【摘 要】2023年高考數(shù)學北京卷簡潔基礎、回歸本質(zhì)、銳意創(chuàng)新，“考查素養(yǎng)、引導教學”是其鮮明特色.文章給出了多道試題的多種解法及部分創(chuàng)新試題的解法，還對高中數(shù)學教學及高考復習備考提出了合理化建議.

【關鍵詞】高考；數(shù)學；北京卷；回歸本質(zhì)；數(shù)學運算；復習備考

1 “考查素養(yǎng)、引導教學”是2023年高考數(shù)學北京卷的鮮明特色

我們先以表格的形式展示2023年高考數(shù)學北京卷試題中各題的考查情況：

由表1可以看出2023年高考數(shù)學北京卷（下簡稱北京卷）有以下特點：

（1）北京卷全面考查了高中數(shù)學六大主干知識（函數(shù)、導數(shù)與不等式，三角函數(shù)與解三角形，平面解析幾何，立體幾何，統(tǒng)計概率，數(shù)列）中的基本概念與基礎知識，充分體現(xiàn)了對數(shù)學知識考查的基礎性和全面性.

（2）北京卷通過多題、多角度出發(fā)，從數(shù)學學科整體意義和思想價值的高度立意，堅持對數(shù)學基本思想方法的考查.

（3）北京卷延續(xù)已有的命題理念，守正創(chuàng)新，堅持以素養(yǎng)立意.通過設計現(xiàn)實性和綜合性問題，實現(xiàn)對六大數(shù)學核心素養(yǎng)的綜合考查.針對邏輯推理，北京卷通過寬入口，多思路設計了多道試題進行考查，特別是對邏輯推理及數(shù)學運算考查深入，比如第9，10，19，20題.

（4）北京卷堅持“立德樹人、服務選才、引導教學”的命題指導原則，堅持“有利于高校選拔人才、有利于高中數(shù)學教學、有利于考生展示才華”的命題方向［5］.一是試題的設計緊扣課標［1］和教材，回歸課堂、回歸學科本質(zhì)，突出“簡潔、基礎、本質(zhì)、創(chuàng)新”的北京卷特色［6］，為中學生“減負”創(chuàng)建良好的教育生態(tài)，促進新高考與新課程、新課標和新教材的協(xié)調(diào)聯(lián)動；二是試題的設計深入淺出，設問層層遞進，形式靈活多元，比如第20題（用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)）通過三層設問環(huán)環(huán)相扣，又依次遞進，對能力素養(yǎng)要求連續(xù)升級，通過“多問把關”“多題把關”，將難度設置在對學生思維層級的考查上，對引導教學起到了積極作用.北京卷試題共21道，其中基礎題13道共74分，題量約占62%，分值約占49%；中檔題4道共48分，題量約占19%，分值約占32%；較難題4道共28分，題量約占19%，分值約占19%.基礎題較多且絕大部分是“不動筆墨、一望而解”的；第20題是用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)且該問題本質(zhì)上是不含參數(shù)的.筆者認為，這些都是正確的導向：高中數(shù)學教學應當回歸基礎、回歸本原.前些年高考壓軸題多是求不出來通項公式的遞推數(shù)列問題，線性規(guī)劃問題多是含參數(shù)的“非線性”規(guī)劃問題.而后，這兩者均得到了糾正：通常不再把求不出來通項公式的遞推數(shù)列問題作為壓軸題，線性規(guī)劃問題也只考查不含參數(shù)的簡單線性規(guī)劃問題.這些都是回歸基礎、回歸本原的體現(xiàn)，并且與“高考選拔”不矛盾.

（5）北京卷試題的一大特色是高質(zhì)量“數(shù)學文化”試題的出現(xiàn).北京卷突出對數(shù)學應用和復雜情境中問題的考查，試題關注生活，關注現(xiàn)實的情景，引導學生運用所學數(shù)學知識解決生活和社會中的問題.比如第9題以坡屋頂為背景，考查五面體中的棱長之和問題，引導學生關注勞動，積極參與社會實踐，滲透美育與勞育；第14題以戰(zhàn)國時期的“環(huán)權(quán)”為背景，考查數(shù)列基本知識，滲透德育教育，厚植愛國情懷，增強民族自信；第18題以農(nóng)產(chǎn)品的價格作為背景，考查統(tǒng)計學中預測方法應用的全過程，使學生體會數(shù)學與現(xiàn)實的結(jié)合，能夠“真懂會用”，引導學生關注社會民生問題，成為有責任感的公民.

總之，“考查素養(yǎng)、引導教學”是2023年高考數(shù)學北京卷的鮮明特色.

2 對部分試題的分析

2.1 一題多解第3，7［7］，16，19題屬于一題多解的題目，下面以19題為例作闡述.

3 六條建議

（1）第7題的題干“在△ABC中，若（a+c）（sinA－sinC）=b（sinA－sinB），則∠C=”應改為“在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若（a+c）（sinA－sinC）=b（sinA－sinB），則C=”.

