丁慧強(qiáng) 戴婷婷 程鸞? 張衛(wèi)寧 王恩科

1) (大連理工大學(xué)物理學(xué)院,大連 116024)

2) (華南師范大學(xué)量子物質(zhì)研究院,廣州 510631)

1 引言

在高能重離子碰撞中,利用末態(tài)強(qiáng)子分布來研究高能碰撞中的物理過程是高能物理研究的重要主題[1,2].而重夸克偶素由于產(chǎn)生的時(shí)間較早,并攜帶大量的物理信息,是末態(tài)強(qiáng)子分布研究的重要組成部分[3-6].在重夸克偶素的研究中,J/ψ粒子由于產(chǎn)額相對較大,且與夸克膠子等離子體(quarkgluon plasma,QGP)發(fā)生相互作用攜帶大量信息,是此前夸克偶素研究的焦點(diǎn)[7,8].而本文所研究的Υ(1S) 介子相較于J/ψ而言,重產(chǎn)生效應(yīng)幾乎可忽略,因此反映QGP 的性質(zhì)更為清晰,可作為一種干凈探針,其研究也具有重要意義[9,10].

Υ(1S)經(jīng)歷的物理過程,可分為3 個(gè)階段—介子產(chǎn)生,QGP 熱環(huán)境中的離解,以及強(qiáng)子氣體中受到的影響[9,10].在此前的研究中,大量工作集中于Υ(1S) 介子的產(chǎn)生以及QGP 熱環(huán)境中的離解過程.例如,唯象勢模型[11-13]、格點(diǎn)規(guī)范理論[14-16]、開放量子系統(tǒng)[17,18]以及輸運(yùn)方程[19]等.而研究強(qiáng)子氣體中Υ(1S) 所受到的影響相對較少,并且低橫動量介子由于無法考慮微擾過程,所以相關(guān)研究更少.但強(qiáng)子氣體對Υ(1S) 產(chǎn)生的影響直接改變其分布,這是十分重要的.目前低橫動量Υ(1S) 介子在強(qiáng)子氣體中受到的影響,經(jīng)分析主要分為以下三點(diǎn): 1)強(qiáng)子氣體膨脹過程中的集體流效應(yīng)影響[20,21];2)Υ(1S) 介子與相鄰強(qiáng)子間存在量子關(guān)聯(lián)影響[10,22];3)Υ(1S) 介子與相鄰強(qiáng)子間存在強(qiáng)相互作用影響[23,24].近年來,有少數(shù)幾種模型可以描述低橫動量介子在強(qiáng)子氣體中的分布.例如Tsallis 沖擊波(Tsallis blast-wave,TBW)模型[25,26]與統(tǒng)計(jì)強(qiáng)子化模型(statistical hadronization model,SHM)[27,28]等.但他們只能描述其中的一到兩種效應(yīng),卻忽略了另外的效應(yīng).例如沖擊波模型只考慮了上述三點(diǎn)效應(yīng)中的第1 點(diǎn)—集體流效應(yīng),但忽略了第2 點(diǎn)和第3 點(diǎn)—量子關(guān)聯(lián)效應(yīng)與強(qiáng)相互作用[25,26]的影響.而強(qiáng)子化模型只考慮了第2 點(diǎn)和第3 點(diǎn),忽略了第1 點(diǎn)[27,28]的影響.它們通過與實(shí)驗(yàn)進(jìn)行擬合,將未考慮的效應(yīng)放入到可調(diào)參數(shù)中,達(dá)到與實(shí)驗(yàn)可進(jìn)行比較的效果[25-28].因此,如果能發(fā)展出一套直接從物理計(jì)算出發(fā),而不是參數(shù)擬合的方法來分析Υ(1S)介子在強(qiáng)子氣體中的分布,研究意義便十分重大.

