楊慧麗

(1. 青島科技大學(xué)，山東 青島 266045 ；2. 軟控股份有限公司，山東 青島 266045)

0 引言

隨著高速公路的不斷延伸和汽車(chē)工業(yè)的飛速發(fā)展，汽車(chē)速度在不斷提高，特別是家庭轎車(chē)的普及[1]。在汽車(chē)用橡膠制品中60% 為輪胎，40% 為其他橡膠制品[2]，因此人們對(duì)輪胎的認(rèn)識(shí)也在不斷提高, 對(duì)輪胎的品質(zhì)也提出了更高的要求。

輪胎按照輪胎工藝不同基本可分為子午胎和斜交胎[3]。對(duì)于子午線輪胎不論是用何種成型工藝完成成型，在成型過(guò)程中都具備帶束層的傳遞裝置，即：成型機(jī)都有帶束層胎面貼合筒的傳遞裝置。帶束層和胎面貼合筒占整個(gè)生胎重量的60% 以上[4]，其夾持精度將影響輪胎成型的均勻性[5]，最終影響到輪胎的品質(zhì)。

在輪胎成型設(shè)備中用于傳遞帶束層的裝置被稱(chēng)為帶束層傳遞環(huán)[6]。對(duì)于帶束層夾持后變形量的測(cè)量工作在設(shè)備運(yùn)動(dòng)過(guò)程中難以實(shí)現(xiàn)，因此通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法確定夾持精度無(wú)法較好地實(shí)現(xiàn)。有限元法是目前在工程領(lǐng)域常用的分析計(jì)算方法，由于其普遍性和有效性，在工程領(lǐng)域已得到廣泛的認(rèn)可[7]，因此借助有限元法可有效的分析帶束層夾持的變形量，從而判斷其精度是否滿足要求。

本文基于有限元分析方法，針對(duì)帶束層傳遞環(huán)進(jìn)行帶束層夾持精度分析。按照傳遞裝置的功能要求進(jìn)行建模，分別針對(duì)帶束層傳遞環(huán)空載工況及環(huán)體夾持帶束層工況下環(huán)體的剛度及強(qiáng)度進(jìn)行分析，得出優(yōu)化的解決方案對(duì)于成型設(shè)備的性能提升具有重要意義。

1 有限元法理論

有限元的基本思想是將連續(xù)的計(jì)算域離散成有限個(gè)小的單元，這些單元以一定的方式進(jìn)行相互連接代替連續(xù)體，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)工具求解該離散域的近似解，從而獲得相應(yīng)的求解結(jié)果[8]。由于近似解精度較高，因而被廣泛用于設(shè)計(jì)人員解決工程實(shí)際問(wèn)題。

1.1 有限元法數(shù)學(xué)實(shí)現(xiàn)

有限元法分析計(jì)算過(guò)程大致如下：

（1）結(jié)構(gòu)離散化

將連續(xù)的幾何模型劃分為若干個(gè)離散的單元，并將這些單元通過(guò)單元節(jié)點(diǎn)按照模型實(shí)際的連接關(guān)系連接在一起，研究單元的平衡和變形協(xié)調(diào)，形成單元平衡方程。其中第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)外載荷有如下表達(dá)：

其{δi} 中表示第i節(jié)點(diǎn)的位移矩陣，{di} 與{θi}分別表示第i節(jié)點(diǎn)的位移分量；{Qi} 表示第i節(jié)點(diǎn)的外載荷矩陣，{Fi} 與{Mi} 分別表示第i節(jié)點(diǎn)的外載荷分量

（2）單元計(jì)算

通過(guò)節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)外載荷表達(dá)式，根據(jù)劃分單元所包含的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過(guò)單元?jiǎng)偠染仃?，建立單元?jié)點(diǎn)力與單元節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系，單元?jiǎng)偠染仃囷@示了計(jì)算單元的彈性特性。下面說(shuō)明單元?jiǎng)偠染仃嚺c單元節(jié)點(diǎn)力及單元節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系：

