□李國強(qiáng) 苗珠珠

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）凸顯核心素養(yǎng)，并把核心素養(yǎng)確立為數(shù)學(xué)課程目標(biāo)。然而，在“中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)”的總體框架（如圖1）中，卻不見“數(shù)學(xué)”二字。那么，數(shù)學(xué)學(xué)科在學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)中的價(jià)值到底是什么呢？

圖1 “中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)”總體框架

一、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)指向理性思維的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科具有抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性。通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，增強(qiáng)理性精神。本質(zhì)上，這與圖1 中要發(fā)展的“理性思維”是一致的。具體而言，理性思維是人們把握客觀事物本質(zhì)和規(guī)律的思維活動(dòng)，它具有明確的思維方向和充分的思維依據(jù)，是一種能對事物或問題進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括的思維。在人形成理性思維的過程中，數(shù)學(xué)發(fā)揮著不可替代的作用。

根據(jù)2022 年版課標(biāo)的要求，數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)主要包括“三會(huì)”，即會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實(shí)世界的抽象，通過符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，形成結(jié)論和方法，幫助人們認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律。數(shù)學(xué)知識(shí)、方法與思想的獲得需要經(jīng)歷觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括等學(xué)習(xí)活動(dòng)，學(xué)習(xí)過程中處處體現(xiàn)著理性思維。從培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度看，會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界是“走進(jìn)理性”，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界是“體驗(yàn)理性”，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界是“理性表達(dá)”。小學(xué)階段核心素養(yǎng)的11個(gè)主要表現(xiàn)，是培養(yǎng)學(xué)生理性思維的載體和抓手（如圖2）。總之，小學(xué)階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的價(jià)值追求就在于“理性”，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就是發(fā)展學(xué)生的理性思維。

圖2 小學(xué)階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“理性”追求

二、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)蘊(yùn)含豐富的理性思維

數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實(shí)數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映，是數(shù)學(xué)知識(shí)的“細(xì)胞”，是一切數(shù)學(xué)規(guī)則的基礎(chǔ)。

小學(xué)生一般通過概念形成和概念同化兩種方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念。概念形成是指學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程中，通過觀察、比較、分析具體的事物，抽象概括出該事物的本質(zhì)屬性，然后將其推廣到具有這些本質(zhì)屬性的某類事物中，明確事物的外延，是從具體到抽象再到具體的過程。概念同化是指基于學(xué)生原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過比較、分析、綜合、概括、判斷、推理等思維活動(dòng)，給一類事物下定義，以揭示其本質(zhì)屬性，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)原有概念和新概念之間的聯(lián)系，改變原有知識(shí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使舊概念得到改組或改造，從而獲得新的概念。總之，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程是從具體事物到抽象本質(zhì)的過程，充滿了比較、分析、綜合、概括、判斷、推理等豐富的思維活動(dòng)。

數(shù)學(xué)概念作為判斷、推理、運(yùn)算和證明的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)交流的重要工具，因此，理解數(shù)學(xué)概念對學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)至關(guān)重要。但若從學(xué)生發(fā)展的視角看，當(dāng)他們從學(xué)校畢業(yè)走進(jìn)社會(huì)后，很多數(shù)學(xué)概念都會(huì)被忘記，真正積淀下來、對其長遠(yuǎn)發(fā)展發(fā)揮作用的往往是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過程中經(jīng)歷的比較、分析、綜合、抽象、概括、推理等理性思維方式。從這個(gè)層面看，數(shù)學(xué)概念本身更像是概念教學(xué)的副產(chǎn)品，而學(xué)生理性思維的培養(yǎng)才是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的根本。

三、核心素養(yǎng)下小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中理性思維的培養(yǎng)策略

（一）聚焦核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)，關(guān)注理性思維

核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)是培養(yǎng)學(xué)生理性思維的載體。因此，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，不能只是簡單地關(guān)注具體知識(shí)點(diǎn)，還要從更高的層面關(guān)注核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)，并以此作為教學(xué)目標(biāo)組織教學(xué)。

例如，在“用字母表示數(shù)”的教學(xué)中，不僅要關(guān)注如何用字母表示數(shù)，還要從符號(hào)意識(shí)的高度，讓學(xué)生經(jīng)歷從數(shù)到字母的抽象、概括過程，感受數(shù)學(xué)表達(dá)的簡潔與準(zhǔn)確；在“平均數(shù)”的教學(xué)中，不僅要關(guān)注平均數(shù)的含義與如何求平均數(shù)，還要考慮數(shù)據(jù)意識(shí)的培養(yǎng)，讓學(xué)生養(yǎng)成“用數(shù)據(jù)說話”的證據(jù)意識(shí)及理性思維習(xí)慣。