本文嘗試從新的視角利用物理計(jì)算而非參數(shù)擬合的方法來分析Υ(1S) 介子在強(qiáng)子氣體中的分布.根據(jù)Υ(1S) 介子在臨界點(diǎn)附近受到集體流、量子效應(yīng)以及強(qiáng)相互作用的共同影響,且該影響隨著系統(tǒng)溫度降低效應(yīng)減弱這一特點(diǎn),建立了新的模型來進(jìn)行描述.在臨界點(diǎn)附近,Υ(1S) 介子與相鄰的介子在以上三種效應(yīng)的共同作用下形成介子-介子兩體結(jié)構(gòu).從介子的整體觀來看,Υ(1S) -π 介子為兩介子系統(tǒng);從夸克的局部觀來看,Υ(1S),π 介子分別為兩夸克系統(tǒng).本文提出這些不同層次的兩體結(jié)構(gòu)具有自相似性[29],建立了兩體分形(twoparticle fractal,TPF)模型進(jìn)行描述.引入環(huán)境影響因子qfqs來描述強(qiáng)子環(huán)境中,集體流、量子以及強(qiáng)相互作用的影響,并引入伴隨因子q2來表征Υ(1S)介子內(nèi)部夸克之間的相互作用和以上三種環(huán)境因素造成的影響.通過求解概率與熵方程,求解出不同碰撞條件下qfqs與q2的數(shù)值,將qfqs的數(shù)值代入到Υ(1S) 的分布函數(shù)中,得到對應(yīng)的橫動量譜并與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較.

2 強(qiáng)子氣體中的 Υ(1S) 分布

在高能重離子碰撞中,Υ(1S) 介子相對于J/ψ而言質(zhì)量較大,重產(chǎn)生過程的發(fā)生概率極低[9,10].因此,Υ(1S) 介子在完成離解后,位于強(qiáng)子氣體中的Υ(1S) 介子數(shù)目穩(wěn)定.可以通過研究強(qiáng)子氣體中的Υ(1S) 介子數(shù)目來研究Υ(1S) 的分布.而在強(qiáng)子氣體中,介子之間的間距隨著系統(tǒng)的膨脹而增大,相互作用逐漸減小[30],因此臨界溫度附近強(qiáng)子氣體對Υ(1S) 的影響相對較大.此時(shí),Υ(1S) 介子主要受到集體流[20,21]、量子效應(yīng)[10,22]以及強(qiáng)相互作用[23,24]三個(gè)方面的影響.由于集體流效應(yīng),Υ(1S)介子與相鄰的π 介子共同運(yùn)動.由臨界點(diǎn)附近π 介子的熱波長為3.2 fm[31],大于π 介子之間的平均間距[22]可知,此時(shí)低橫動量Υ(1S) 介子與鄰近的π 介子均存在量子關(guān)聯(lián)。由Υ(1S) 徑向波函數(shù)可知,在0.6 fm 范圍內(nèi)b夸克有較大概率與其他夸克發(fā)生相互作用[10].因此,除了Υ(1S) 內(nèi)部b夸克與反夸克發(fā)生相互作用,在0.6 fm 范圍內(nèi)該b夸克還有可能與介子外部其余介子內(nèi)的夸克發(fā)生相互作用.根據(jù)此時(shí)π 介子的粒子數(shù)密度為 0.5/fm3[22],在0.6 fm 為半徑的b夸克作用范圍內(nèi),最多可容納一個(gè)π 介子.因此,此時(shí)低橫動量Υ(1S) 介子與最近鄰的π 介子之間存在強(qiáng)相互作用.根據(jù)以上三種效應(yīng)的共同影響,Υ(1S) -π 介子-介子可形成兩體結(jié)構(gòu),如圖1(b)所示.同時(shí),從夸克的局部觀來看,如圖1(d)所示,Υ(1S) 與π 介子都是夸克-反夸克兩體系統(tǒng).本文提出兩體分形模型(TPF model)來進(jìn)行描述.模型認(rèn)為在臨界溫度附近,Υ(1S) -π 兩介子系統(tǒng),Υ(1S) 介子和π 介子兩夸克系統(tǒng)具有自相似兩體結(jié)構(gòu)[29].隨著系統(tǒng)膨脹,自相似結(jié)構(gòu)消失.而分形理論是一種用于描述自相似性以及自仿射特性的基本理論[29,32].本文運(yùn)用分形理論來描述強(qiáng)子氣體中Υ(1S) 的概率與熵,進(jìn)而來分析強(qiáng)子氣體中Υ(1S) 的分布.

圖1 強(qiáng)子氣體中b 夸克和 反夸克在不同層次的自相似結(jié)構(gòu) (a)真空中的自由 Υ(1S) 介子;(b)介子層次強(qiáng)子氣體中的 Υ(1S) 介子;(c)真空中的自由b 夸克和 反夸克;(d)夸克層次強(qiáng)子氣體中的b 夸克和 反夸克Fig.1.Self-similarity structure of b quark and anti-quark in hadron gas: (a) Free Υ(1S) in vacuum;(b)Υ(1S)in hadron gas from meson aspect;(c) free b and in vacuum;(d) Υ(1S) in hadron gas from quark aspect.

