姚華鑫

(北京師范大學(xué)未來教育學(xué)院)

2023年湖南省高考物理試題以物理學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,知識(shí)點(diǎn)覆蓋面較廣,突出時(shí)代性和實(shí)踐性,同時(shí)兼顧基礎(chǔ)性與選拔性.試題立足物理學(xué)科知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系,注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用,加強(qiáng)了綜合性,體現(xiàn)了高考試題服務(wù)選才的功能.其中的壓軸題是一道綜合物理規(guī)律與數(shù)學(xué)知識(shí)的題目.該題目要求學(xué)生深入掌握模型的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,綜合性和應(yīng)用性較強(qiáng),考查了學(xué)生的推理論證能力和數(shù)學(xué)方程化表達(dá)能力.

1 原題呈現(xiàn)

原題如圖1所示,質(zhì)量為M的勻質(zhì)凹槽放在光滑水平地面上,凹槽內(nèi)有一個(gè)半橢圓形的光滑軌道,橢圓的半長軸和半短軸分別為a和b,長軸水平,短軸豎直.質(zhì)量為m的小球,初始時(shí)刻從橢圓軌道長軸的右端點(diǎn)由靜止開始下滑.以初始時(shí)刻橢圓中心的位置為坐標(biāo)原點(diǎn),在豎直平面內(nèi)建立固定于地面的直角坐標(biāo)系xOy,橢圓長軸位于x軸上.整個(gè)過程凹槽不翻轉(zhuǎn),重力加速度為g.

圖1

(1)小球第一次運(yùn)動(dòng)到軌道最低點(diǎn)時(shí),求凹槽的速度大小以及凹槽相對于初始時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的距離;

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,求出小球運(yùn)動(dòng)的軌跡方程;

2 試題分析

2.1 試題情境

本題以一道動(dòng)態(tài)的橢圓擺模型為情境,巧妙設(shè)置以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體的物理試題,涉及動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律,輔以運(yùn)動(dòng)軌跡的數(shù)學(xué)方程表達(dá),屬于綜合性和應(yīng)用性較強(qiáng)的題目,難度較大.

2.2 必備知識(shí)

該題通過對小球和凹槽運(yùn)動(dòng)過程中的狀態(tài)量的計(jì)算,考查動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用、機(jī)械能守恒定律適用條件的判斷與運(yùn)用、數(shù)學(xué)曲線方程表達(dá)、速度的分解與合成以及變換參考系分析問題等知識(shí).

2.3 能力素養(yǎng)

本題考查的關(guān)鍵能力主要有理解能力、推理論證能力和模型建構(gòu)能力,凸顯了物理學(xué)科核心素養(yǎng).本題要求學(xué)生具備運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力,實(shí)現(xiàn)物理規(guī)律數(shù)學(xué)化表達(dá)的能力.在理解能力方面,該題要求學(xué)生能從基本的球擺模型中挖掘有效信息,認(rèn)識(shí)到小球在不同形狀的軌道中運(yùn)動(dòng)所滿足的共同的物理規(guī)律與定律.在推理論證能力和模型建構(gòu)能力方面,求解小球的軌跡方程要求學(xué)生具備運(yùn)用物理知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型的能力,用數(shù)學(xué)化的表達(dá)式表現(xiàn)其中所蘊(yùn)含的物理規(guī)律;第(3)問要求學(xué)生能充分挖掘題設(shè)軌跡的特點(diǎn),并運(yùn)用幾何關(guān)系分解小球速度,達(dá)到解決問題的目的.

2.4 解題過程

(1)水平地面光滑,小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中,小球和凹槽水平方向不受任何外力,小球和凹槽組成的系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒.

設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速度為v1,凹槽的速度為v2,于是可得mv1＝Mv2.

由于接觸面均光滑,可知系統(tǒng)機(jī)械能守恒,可得

解得

在水平方向采用微元法,由水平方向動(dòng)量守恒得

對小球從釋放到第一次運(yùn)動(dòng)到軌道最低點(diǎn)過程求和,可得mx1＝Mx2,又x1＋x2＝a.

聯(lián)立上述各式解得

(2)解法1以地面為參考系,由于水平方向動(dòng)量守恒,系統(tǒng)的質(zhì)心在水平方向上不動(dòng),設(shè)小球在某時(shí)刻的坐標(biāo)為(x,y),凹槽水平位移為z,可得Mz＝m(a－x),解得.根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可得此時(shí)小球運(yùn)動(dòng)軌跡的橢圓方程為.

該解法是在已知小球運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓的基礎(chǔ)上得出的.后面我們將分析此模型下小球運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓具有普遍性.

解法2設(shè)在地面S參考系中小球的橫坐標(biāo)為x,小球和凹槽的水平位移分別為x1和x2;設(shè)在凹槽S′參考系中小球的橫坐標(biāo)為x′,如圖2所示.

