機(jī)械臂自適應(yīng)反演超螺旋全局終端滑?？刂?/h1>
2023-11-08 02:06:24李俊麟王宏博
測控技術(shù) 2023年10期
李俊麟,王宏博,3,張 偉*,高 升
(1.中國科學(xué)院沈陽自動(dòng)化研究所 機(jī)器人學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,遼寧 沈陽 110016; 2.中國科學(xué)院機(jī)器人與智能制造創(chuàng)新研究院,遼寧 沈陽 110169; 3.沈陽化工大學(xué) 信息工程學(xué)院,遼寧 沈陽 110142)
工業(yè)自動(dòng)化技術(shù)的提高及現(xiàn)代科技的發(fā)展,使機(jī)器人技術(shù)得到了廣泛應(yīng)用。機(jī)械臂作為機(jī)器人技術(shù)中使用最多的自動(dòng)化機(jī)械裝置,一直以來都廣受關(guān)注。然而機(jī)械臂是一個(gè)典型的強(qiáng)耦合、非線性和多變量系統(tǒng)[1-2],實(shí)際中更會(huì)受到外部擾動(dòng)、建模誤差和內(nèi)部摩擦等因素的影響,特殊的驅(qū)動(dòng)方式及建模難度對其高效、精準(zhǔn)控制提出了挑戰(zhàn)[3],設(shè)計(jì)性能優(yōu)越的控制器成為學(xué)者們研究的熱點(diǎn)。目前已有眾多方案用以解決機(jī)械臂高性能軌跡跟蹤控制難題,如自適應(yīng)控制[4-5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[6-7]、反演控制[8-9]和滑?？刂芠10]等。
由于滑?？刂茖ο到y(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)及外部擾動(dòng)變化不敏感,具有強(qiáng)魯棒性,在線性和非線性物理系統(tǒng)中有著良好的控制效果,所以被廣泛研究,但傳統(tǒng)線性滑模控制無法保證系統(tǒng)狀態(tài)的有限時(shí)間收斂性。文獻(xiàn)[11]設(shè)計(jì)了一種有限時(shí)間軌跡跟蹤控制器,通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近機(jī)械臂系統(tǒng)模型和擾動(dòng),能夠保證系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤期望軌跡。文獻(xiàn)[12]采用擾動(dòng)估計(jì)器對系統(tǒng)不確定項(xiàng)進(jìn)行估計(jì),通過自適應(yīng)律補(bǔ)償估計(jì)誤差,結(jié)合非奇異快速終端滑模算法,能夠?qū)崿F(xiàn)有限時(shí)間收斂的機(jī)械臂高精度軌跡跟蹤。文獻(xiàn)[13]與文獻(xiàn)[14]針對機(jī)械臂系統(tǒng)集總擾動(dòng)上界未知的問題,設(shè)計(jì)了基于自適應(yīng)估計(jì)的終端滑模控制策略,可以使機(jī)械臂的位置跟蹤誤差和速度誤差在有限時(shí)間收斂到0。
雖然終端滑模控制解決了有限時(shí)間收斂問題,但由于高頻切換導(dǎo)致的抖振現(xiàn)象并未消除。解決的主要方法有采用飽和函數(shù)和特殊冪次函數(shù)等連續(xù)平滑函數(shù)替代符號(hào)函數(shù),以及改進(jìn)趨近律方法等。文獻(xiàn)[15]采用特殊冪次函數(shù)代替切換控制項(xiàng)中的符號(hào)函數(shù)以削弱抖振。文獻(xiàn)[16]和文獻(xiàn)[17]分別設(shè)計(jì)了自適應(yīng)趨近律和帶有變系數(shù)的雙冪次趨近律,以使控制器輸出連續(xù)的控制信號(hào),抑制抖振的同時(shí)還可以加快系統(tǒng)響應(yīng)速度。文獻(xiàn)[18]采用飽和函數(shù)替換符號(hào)函數(shù)達(dá)到抑制抖振的目的,但邊界層問題成為另一個(gè)制約控制器性能的因素,較窄的邊界層無法有效消除抖振,而較寬的邊界層會(huì)降低系統(tǒng)控制精度。此類使用連續(xù)平滑函數(shù)的方法雖然都能在一定程度上改善抖振現(xiàn)象,但也會(huì)影響系統(tǒng)的魯棒性和控制精度。而采用高階滑模中的超螺旋算法是另一種有效的方法,在保證控制器性能的同時(shí)對抖振也有著良好的改善效果,文獻(xiàn)[19]采用超螺旋算法設(shè)計(jì)高階滑?？刂破?結(jié)合模糊推理系統(tǒng)逼近系統(tǒng)模型,實(shí)現(xiàn)了高效的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制。文獻(xiàn)[20]采用時(shí)延估計(jì)建立機(jī)械臂局部模型,基于超螺旋算法設(shè)計(jì)控制律,使系統(tǒng)具備了強(qiáng)魯棒性、消除抖振的優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)[21]提出一種自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階超螺旋滑?？