王身云

(南京信息工程大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院,南京 210044)

“微波技術(shù)與天線”是南京信息工程大學(xué)電子信息工程專業(yè)開設(shè)的一門專業(yè)必修課程,微波技術(shù)部分研究的基本問(wèn)題是微波能量或微波信號(hào)在無(wú)線系統(tǒng)導(dǎo)行波結(jié)構(gòu)上的非輻射傳輸技術(shù),主要講授內(nèi)容包括:傳輸線原理、波導(dǎo)傳輸線、集成傳輸線、微波網(wǎng)絡(luò)、微波元件等幾個(gè)部分。微波技術(shù)是設(shè)計(jì)各種無(wú)線系統(tǒng)的基礎(chǔ),廣泛應(yīng)用于移動(dòng)通信[1]、衛(wèi)星通信[2]、雷達(dá)探測(cè)[3]以及微波無(wú)線輸電[4]等領(lǐng)域。近年來(lái),高校在“微波技術(shù)與天線”教學(xué)改革中,理論教學(xué)[5]、實(shí)驗(yàn)教學(xué)[6]以及基于電磁仿真軟件的數(shù)值模擬[7-8]等多種教學(xué)手段被廣泛推廣和應(yīng)用,有效提高了學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的興趣和學(xué)習(xí)效果。在“傳輸線原理”部分的教學(xué)過(guò)程中,學(xué)生需要掌握傳輸線的基本概念及傳輸線方程的求解方法,從而為分析傳輸線的工作狀態(tài)奠定基礎(chǔ)。

長(zhǎng)線效應(yīng)的存在使得微波能量或微波信號(hào)在傳輸線上進(jìn)行傳輸時(shí)具有顯著的波動(dòng)效應(yīng),信號(hào)電壓/電流在傳輸線上滿足對(duì)應(yīng)的頻域傳輸線方程(或頻域電報(bào)方程),并由此可以導(dǎo)出傳輸線上信號(hào)電壓/電流滿足的波動(dòng)方程(亥姆赫茲標(biāo)量波動(dòng)方程)。為了分析傳輸線的工作狀態(tài),需要給定邊界條件來(lái)求解波動(dòng)方程通解表達(dá)式中的待定系數(shù),從而得到傳輸線方程定解表達(dá)式,即獲得傳輸線上的電壓/電流分布。在一般的教材中[9-12],通常給出了三種特殊的邊界條件來(lái)求解待定系統(tǒng):① 源端條件;② 終端條件;③ 電源與阻抗條件。為了讓學(xué)生能夠更深刻地理解邊界條件對(duì)求解傳輸線方程定解的作用,本文給出一般邊界條件,即假定已知傳輸線上任意某點(diǎn)的電壓/電流(一般可以通過(guò)測(cè)量方法獲得),則可以通過(guò)傳輸矩陣形式對(duì)傳輸線上各點(diǎn)電壓/電流分布進(jìn)行表達(dá)。在一般教材中,傳輸線方程邊界條件通過(guò)源端、終端,或者由源端與終端共同給出,但都可以被看作本文給出的一般邊界條件的特殊形式。通過(guò)一般邊界條件來(lái)求解傳輸線方程的定解問(wèn)題,有助于學(xué)生深刻理解邊界條件對(duì)傳輸線工作狀態(tài)或狀態(tài)參數(shù)的影響、特征阻抗和終端負(fù)載條件與狀態(tài)參數(shù)之間的聯(lián)系。

1 一般邊界條件

在“微波技術(shù)與天線”教材中,一般給出如圖1所示的傳輸線模型,采用源端坐標(biāo)系來(lái)描述微波信號(hào)的傳輸方向。這里假定傳輸線是無(wú)耗的,則傳輸線上電壓/電流的通解表達(dá)式分別為:

圖1 傳輸線一般邊界條件模型

V(z)=A1e-jβz+A2e+jβz

(1)

(2)

其中,A1和A2為通解表達(dá)式中的待定系數(shù),Z0為無(wú)耗傳輸線的特征阻抗。教材中給出的三種邊界條件(源端條件、終端條件、電源和阻抗條件)均可以求得通解中的待定系數(shù)A1和A2。為了更好地理解傳輸線方程邊界條件對(duì)傳輸線方程定解的作用,這里假定已知傳輸線上任意某點(diǎn)(z0)的電壓V(z0)和電流I(z0),然后分析無(wú)耗傳輸線上其他各點(diǎn)(z)的電壓V(z)和電流I(z)表達(dá)式。

如圖1所示,假定z>z0,滿足z=z0+Δz,利用歐拉公式,則無(wú)耗傳輸線上其他各點(diǎn)的電壓/電流可以分別表示為:

(3)

(4)

將(3)和(4)式寫成矩陣形式有:

(5)

同理,假定z

(6)