單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移表示為：

其中：

[W]— 位移參數(shù)矩陣；

{a}— 系數(shù)列陣。

由于單元節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)已知，因此帶入上式并求解單元節(jié)點(diǎn)位移矩陣為：

上式中[A] 為與該單元有關(guān)的系數(shù)矩陣，反解出(2) 式并帶入(1) 式得：

其中[N]=[W][A]-1為形函數(shù)矩陣，通過(guò)形函數(shù)矩陣可得到單元內(nèi)部任意位置的位移。

由彈性力學(xué)理論，單元內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)變可表示為：

上式中：

[B]— 應(yīng)變矩陣，通過(guò)彈性力學(xué)應(yīng)變模式以及形函數(shù)求得。

根據(jù)廣義胡克定律，由彈性關(guān)系物理方程即可求得單元應(yīng)力：

上式中：

[D]— 彈性矩陣；

[D][B]— 應(yīng)力矩陣

在任意節(jié)點(diǎn)的虛位移下，單元節(jié)點(diǎn)力所做虛功與單元內(nèi)力所做虛功之和為零，依據(jù)虛功原理建立等式：

其中：

上三式中：

δAσ— 單元節(jié)點(diǎn)力虛功

δAσ— 單元內(nèi)力虛功；

{δ*}T— 單元節(jié)點(diǎn)虛位移矩陣。

將式(7) 與(8) 帶入式(6) 并整理得：

記為：

其中：

{F}e— 單元節(jié)點(diǎn)力矩陣；

{K}e— 單元?jiǎng)偠染仃嚕?/p>

{δ}e— 單元節(jié)點(diǎn)位移矩陣。

(3) 整體計(jì)算

將連續(xù)體離散為若干個(gè)小單元，各單元之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)相互連接，由于m 單元與n 單元之間相連接的節(jié)點(diǎn)有相同的位移，因此可通過(guò)單元計(jì)算結(jié)果對(duì)m 單元與n 單元的組裝以形成整體模型的計(jì)算，最終得到外部載荷與整體模型節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系：

式中：

{F}— 載荷矩陣

{K}— 整體剛度矩陣

{δ}— 節(jié)點(diǎn)位移矩陣

通過(guò)(2.10) 計(jì)算整體節(jié)點(diǎn)位移，再通過(guò)節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算單元應(yīng)變應(yīng)力，從而完成模型整體的計(jì)算分析。

1.2 有限元接觸問(wèn)題

利用有限元法分析工程實(shí)際問(wèn)題時(shí)，接觸問(wèn)題普遍存在[9]。接觸問(wèn)題是一種高度非線性問(wèn)題，在有限元法分析過(guò)程中常用的接觸算法有罰函數(shù)法、Lagrange 乘子法[10]、增廣Lagrange 法[11]等。對(duì)于Lagrange 乘子法，其解為精確解，但增加了計(jì)算變量，使方程性能變差，并且導(dǎo)入了零對(duì)角項(xiàng)，使方程變?yōu)榉钦ǚ匠?，?jì)算難以收斂；對(duì)于增廣Lagrange 法則需要迭代求解Lagrange 乘子，使計(jì)算量增加，增加計(jì)算成本。罰函數(shù)法計(jì)算為近似解，通過(guò)選取合適的懲罰因子可滿足精度要求，同時(shí)其實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單方便，計(jì)算量不大，完全滿足接觸計(jì)算需求。

對(duì)于罰函數(shù)法，其勢(shì)能泛函J表示為：

上式中：

K— 彈性系數(shù)；

x— 物體位移；

F— 外力；

εN— 罰函數(shù)；

go— 接觸穿透量。

除變形勢(shì)能與外力做功外，由接觸引起的能量增加應(yīng)考慮進(jìn)勢(shì)能泛函中，其形式相當(dāng)于在接觸面兩節(jié)點(diǎn)間施加彈簧，其中(x+go) 為彈簧變形量，罰函數(shù)為剛度系數(shù)。

