龐玉紅，嚴 琪，陳 托

(杭州應(yīng)用聲學(xué)研究所，杭州 310012)

0 引 言

對于高斯白噪聲背景下固定目標(速度為零)的檢測，常用方法是利用匹配濾波器將發(fā)射信號和回波信號進行相關(guān)處理，使輸出信噪比達到最優(yōu)。對于運動目標，回波信號受多普勒效應(yīng)影響，將與發(fā)射信號產(chǎn)生“失配”[1]，進而影響檢測性能。雙曲調(diào)頻信號(Hyperbolic Frequency Modulated, HFM)作為多普勒不變信號，在目標與聲吶產(chǎn)生相對運動時，回波信號相較于發(fā)射信號僅產(chǎn)生瞬時頻率上的偏移，波形依舊“匹配”，可有效降低由目標運動引起的檢測問題。然而，由于HFM信號在時延與頻移之間存在“距離—多普勒耦合”現(xiàn)象，其模糊函數(shù)峰脊線在時延與頻移之間存在傾斜(如圖1所示)，這使得運動目標匹配濾波的峰值偏離真實值，引入了距離估計誤差[2]。

圖1 HFM信號模糊函數(shù)峰脊線(等高線)圖Fig.1 Contour plot of the ambiguity function of HFM waveforms

盡管雙曲調(diào)頻信號多普勒不變特性很早之前就已被國內(nèi)外專家學(xué)者進行了大量研究，并已應(yīng)用于雷達和聲吶系統(tǒng)中，但該特性對目標跟蹤過程造成影響研究較少。傳統(tǒng)的跟蹤算法如卡爾曼或擴展卡爾曼濾波主要針對無偏差的觀測值[3]，一旦在觀測值中引入誤差，則會造成傳統(tǒng)跟蹤算法性能的下降。

本文在分析雙曲調(diào)頻信號距離估計誤差的基礎(chǔ)上，提出了目標跟蹤算法的誤差修正方法，通過將距離估計誤差公式與傳統(tǒng)跟蹤算法進行融合，實現(xiàn)跟蹤算法的誤差補償，顯著提高了算法的跟蹤性能，尤其是對快速運動目標的跟蹤性能。

1 雙曲調(diào)頻信號距離估計誤差分析

1.1 多普勒不變特性

HFM脈沖信號的表達式為[4]

其中：T為信號脈寬；f1為HFM脈沖信號的起始頻率；f2為截止頻率；b為調(diào)頻系數(shù)，表達式為

瞬時頻率是對波形時間變化性質(zhì)的描述，表達式為[3]

對于脈寬為T的信號，fs(0)=f1，fs(T)=f2，帶寬B=|f1-f2|。HFM信號的瞬時頻率在起始頻率和截止頻率之間連續(xù)單調(diào)，服從雙曲分布。

當目標與聲吶之間存在相對運動時，目標回波信號的波形相對發(fā)射信號會產(chǎn)生頻率偏移，即產(chǎn)生多普勒頻移。

若目標與聲吶的相對運動速度為v，則定義脈寬壓縮參數(shù)[4]為

式中：c為水中的聲速。

設(shè)目標與聲吶初始距離為d0，若發(fā)射信號為式(1)中的形式，則接收信號為

式中：τ0=2d0/c為目標回波信號時間延遲，結(jié)合式(3)，得到目標回波信號的瞬時頻率為

即：

對比發(fā)射信號與回波信號瞬時頻率可知：

式中：τ1為頻率調(diào)制函數(shù)在時間上的平移，計算公式為

若一種信號的多普勒效應(yīng)等效于頻率調(diào)制函數(shù)在時間上的平移，接收信號的調(diào)制特性不變，則稱該信號具有多普勒不變性[4]。HFM脈沖信號即為多普勒不變信號，其多普勒不變性如圖2所示。

圖2 HFM信號的多普勒不變性Fig.2 Doppler invariance of the HFM waveform

1.2 距離誤差分析

主動聲吶中目標距離估計常用方法是利用匹配濾波算法對發(fā)射信號和目標回波信號進行相關(guān)處理。

設(shè)d0為目標真實距離，為目標估計距離，的計算公式為[5]

式中：s*表示s的拷貝信號，目標回波信號脈寬Tr與發(fā)射信號脈寬T之間的關(guān)系為Tr=T/α。當速度v為正時，目標回波信號脈沖寬度被拉伸，相較于發(fā)射信號增加了Tr-T，由式(8)可知，以目標回波信號時間中點為中心的接收信號表達式為

結(jié)合式(3)和式(6)，可得：

化簡式(12)并將式(4)代入，可得：

當目標運動速度為0時，距離估計誤差ΔdHFM趨近于0。

對比式(9)可知，ΔdHFM的第一項為τ1c/2。將Tr=T/α代入，第二項等同于設(shè)fc=(f1+f2)/2，則距離估計誤差的計算公式最終化簡為

2 目標跟蹤算法的距離誤差修正

目標跟蹤處理根據(jù)檢測器提供的目標參量數(shù)據(jù)進行目標運動狀態(tài)估計，用以建立和更新目標軌跡。傳統(tǒng)的跟蹤算法未考慮雙曲調(diào)頻信號多普勒不變特性引起的距離估計誤差，從而造成跟蹤算法性能的下降。為了能穩(wěn)定而準確地進行目標跟蹤和航跡處理，本文將距離估計誤差公式引入跟蹤算法，對其觀測方程和濾波算法等進行補償修正，提高跟蹤處理對雙曲調(diào)頻信號的適應(yīng)性和跟蹤精度。