刂撇呗?自適應(yīng)算法用于估計(jì)系統(tǒng)集總擾動(dòng)上界,采用分?jǐn)?shù)階理論與超螺旋算法結(jié)合的方式構(gòu)造控制器以使系統(tǒng)狀態(tài)快速收斂,同時(shí)達(dá)到抑制抖振的目的。此外,反演控制是一種針對被控對象的具有外部干擾及變化特性的一種有效控制方法,近年來受到了學(xué)者們的廣泛研究與關(guān)注[22-23]。反演控制采用遞歸設(shè)計(jì)思想,將復(fù)雜的非線性系統(tǒng)分解成多個(gè)低階子系統(tǒng),然后分別設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)和虛擬控制輸入,對參數(shù)不確定系統(tǒng)有著非常好的魯棒性。將反演控制與滑?？刂平Y(jié)合設(shè)計(jì)控制器,可以進(jìn)一步增強(qiáng)系統(tǒng)對非匹配不確定性的魯棒性。
在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,提出一種應(yīng)用于機(jī)械臂系統(tǒng)的自適應(yīng)反演超螺旋全局快速終端滑?？刂撇呗浴１疚乃龅闹饕ぷ骱蛣?chuàng)新點(diǎn)如下:① 利用反演設(shè)計(jì)法將機(jī)械臂系統(tǒng)分解成低階子系統(tǒng),使系統(tǒng)擁有對外部擾動(dòng)及參數(shù)不確定性的強(qiáng)魯棒性,然后結(jié)合全局快速終端滑模函數(shù)設(shè)計(jì)控制器,保證系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn),改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。② 采用自適應(yīng)技術(shù)在線實(shí)時(shí)估計(jì)機(jī)械臂系統(tǒng)集總擾動(dòng)上界,所以不需要擾動(dòng)上界的先驗(yàn)知識(shí)。③ 在控制器中引入超螺旋算法,保證控制性能的同時(shí)有效抑制抖振。最后通過對比仿真及數(shù)據(jù)分析驗(yàn)證了所提算法具有高精度軌跡跟蹤、強(qiáng)魯棒性、快速的動(dòng)態(tài)響應(yīng)及有限時(shí)間收斂性的特點(diǎn)。
1 機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型
考慮外部干擾、非線性摩擦以及系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)等不確定性因素影響,n自由度機(jī)械臂拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程可描述如下:
(1)
式(1)描述的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程可改寫為
(2)
(3)
在進(jìn)行后續(xù)控制器設(shè)計(jì)之前,對上述機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型做出如下假設(shè)。
假設(shè)[13]集總擾動(dòng)滿足約束條件:
(4)
2 控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析
根據(jù)反演法的遞推思想結(jié)合全局快速終端滑?？刂评碚摌?gòu)造控制器,不僅可以加快控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度,同時(shí)還能夠增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性。通過設(shè)計(jì)合適的控制量τ,使得系統(tǒng)滿足兩個(gè)條件:一是閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定;二是系統(tǒng)狀態(tài)可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0。反演設(shè)計(jì)方法整體上分為兩步:① 利用Lyapunov函數(shù)構(gòu)造虛擬控制量;② 在步驟①的基礎(chǔ)上,選擇合適的滑模函數(shù)設(shè)計(jì)控制律。
① 定義位置跟蹤誤差及其一階導(dǎo)數(shù):
e=q-qd=x1-qd
(5)
(6)
反演法與Lyapunov理論結(jié)合設(shè)計(jì)控制器的過程中,要保證系統(tǒng)始終是穩(wěn)定的,為此將第一個(gè)Lyapunov函數(shù)定義為
(7)
定義虛擬控制量x2,其表達(dá)式為
