王靖岳田 聰武旭東張 碩

(沈陽理工大學 汽車與交通學院，沈陽 110159)

齒輪、柔性梁及滾動軸承等線接觸高副機構廣泛應用于機械、建筑和航空航天等領域，高副接觸在傳遞動力的過程中起著十分重要的作用，潤滑油過量或乏油都是影響傳遞動力的主要因素。經(jīng)典流體動力潤滑理論適用于面接觸低副機構(如滑動軸承)，通常在研究高副接觸問題時，需將接觸表面的潤滑油黏度和彈性變形等因素加入經(jīng)典流體動力潤滑理論中。 由于潤滑過程的復雜性，對線接觸彈流潤滑問題的研究多采用數(shù)值分析方法，同時輔助以實驗研究。 構造計算精度高、運行穩(wěn)定、收斂迅速的算法是解決彈流潤滑問題的重點，近幾十年來比較有代表性的算法主要有牛頓法、直接迭代法、逆解法、多重網(wǎng)格法等[1]。

Zhang 等[2]針對銷軸和襯套之間的彈流潤滑問題，采用球盤試驗臺進行光學干涉實驗，結果表明，在乏油工況下銷軸母線變化對潤滑油膜厚度的影響很大。 Chippa 等[3]采用多重網(wǎng)格法求解圓柱滾子與平板在負載沖力下的有限長線接觸彈流潤滑問題，計算結果表明，潤滑油膜在進口區(qū)產(chǎn)生頸縮且壓力出現(xiàn)波動。 Liu 等[4]在文獻[5 －6]采用的多重網(wǎng)格基礎上，提出了一種基于壓力限制算子的松弛迭代算法，簡化了求解線接觸彈流潤滑模型中載荷平衡方程的松弛過程。 Bujurke等[7]在研究高載荷線接觸彈流潤滑問題時，提出了雅克比自由牛頓－克里洛夫子空間方法，并用于求解離散化的瞬態(tài)雷諾方程和膜厚方程。 Duan等[8]為研究滾動軸承在純滾動條件下的潤滑狀態(tài)，提出了一種超聲波法檢測不同區(qū)域的潤滑油膜厚度，結果表明，該方法可對彈性流體力學潤滑和混合潤滑區(qū)域進行有效識別。 Yang 等[9]建立了潤滑劑為非牛頓流體、考慮熱效應的彈流潤滑線接觸數(shù)學模型，并運用多重網(wǎng)格法求解，對乏油工況下摩擦副的潤滑特性進行研究，結果表明，當潤滑油膜的入口彎月面遠離接觸面時，彎月面上游油層的有效厚度基本穩(wěn)定。 Awati 等[10]運用多重網(wǎng)格法求解彈流潤滑模型方程，得到了變轉速下橢圓接觸等溫穩(wěn)態(tài)彈流潤滑的壓力和膜厚，確定了潤滑油的最小膜厚、中心膜厚等參數(shù)變化對彈流潤滑特性的影響。 盧洪等[11]運用多重網(wǎng)格法獲得了不同工況下等溫穩(wěn)態(tài)彈流潤滑問題的數(shù)值解，模擬結果表明，采用的網(wǎng)格層數(shù)越多，計算得到的最小膜厚與中心膜厚越接近準確值。

齒輪、軸承等工作時處于潤滑狀態(tài)下，且需承受較高的載荷，易產(chǎn)生乏油工況，目前對高副接觸中乏油潤滑問題的研究較少，故本文重點分析乏油工況下圓柱滾子軸承的彈流潤滑問題。 首先建立乏油工況下圓柱滾子的等溫線接觸彈流潤滑數(shù)學模型，然后運用多重網(wǎng)格法進行數(shù)值求解，得到壓力與膜厚分布，并進一步研究供油膜厚及黏度等因素對彈流潤滑特性的影響。

1 乏油工況下彈流潤滑模型

1.1 彈流潤滑模型的基本方程

假設彈流潤滑系統(tǒng)中溫度處處相等，在黏壓方程和密壓方程中略去溫度項。

1)Reynolds 方程

Reynolds 方程用來描述兩個表面之間潤滑薄膜的流動，是潤滑流體力學和彈性流體力學理論的應用基礎[12]。 等溫條件下一維穩(wěn)態(tài)Reynolds方程為