從(5)和(6)式中可以看出,已知無(wú)耗傳輸線上任意某點(diǎn)(z0)的電壓V(z0)和電流I(z0),則無(wú)耗傳輸線上其他各點(diǎn)電壓V(z)和電流I(z)均可以表達(dá)出來(lái)。這里將(5)式中的系數(shù)矩陣稱為長(zhǎng)度為Δz的無(wú)耗傳輸線段的正向傳輸矩陣,將(6)式中的系數(shù)矩陣稱為對(duì)應(yīng)長(zhǎng)度為Δz的無(wú)耗傳輸線段的反向傳輸矩陣,正向傳輸矩陣與反向傳輸矩陣互為逆矩陣。

2 特殊邊界條件

在給出無(wú)耗傳輸線方程定解問(wèn)題的一般邊界條件后,教材中給出的三種邊界條件可以作是一般邊界條件的三種特殊形式,具體分析如下。

2.1 源端邊界條件:已知V(0)和I(0)

將源端邊界條件代入(1)和(2)式,則可以求解出通解表達(dá)式中的待定系數(shù)A1和A2:

(7)

(8)

將(7)和(8)式代入通解表達(dá)式,可以獲得傳輸線其他各點(diǎn)的電壓/電流為:

(9)

(10)

此時(shí)滿足z0=0和z=Δz,(9)和(10)式寫成矩陣形式后則與(5)式一致。

2.2 終端邊界條件:已知V(L)和I(L)

將終端邊界條件代入(1)和(2)式,則可以求解出通解表達(dá)式中的待定系數(shù)A1和A2:

(11)

(12)

將(11)和(12)式代入通解表達(dá)式,可以獲得傳輸線上其它各點(diǎn)的電壓/電流表達(dá)式為:

(13)

(14)

此時(shí)滿足z0=L,z=L-Δz,(13)和(14)式寫成矩陣形式后則與(6)式一致。

2.3 電源和阻抗條件:已知Eg、Zg和ZL

分別利用電源條件和阻抗條件,可以求解出通解表達(dá)式中的待定系數(shù)A1和A2:

(15)

(16)

其中,Γg=(Zg-Z0)/(Zg+Z0)定義為電源反射系數(shù),ΓL=(ZL-Z0)/(ZL+Z0)定義為負(fù)載反射系數(shù)。此時(shí),可將電源和阻抗條件轉(zhuǎn)化為源端邊界條件:

V(0)=V+(0)+V-(0)=A1+A2

(17)

(18)

其中,V+和I+(0)分別為入射電壓波和入射電流波,V-和I-(0)分別為反射電壓波和反射電流波。利用(17)和(18)式,可以獲得(9)和(10)式所表示的傳輸線上任意點(diǎn)的電壓和電流表達(dá)式,其矩陣形式與(5)式一致。

3 一般邊界條件應(yīng)用

如圖2所示,將長(zhǎng)度為Δz的無(wú)耗傳輸線段當(dāng)成一個(gè)對(duì)稱無(wú)耗二端口網(wǎng)絡(luò)模型,其正向傳輸矩陣為:

圖2 傳輸線上的二端口網(wǎng)絡(luò)模型

(19)

上式表明,對(duì)稱無(wú)耗網(wǎng)絡(luò)的傳輸矩陣滿足特性:A11,A22∈Real,A12,A21∈Imaginary,A11=A22。最后,當(dāng)二端口網(wǎng)絡(luò)為具有其他結(jié)構(gòu)的微波元件時(shí),當(dāng)其內(nèi)部結(jié)構(gòu)已知時(shí),其傳輸矩陣參數(shù)可以利用電路方程或場(chǎng)方程聯(lián)合邊界條件導(dǎo)出;當(dāng)其內(nèi)部結(jié)構(gòu)未知時(shí),其傳輸矩陣可以通過(guò)測(cè)試兩個(gè)端口的電壓/電流作為邊界條件,再通過(guò)(5)或(6)式導(dǎo)出。可以看到,微波元件的特性既可以通過(guò)內(nèi)部結(jié)構(gòu)和材料特性導(dǎo)出,也可以通過(guò)外部激勵(lì)進(jìn)行測(cè)量獲得。

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)“微波技術(shù)與天線”中求解傳輸線方程定解的教學(xué),提出了利用一般邊界條件來(lái)求解無(wú)耗傳輸線方程定解表達(dá)式的方法,并將教材中的三種邊界條件看作一般邊界條件的特殊邊界條件,對(duì)三種定解表達(dá)式進(jìn)行了統(tǒng)一表達(dá)。給出的傳輸線方程定解求解思路不僅有利用學(xué)生深入了解邊界條件對(duì)無(wú)耗傳輸線方程定解的影響,也為學(xué)生研究有耗傳輸線方程定解問(wèn)題、分析微波網(wǎng)絡(luò)性質(zhì)和學(xué)習(xí)微波測(cè)量奠定方法論基礎(chǔ)。