(8)
式中:s為滑模函數(shù);χ為大于0的常數(shù)。
取式(7)的一階導(dǎo)數(shù),再將式(8)代入可以得到:
(9)
② 選擇合適的滑模函數(shù)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì),并從理論上證明所設(shè)計(jì)控制器的穩(wěn)定性。本文選擇全局快速終端滑模函數(shù):
(10)
式中:α、β為正常數(shù),p/q>1。
進(jìn)行有限時(shí)收斂分析,令tr為任意初始狀態(tài)到達(dá)平衡狀態(tài)s(0)=s(tr)=0的時(shí)間,則存在一個(gè)大于0的常數(shù)κ,使得tr≤s/κ成立。此時(shí),系統(tǒng)狀態(tài)能夠在tr內(nèi)到達(dá)滑模面;系統(tǒng)從e(tr)≠0收斂到e(ts+tr)=0的時(shí)間為ts,在此過程中s=0,有:
(11)
通過以上分析可知,設(shè)定合適的α、β、p、q的值,就可保證系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間ts內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)。
然后進(jìn)行全局快速終端滑?？刂破髟O(shè)計(jì),取式(10)的一階導(dǎo)數(shù):
(12)
在保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的同時(shí),也使系統(tǒng)狀態(tài)始終位于滑模面上,定義第二個(gè)Lyapunov函數(shù):
(13)
取其一階導(dǎo)數(shù)并代入式(3)、式(9)及式(12):
(14)
根據(jù)等效控制設(shè)計(jì)思想,機(jī)械臂控制力矩τ由等效控制τeq和切換控制τsw組成,即:
τ=τeq+τsw
(15)
根據(jù)式(14)設(shè)計(jì)等效控制項(xiàng)τeq:
(16)
切換控制項(xiàng)τsw用于處理系統(tǒng)不確定性,保證系統(tǒng)魯棒性,設(shè)計(jì)為
(17)
式中:k>0。
在進(jìn)行反演設(shè)計(jì)的過程中,假設(shè)系統(tǒng)集總不確定性的上界是已知的,因此切換控制律式(17)的設(shè)計(jì)是合理且有效的。
將所設(shè)計(jì)的控制器式(15)代入到式(14)中,經(jīng)過簡化可以得到:
(18)
(19)
(20)
對上式求導(dǎo),并代入式(14),可以得到:
(21)
將控制律(15)～控制律(17)和自適應(yīng)律(19)代入式(21)可得:
≤-χe2-Λ|s|
(22)
(23)
由上述分析可知式(23)是有界的,因此根據(jù)Barbalat引理有:
(24)
即ce2+Λ|s|最終漸近收斂到0。綜合以上分析,所設(shè)計(jì)的控制器可保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定以及使軌跡跟蹤誤差能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0。
在以上控制器的設(shè)計(jì)過程中,并未考慮由于高頻切換導(dǎo)致的抖振對系統(tǒng)造成的負(fù)面影響。引入超螺旋算法不僅能對滑?？刂拼嬖诘亩墩瘳F(xiàn)象進(jìn)行有效抑制,亦能保證控制器跟蹤性能,不損失滑模不變性。超螺旋算法表達(dá)式如下:
(25)
根據(jù)式(25)對切換控制律(17)進(jìn)行重新設(shè)計(jì),然后可以得到最終的控制器:
(26)
(27)
其中,ω是一個(gè)數(shù)值較小的正常數(shù),如果取值過大,那么就會(huì)產(chǎn)生較大的余量,在一定程度上會(huì)影響系統(tǒng)的控制精度;而過小的ω值將難以維持死區(qū)條件|s|<ω甚至無法得到|s|<ω,這將再度導(dǎo)致參數(shù)自適應(yīng)估計(jì)值緩慢增長,因此取值時(shí)應(yīng)該綜合考慮實(shí)際情況。
3 仿真分析
為了驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)控制器的有效性,使用二自由度機(jī)械臂模型,利用設(shè)計(jì)的控制器實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂軌跡跟蹤,機(jī)械臂模型如圖1所示。
圖1 機(jī)械臂模型示意圖
機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程中各矩陣具體形式如下:
M(q)=[m11,m12;m21,m22]
G(q)=[g1;g2]
c22=0
g1=(m1r1+m2l1)gcos(q1)+m2gr2cos(q1+q2)
g2=m2gr2cos(q1+q2)
τd=[τd1,τd2]T