式中:x為坐標變量；p、h分別為潤滑油壓力與膜厚；ρ為潤滑油密度；η為潤滑油黏度；uR為卷吸速度，uR＝(u1＋u2)/2，其中u1、u2分別為兩個圓柱滾子表面上任意一點的運動速度；θ為潤滑油膜厚與接觸總間隙長度之比。 進入彈流潤滑區(qū)的潤滑油分別以h1、h2的油膜厚度在兩個圓柱滾子表面流動，引入等效供油膜厚hoil表示彈流潤滑入口的供油條件，hoil＝(h1u1＋h2u2)/uR。

式(1)的邊界條件為

式中xin和xout為求解域的入口和出口邊界坐標。

2)膜厚方程

彈流潤滑問題中膜厚由剛性體的中心膜厚、初始間隙量及彈流變形組成。 實際油膜厚度方程為[12]

式中:h0為滾子的中心膜厚；R為曲率半徑；E′為兩接觸表面的綜合彈性模量。E′計算式為

式中:E1、E2分別為滾子1、2 表面的彈性模量；v1、v2分別為滾子1、2 的泊松比。

3)黏壓方程

黏壓方程采用羅蘭德斯公式[12]，在等溫假設下原公式經(jīng)化簡得到

式中:η0為潤滑油的環(huán)境黏度；A1＝lnη0＋9.67；A2＝5.1 ×10－9Pa－1；z＝α/(A1A2)，其中α為黏壓系數(shù)。

4)密壓方程

密壓方程采用Dowson-Higginson 公式，在等溫假設下原公式經(jīng)化簡得到[13]

式中ρ0為潤滑油的環(huán)境密度。

5)載荷平衡方程

線接觸的載荷平衡方程為

式中w為外載荷。

1.2 彈流潤滑方程的無量綱化

1)無量綱Reynolds 方程

2)無量綱膜厚方程

式中H0＝h0R/b2。

3)無量綱黏壓方程

4)無量綱密壓方程

5)無量綱載荷平衡方程

2 數(shù)值求解方法

本文采用多重網(wǎng)格法求解離散后得到的非線性代數(shù)方程組。 多重網(wǎng)格法的基本思想是:針對同一問題，輪流在粗網(wǎng)格和細網(wǎng)格上進行迭代，從而消除高低頻偏差分量，最大程度減少數(shù)值計算工作量。 多重網(wǎng)格法的求解是一個遞歸過程。

2.1 網(wǎng)格劃分及方程離散

運用多重網(wǎng)格法劃分網(wǎng)格。 本文設計5 層網(wǎng)格，由最下層到頂層的網(wǎng)格節(jié)點數(shù)逐漸增多，在最高層即最密的網(wǎng)格上，進行迭代計算時采用W 循環(huán)，求解壓力時迭代收斂精度(相對誤差)設為0.01%。 采用有限差分法對模型方程進行離散，各方程的離散形式如下。

1)無量綱Reynolds 方程的離散形式

式中:ΔX為X方向的節(jié)點間距；εi＋1/2＝(εi＋1＋εi)/2，εi－1/2＝(εi－1＋εi)/2，i＝1，2，…，n－1，n為等距節(jié)點總數(shù)。

2)無量綱膜厚方程的離散形式

式中Ki，j為一維彈性變形剛度系數(shù)，表示在j點處單位壓力作用下使i點處產(chǎn)生的彈性變形。Ki，j計算式為

3)無量綱載荷平衡方程的離散形式

2.2 無量綱缺陷方程

應用多重網(wǎng)格法求解非線性問題時，只能在最密集的網(wǎng)格上，即網(wǎng)格層數(shù)k等于網(wǎng)格最高層數(shù)m時，對離散后的原始方程進行直接松弛，而在低層網(wǎng)格中不能直接松弛和迭代，但原始方程的缺陷方程可以松弛和迭代。 無量綱方程的缺陷方程如下。

1)無量綱Reynolds 方程的缺陷方程

設第k層(k≠1)網(wǎng)格上無量綱Reynolds 方程的缺陷方程為

式中:Fk為右端函數(shù)向量，在k＝m時Fk為零向量；Pk為k層網(wǎng)格上的壓力；Lk為差分算子。 在第k－1 層網(wǎng)格上Reynolds 方程的缺陷方程為

式中:Fki表示第k層網(wǎng)格上節(jié)點i的函數(shù)值；ΔkX表示第k層網(wǎng)格的等距步長；P~ki為第k層網(wǎng)格上節(jié)點i的壓力近似解；Ikk－1為完全加權限制算子。