首先,從介子層次出發(fā),研究臨界溫度附近的底夸克偶素,如圖1(a)所示.在質(zhì)心系中,假設(shè)底夸克偶素自由地處在真空環(huán)境中,底夸克偶素處于Υ(1S)態(tài)的概率為

其中E0,E1,···,E13是實(shí)驗(yàn)測量底夸克偶素ηb(1S),Υ(1S),ηb(2S),Υ(2S),h b(1P),χb0(1P),χb1(1P),χb2(1P),h b(2P),χb0(2P),χb1(2P),χb2(2P),Υ2(1D),Υ(3S) 對應(yīng)的各能態(tài)能量[34].對于低能級底夸克偶素,將這14 個(gè)離散能級的概率進(jìn)行求和.對于更高能態(tài),由于能級間隔較小[34],為計(jì)算方便,這里直接進(jìn)行積分.pmin是高能連續(xù)能級中重夸克偶素的夸克最小動量.由于高能級相鄰能級之間的動量差異較小[34],我們將離散能級中能量最高粒子Υ(3S) 態(tài)對應(yīng)的夸克動量取為最小動量pmin.是底夸克偶素相對周圍π 介子的運(yùn)動空間大小,其中r0為運(yùn)動空間的半徑.運(yùn)動空間半徑r0不是固定不變的,它隨著碰撞能量和碰撞對心度的變化而變化.在不同碰撞能量和碰撞對心度情況下,通過r0=(vτ+dΥ(1S)+dπ)/2 可以計(jì)算出對應(yīng)情況的運(yùn)動空間半徑.其中,v為周圍π 介子相對Υ(1S) 的平均運(yùn)動速度,可由Υ(1S) 的平均橫動量以及系統(tǒng)的徑向流速得到.τ為臨界溫度時(shí)Υ(1S)的壽命,τ=1/Γ ≈1/0.017 GeV-1[35],Γ為衰變寬度.dΥ(1S)和dπ是Υ(1S) 和π的直徑,計(jì)算得到dΥ(1S)+dπ≈1.8 fm[10,36].

表1 Pb-Pb 在不同碰撞能量以及0—100%碰撞對心度下,中心快度區(qū) |y|＜2.4 內(nèi)的 Υ(1S) 介子運(yùn)動空間半徑 r0 的值Table 1.In mid-rapidity region |y|＜2.4,radius r0 of Υ(1S)motion space under different collision energies and 0-100%centrality for Pb-Pb.

在上面的分析中,假設(shè)底夸克偶素處于真空中,不受環(huán)境影響.但實(shí)際上底夸克偶素是處于強(qiáng)子氣體中的,受到強(qiáng)子氣體的集體流效應(yīng),與相鄰π 介子的量子關(guān)聯(lián)以及強(qiáng)相互作用的影響.在這些影響下底夸克偶素和相鄰π 介子形成自相似的兩體結(jié)構(gòu),如圖1(b)所示.所以在強(qiáng)子氣體中,底夸克偶素受到以上三種效應(yīng)的影響后,具有自相似性.根據(jù)分形理論,處于Υ(1S) 態(tài)的伴隨概率[39]為P11的冪次形式[40,41].我們引入環(huán)境影響因子qfqs來表示三種效應(yīng)對底夸克偶素的影響.底夸克偶素處于Υ(1S) 態(tài)的概率為

在qfqs=1 時(shí),(4)式與(1)式相同,說明此時(shí)底夸克偶素沒有受到強(qiáng)子氣體的影響.qfqs偏離1 越遠(yuǎn),強(qiáng)子氣體對底夸克偶素的影響越強(qiáng).

