李生虎，朱爭高，齊 楠，汪 壯

（1.合肥工業(yè)大學電氣與自動化工程學院，合肥 230009；2.新能源利用與節(jié)能安徽省重點實驗室，合肥 230009）

隨著雙碳政策提出與電力電子技術快速發(fā)展，新能源在電網中占比不斷提高[1]，部分同步發(fā)電機SG（synchronous generator）被風電、光伏等代替。新能源發(fā)電設備通過電力電子元件并網，導致發(fā)電側與電網側解耦[2-3]，降低了系統(tǒng)原有慣量，因此有必要準確估計SG慣量，以維持電網安全穩(wěn)定運行。

現(xiàn)有SG 慣量估計研究可按照SG 模型是否考慮勵磁和調速系統(tǒng)進行區(qū)分。不考慮勵磁、調速系統(tǒng)的情況下，針對SG二階模型，文獻[4]提出了一種差值計算法進行系統(tǒng)分區(qū)慣量評估，但一次調頻動作時誤差較大。文獻[5]基于發(fā)電機負載電壓階躍實驗辨識轉動慣量，但未考慮噪聲的影響?？紤]電磁暫態(tài)的情況下，文獻[6-7]通過動態(tài)模式分解重構發(fā)電機功率與轉速，進而得到慣量，但未考慮勵磁、調速對慣量的影響。文獻[8]基于軌跡靈敏度的抗差估計方法能快速得到估計結果，但對慣量評估的針對性較弱[9]。

對于考慮勵磁、調速系統(tǒng)的SG 高階模型，文獻[10]基于類噪聲信號進行慣量估計，大擾動下算法適應性值得進一步研究。文獻[11]建立了機電振蕩參數(shù)與系統(tǒng)慣量間的解析表達式，利用發(fā)電機有功估計慣量，但擾動后振蕩模態(tài)比較復雜。文獻[12]利用擾動前后有功差值作為功率不平衡量，采用滑動數(shù)據(jù)窗估計慣量，但該方法需要準確估計故障時間且結果受滑動數(shù)據(jù)窗長度的影響。文獻[13]利用系統(tǒng)有功與頻率偏差數(shù)據(jù)，通過系統(tǒng)辨識實現(xiàn)慣量的連續(xù)估計，但一次調頻動作會導致結果準確性較差。文獻[14]基于系統(tǒng)辨識，通過數(shù)據(jù)分段、移動數(shù)據(jù)窗等實現(xiàn)電網慣量常態(tài)化連續(xù)估計，但電磁暫態(tài)僅采用一階模型，SG有功輸出與內電勢有關，簡化電磁暫態(tài)模型會直接影響SG有功輸出及慣量評估結果。

工程實際中，SG往往附加勵磁、調速等控制系統(tǒng)。系統(tǒng)擾動后，勵磁系統(tǒng)影響電磁功率，調速系統(tǒng)影響機械功率。SG常采用二階模型，但慣量仍使用轉子慣性時間常數(shù)，忽略了勵磁、調速系統(tǒng)控制效果，造成一定誤差。如果直接估計高階模型參數(shù)，計算量和誤差較大。為此，本文計及勵磁和調速系統(tǒng)，用二階模型來辨識含勵磁和調速的高階發(fā)電機模型的等效慣量，現(xiàn)有文獻中鮮見相關研究，其難點在于：①計及電磁暫態(tài)、勵磁和調速系統(tǒng)后，SG 階數(shù)變高，耦合更強，如何建立等效慣量與勵磁、調速系統(tǒng)關系存在困難；②采用低階模型描述SG高階系統(tǒng)時，SG等效慣量不等于慣量時間常數(shù)，導致辨識模型結構難以確定，選擇辨識模型與辨識算法存在難度。

本文針對計及勵磁、調速的SG高階模型，基于二階轉子運動方程提出SG低階模型等效慣量He表達，以及基于受控自回歸滑動平均模型和可變遺忘因子最小二乘的等效慣量辨識算法。最后，通過時域仿真驗證了所提算法的有效性。