對(duì)泛函J進(jìn)行一階變分，令一階變分等于零求得泛函的極值條件：

由此得到：

由上式可看出，當(dāng)足夠大時(shí)，x越接近精確解go。

2 帶束層傳遞環(huán)有限元分析

2.1 帶束層傳遞環(huán)結(jié)構(gòu)組成及功能

本文所分析用帶束層傳遞環(huán)三維模型如圖 1 所示，其主要包含環(huán)體、夾持氣缸組件、瓦塊組件、安全防護(hù)等組成。

帶束層傳遞環(huán)的主要功能為：

（1）帶束層傳遞環(huán)移動(dòng)到帶束層鼓貼合位，夾持氣缸組件伸出，將瓦塊組件推到貼合于帶束層鼓上的二段胎冠上，帶束層鼓收縮后，帶束層傳遞環(huán)將二段胎冠抓取。

（2）將抓取的帶束層傳遞環(huán)從帶束層鼓貼合位移動(dòng)到定型位。

（3）在成型鼓上的一段胎體充氣定型時(shí)，為二段胎冠提供支撐，使一段胎體和二段胎冠結(jié)合，形成生胎。

（4）將成型結(jié)束的生胎從定型位移動(dòng)到卸胎位。

2.2 空載狀態(tài)有限元分析

有限元分析模型的建立過(guò)程主要包括：幾何簡(jiǎn)化、零部件材料定義、接觸關(guān)系設(shè)定、網(wǎng)格劃分、施加載荷、設(shè)定約束及求解[6]。

2.2.1 有限元模型建立

為合理的減少計(jì)算量，需要對(duì)現(xiàn)有的幾何模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，去除對(duì)整體結(jié)構(gòu)剛度和強(qiáng)度影響較小的非關(guān)鍵部件的圓角、孔、凸臺(tái)等特征，對(duì)夾持爪進(jìn)行局部網(wǎng)格細(xì)化，整體網(wǎng)格劃分如下圖2 所示。

整體模型所使用材料為Q235B，材料屈服極限為235 MPa，彈性模型E=210 GPa，泊松比λ=0.274，材料密度ρ=7 830 kg/m3

對(duì)于環(huán)體的約束，由于環(huán)體下底座通過(guò)螺栓緊緊把合在下方安裝座上，且分析關(guān)注位置主要在環(huán)體底座以上部分的結(jié)構(gòu)，因此對(duì)環(huán)體底座下底面整個(gè)面上的自由度進(jìn)行全約束處理。

結(jié)構(gòu)所承受的載荷情況如下表1 所示：

表1 帶束層環(huán)體分析所施加的載荷及相關(guān)參數(shù)

2.2.2 空載變形分析

為得到瓦塊數(shù)對(duì)夾持環(huán)體剛度特性的影響，對(duì)夾持環(huán)體靜力變形進(jìn)行分析。分別建立夾持爪數(shù)量為5、6 和11 時(shí)的模型，分別對(duì)其進(jìn)行分析。

夾持爪數(shù)量為5 時(shí)，環(huán)體整體變形情況如下圖3所示。X、Y、Z方向的變形情況如下圖 4 所示。

由整體最大變形量以及X、Y、Z方向的變形量可以看出，夾持環(huán)體變形的主要方向?yàn)閆方向，分析可以得到產(chǎn)生變形的原因?yàn)榄h(huán)體關(guān)于X-Y平面呈非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，由于重力的作用而產(chǎn)生的變形。

夾持爪數(shù)量為6 時(shí)，環(huán)體變形情況如圖 5 所示。X、Y、Z方向的變形情況如圖6 所示。

同夾持爪數(shù)量為5 時(shí)變形結(jié)果類(lèi)似，夾持爪數(shù)為6 時(shí)，變形也主要產(chǎn)生在Z方向，由于夾持爪數(shù)量增加會(huì)使重力作用產(chǎn)生的非對(duì)稱(chēng)分布更加明顯，變形量較夾持爪數(shù)量為5 時(shí)更大。