機(jī)械臂物理參數(shù)及控制器參數(shù)分別如表1和表2所示。
表1 機(jī)械臂模型參數(shù)
表2 控制器參數(shù)
為體現(xiàn)本文設(shè)計(jì)控制算法的有效性,與文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[18]中設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行比較。
文獻(xiàn)[13]設(shè)計(jì)的控制器如下:
(28)
式中:αc=βc=3;η1=1.9;η2=5/3;δ=0.5;其余參數(shù)與表2相同。
文獻(xiàn)[18]設(shè)計(jì)的控制器如下:
(29)
式中:α0=α3=3;α1=α2=1;γ1=0.4;γ2=2γ1/(1+γ1);=4;ε=0.1,其余參數(shù)與表2相同。
機(jī)械臂兩關(guān)節(jié)位置軌跡跟蹤對比如圖2所示。
圖2 關(guān)節(jié)1、2位置跟蹤
機(jī)械臂兩關(guān)節(jié)速度軌跡跟蹤對比如圖3所示。機(jī)械臂軌跡跟蹤誤差對比如圖4所示。
圖3 關(guān)節(jié)1、2速度跟蹤對比
圖4 關(guān)節(jié)1、2跟蹤誤差
從圖2和圖3的仿真結(jié)果可以看出,本文方法能夠使系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤期望軌跡,且擁有最快的動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)間。由圖4可以看出,本文方法的位置軌跡誤差響應(yīng)時(shí)間在約0.86 s后能夠達(dá)到預(yù)期跟蹤效果,而對比算法分別在約1.3 s和1.8 s后方能實(shí)現(xiàn)期望跟蹤效果,對比結(jié)果表明本文算法動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性要優(yōu)于對比算法。
機(jī)械臂關(guān)節(jié)控制力矩對比結(jié)果如圖5所示。
圖5 關(guān)節(jié)1、2控制力矩
由圖5可以看出,文獻(xiàn)[13]中的方法產(chǎn)生了劇烈抖振,文獻(xiàn)[18]中的方法使用飽和函數(shù)雖然在一定程度上削弱了抖振現(xiàn)象,但這種方法會(huì)降低系統(tǒng)的魯棒性,而本文提出的方法通過引入超螺旋算法,對抖振的抑制效果明顯,更具有優(yōu)勢。
圖6是自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)值收斂過程,通過死區(qū)技術(shù)調(diào)整的自適應(yīng)律最終使系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)值收斂到了穩(wěn)定值。圖7為滑模變量s的響應(yīng)曲線,s收斂到平衡狀態(tài)的時(shí)間為0.315 s,此時(shí)e≠0,根據(jù)所選參數(shù),誤差e在0.863 s后收斂到平衡點(diǎn)。
圖6 參數(shù)自適應(yīng)估計(jì)變化曲線
圖7 狀態(tài)響應(yīng)曲線
為了更加直觀地體現(xiàn)控制器性能,引入以下兩種性能指標(biāo)比較控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性[24]。
指標(biāo)①:誤差絕對值積分指標(biāo)。
(30)
指標(biāo)②:誤差絕對值與時(shí)間乘積積分指標(biāo)。
(31)
表3給出了各控制方法下的性能指標(biāo)。
表3 性能指標(biāo)對比
從表3中的數(shù)據(jù)可以看出,本文方法具有更小的IIAE和IITAE的值,即具有更高的控制精度。綜合以上所有對比仿真分析可知,本文所提出的算法具有更好的控制性能,能夠?qū)崿F(xiàn)快速收斂、高精度軌跡跟蹤,且具備全局收斂性,對抖振有著良好的抑制效果。
4 結(jié)束語
提出了一種自適應(yīng)反演超螺旋全局快速終端滑?？刂撇呗?實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂系統(tǒng)在集總擾動(dòng)上界未知情況下的軌跡跟蹤控制問題?？刂破魇墙Y(jié)合反演法和Lyapunov函數(shù)推導(dǎo)的,保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性;自適應(yīng)技術(shù)對系統(tǒng)集總擾動(dòng)的上界進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì),驅(qū)使系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn);切換控制中引入的超螺旋算法使控制器產(chǎn)生了連續(xù)平滑的驅(qū)動(dòng)力矩,避免了抖振問題。對比仿真表明,所提控制策略具有更快的收斂速度,更高的控制精度以及全局收斂性。此外,該控制算法僅需位置及速度的測量信息,無需擾動(dòng)上界的先驗(yàn)知識(shí),因此更具實(shí)用性。