1 等效慣量估計原理

目前，基于二階模型[4-5]的慣量估計對SG 簡化較多，而計及電磁暫態(tài)后的SG 慣量估計[3，6-7，9]沒有考慮勵磁、調速影響，上述研究得到的SG慣量都是常數(shù)。相比較而言，本文針對包括轉子運動方程、電磁暫態(tài)方程、勵磁和調速的SG高階模型，基于二階模型估計SG等效慣量，在保留SG完整動態(tài)特性同時降低了模型階數(shù)，便于工程應用。本文研究與現(xiàn)有研究對比如表1所示。

表1 本文研究與現(xiàn)有研究對比Tab.1 Comparison with existing research

1.1 現(xiàn)有SG 慣量估計模型

1.1.1 二階待辨識模型

式中：I為電流；L為電感；e為電勢；ω為轉速；v為電壓；上標'表示暫態(tài)參數(shù)，下標B表示基準值；下標d和q分別為d軸和q軸；RN為定子電阻系數(shù)矩陣；ΩN為轉速組成的系數(shù)矩陣；L'TD為暫態(tài)電感矩陣；e'為暫態(tài)電勢矩陣；Idq為dq軸電流矩陣；vdq為dq軸電壓矩陣；ωB為轉速基準值；δ為功角；H為轉子慣量；Tm為機械轉矩；D為阻尼系數(shù)；p為微分算子。由于SG 二階模型忽略電磁暫態(tài)且不含勵磁、調速系統(tǒng)，其認為轉子內電勢幅值、機械功率保持不變，簡化了SG模型，所得結果為轉子慣性時間常數(shù)，不能反映SG的真實動態(tài)響應。

1.1.2 五階待辨識模型

考慮轉子勵磁[15]和阻尼繞組暫態(tài)，忽略定子暫態(tài)，可得SG五階模型，其包括三階電磁暫態(tài)和二階機械暫態(tài)。SG五階模型可表示為

1.2 計及勵磁、調速系統(tǒng)的SG 待辨識模型

在五階模型基礎上增加勵磁和調速系統(tǒng)[16]，如圖1所示。其中，Kδ為離心飛擺測速部件放大倍數(shù)；Tg為接力器時間常數(shù)；Tch和Trh分別為汽輪機蒸汽時間常數(shù)和過熱時間常數(shù)；α 為過熱系數(shù)；Km為功率折算系數(shù)；Ki為硬反饋放大倍數(shù)；Pm為機械功率：Kr和Tr分別為測量環(huán)節(jié)放大倍數(shù)和時間常數(shù)；Tb和Tc為超前滯后環(huán)節(jié)時間常數(shù)；Ka和Ta分別為放大環(huán)節(jié)放大倍數(shù)和時間常數(shù)；Te為勵磁機時間常數(shù)；Kf和Tf分別為電壓軟反饋環(huán)節(jié)放大倍數(shù)和時間常數(shù)；Uf和Uf0分別為勵磁電壓及其穩(wěn)態(tài)值；U為機端電壓；s為拉氏算子；下標ref 表示參考值。勵磁系統(tǒng)和調速系統(tǒng)輸入輸出關系可分別表示為

圖1 含勵磁系統(tǒng)和調速系統(tǒng)的SG 控制Fig.1 SG control including excitation and governor systems

計及勵磁、調速系統(tǒng)后，SG慣量響應受一次調頻影響[17]，基于二階和五階模型慣量估計存在誤差。

1.3 基于線性化轉子運動方程推導等效慣量

將SG轉子運動方程線性化為

式中：Δf、ΔPm和ΔPe分別為頻率、機械功率和電磁功率增量；He為SG等效慣量。

當擾動較小時調速器不動作，ΔPm=0，則式（5）可變?yōu)?/p>

對式（6）進行拉普拉斯變換可得其傳遞函數(shù)為

式中，Δf(s)和ΔPe(s)分別為頻率增量和電磁功率增量。文獻[11]證明了調速器動作時式（7）仍成立。基于有功與頻率量測數(shù)據(jù)，將式（7）轉化為時域表達，即

2 基于系統(tǒng)辨識方法估計等效慣量

2.1 辨識模型選擇

受控自回歸滑動平均ARMAX（autoregressive moving average with exogenous variable）模型是一種輸入-輸出模型，適用于階數(shù)、時滯、參數(shù)未知的系統(tǒng)，且可濾除系統(tǒng)噪聲影響，因此本文選擇ARMAX為辨識模型[18]。ARMAX模型可表示為