2.1 無距離誤差修正的目標跟蹤算法

設(shè)在k時刻，聲吶的觀測值[6]為

一維離散時間卡爾曼遞推估計理論中，信號的狀態(tài)方程為[7]

其中：wk是零均值的高斯過程，wk～N(0，σw2)，Φk為系統(tǒng)參數(shù)，假設(shè)目標與聲吶保持相對勻速直線運動，則：

其中：Δtk=tk+1-tk，若信號發(fā)射周期固定，則Δtk=Ts，即發(fā)射周期。

信號的觀測方程[7]為

其中：vk是觀測噪聲，vk～N(0，σv2)。若不考慮距離誤差，則H=[1 0]。觀測得到的目標位置信息是真實目標位置加上觀測噪聲。

對于軌跡位置和目標速度估計的更新，利用卡爾曼濾波算法進行遞歸濾波[8]。在tk時刻的估計表示為Xk|k，協(xié)方差矩陣表示為Pk|k。利用包括tk在內(nèi)的前面全部觀測數(shù)據(jù)對tk+1時刻的信號進行估計(即濾波)，遞歸方程為

增益矩陣L為

則狀態(tài)更新方程為

協(xié)方差矩陣的更新方程為

通過上述方程，可根據(jù)目標觀測數(shù)據(jù)(未經(jīng)距離估計誤差修正)對當前和未來時刻目標運動狀態(tài)進行估計和預(yù)測，建立跟蹤目標軌跡。

2.2 目標跟蹤算法的距離誤差修正

對于傳統(tǒng)的目標跟蹤，其狀態(tài)方程與式(17)相同，但觀測方程由線性變?yōu)榉蔷€性[9]：

此處h(Xk)包含了距離真實值與距離估計誤差值之和，結(jié)合式(15)，可得：

對于非線性跟蹤器，采用擴展卡爾曼濾波進行遞推[10]。因狀態(tài)方程不變，遞歸方程也與式(21)和式(22)相同。

增益矩陣L為

則狀態(tài)更新方程為

協(xié)方差矩陣的更新方程為

其中：Hk+1是h(·)函數(shù)在X=Xk+1|k時的一階偏導(dǎo)數(shù)。因?h(X(k))/?D(k)=1，Hk+1表達式為

3 仿真實驗分析與討論

為驗證目標跟蹤算法的距離誤差修正后的跟蹤性能，進行仿真分析，仿真參數(shù)為設(shè)定目標初始距離為4 000 m，初始角度為60°，沿45°方向以勻速直線運動遠離聲吶，信號發(fā)射周期Ts=30 s，脈沖信號的瞬時頻率fs的范圍為1.5～2 kHz，脈沖寬度T=0.1 s。進行500次蒙特卡洛實驗，將算法修正前后的目標跟蹤算法性能進行對比，處理結(jié)果如圖3～5所示。

圖3 算法修正前后目標跟蹤軌跡對比Fig.3 Comparison of target tracking trajectories with and without range bias compensation

從圖3～5中的仿真結(jié)果可以看出：

(1) 經(jīng)距離估計誤差補償修正后的跟蹤算法，濾波過程收斂較快，且跟蹤更加穩(wěn)定；

(2) 與傳統(tǒng)跟蹤算法相比，修正跟蹤算法的誤差明顯減小，目標跟蹤的準確性和精度皆有提升。圖4(b)中的性能提升百分比為修正后誤差與修正前誤差的差值與修正前誤差的百分比。在設(shè)置的仿真條件下，當目標運動速度v=20 m·s-1時，將圖4(b)中的數(shù)據(jù)取均值，可以得到修正算法跟蹤誤差均值較傳統(tǒng)算法降低約9%；

圖4 算法修正前后距離的均方根誤差對比及相應(yīng)的性能提升百分比Fig.4 Comparison of the root mean square range errors with and without range bias compensation and the corresponding percentage of performance improvement

圖5 不同目標運動速度下算法修正前后的均方根位置誤差對比Fig.5 Comparison of the root mean square range errors with and without range bias compensation at different target velocities

(3) 算法修正前，目標徑向運動速度越大，跟蹤誤差越大；修正后的跟蹤算法對于快速運動目標的跟蹤性能提升更為顯著。

4 結(jié) 論

HFM信號是一種多普勒不變信號，已廣泛應(yīng)用于主動聲吶的目標信號檢測中。多普勒不變特性可有效降低多普勒效應(yīng)對運動目標回波信號的影響，但其代價是引入了距離估計誤差。本文全面分析研究了HFM信號的距離誤差特性，并基于距離誤差公式，對HFM信號的跟蹤算法進行了補償修正。仿真結(jié)果表明，本文所提的修正算法濾波過程收斂較快，跟蹤更加穩(wěn)定，可顯著提高目標跟蹤性能，尤其是對快速運動目標的跟蹤性能的提升更為顯著。