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工業(yè)自動(dòng)化技術(shù)的提高及現(xiàn)代科技的發(fā)展,使機(jī)器人技術(shù)得到了廣泛應(yīng)用。機(jī)械臂作為機(jī)器人技術(shù)中使用最多的自動(dòng)化機(jī)械裝置,一直以來都廣受關(guān)注。然而機(jī)械臂是一個(gè)典型的強(qiáng)耦合、非線性和多變量系統(tǒng)[1-2],實(shí)際中更會(huì)受到外部擾動(dòng)、建模誤差和內(nèi)部摩擦等因素的影響,特殊的驅(qū)動(dòng)方式及建模難度對其高效、精準(zhǔn)控制提出了挑戰(zhàn)[3],設(shè)計(jì)性能優(yōu)越的控制器成為學(xué)者們研究的熱點(diǎn)。目前已有眾多方案用以解決機(jī)械臂高性能軌跡跟蹤控制難題,如自適應(yīng)控制[4-5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[6-7]、反演控制[8-9]和滑?？刂芠10]等。
由于滑?？刂茖ο到y(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)及外部擾動(dòng)變化不敏感,具有強(qiáng)魯棒性,在線性和非線性物理系統(tǒng)中有著良好的控制效果,所以被廣泛研究,但傳統(tǒng)線性滑模控制無法保證系統(tǒng)狀態(tài)的有限時(shí)間收斂性。文獻(xiàn)[11]設(shè)計(jì)了一種有限時(shí)間軌跡跟蹤控制器,通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近機(jī)械臂系統(tǒng)模型和擾動(dòng),能夠保證系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤期望軌跡。文獻(xiàn)[12]采用擾動(dòng)估計(jì)器對系統(tǒng)不確定項(xiàng)進(jìn)行估計(jì),通過自適應(yīng)律補(bǔ)償估計(jì)誤差,結(jié)合非奇異快速終端滑模算法,能夠?qū)崿F(xiàn)有限時(shí)間收斂的機(jī)械臂高精度軌跡跟蹤。文獻(xiàn)[13]與文獻(xiàn)[14]針對機(jī)械臂系統(tǒng)集總擾動(dòng)上界未知的問題,設(shè)計(jì)了基于自適應(yīng)估計(jì)的終端滑模控制策略,可以使機(jī)械臂的位置跟蹤誤差和速度誤差在有限時(shí)間收斂到0。
雖然終端滑模控制解決了有限時(shí)間收斂問題,但由于高頻切換導(dǎo)致的抖振現(xiàn)象并未消除。解決的主要方法有采用飽和函數(shù)和特殊冪次函數(shù)等連續(xù)平滑函數(shù)替代符號(hào)函數(shù),以及改進(jìn)趨近律方法等。文獻(xiàn)[15]采用特殊冪次函數(shù)代替切換控制項(xiàng)中的符號(hào)函數(shù)以削弱抖振。文獻(xiàn)[16]和文獻(xiàn)[17]分別設(shè)計(jì)了自適應(yīng)趨近律和帶有變系數(shù)的雙冪次趨近律,以使控制器輸出連續(xù)的控制信號(hào),抑制抖振的同時(shí)還可以加快系統(tǒng)響應(yīng)速度。文獻(xiàn)[18]采用飽和函數(shù)替換符號(hào)函數(shù)達(dá)到抑制抖振的目的,但邊界層問題成為另一個(gè)制約控制器性能的因素,較窄的邊界層無法有效消除抖振,而較寬的邊界層會(huì)降低系統(tǒng)控制精度。此類使用連續(xù)平滑函數(shù)的方法雖然都能在一定程度上改善抖振現(xiàn)象,但也會(huì)影響系統(tǒng)的魯棒性和控制精度。而采用高階滑模中的超螺旋算法是另一種有效的方法,在保證控制器性能的同時(shí)對抖振也有著良好的改善效果,文獻(xiàn)[19]采用超螺旋算法設(shè)計(jì)高階滑?？刂破?結(jié)合模糊推理系統(tǒng)逼近系統(tǒng)模型,實(shí)現(xiàn)了高效的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制。文獻(xiàn)[20]采用時(shí)延估計(jì)建立機(jī)械臂局部模型,基于超螺旋算法設(shè)計(jì)控制律,使系統(tǒng)具備了強(qiáng)魯棒性、消除抖振的優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)[21]提出一種自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階超螺旋滑?？刂撇呗?