本文考慮的b,之間的吸引相互作用以及Υ(1S)與環(huán)境中粒子的相互作用均為強(qiáng)相互作用力.強(qiáng)相互作用勢能正比于r-α(弱耦合區(qū)域α=1,強(qiáng)耦合區(qū)域α=-1)[33].對于d維空間(本文考慮的是三維空間,d=3)中具有V(r)≈r-α形式的兩體相互作用勢.根據(jù)長程相互作用定義,如果滿足α/d≤1,則該相互作用為長程相互作用[42].因此,無論是強(qiáng)耦合還是弱耦合情況,此處考慮的強(qiáng)相互作用是一種長程相互作用.Tsallis 熵可以有效描述長程相互作用系統(tǒng)[42,43].所以本文用Tsallis熵來描述底夸克偶素,其形式為

前面從介子層次研究了強(qiáng)子氣體對底夸克偶素的影響.現(xiàn)在從夸克層次再來研究強(qiáng)子氣體對底夸克偶素的影響.在質(zhì)心系中,假設(shè)夸克和反夸克是自由的,如圖1(c)所示,該兩夸克系統(tǒng)處于能量為Υ(1S) 內(nèi)夸克動能的概率為

其中?i為兩自由夸克系統(tǒng)的波函數(shù),?1對應(yīng)能量為Υ(1S) 內(nèi)夸克動能的波函數(shù).哈密頓量為.配分函數(shù)是對兩夸克系統(tǒng)所有可能微觀態(tài)概率的求和.與介子層次類似,本文對低能態(tài)進(jìn)行求和,高能態(tài)進(jìn)行連續(xù)積分.配分函數(shù)可以寫為

其中E k0,E k1,···,E k13為離散低能態(tài)b,的動能.是連續(xù)高能級的動量下限,取為Υ(3S) 介子內(nèi)重夸克的動量.離散低能態(tài)粒子的動能可通過非相對論薛定諤方程得到:

在上面的分析中,假設(shè)了夸克和反夸克處于自由狀態(tài).但是,強(qiáng)子氣體中的b夸克和反夸克并不是自由的,它們受到吸引相互作用從而形成束縛態(tài),并且受到強(qiáng)子氣體的集體流效應(yīng),量子關(guān)聯(lián)以及強(qiáng)相互作用的影響.在這些影響的作用下,b夸克和反夸克形成了強(qiáng)子環(huán)境下的底夸克偶素,與相鄰π 介子形成兩介子結(jié)構(gòu),如圖1(d)所示.因此,這里引入伴隨參數(shù)q2表征b夸克和反夸克之間的相互作用、集體流、量子關(guān)聯(lián)效應(yīng)以及強(qiáng)相互作用的影響.基于分形理論[42],(b,) 夸克反夸克對處于Υ(1S) 態(tài)的伴隨概率為[39-41]

當(dāng)q2=1 時(shí),(9)式與(6)式相同,說明重夸克未受到束縛勢與強(qiáng)子氣體的影響.q2偏離1 越遠(yuǎn),夸克反夸克對受到的影響越強(qiáng).

與介子層次中的熵(5)式類似,由于夸克之間的強(qiáng)相互作用為長程力,夸克反夸克對的熵可以寫為[42,43]

本文分別從介子層次以及夸克層次出發(fā),分析了 (b,) 夸克反夸克對的概率和熵.由系統(tǒng)等價(jià)性可知,從兩個(gè)不同層次所描述的同一個(gè)系統(tǒng)的性質(zhì)相同,可得

將(4)式、(5)式、(9)式和(10)式代入(11)式和(12)式求解,即可得到環(huán)境影響因子qfqs以及伴隨因子q2.表2 列出了Pb-Pb 在5.02 TeV碰撞能量,且0—100%對心度的碰撞條件下解出的qfqs和q2.從表中可以看到,在同樣碰撞能量下,影響因子q2大于環(huán)境影響因子qfqs.這是由于與qfqs相比,因子q2還包含了b,之間的束縛能對b,的影響,因此q2偏離1 更遠(yuǎn).

表2 Pb-Pb 在不同碰撞能量以及0—100%碰撞對心度下,中心快度區(qū) |y|＜2.4 內(nèi)影響因子 qfqs 和q2的數(shù)值Table 2.In mid-rapidity region|y|＜2.4,values of qfqs and q2 for Pb-Pb in 0-100%centrality at different collision energies.

將強(qiáng)子氣體影響因子qfqs代入粒子橫動量分布函數(shù),可以得到Υ(1S) 的橫動量譜.在中心快度區(qū),Υ(1S)介子的橫動量分布為[44]

其中,Υ(1S) 介子的分布函數(shù)[45]為

圖2 Pb-Pb 在不同碰撞能量以及0—100%碰撞對心度下,低橫動量 Υ(1S) 介子在中心快度區(qū)間 |y|＜2.4 的橫動量譜.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來源于LHC[46,47]Fig.2.Transverse momentum spectrum of low-pTΥ(1S)in Pb-Pb at different collision energies for 0-100%centrality,in mid-rapidity region |y|＜2.4.The experimental data are taken from LHC[46,47].