夾持爪數(shù)量為11 時(shí)，環(huán)體變形情況如下圖 7 所示。X、Y、Z方向的變形情況如下圖8 所示。與夾持爪數(shù)量為5、6 時(shí)類(lèi)似，變形主要發(fā)生在Z軸方向，并且變形數(shù)值也有所增加。

整理上述各項(xiàng)變形結(jié)果如表2 所示。

表2 空載工況環(huán)體整體及各方向變形量

分析上表可以看出，整體、X方向、Y方向、Z方向的變形均隨著夾持爪數(shù)量的增加而增大，整體變形最大值發(fā)生在瓦塊數(shù)量為11 時(shí)，環(huán)體的頂部，最大值為0.16 mm。分析瓦塊數(shù)量為5 或6 時(shí)，最大值均發(fā)生在環(huán)體的頂部，主要由Y方向和Z方向的最大變形量均在環(huán)體的頂部決定。

Y方向的變形即為豎直方向的重力所引起的變形，最大變形量則定會(huì)發(fā)生在環(huán)體的頂部。由于此方向的變形是由重力所造成，所以可以通過(guò)對(duì)環(huán)體輕量化減小此方向的變形。即可以考慮在優(yōu)化時(shí)將夾持爪支架和夾持爪采用鋁材料。

Z方向的變形主要是由于環(huán)體結(jié)構(gòu)不對(duì)稱(chēng)，在重力的作用下產(chǎn)生變形，而且Z方向是變形量最大的方向，通過(guò)結(jié)構(gòu)優(yōu)化減小Z方向的變形對(duì)減小整體變形十分必要。由于是由環(huán)體結(jié)構(gòu)不對(duì)稱(chēng)引起的變形，可以通過(guò)增加配重，減小此變形量。

2.2.3 空載強(qiáng)度分析

為得到夾持環(huán)體強(qiáng)度特性，分別對(duì)夾持爪數(shù)量為5、6、11 的環(huán)體強(qiáng)度進(jìn)行分析，得到應(yīng)力云圖結(jié)果如圖9圖10所示。

圖1 帶束層傳遞環(huán)三維模型

圖2 環(huán)體網(wǎng)格劃分

圖3 夾持爪為5 整體變形

圖4 夾持爪為5 時(shí)X、Y、Z 方向變形

圖5 夾持爪為6 整體變形

圖6 夾持爪為6 時(shí)X、Y、Z 方向變形

圖7 夾持爪為11 整體變形

圖8 夾持爪為11 時(shí)X、Y、Z 方向變形

圖9 夾持爪為5 環(huán)體應(yīng)力

圖10 夾持爪為6 環(huán)體應(yīng)力

圖11 夾持爪為11 環(huán)體應(yīng)力

整理如上環(huán)體強(qiáng)度特性分析應(yīng)力結(jié)果，分析得到表3。

表3 環(huán)體應(yīng)力特性分析

由上表分析可以看出，隨著夾持爪數(shù)量的增加，整體最大應(yīng)力增加，但傳遞環(huán)整體結(jié)構(gòu)應(yīng)力水平較低，強(qiáng)度滿足設(shè)計(jì)要求。

2.3 夾持狀態(tài)有限元分析

2.3.1 橡膠材料本構(gòu)

帶束層是由多層帶束膠布疊壓而成，而帶束線是由鋼絲或尼龍線制成。這種結(jié)構(gòu)使輪胎在承受車(chē)輛重量和承受路面壓力時(shí)具有更好的剛性和穩(wěn)定性。其中帶束膠在輪胎成型前為未硫化橡膠，在進(jìn)行帶束層傳遞環(huán)夾持分析時(shí)，需要考慮帶束層橡膠參數(shù)以獲得更準(zhǔn)確的計(jì)算數(shù)據(jù)。

