhuǎn)化 2 練習(xí)十九 2 平行四邊形的面積 3 三角形的面積 3 三角形的面積 4 練習(xí)二十 4 梯形的面積 5 梯形的面積 5 面積練習(xí)課 6 練習(xí)二十一 6 組合圖形的面積 7 組合圖形的面積 7 整理和復(fù)習(xí) 8 整理和復(fù)習(xí) 8 綜合實踐：測算我家的面積 ]

調(diào)整后的單元教學(xué)課時與教材編排的總課時保持一致，具體是將原來的3節(jié)練習(xí)課整合為1節(jié)面積練習(xí)課，并增加了“圖形的轉(zhuǎn)化”和“綜合實踐：測算我家的面積”兩個教學(xué)內(nèi)容。其中，第1課時不開展面積探究活動，而是先讓學(xué)生經(jīng)歷多邊形之間的轉(zhuǎn)化活動，為探究面積公式做好鋪墊；第2～6課時讓學(xué)生探究多邊形和組合圖形的面積計算，幫助學(xué)生形成轉(zhuǎn)化的意識、方法和策略；最后讓學(xué)生在綜合實踐活動中，運用多邊形面積公式解決生活中的實際問題。本單元具體教學(xué)內(nèi)容的安排如表3所示。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］史寧中，曹一鳴.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［3］章勤瓊，陳錫成.基于學(xué)習(xí)路徑分析的小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)思考框架［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2021（3）：13-16.

［4］史寧中.基本概念與運算法則：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題［M］.北京：高等教育出版社，2013.

（1.浙江省嵊州市逸夫小學(xué)

2.福建師范大學(xué)教育學(xué)院）