自適應(yīng)算法用于估計(jì)系統(tǒng)集總擾動(dòng)上界,采用分?jǐn)?shù)階理論與超螺旋算法結(jié)合的方式構(gòu)造控制器以使系統(tǒng)狀態(tài)快速收斂,同時(shí)達(dá)到抑制抖振的目的。此外,反演控制是一種針對被控對象的具有外部干擾及變化特性的一種有效控制方法,近年來受到了學(xué)者們的廣泛研究與關(guān)注[22-23]。反演控制采用遞歸設(shè)計(jì)思想,將復(fù)雜的非線性系統(tǒng)分解成多個(gè)低階子系統(tǒng),然后分別設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)和虛擬控制輸入,對參數(shù)不確定系統(tǒng)有著非常好的魯棒性。將反演控制與滑?？刂平Y(jié)合設(shè)計(jì)控制器,可以進(jìn)一步增強(qiáng)系統(tǒng)對非匹配不確定性的魯棒性。
在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,提出一種應(yīng)用于機(jī)械臂系統(tǒng)的自適應(yīng)反演超螺旋全局快速終端滑?？刂撇呗浴１疚乃龅闹饕ぷ骱蛣?chuàng)新點(diǎn)如下:① 利用反演設(shè)計(jì)法將機(jī)械臂系統(tǒng)分解成低階子系統(tǒng),使系統(tǒng)擁有對外部擾動(dòng)及參數(shù)不確定性的強(qiáng)魯棒性,然后結(jié)合全局快速終端滑模函數(shù)設(shè)計(jì)控制器,保證系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn),改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。② 采用自適應(yīng)技術(shù)在線實(shí)時(shí)估計(jì)機(jī)械臂系統(tǒng)集總擾動(dòng)上界,所以不需要擾動(dòng)上界的先驗(yàn)知識(shí)。③ 在控制器中引入超螺旋算法,保證控制性能的同時(shí)有效抑制抖振。最后通過對比仿真及數(shù)據(jù)分析驗(yàn)證了所提算法具有高精度軌跡跟蹤、強(qiáng)魯棒性、快速的動(dòng)態(tài)響應(yīng)及有限時(shí)間收斂性的特點(diǎn)。
1 機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型
考慮外部干擾、非線性摩擦以及系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)等不確定性因素影響,n自由度機(jī)械臂拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程可描述如下:
(1)
式(1)描述的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程可改寫為
(2)
(3)
在進(jìn)行后續(xù)控制器設(shè)計(jì)之前,對上述機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型做出如下假設(shè)。
假設(shè)[13]集總擾動(dòng)滿足約束條件:
(4)
2 控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析
根據(jù)反演法的遞推思想結(jié)合全局快速終端滑?？刂评碚摌?gòu)造控制器,不僅可以加快控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度,同時(shí)還能夠增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性。通過設(shè)計(jì)合適的控制量τ,使得系統(tǒng)滿足兩個(gè)條件:一是閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定;二是系統(tǒng)狀態(tài)可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0。反演設(shè)計(jì)方法整體上分為兩步:① 利用Lyapunov函數(shù)構(gòu)造虛擬控制量;② 在步驟①的基礎(chǔ)上,選擇合適的滑模函數(shù)設(shè)計(jì)控制律。
① 定義位置跟蹤誤差及其一階導(dǎo)數(shù):
e=q-qd=x1-qd
(5)
(6)
反演法與Lyapunov理論結(jié)合設(shè)計(jì)控制器的過程中,要保證系統(tǒng)始終是穩(wěn)定的,為此將第一個(gè)Lyapunov函數(shù)定義為
(7)
定義虛擬控制量x2,其表達(dá)式為
(8)
式中:s為滑模函數(shù);χ為大于0的常數(shù)。
取式(7)的一階導(dǎo)數(shù),再將式(8)代入可以得到:
(9)
② 選擇合適的滑模函數(shù)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì),并從理論上證明所設(shè)計(jì)控制器的穩(wěn)定性。本文選擇全局快速終端滑模函數(shù):