未硫化橡膠具有典型的粘彈性特征[12]，本文采用Prony 級(jí)數(shù)表示法來(lái)表示廣義Maxwell 模型的粘彈性力學(xué)行為，其包含了剪切松弛模量與體積松弛模量。剪切松弛模量表示為：

體積松弛模量表示為：

其中，gi，ki，τG，τk為材料常數(shù)，通過(guò)試驗(yàn)獲取，它們分別為Prony 級(jí)數(shù)的本構(gòu)參數(shù)。由于橡膠屬于體積不可壓縮的材料，因此不需要定義體積的粘彈性行為。

2.3.2 有限元模型建立

由于夾持狀態(tài)的模擬僅增加了帶束層部分，因此環(huán)體的有限元模型參照空載狀態(tài)有限元模型創(chuàng)建即可。帶束層模型則考慮內(nèi)部鋼絲及膠料的模型創(chuàng)建，其中膠料以殼單元模擬，材料設(shè)置參考3.3.1 節(jié)橡膠材料本構(gòu)輸入?yún)?shù)；鋼絲以梁?jiǎn)卧M(jìn)行模擬，按照內(nèi)部鋼絲角度進(jìn)行詳細(xì)建模。由于輪胎成型過(guò)程中鋼絲始終處于線彈性范圍內(nèi)，因此鋼絲材料屬性為：彈性模量E=210 GPa，泊松比λ=0.3，材料密度ρ=7 850 kg/m3，建立好的帶束層模型如圖12，含帶束層的整體有限元模型如圖13。

圖12 帶束層網(wǎng)格模型

圖13 含帶束層夾持環(huán)體網(wǎng)格劃分

對(duì)夾持爪及帶束層進(jìn)行局部網(wǎng)格細(xì)化，整體網(wǎng)格劃分如圖13 所示。

夾持爪與帶束層模型之間建立contact 接觸關(guān)系，接觸方式參考2.2 節(jié)理論，定義摩擦系數(shù)為μ= 0.76

結(jié)構(gòu)所承受的載荷情況如下表4 所示：

表4 帶束層環(huán)體分析所施加的載荷及相關(guān)參數(shù)

表5 夾持工況環(huán)體整體及各方向變形量

2.3.3 不同瓦塊數(shù)夾持變形分析

針對(duì)帶束層環(huán)體及帶束層變形進(jìn)行分析，對(duì)于帶束層模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，由于無(wú)法得到準(zhǔn)確的橡膠力學(xué)參數(shù)而采用近似橡膠的力學(xué)參數(shù)進(jìn)行模擬。

為得到瓦塊數(shù)對(duì)夾持環(huán)體剛度特性的影響，對(duì)夾持環(huán)體夾持變形進(jìn)行分析。與靜力變形相同，仍然建立夾持爪數(shù)量為5、6 和11 時(shí)的模型，分別對(duì)其進(jìn)行分析。

對(duì)夾持爪數(shù)量為5 時(shí)，環(huán)體整體進(jìn)行變形情況分析如下圖14 所示。X、Y、Z方向的變形情況如圖15所示。

圖15 夾持爪為5 時(shí)X、Y、Z 方向變形

夾持爪數(shù)量為6 時(shí)，環(huán)體夾持帶束層變形情況如圖16 所示。X、Y、Z方向的變形情況如圖17 所示。

圖16 夾持爪為6 整體變形

圖17 夾持爪為6 時(shí)X、Y、Z 方向變形

夾持爪數(shù)量為11 時(shí)，環(huán)體夾持帶束層變形情況如圖18 所示。X、Y、Z方向的變形情況如圖19 所示。

圖18 夾持爪為11 整體變形

圖19 夾持爪為11 時(shí)X、Y、Z 方向變形

綜合以上結(jié)果可以得夾持裝置最大變形量隨夾持爪數(shù)量變化情況如下表所示。帶束層最大變形量隨夾持爪數(shù)量變化情況如下表 35 所示。

對(duì)比夾持帶束層的夾持裝置整體分析的結(jié)果，可以觀察得到最大變形量都出現(xiàn)在帶束層部分。分析整體變形量，隨著夾持爪數(shù)量的增多帶束層整體變形量有明顯的減小。整體變形量數(shù)值由1.050 mm 減小到0.250 mm，變形主要發(fā)生在Y軸和Z軸方向，Y軸方向的變形主要是由重力引起，Z軸方向如同上文中分析所得，是由重力及環(huán)體結(jié)構(gòu)的不對(duì)稱(chēng)分布引起。