2)無量綱載荷平衡方程的缺陷方程

k層網(wǎng)格中無量綱載荷平衡方程的缺陷方程表達式為

式中:nk表示第k層網(wǎng)格的節(jié)點數(shù)；表示第k層網(wǎng)格上節(jié)點j的壓力；gk表示第k層網(wǎng)格上的數(shù)值，其計算見下述說明。

在最稠密的網(wǎng)格上，即k＝m時，令gk＝π/2；在最稠密網(wǎng)格以下的網(wǎng)格中，即k≠m時，gk由下一層(即k－1 層)網(wǎng)格上的壓力反復松弛迭代獲得的近似解來確定，獲得的近似解與k層網(wǎng)格上的壓力計算相互獨立。 當節(jié)點j的壓力在第k層網(wǎng)格上迭代計算的近似解被限制到第k－1 層網(wǎng)格上時可得到

3)無量綱膜厚方程的缺陷方程

k層網(wǎng)格中無量綱膜厚方程的缺陷方程表達式為

式中fik為k層網(wǎng)格計算得到的函數(shù)，當k＝m時，即在最高層網(wǎng)格時計算式為

2.3 壓力的松弛迭代

采用高斯－賽德爾迭代方法，通過局部線性化得到壓力的迭代格式為

式中ωp為低松弛因子，一般在0.2 ~1.0 之間，本文取為0.32。δPki計算式為

其中

式中:為第k層網(wǎng)格上節(jié)點i的壓力迭代初值；D0，0、D1，0為壓縮后的變形矩陣元素。

3 計算結果與分析

以相對轉動的圓柱滾子為研究對象，滾子工況參數(shù)取值如表1 所示[14]。 數(shù)值計算得到線接觸彈流潤滑壓力和膜厚分布，分析供油膜厚、黏度和供油條件變化等對潤滑特性的影響。

表1 滾子工況參數(shù)Table 1 Working parameters of the roller

3.1 線接觸彈流潤滑壓力與膜厚分布

取xin/b＝1，此時滾子接觸為乏油潤滑狀態(tài)。圖1 和圖2 分別為乏油工況下線接觸彈流潤滑的壓力和膜厚分布，圖中橫坐標x/b表示嚙合位置。

圖1 線接觸彈流潤滑膜厚分布Fig.1 Film thickness distribution for linear a contact elastohydrodynamic lubrication

圖2 線接觸彈流潤滑壓力分布Fig.2 Pressure distribution for linear contact elastohydrodynamic lubrication

由圖1 可以看出，當潤滑油進入接觸區(qū)后，膜厚開始快速增大，但隨著滾子從嚙入到嚙出位置的變化，膜厚增大到一定程度后開始減小，且伴隨有頸縮現(xiàn)象，離開接觸區(qū)后，潤滑油膜的厚度趨于平穩(wěn)且小于進入接觸區(qū)前的膜厚。

由圖2 可以看出，接觸區(qū)壓力分布與Hertz 壓力[12]分布接近，隨著滾子相互嚙合，壓力呈現(xiàn)出先增大后減小的變化趨勢。 這是因為潤滑油在進入接觸區(qū)后，滾子相互嚙合擠壓潤滑液體，故壓力增大，隨著滾子相互分離，潤滑油流動空間增大，壓力降低。 在入口與出口附近壓力變化較平穩(wěn)。

3.2 供油膜厚對潤滑特性的影響

為反映兩個相對滾動的圓柱滾子間的潤滑狀態(tài)，研究中心膜厚及有效供油膜厚與潤滑油進入位置xin之間的關系，xin/b反映了潤滑油的乏油程度。 當xin/b在0 ~20 之間變化時，中心膜厚hcen和有效供油膜厚hoil的變化規(guī)律如圖3 所示。

圖3 hoil和hcen隨xin/b 的變化規(guī)律Fig.3 Variation pattern of hoil and hcen with xin/b

由圖3 可以看出:供油膜厚hoil和中心膜厚hcen均隨著xin/b的增加而增大；當xin/b在0 ~6范圍內變化時，hoil和hcen增大較快，近似直線分布；當xin/b在6 ~20 區(qū)間內變化時，hoil和hcen增大變緩，并逐漸趨于穩(wěn)定；當xin/b為20 時，hoil和hcen均達到穩(wěn)定的最大值，說明此時已經(jīng)達到了潤滑油充分供油狀態(tài)。 當xin/b在0 ~2 范圍內時，滾子接觸視為乏油工況。