進(jìn)一步分析強(qiáng)子氣體影響因子qfqs隨溫度的演化關(guān)系.不同固定溫度下,qfqs的值隨溫度的變化關(guān)系如圖3 所示.其中運(yùn)動空間半徑r0選取為2.92,3.20 fm,分別對應(yīng)表2 中Pb-Pb 在2.76,5.02 TeV碰撞能量,0—100% 碰撞對心度下的值.從圖3 可以看到,qfqs的值都大于1.這是由于底夸克偶素在強(qiáng)子氣體的影響下與最相鄰的π 介子形成兩體結(jié)構(gòu),導(dǎo)致系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)減小,此時(shí)熵也會同時(shí)減小.而由Tsallis 熵S(q) 的性質(zhì)可 知,當(dāng)q ＞1 時(shí),S(q)＜SB-G.因 此qfqs大 于1.另外,當(dāng)Υ(1S) 介子的運(yùn)動空間大小固定時(shí),qfqs隨溫度的降低而減小.這與臨界溫度附近,強(qiáng)子氣體中的Υ(1S) 介子隨著系統(tǒng)膨脹和溫度降低,受到的環(huán)境影響減弱的物理現(xiàn)象是一致的.從圖3 同樣可以看到,溫度一定時(shí),qfqs隨著運(yùn)動空間半徑r0的升高而增加.這是由于運(yùn)動空間越大,Υ(1S) 受周圍粒子影響的概率也越高,形成兩體結(jié)構(gòu)的可能性就越大,從而qfqs越大.

圖3 不同固定溫度T 下的強(qiáng)子氣體影響因子qfqsFig.3.Hadron gas influencing factor qfqs at different fixed temperature T.

3 結(jié)論

本文通過物理計(jì)算而非數(shù)據(jù)擬合的方法研究了低橫動量Υ(1S) 介子的橫動量分布.Υ(1S) 介子在QGP 中較高溫度下產(chǎn)生部分離解且重產(chǎn)生概率很低,因此,Υ(1S) 在上述物理過程結(jié)束后,在強(qiáng)子環(huán)境中粒子數(shù)分布趨于穩(wěn)定.而在強(qiáng)子環(huán)境中,Υ(1S)受到強(qiáng)子氣體的集體流、量子關(guān)聯(lián)和強(qiáng)相互作用的影響.在這些影響的共同作用下,Υ(1S) 介子和最近鄰π 介子形成介子-介子兩體結(jié)構(gòu).隨著系統(tǒng)的演化,兩介子系統(tǒng)解體.本文構(gòu)建兩體分形模型研究該兩介子系統(tǒng).從介子整體觀來看,Υ(1S)介子和π 介子形成兩介子系統(tǒng).從夸克的局部觀來看,Υ(1S) 介子和π 介子分別為兩夸克系統(tǒng).本文提出在強(qiáng)子氣體的影響下,Υ(1S) -π 分子態(tài),Υ(1S) 介子和π 介子形成了自相似結(jié)構(gòu).本文引入影響因子qfqs描述集體流、量子關(guān)聯(lián)和強(qiáng)相互作用的影響,引入伴隨因子q2表征Υ(1S) 內(nèi)部夸克之間束縛勢和強(qiáng)子氣體的影響.通過求解概率與熵方程,得到不同碰撞能量下qfqs和q2的值.本文將qfqs代入分布函數(shù),得到低橫動量區(qū)Υ(1S) 的橫動量分布,并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較.結(jié)果表明理論與實(shí)驗(yàn)符合良好.最后,本文分析了qfqs隨系統(tǒng)溫度的演化關(guān)系.計(jì)算結(jié)果表明qfqs大于1,這是由于在集體流、量子以及強(qiáng)相互作用的影響下,Υ(1S)和π形成兩體結(jié)構(gòu),使得系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)減少,從而使得qfqs＞1.計(jì)算結(jié)果同樣表明,qfqs隨著溫度的降低而減小.這與強(qiáng)子氣體中的Υ(1S) 介子隨著系統(tǒng)膨脹和溫度降低,受到的環(huán)境影響減弱這一物理現(xiàn)象是一致的.本文提出的兩體分形模型未來也可以用于研究其他介子或者共振態(tài)系統(tǒng).