很多教師在教學(xué)人教版教材四年級(jí)下冊“圖形的運(yùn)動(dòng)（二）”中的“軸對稱”時(shí)，會(huì)把重點(diǎn)放在軸對稱的性質(zhì)及如何補(bǔ)全軸對稱圖形上。而2022年版課標(biāo)中的“學(xué)業(yè)要求”是“知道軸對稱圖形的對稱軸，能在方格紙上補(bǔ)全軸對稱圖形，形成推理意識(shí)”。因此，教師教學(xué)時(shí)，可設(shè)計(jì)諸如“你確定軸對稱圖形的依據(jù)是什么？”“補(bǔ)全軸對稱圖形時(shí)，為什么只要確定幾個(gè)對應(yīng)點(diǎn)然后連起來就可以了呢？”等問題，以此引發(fā)學(xué)生思考，培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的理性思維。

（二）重視數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過程，凸顯理性思維

數(shù)學(xué)概念是發(fā)展理性思維和建立數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基本單位。數(shù)學(xué)概念的教學(xué)不僅要關(guān)注概念的內(nèi)涵、外延，更要關(guān)注如何促進(jìn)學(xué)生理性思維的發(fā)展，讓學(xué)生在觀察、分析、類比等思維活動(dòng)中，積累抽象、概括、推理、辯證的思維經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)理性思維水平。

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，較為突出的理性思維包括抽象思維、推理思維、類比思維、辯證思維等，以下作簡要說明。

抽象思維：指舍棄物體的部分具體特征，在比較、辨析的過程中逐步得出同類事物共同的內(nèi)在特征。如從文具盒、粉筆盒等實(shí)物中抽象出長方體。又如從“紅蘿卜是胡蘿卜的3 倍”“黃花是藍(lán)花的3倍”“男生是女生的3 倍”等具體的數(shù)量關(guān)系中，抽象出“3 倍”的概念。抽象思維能使學(xué)生對事物的感性認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化為理性理解。

推理思維：指借助已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)對新的概念進(jìn)行比較、辨析，并作出判斷。概念學(xué)習(xí)中蘊(yùn)含推理思維。下面以“三角形分類”的教學(xué)片段進(jìn)行說明。

（教師準(zhǔn)備了幾個(gè)裝有三角形圖片的信封，出示其中的一個(gè)信封，只露出一個(gè)直角，讓學(xué)生猜猜里面是什么三角形）

師：里面是什么三角形？

生：我看到一個(gè)直角，這個(gè)三角形一定是直角三角形，因?yàn)橛幸粋€(gè)角是直角的三角形叫作直角三角形。

（教師出示第二個(gè)信封，只露出一個(gè)鈍角，讓學(xué)生猜猜里面是什么三角形）

師：里面是什么三角形？

生：我看到一個(gè)鈍角，這個(gè)三角形一定是鈍角三角形，因?yàn)橛幸粋€(gè)角是鈍角的三角形叫作鈍角三角形。

（教師出示第三個(gè)信封，只露出一個(gè)銳角，讓學(xué)生猜猜里面是什么三角形）

師：里面是什么三角形？

生：我看到一個(gè)銳角，這個(gè)三角形可能是直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，因?yàn)檫@些三角形中都有銳角。

師：為什么這個(gè)三角形不一定是銳角三角形呢？

生：銳角三角形必須三個(gè)角都是銳角，而我只看到了一個(gè)銳角，所以不能確定這個(gè)三角形一定是銳角三角形。

師：怎樣才能確定這個(gè)三角形一定是銳角三角形呢？

生：要看到三個(gè)銳角。

生：如果看到這個(gè)三角形最大的角是銳角，也能確定這個(gè)三角形是銳角三角形。因?yàn)檫B最大的角都是銳角了，那么其他兩個(gè)角也一定是銳角，這個(gè)三角形也一定是銳角三角形。

學(xué)生借助不同三角形的概念進(jìn)行推理，得出信封里裝的是什么三角形，猜測、說理的過程很好地訓(xùn)練了學(xué)生的推理意識(shí)。

類比思維：對于相似的新舊概念，可以運(yùn)用類比思維，將相似的屬性進(jìn)行比較，并借助內(nèi)在邏輯，把相似屬性遷移到新的概念中。如有一位教師借助類比思維，將“長度與長度單位”的教學(xué)方法運(yùn)用至“面積與面積單位”的教學(xué)中，達(dá)到了良好的教學(xué)效果。