Y軸方向的變形可以通過(guò)對(duì)環(huán)體結(jié)構(gòu)的輕量化，對(duì)于夾持爪部分，可以采用鋁制材料代替鋼制材料。而對(duì)于Z軸方向的變形，可以改進(jìn)環(huán)體結(jié)構(gòu)，通過(guò)增加筋板作為配重，改善環(huán)體的不對(duì)稱(chēng)性，來(lái)減小Z軸方向的變形。

2.3.4 不同瓦塊數(shù)夾持強(qiáng)度分析

為得到夾持環(huán)體夾持帶束層強(qiáng)度特性，分別對(duì)夾持爪數(shù)量為5、6、11 的環(huán)體應(yīng)力強(qiáng)度進(jìn)行分析，得到結(jié)果如圖20、圖21、圖22 所示。

圖20 夾持爪為5 環(huán)體應(yīng)力

圖21 夾持爪為6 環(huán)體應(yīng)力

圖22 夾持爪為11 環(huán)體應(yīng)力

整理如上環(huán)體強(qiáng)度特性分析應(yīng)力結(jié)果，分析得到表6。

表6 環(huán)體夾持帶束層應(yīng)力特性分析

由上表分析可以看出，隨著夾持爪瓦塊數(shù)量的增加，整體最大應(yīng)力增加，但三種瓦塊數(shù)量的傳遞環(huán)整體結(jié)構(gòu)應(yīng)力水平均較低，強(qiáng)度滿足設(shè)計(jì)要求。

3 結(jié)論

本文通過(guò)有限元法對(duì)所設(shè)計(jì)輪胎成型設(shè)備帶束層傳遞環(huán)進(jìn)行詳細(xì)分析，計(jì)算不同瓦塊數(shù)下環(huán)體空載狀態(tài)變形及強(qiáng)度，考慮環(huán)體本身對(duì)夾持精度的影響，以及計(jì)算不同瓦塊數(shù)夾持帶束層時(shí)的夾持精度。通過(guò)以上對(duì)帶束層傳遞環(huán)裝置剛度特性和強(qiáng)度特性的分析，可以看出：

（1）帶束層傳遞環(huán)空載狀態(tài)下本身變形量較小，強(qiáng)度滿足設(shè)計(jì)要求，對(duì)帶束層夾持精度影響較小。當(dāng)增加夾持爪瓦塊數(shù)量時(shí)整體應(yīng)力和變形相對(duì)有所增加，但增量較小，完全滿足設(shè)計(jì)需求。

（2）帶束層傳遞環(huán)夾持狀態(tài)下變形量較小，強(qiáng)度滿足設(shè)計(jì)要求，同時(shí)對(duì)比5 瓦和6 瓦，環(huán)體采用11 瓦塊夾持帶束層時(shí)帶束層變形量較小，因此采用11 瓦塊方式夾持帶束層對(duì)保證環(huán)體真圓度，減小環(huán)體變形，提高環(huán)體剛度均較5 瓦和6 瓦有較大提高。

（3）由于計(jì)算整體變形及應(yīng)力處于較低水平，因此可用鋁制材料瓦塊代替鋼制材料瓦塊對(duì)環(huán)體進(jìn)行輕量化，同時(shí)采用增加配重的方式改善由傳遞環(huán)不對(duì)稱(chēng)引起的變形，從而進(jìn)一步對(duì)環(huán)體結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化。