圖4 和圖5 分別為不同供油膜厚(取為0.6、1.2、2.0、3.2 μm)時彈流潤滑的壓力和膜厚變化。

圖4 不同供油膜厚下的壓力變化Fig.4 Change in pressure at different oil supply film thicknesses

圖5 不同供油膜厚下的潤滑膜厚變化Fig.5 Change of film thickness at different oil supply film thicknesses

由圖4 可見，隨著供油膜厚增加，潤滑油的壓力峰值也隨之增大；由圖5可見，隨著供油膜厚增加，潤滑膜厚增加且伴有頸縮現(xiàn)象。 供油膜厚的變化對等溫穩(wěn)態(tài)下的彈流潤滑特性有顯著影響，增大供油膜厚，乏油程度相應得到改善。

3.3 黏度對潤滑特性的影響

取xin/b＝2.0，此時處于乏油狀態(tài)，潤滑油黏度η分別取為0.08、2.0、10.0 Pa?s，計算得到相應的壓力和膜厚變化，如圖6 和圖7 所示。 中心膜厚隨黏度的變化如圖8 所示。

圖6 乏油條件下黏度對壓力的影響Fig.6 Impact of viscosity on pressure under spent oil conditions

圖7 乏油條件下黏度對膜厚的影響Fig.7 Impact of viscosity on the film thickness under spent oil conditions

圖8 中心膜厚隨黏度的變化Fig.8 Central film thickness variation

由圖6 可見，隨著黏度變化，乏油工況下的接觸壓力沒有明顯變化，不同黏度下的壓力分布曲線幾乎重合；由圖7 可以看出，隨著黏度增加，乏油工況下的潤滑膜厚減小且伴有頸縮現(xiàn)象；由圖8 可知，隨著潤滑油黏度增加，中心膜厚減小。 由于本文在建立模型時未考慮溫度效應，計算結果與實際情況有所差別，總體來看，在乏油工況等溫條件下，線接觸彈流潤滑的壓力受黏度影響很小，膜厚受黏度影響較大。

3.4 不同供油條件對潤滑特性的影響

xin/b分別取為1.10、1.50、8.0、12.0 時潤滑壓力和膜厚的分布如圖9 所示。 圖9(a) ~9(d)分別表示了嚴重乏油、由乏油到正常潤滑的過渡狀態(tài)及正常潤滑等幾種情況。

圖9 不同xin/b 時的壓力和膜厚分布曲線Fig.9 Pressure and film thickness distribution curves for different xin/b values

由圖9(a)可見:在嚴重乏油條件下，潤滑油膜的壓力分布規(guī)律與Hertz 壓力分布十分接近；膜厚在接觸區(qū)變化不大，變化范圍在0.16 ~0.2 μm，但在出口區(qū)則明顯增大。

由圖9(b)可以看出:由于供油量增加，接觸區(qū)的膜厚較圖9(a)明顯增加，膜厚的峰值也增大，且接觸區(qū)膜厚出現(xiàn)頸縮現(xiàn)象；油膜壓力則出現(xiàn)第二峰值。

由圖9(c)可見:油膜壓力的第二峰值較圖9(b)進一步增加，且第二壓力峰的位置提前。圖9(d)與圖9(c)中壓力和膜厚分布相差不大，潤滑油膜厚在壓力區(qū)約為0.45 μm，可見過量供油并不能使?jié)櫥湍ず穸仍黾印?/p>

4 結論

建立了圓柱滾子的線接觸彈流潤滑數(shù)學模型，采用多重網(wǎng)格法對離散方程進行求解，針對等溫乏油工況下的彈流潤滑特性進行了分析，得到如下結論。

1)隨著供油膜厚增加，壓力峰值升高，潤滑油膜厚增加且伴有頸縮現(xiàn)象。

2)潤滑油黏度對壓力的影響很小，對膜厚影響較大，隨著潤滑油黏度增大，膜厚減小。

3)嚴重乏油時，膜厚未見頸縮現(xiàn)象，壓力符合Hertz 壓力分布，隨著乏油狀態(tài)的改善，壓力分布出現(xiàn)第二峰值，潤滑油膜的厚度增大并出現(xiàn)頸縮現(xiàn)象。 隨著供油量增大到一定程度，壓力和膜厚分布趨于穩(wěn)定，此時過量供油不會增強潤滑效果，反而造成能量損耗。