趙壽鋒

(河北省滄州市第一中學)

導數作為高考的必考內容,主要考查函數、方程、不等式等問題的綜合應用,諸如方程的根和函數零點問題等.利用導數及數形結合思想可以很好地解決方程根的問題.本文以變式探究的形式介紹利用導數法討論方程根的問題,供大家參考.

題目 三次方程x3－6x2＋9x－10＝0的實數根的個數為_________.

令f(x)＝x3－6x2＋9x－10,則f′(x)＝3x2－12x＋9,所以f′(x)＝3(x－1)(x－3).當x＜1 或x＞3時,f′(x)＞0,f(x)單調遞增;當1＜x＜3時,f′(x)＜0,f(x)單調遞減.于 是f極大值(x)＝f(1)＝－6＜0,所以f(x)的極大值小于零,其圖像如圖1所示,則f(x)的圖像與x軸僅相交于一點,故三次方程實根的個數為1.

圖1

本題的解法為在實數范圍內探求一元高次方程的實數根的個數提供了一種行之有效并容易實施的方法,即先用導數法求出方程所對應的函數的極大值和極小值,如果不存在極大值與極小值,那么該方程僅有一個實數根;反之,可根據極大值與極小值的符號對根的分布進行判斷,這種解法也體現了函數與方程的關系.

變式1 設a∈R,試探討關于x的三次方程x3－3x2－a＝0的不同實數根的個數.

先把方程變形為

令f(x)＝x3－3x2,則f′(x)＝3x(x－2),所以通過列表(如表1)來討論該三次函數的單調區(qū)間和極值情況.

表1

因此f(x)的極大值為f(0)＝0,極小值為f(2)＝－4,函 數y＝f(x)的大致圖像如圖2所示,由于方程①的不同實數根的個數就是函數f(x)的圖像和直線y＝a的交點的個數,所以根據圖像有下列結論:

圖2

當a＜－4或a＞0時,原方程有1個根;當a＝－4或a＝0時,原方程有2個不同的實數根;當－4＜a＜0時,原方程有3個不同的實數根.

(1)染色體編碼 本文采用ARMAX模型，參數部分為實數，因此需要對量子個體進行編碼，根據參數的個數決定每個個體的染色體長度。量子位表示為

本變式與引例的不同之處是含有參數a,通過參變分離法,把原方程的根的個數問題轉化為一個三次函數圖像與一條平行于x軸的動直線的交點問題,體現數形結合思想與分類討論思想的完美結合.

變式2 已知函數f(x)＝x4－4x3＋4x2－1,問是否存在實數b,使得函數g(x)＝x4＋bx2＋1(其中b＜4)的圖像與函數f(x)的圖像恰有3個交點,若存在,求出b的取值范圍;若不存在,說明理由.

函數g(x)與f(x)的圖像恰有3個交點,就是方程g(x)＝f(x)有3個不同的實數根,即x4＋bx2＋1＝x4－4x3＋4x2－1有3個不同的實數根,即三次方程4x3＋(b－4)x2＋2＝0有3個不同的實數根.令h(x)＝4x3＋(b－4)x2＋2,則h′(x)＝12x2＋2(b－4)x.

本變式的解答過程給我們揭示了一元三次方程的實根個數的判別方法,具體如下.

設f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d,則f′(x)＝3ax2＋2bx＋c,若a＞0,則Δ＝4(b2－3ac).如圖3-甲所示,當Δ≤0時,f(x)在R 上單調遞增,所以f(x)只有一個零點;當Δ＞0時,方程f′(x)＝0有兩個不同的實數根x1,x2(x1＜x2),那么f(x)在x1處取到極大值,在x2處取到極小值.當f(x2)＝0(如圖3-乙)或f(x1)＝0(如圖3-丙)時,f(x)＝0有3個根,其中2 個是重根;當同時出現f(x1)＞0 和f(x2)＜0的情形(如圖3-丁)時,f(x)＝0必有3個不同的實數根.

圖3

變式3 已知三次函數f(x)＝x3－x.

(1)設M(λ0,f(λ0))是該函數圖像上的一點,試求該點處的切線方程;

(2)證明:過點N(2,1)存在3 條直線與曲線f(x)＝x3－x相切.

(1)由f(x)＝x3－x,得f′(x)＝3x2－1,設過點M(λ0,f(λ0))的切線方程為y－(λ30－λ0)＝(3λ20－1)(x－λ0),即

(2)由(1)可知曲線上點M(λ0,f(λ0))處的切線方程為y＝(3λ20－1)x－2λ30.若切線過點N(2,1),則存在λ,使1＝2(3λ2－1)－2λ3,即2λ3－6λ2＋3＝0,于是原問題等價于方程2λ3－6λ2＋3＝0有3個相異的實數根.

設g(λ)＝2λ3－6λ2＋3,則g′(λ)＝6λ2－12λ＝6λ(λ－2).令6λ(λ－2)＝0,可得極值點為λ1＝0,λ2＝2,函數g(λ)的單調區(qū)間與極值分布如表2所示.

表2

由表2可知g(λ)在R上僅有1個極大值與極小值,且極大值為3,極小值為－5,所以函數g(λ)有3個零點,即方程2λ3－6λ2＋3＝0有3個相異的實數根,即過點N(2,1)存在3條直線與曲線f(x)＝x3－x相切.

本變式的第(2)問是函數切線條數問題,求解時是將之轉化為三次方程根的解的個數問題來處理的,由此可見構造新函數,用導數的觀點來研究函數的零點個數,是一種基本的方法.

變式4 已知函數f(x)＝x3＋3bx2－2b3在(－∞,0)上單調遞增,在(0,2)上單調遞減,如果方程f(x)＝16恰好僅有1個解,試求實數b的取值范圍.

因為函數f(x)在(－∞,0)上單調遞增,在(0,2)上是單調遞減,又由f′(x)＝3x2＋6bx＞0,可得x∈(－∞,0)∪(－2b,＋∞),b＜0.由f′(x)＝3x2＋6bx＜0,可得x∈(0,－2b),于是由題意有(0,2)?(0,－2b),所以2≤－2b,即b≤－1.

又f(x)在(－∞,0)和(－2b,＋∞)上是增函數,在(0,－2b)上是減函數,其圖像大致如圖4 所示,所以函數f(x)在[0,－2b]上的值域是[f(－2b),f(0)]＝[2b3,－2b3],從圖像可以看出,若方程f(x)＝16恰好僅有1個解,則只需－2b3＜16,即b＞－2.

圖4

綜上,實數b的取值范圍(－2,－1].

本變式具有較強的綜合性,且具有一定難度,體現了導數的逆向應用,但基本方法沒變,還是利用導數,從研究函數的圖像入手.

從以上分析可以看出,三次方程根的問題通?？梢赞D化為三次函數的零點問題,利用導數研究函數圖像的變化趨勢,從而使問題迎刃而解.

(完)