實際上，普通高中教科書《數(shù)學·必修·第二冊·A版》（人民教育出版社，2019）（下簡稱《數(shù)學·必修·第二冊》）第43-61頁中有關解三角形的例題、練習題、習題及復習參考題也多有這種不嚴謹?shù)谋硎?，比如?3頁第15題開頭的敘述“△ABC的三邊分別為a，b，c”應改為第54頁第20題開頭的敘述“已知△ABC的三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c”，否則，前者的結(jié)論是錯誤的.（2）建議把第8題的選項“C.充分必要條件”改為“C.充要條件”.理由是［5］：①普通高中教科書《數(shù)學·必修·第一冊·A版》（人民教育出版社，2019）第20頁寫的是“1.4.2 充要條件”，第21頁寫的是“……我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件”；②數(shù)學的表述應當遵循簡潔原則，比如數(shù)“+3”應當寫成數(shù)“3”，代數(shù)式“－1a”“0a”“1a”應當分別寫成“－a”“0”“a”.

（3）第16題中的“四面體P-ABC”應改為“四面體PABC”或改為“三棱錐P-ABC”.

實際上，《數(shù)學·必修·第二冊》第170頁第11題中的“四面體A-BCD”也應這樣改動.

（4）第9題與第16題都是對二面角的考查，屬于重復考查，建議將其中之一改為對“異面直線所成的角”或“斜線與平面所成的角”的考查.（5）文［10］末對第21題提出了商榷.

（6）較2022年高考數(shù)學北京卷［5］，2023年高考數(shù)學北京卷中的基礎題（比如，第1-8，11，12，16，17題）要簡單太多，而部分創(chuàng)新題（比如，第9，10，15，21題）的難度又增加了不少；作為倒數(shù)第二題（即第20題）用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的問題，較去年的同類問題也容易了很多.而這作為高考試題的“保持穩(wěn)定”及“有效選拔”，還是有些不妥的.

4 對高中數(shù)學教學及高考復習備考的建議

關于高中數(shù)學教學及高考復習備考，筆者在發(fā)表的文獻［5，13-16］中已闡述了一些有益的建議，下面再強調(diào)六點：

（1）第一輪復習要夯實基礎，堅決丟掉“偏、難、怪”.老師的教學（包括解題教學），不可“深一腳淺一腳”，這樣會導致“學生很怕數(shù)學”.

（2）老師復習備考要讓學生感到心里有底，這是高效復習和減輕學生學習負擔的重要途徑之一及必由之路.

比如，對于試卷第19題，老師要盡可能地引導學生揭示其背景，提升學生的學習興趣.

（3）注重主干知識、聚焦核心考點、重視高頻考點；適當加大運算能力的培養(yǎng)，要知道梨子的味道一定要親口嘗一嘗；這道題難不難、會不會做，一定要親自動筆認真做.

（4）關注北京特色的試題，比如對三道壓軸題，平時要有針對性地訓練，即使第21題也不可全然放棄，要做到分分必爭；多關注新高考劣構(gòu)題、數(shù)學文化試題、全國卷中的多選題等，并盡可能地做到學以致用、欣賞數(shù)學，還要盡可能地做到見多識廣，并關注三道壓軸題的變化，不可“刻舟求劍”.

（5）高中數(shù)學教學要永遠做好四個關鍵詞：夯實基礎、激發(fā)興趣、著眼高考、適當提高.考生要盡可能地學習數(shù)學課本之外的方法、知識，比如數(shù)學歸納法、反證法、同一法、合情推理、極限概念、極端化原理、容斥原理、抽屜原理等等.

（5）高中數(shù)學教學要永遠做好四個關鍵詞：夯實基礎、激發(fā)興趣、著眼高考、適當提高［16］.考生要盡可能地學習數(shù)學課本之外的方法、知識，比如數(shù)學歸納法、反證法、同一法、合情推理、極限概念、極端化原理、容斥原理、抽屜原理等等.

（6）高中基礎年級（高一、高二）的數(shù)學教學務必重視基本概念的教學，并且要重視概念的情境引入.老師先匆忙介紹概念再用盲目刷題的“簡單粗暴概念教學”可以休矣，因為這樣的教學，學生不可能掌握概念的來龍去脈，除了會“套題型”的機械解題之外根本不會“用理解概念來解創(chuàng)新題目”.

通過老師的概念教學，爭取使學生達到“真懂、徹悟”的狀態(tài)；對數(shù)學的理論、方法或定理能洞查其直觀背景，并看清楚它是如何從具體特例過渡到一般（抽象）形式的，要弄明白整個思路的來龍去脈.

參考文獻

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作者簡介 甘志國（1971—），男，筆名甘喆，湖北竹溪人，研究生學歷；民進會員，中國數(shù)學會會員，中國初等數(shù)學研究會常務理事，正高級教師、特級教師、湖北名師、政府專項津貼專家；對高考數(shù)學試題及重點高校強基計劃數(shù)學試題研究較深，鉆研教法與學法，提倡并關注學生運算能力的培養(yǎng)，總結(jié)提出并踐行“懂、會、熟、巧、通”五步解題學習法，“思、探、練、變、提”五步解題教學法，“知、懂、熟、用、賞”五種解題境界及高中數(shù)學教學的四個關鍵詞“夯實基礎、激發(fā)興趣、著眼高考、適當提高”，倡導教師要做明師——明白的教師;出版著作多部，發(fā)表文章多篇.

基金項目 北京市教育學會“十三五”教育科研滾動立項課題“數(shù)學文化與高考研究”（FT2017GD003）.