式中：ΔPe(k)和Δf(k)分別為第k個采樣點有功擾動與頻率擾動，取為模型輸入與輸出；ξ(k)為隨機噪聲；d為輸入輸出延遲；q-1為后向移位算子；A、B、C為單位后移算子多項式[19]，可表示為

式中：na為自回歸模型階數(shù)；nb為輸入模型階數(shù)；nc為移動平均模型階數(shù)；ana、bnb、cnc為待辨識系數(shù)。由此可得ARMAX模型的傳遞函數(shù)為

由于電網為時間連續(xù)系統(tǒng)，采用雙線性變換將G(q-1)轉化為連續(xù)傳遞函數(shù)，即

式中，w0,w1,…,wx、l0,l1,…,lx-1為待定系數(shù)。

2.2 赤池信息準則確定模型階數(shù)

辨識ARMAX模型首先要確定模型階數(shù)na、nb和nc，在保留系統(tǒng)動態(tài)特性的同時，減小辨識誤差。本文選擇赤池信息準則[20]AIC（Akaike Information Criterion）定階，其準則函數(shù)可表示為

其中

式中：ρn為殘差平方均值；n為待辨識參數(shù)個數(shù)，n=na+nb；N為信號長度（即采樣點數(shù)）；Δf(1)為頻率擾動估計值。AIC 最小值對應的階數(shù)、時滯即為最佳階數(shù)和最佳時滯。

2.3 可變遺忘因子遞推最小二乘法估計模型參數(shù)

計及勵磁、調速后，He不等于轉子慣量H，式（10）中ana、bnb、cnc為時變參數(shù)，因此采用可變遺忘因子遞推最小二乘法[21]VFF-RLS（variable forgetting factor recursive least square）予以辨識。對ARMAX 模型進行辨識時，先將其轉化為最小二乘形式，即

式中：φT為由有功擾動、頻率擾動組成的觀測矩陣；θ為參數(shù)估計值。φT和θ可表示為

由此可得VFF-RLS遞推公式[22]分別為

其中

式中，γ為變遺忘因子，本文取0.95。

2.4 等效慣量提取

將辨識得到的θ代入式（11），得到離散傳遞函數(shù)G(q-1)，利用雙線性變換將其轉化為連續(xù)函數(shù)G(s)。對G(s)求沖激響應可得g（0），進而可得等效慣量為

圖2 給出了等效慣量估計的計算流程。首先測量故障后SG母線有功功率與頻率信號，得到ΔPe和Δf作為辨識模型輸入輸出信號。由ΔPe和Δf利用AIC 準則確定模型階次與時滯，包括na、nb、nc和d，以確定ARMAX 模型結構。然后，基于ΔPe、Δf和模型參數(shù)，利用VFF-RLS 求取ana、bnb、cnc，得到ARMAX 模型具體表達。利用雙線性變換將頻域表達式轉換為時域形式并求沖激響應，得各時刻SG 等效慣量He估計值。最后，將He代入SG二階模型進行時域仿真，計算二階模型頻率，并與完整系統(tǒng)頻率對比。

圖2 SG 等效慣量估計的計算流程Fig.2 Flow chart of estimation of equivalent inertia of SG

為量化等效慣量準確性，定義平均誤差MAD為等效模型與完整模型頻率偏差絕對值的平均值，可表示為

式中，f1為基于等效慣量的SG 二階模型得到的頻率。

3 仿真驗證

圖3 勵磁系統(tǒng)和調速系統(tǒng)響應Fig.3 Response of excitation and governor systems

圖4 故障后有功與頻率擾動Fig.4 Post-fault disturbance of active power and frequency

表2 SG 和勵磁、調速系統(tǒng)參數(shù)Tab.2 Parameters of SG,excitation system,and governor system

將有功功率擾動數(shù)據(jù)、頻率擾動數(shù)據(jù)分別作為辨識模型的輸入、輸出信號，利用所提方法進行系統(tǒng)辨識。由AIC準則可得出最佳階次為1及最佳時滯為0，利用VFF-RLS算法估計a1、b0，結果如圖5所示。