(10)
式中:α、β為正常數(shù),p/q>1。
進(jìn)行有限時(shí)收斂分析,令tr為任意初始狀態(tài)到達(dá)平衡狀態(tài)s(0)=s(tr)=0的時(shí)間,則存在一個(gè)大于0的常數(shù)κ,使得tr≤s/κ成立。此時(shí),系統(tǒng)狀態(tài)能夠在tr內(nèi)到達(dá)滑模面;系統(tǒng)從e(tr)≠0收斂到e(ts+tr)=0的時(shí)間為ts,在此過程中s=0,有:
(11)
通過以上分析可知,設(shè)定合適的α、β、p、q的值,就可保證系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間ts內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)。
然后進(jìn)行全局快速終端滑?？刂破髟O(shè)計(jì),取式(10)的一階導(dǎo)數(shù):
(12)
在保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的同時(shí),也使系統(tǒng)狀態(tài)始終位于滑模面上,定義第二個(gè)Lyapunov函數(shù):
(13)
取其一階導(dǎo)數(shù)并代入式(3)、式(9)及式(12):
(14)
根據(jù)等效控制設(shè)計(jì)思想,機(jī)械臂控制力矩τ由等效控制τeq和切換控制τsw組成,即:
τ=τeq+τsw
(15)
根據(jù)式(14)設(shè)計(jì)等效控制項(xiàng)τeq:
(16)
切換控制項(xiàng)τsw用于處理系統(tǒng)不確定性,保證系統(tǒng)魯棒性,設(shè)計(jì)為
(17)
式中:k>0。
在進(jìn)行反演設(shè)計(jì)的過程中,假設(shè)系統(tǒng)集總不確定性的上界是已知的,因此切換控制律式(17)的設(shè)計(jì)是合理且有效的。
將所設(shè)計(jì)的控制器式(15)代入到式(14)中,經(jīng)過簡化可以得到:
(18)
(19)
(20)
對上式求導(dǎo),并代入式(14),可以得到:
(21)
將控制律(15)～控制律(17)和自適應(yīng)律(19)代入式(21)可得:
≤-χe2-Λ|s|
(22)
(23)
由上述分析可知式(23)是有界的,因此根據(jù)Barbalat引理有:
(24)
即ce2+Λ|s|最終漸近收斂到0。綜合以上分析,所設(shè)計(jì)的控制器可保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定以及使軌跡跟蹤誤差能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0。
在以上控制器的設(shè)計(jì)過程中,并未考慮由于高頻切換導(dǎo)致的抖振對系統(tǒng)造成的負(fù)面影響。引入超螺旋算法不僅能對滑?？刂拼嬖诘亩墩瘳F(xiàn)象進(jìn)行有效抑制,亦能保證控制器跟蹤性能,不損失滑模不變性。超螺旋算法表達(dá)式如下:
(25)
根據(jù)式(25)對切換控制律(17)進(jìn)行重新設(shè)計(jì),然后可以得到最終的控制器:
(26)
(27)
其中,ω是一個(gè)數(shù)值較小的正常數(shù),如果取值過大,那么就會(huì)產(chǎn)生較大的余量,在一定程度上會(huì)影響系統(tǒng)的控制精度;而過小的ω值將難以維持死區(qū)條件|s|<ω甚至無法得到|s|<ω,這將再度導(dǎo)致參數(shù)自適應(yīng)估計(jì)值緩慢增長,因此取值時(shí)應(yīng)該綜合考慮實(shí)際情況。
3 仿真分析
為了驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)控制器的有效性,使用二自由度機(jī)械臂模型,利用設(shè)計(jì)的控制器實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂軌跡跟蹤,機(jī)械臂模型如圖1所示。
圖1 機(jī)械臂模型示意圖
機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程中各矩陣具體形式如下:
M(q)=[m11,m12;m21,m22]
G(q)=[g1;g2]
c22=0
g1=(m1r1+m2l1)gcos(q1)+m2gr2cos(q1+q2)
g2=m2gr2cos(q1+q2)
τd=[τd1,τd2]T
機(jī)械臂物理參數(shù)及控制器參數(shù)分別如表1和表2所示。
表1 機(jī)械臂模型參數(shù)
表2 控制器參數(shù)
為體現(xiàn)本文設(shè)計(jì)控制算法的有效性,與文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[18]中設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行比較。