辯證思維：客觀世界是“變與不變”的和諧統(tǒng)一，許多事物間的關(guān)系既對立又統(tǒng)一。反映客觀事物的數(shù)學(xué)概念也是如此。比如：加法、減法、乘法、除法是四種不同的運(yùn)算方式，統(tǒng)稱四則運(yùn)算，但四者又都可歸結(jié)為加法運(yùn)算；正多邊形是直邊形，圓是曲邊形，但從極限的視角看，圓又可以看成邊數(shù)無窮多的正多邊形；等積變形中，圖形的形狀雖千變?nèi)f化，面積卻恒為定值。在概念教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生感受不同概念中蘊(yùn)含的辯證關(guān)系，既能幫助他們深刻理解概念，又能提高他們的辯證思維能力。

弗賴登塔爾說過：“與其說學(xué)數(shù)學(xué)，不如說學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化?！瘪T俊業(yè)教授進(jìn)一步指出：“對學(xué)生而言，數(shù)學(xué)化就是‘從無到有、從粗糙到精致’的過程?！睂⑵湟曛翑?shù)學(xué)概念就是：學(xué)生學(xué)習(xí)概念，不如說是學(xué)習(xí)概念化。數(shù)學(xué)概念的教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生真切體會(huì)數(shù)學(xué)概念從無到有、從粗糙到精致的思維過程。

（三）揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，促進(jìn)理性思考

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)依賴數(shù)學(xué)思考。如果數(shù)學(xué)概念的教學(xué)僅僅停留在表層理解與機(jī)械記憶，缺乏對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，那么概念教學(xué)就已經(jīng)失去了它最本質(zhì)的價(jià)值，理性思維培養(yǎng)也就無從談起。

在教學(xué)數(shù)學(xué)概念時(shí)，教師應(yīng)創(chuàng)造條件，引導(dǎo)學(xué)生深度思考“3W”：為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念（why）？數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵是什么（what）？該概念在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中處于怎樣的地位（how）？例如，在“認(rèn)識(shí)方程”的教學(xué)中，除了讓學(xué)生理解方程的定義和兩個(gè)要素（含有未知數(shù)、等式），會(huì)識(shí)別方程，還要體現(xiàn)方程的本質(zhì)，即數(shù)量（包括已知數(shù)和未知數(shù)）之間的等量關(guān)系（“結(jié)構(gòu)性觀念”），讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到等號(hào)不僅具有指向作用，還體現(xiàn)為等量關(guān)系。在“扇形統(tǒng)計(jì)圖”的教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生思考：有了條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖，為什么還要學(xué)習(xí)扇形統(tǒng)計(jì)圖？為什么是扇形，而不是其他形狀的統(tǒng)計(jì)圖？在“比”的教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生思考：已經(jīng)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)、除法，為什么還要學(xué)習(xí)比？分?jǐn)?shù)、除法、比之間有什么區(qū)別和聯(lián)系？足球比賽中的1∶2 與數(shù)學(xué)中的1∶2 是一回事嗎？等等。

在對數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延、數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)價(jià)值及相關(guān)概念內(nèi)在聯(lián)系等的深度思考中，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解更加深刻，對數(shù)學(xué)概念蘊(yùn)含的理性思維的體驗(yàn)也更透徹。

（四）注重關(guān)鍵概念的教學(xué)，實(shí)現(xiàn)理性進(jìn)階

關(guān)鍵概念可以把教學(xué)主題內(nèi)零散的知識(shí)聯(lián)系起來，體現(xiàn)教學(xué)主題的內(nèi)在本質(zhì)，促進(jìn)知識(shí)和方法的遷移，使學(xué)生體會(huì)到概念之間的關(guān)聯(lián)互通，從而提升理性思維層次。同時(shí)，重視關(guān)鍵概念的教學(xué)還能實(shí)現(xiàn)觸類旁通，達(dá)到“教是為了不教”的效果，進(jìn)而切實(shí)減輕學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)。