圖5 離散傳遞函數(shù)參數(shù)Fig.5 Parameters in discrete transfer function

頻率擾動估計值與實測值如圖6所示，可以看出，最大誤差小于1×10-3p.u.，這表明辨識模型能準確描述原系統(tǒng)，辨識方法有效。

圖6 擾動后頻率增量Fig.6 Post-disturbance frequency increment

將離散傳遞函數(shù)轉化為連續(xù)傳遞函數(shù)并求沖激響應，得到He估計值如圖7所示。SG 發(fā)生電壓跌落故障瞬間功率跌落，He由H迅速增至最大值3.346 s，然后在0.2 s 內He降至3.0 s，這一階段內He＞H。這是因為故障初期頻率變化較大，SG釋放轉子動能向系統(tǒng)提供功率支撐，調速器增發(fā)機械功率以減小功率不平衡量，勵磁系統(tǒng)增大勵磁電壓調節(jié)機端電壓，He保持較大值以減小頻率變化并提高頻率最低點。故障后0.2～2.0 s期間，頻率變化幅度減小，SG 支撐功率減小，He呈衰減趨勢，在故障發(fā)生2.0 s后He穩(wěn)定在2.913 s?？梢姡琀e變化與SG頻率響應一致。

圖7 SG 等效慣量Fig.7 Equivalent inertia of SG

通過時域仿真驗證He準確性，取仿真步長為0.01 s，將等效慣量代入SG二階模型，圖8給出了頻率變化情況。可以看出,降階模型與完整模型保持一致，頻率最大誤差為0.039 Hz，平均誤差MAD僅為0.009，結果表明本文方法所得的等效慣量可以用于采用低階SG模型估計高階模型的頻率響應。

圖8 等效慣量準確性驗證Fig.8 Accuracy verification for equivalent inertia

為評估勵磁、調速系統(tǒng)對等效慣量的影響，采用5 種方案估計慣量，包括：方案1 為SG 二階模型[4-5]；方案2 為SG 五階模型；方案3 為SG 五階模型+調速；方案4為SG五階模型+勵磁；方案5為SG五階模型+勵磁+調速。不同計算方案得到的等效慣量如圖9所示?？梢钥闯?，采用二階模型時[4-5]，轉子慣量穩(wěn)定在3 s左右；采用五階模型時，等效慣量波動后衰減，穩(wěn)態(tài)值為3.037 s，略大于H，增加了1.23%，收斂時間為0.440 s。對方案1和方案2求均值能得到較為準確的SG 慣量時間常數(shù)，但不能衡量勵磁、調速動態(tài)響應。在五階模型基礎上增加調速后，等效慣量在故障初期大于H，經過衰減后穩(wěn)定于2.904 s，相比二階模型減少了3.2%，調速對等效慣量影響較大，收斂時間為0.650 s。這是因為調速系統(tǒng)調節(jié)機械功率輸出，改變系統(tǒng)功率不平衡量。在五階模型基礎上增加勵磁后，等效慣量衰減至2.901 s，相比二階模型減少了3.3%，收斂時間為0.630 s。將方案5和方案3對比可知，等效慣量變化不大，這因為勵磁電流變化對SG輸出有功影響有限。

圖9 不同計算方案得到的等效慣量Fig.9 Equivalent inertia obtained by different calculation schemes

5種方案的MAD指標如圖10所示。方案3和方案5的MAD指標分別為0.009 8與0.009 0，明顯小于其他方案，這表明本文所提方案的SG等效慣量更加準確。

圖10 不同方案的MAD 指標Fig.10 MAD index in different schemes

4 結論

本文計及勵磁、調速系統(tǒng)，提出了基于低階模型估計高階SG 等效慣量的方法，并比較了增加電磁暫態(tài)、勵磁、調速前后的等效慣量，得到以下結論。

（1）相較于二階模型，計及電磁暫態(tài)、調速和勵磁系統(tǒng)的高階模型等效慣量呈現(xiàn)衰減特性，故障初期大于轉子慣量，穩(wěn)態(tài)值小于轉子慣量。

（2）含等效慣量的SG二階模型與完整模型具有相似的頻率響應，平均頻率偏差較小。

（3）調速系統(tǒng)通過調節(jié)機械功率改變功率不平衡量，對等效慣量的影響較大；勵磁系統(tǒng)通過勵磁電流影響電磁功率，對等效慣量的影響較小。