文獻(xiàn)[13]設(shè)計(jì)的控制器如下:
(28)
式中:αc=βc=3;η1=1.9;η2=5/3;δ=0.5;其余參數(shù)與表2相同。
文獻(xiàn)[18]設(shè)計(jì)的控制器如下:
(29)
式中:α0=α3=3;α1=α2=1;γ1=0.4;γ2=2γ1/(1+γ1);=4;ε=0.1,其余參數(shù)與表2相同。
機(jī)械臂兩關(guān)節(jié)位置軌跡跟蹤對比如圖2所示。
圖2 關(guān)節(jié)1、2位置跟蹤
機(jī)械臂兩關(guān)節(jié)速度軌跡跟蹤對比如圖3所示。機(jī)械臂軌跡跟蹤誤差對比如圖4所示。
圖3 關(guān)節(jié)1、2速度跟蹤對比
圖4 關(guān)節(jié)1、2跟蹤誤差
從圖2和圖3的仿真結(jié)果可以看出,本文方法能夠使系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤期望軌跡,且擁有最快的動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)間。由圖4可以看出,本文方法的位置軌跡誤差響應(yīng)時(shí)間在約0.86 s后能夠達(dá)到預(yù)期跟蹤效果,而對比算法分別在約1.3 s和1.8 s后方能實(shí)現(xiàn)期望跟蹤效果,對比結(jié)果表明本文算法動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性要優(yōu)于對比算法。
機(jī)械臂關(guān)節(jié)控制力矩對比結(jié)果如圖5所示。
圖5 關(guān)節(jié)1、2控制力矩
由圖5可以看出,文獻(xiàn)[13]中的方法產(chǎn)生了劇烈抖振,文獻(xiàn)[18]中的方法使用飽和函數(shù)雖然在一定程度上削弱了抖振現(xiàn)象,但這種方法會(huì)降低系統(tǒng)的魯棒性,而本文提出的方法通過引入超螺旋算法,對抖振的抑制效果明顯,更具有優(yōu)勢。
圖6是自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)值收斂過程,通過死區(qū)技術(shù)調(diào)整的自適應(yīng)律最終使系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)值收斂到了穩(wěn)定值。圖7為滑模變量s的響應(yīng)曲線,s收斂到平衡狀態(tài)的時(shí)間為0.315 s,此時(shí)e≠0,根據(jù)所選參數(shù),誤差e在0.863 s后收斂到平衡點(diǎn)。
圖6 參數(shù)自適應(yīng)估計(jì)變化曲線
圖7 狀態(tài)響應(yīng)曲線
為了更加直觀地體現(xiàn)控制器性能,引入以下兩種性能指標(biāo)比較控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性[24]。
指標(biāo)①:誤差絕對值積分指標(biāo)。
(30)
指標(biāo)②:誤差絕對值與時(shí)間乘積積分指標(biāo)。
(31)
表3給出了各控制方法下的性能指標(biāo)。
表3 性能指標(biāo)對比
從表3中的數(shù)據(jù)可以看出,本文方法具有更小的IIAE和IITAE的值,即具有更高的控制精度。綜合以上所有對比仿真分析可知,本文所提出的算法具有更好的控制性能,能夠?qū)崿F(xiàn)快速收斂、高精度軌跡跟蹤,且具備全局收斂性,對抖振有著良好的抑制效果。
4 結(jié)束語
提出了一種自適應(yīng)反演超螺旋全局快速終端滑?？刂撇呗?實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂系統(tǒng)在集總擾動(dòng)上界未知情況下的軌跡跟蹤控制問題?？刂破魇墙Y(jié)合反演法和Lyapunov函數(shù)推導(dǎo)的,保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性;自適應(yīng)技術(shù)對系統(tǒng)集總擾動(dòng)的上界進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì),驅(qū)使系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn);切換控制中引入的超螺旋算法使控制器產(chǎn)生了連續(xù)平滑的驅(qū)動(dòng)力矩,避免了抖振問題。對比仿真表明,所提控制策略具有更快的收斂速度,更高的控制精度以及全局收斂性。此外,該控制算法僅需位置及速度的測量信息,無需擾動(dòng)上界的先驗(yàn)知識(shí),因此更具實(shí)用性。
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