例如，在數(shù)概念的教學(xué)中，教師要借助計(jì)數(shù)單位，突出整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)之間數(shù)的概念的一致性，引導(dǎo)學(xué)生用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，用數(shù)學(xué)的思維思考問題。同樣，在量概念的教學(xué)中，教師要借助計(jì)量單位，溝通長度、面積、體積以及角度等概念，讓學(xué)生在形成量感的同時(shí)，感悟量的概念的一致性。不管是角的度量，還是長度、面積和體積的度量，量都是借助數(shù)來表達(dá)的，都是計(jì)量物體含有計(jì)量單位的個(gè)數(shù)。由此可見，數(shù)概念與量概念具有一致性。

關(guān)鍵概念將零散的數(shù)學(xué)概念，依據(jù)共同的數(shù)學(xué)本質(zhì)構(gòu)建起富有整體化、系統(tǒng)化、邏輯化的知識(shí)體系，促進(jìn)學(xué)生的思維進(jìn)階，進(jìn)而發(fā)展核心素養(yǎng)。

（五）嘗試概括數(shù)學(xué)概念，強(qiáng)化理性表達(dá)

會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“三會(huì)”之一，教師要重視培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)語言描述和分析概念的能力。在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜測等方式嘗試描述概念，將自身的理解與概念本質(zhì)進(jìn)行多次對比，在逐步矯正的過程中，體會(huì)數(shù)學(xué)概念的簡明性與嚴(yán)謹(jǐn)性。學(xué)生“嘗試描述—揭示概念”的語言表達(dá)過程，既是將感知的概念特征內(nèi)化為認(rèn)知的建構(gòu)過程，也是逐步舍棄事物的非本質(zhì)屬性而突出本質(zhì)屬性的理性表達(dá)過程。

例如，在“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”的教學(xué)中，教師先列出1～20各數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生對這些數(shù)進(jìn)行分類。當(dāng)有學(xué)生提出可根據(jù)因數(shù)個(gè)數(shù)進(jìn)行分類時(shí)，教師便讓他們充分表達(dá)想法，充分經(jīng)歷概念的理性表達(dá)過程。下面是該教師的教學(xué)片段。

師：（教師用手指著2、3、5、7……）請大家認(rèn)真觀察，這些數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)有什么共同的特征？

生：這些數(shù)都有兩個(gè)因數(shù)。（板書：兩個(gè)因數(shù)）

生：我要補(bǔ)充。這些數(shù)的因數(shù)只有1 和它本身。

生：我同意第二個(gè)同學(xué)說的。這些數(shù)的因數(shù)只有1和它本身，說明這些數(shù)只有兩個(gè)因數(shù)，除了1和它本身外沒有別的因數(shù)。（板書：1和它本身）

師：誰明白他的意思？

（再讓幾名學(xué)生進(jìn)行表達(dá)）

師：看來我們得加上“只有”二字。

（教師用彩色粉筆在板書中加上“只有”二字）

師：在數(shù)學(xué)中，像這樣的數(shù)叫質(zhì)數(shù)，也叫素?cái)?shù)。你能跟同桌說說什么叫質(zhì)數(shù)嗎？

師：自然數(shù)中，很多數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)并非只有兩個(gè)，如4、6、9，它們的因數(shù)個(gè)數(shù)是……

生：不是只有1和它本身，至少有三個(gè)因數(shù)。

生：也就是說，這些數(shù)除了1 和它本身外還有其他因數(shù)。

師：誰理解他說的意思？

生：比如4 這個(gè)數(shù)，它有三個(gè)因數(shù)，除了1 和本身的4以外，還有一個(gè)因數(shù)是2。

生：像6、8、9這幾個(gè)數(shù)，它們都有除了1和本身以外的其他因數(shù)。

師：一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身外，還有其他的因數(shù)，這樣的數(shù)就叫合數(shù)。你能跟同桌說說怎樣的數(shù)是合數(shù)嗎？

語言是思維的外顯，是理性思維的觀念載體。引導(dǎo)學(xué)生用語言描述進(jìn)行推理的過程，不僅能使學(xué)生加深對概念的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)概念的簡潔、嚴(yán)謹(jǐn)，更能提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言合乎邏輯地討論和判斷的能力，從而鍛煉理性思維。

2022 年版課標(biāo)的亮點(diǎn)之一是提出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)指向理性思維培養(yǎng)。數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程中蘊(yùn)含著豐富的理性思維，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)就是培養(yǎng)學(xué)生理性思維的過程。在以后的概念教學(xué)中，希望教師們重視學(xué)生的理性思維培養(yǎng)，并不斷嘗試探索小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的新路徑，讓核心素養(yǎng)真正在教學(xué)實(shí)踐中落地生根、開花結(jié)果。