圖2

根據(jù)小球在兩個(gè)參考系中的相對關(guān)系,由運(yùn)動(dòng)情況不難得出在S′系中小球的坐標(biāo)滿足

在S系中有x＝x′＋x2,x＋x1＝a,由水平方向動(dòng)量守恒有mv1x＝Mv2,即有mx1＝Mx2,又y＝y(tǒng)′.

聯(lián)立以上各式解得

解法2是在變換參考系的情況下,根據(jù)二者的位移關(guān)系解得軌跡方程.該種解法比較符合學(xué)生的認(rèn)知水平和知識(shí)儲(chǔ)備,是教學(xué)中處理該類問題的常見做法.

(3)解法1將代入式②整理可得

此時(shí)小球的運(yùn)動(dòng)軌跡是以(a－b)為圓心,b為半徑的圓.

圖3

根據(jù)機(jī)械能守恒可得

解法2對式①進(jìn)行隱函數(shù)求導(dǎo)可得

整理可得

3 題目溯源

如圖4所示,半圓形光滑槽質(zhì)量為M,半徑為R,置于光滑水平地面上.一質(zhì)量為m的小球可在槽內(nèi)自由滑動(dòng).開始時(shí)小球由A處靜止釋放.求:

圖4

(1)m滑到最低點(diǎn)時(shí),m、M對地的速度大小;

(2)在最低點(diǎn)時(shí)m對槽的壓力;

(3)m對地的運(yùn)動(dòng)軌跡在最低點(diǎn)的曲率半徑;

(4)m對地的軌跡方程.

(1)系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒且全過程系統(tǒng)的機(jī)械能守恒,可得在最低點(diǎn)有

(2)當(dāng)m運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí),槽沒有加速度,可選作慣性參考系,此時(shí)m相對于M的速度為v1＋v2,m相對于M的運(yùn)動(dòng)半徑為R,根據(jù)牛頓第二定律可得

(3)以地面為參考系,小球的運(yùn)動(dòng)軌跡不是一個(gè)圓,設(shè)小球經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)對應(yīng)的曲率半徑為ρ,根據(jù)牛頓第二定律得

(4)以地面為參考系,建立向右為x正方向、向下為y軸正方向的平面直角坐標(biāo)系,如圖5所示.設(shè)小球在某時(shí)刻的坐標(biāo)為(x,y),光滑槽的水平位移為z,由于水平方向動(dòng)量守恒,系統(tǒng)的質(zhì)心在水平方向的位置不變,可得Mz＝m(R－x),解得.由圖可知任意時(shí)刻小球的坐標(biāo)為

圖5

聯(lián)立上述各式可得可見小球的軌跡為橢圓的一部分,橢圓的中心為,半長軸為R,半短軸為.

小結(jié)通過上述解答過程,我們發(fā)現(xiàn)在一般情況下,無論凹槽的軌道是圓軌道還是橢圓軌道,小球相對于地面參考系的軌跡都是橢圓方程的一部分.不同點(diǎn)在于,凹槽是橢圓軌道時(shí),我們可以調(diào)整小球與凹槽的質(zhì)量比,使得小球的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧.

4 拓展思考

4.1 揭開影響小球軌跡方程的面紗

如果凹槽的軌道形狀不再是圓或者橢圓,那么小球相對于地面參考系的運(yùn)動(dòng)軌跡還是橢圓或者圓軌道的一部分嗎? 接下來我們將推導(dǎo)凹槽軌道是拋物線時(shí)小球相對于地面參考系的軌跡方程.

我們以地面參考系為S系,以凹槽參考系為S′系.設(shè)小球在S系中的橫坐標(biāo)為x,小球和凹槽的水平位移分別為x1、x2;在S′系中小球的橫坐標(biāo)為x′,設(shè)凹槽曲線的拋物線方程為y＝－ax2＋a,如圖6 所示,根據(jù)相對運(yùn)動(dòng)情況有如下關(guān)系.

圖6

在S′系中小球的坐標(biāo)滿足y′＝－ax′2＋a,在S系中有x＝x′＋x2,x＋x1＝a.由水平方向動(dòng)量守恒可知mv1x＝Mv2,即mx1＝Mx2.又y′＝y(tǒng).

聯(lián)立上述各式解得

由數(shù)學(xué)知識(shí)易知上述小球的軌跡為拋物線方程,開口朝上,軌跡的最低點(diǎn)向右平移個(gè)單位.這時(shí)我們得出結(jié)論,小球相對于地面參考系的運(yùn)動(dòng)軌跡取決于凹槽的形狀.

4.2 揭開小球速度最大值出現(xiàn)位置的面紗

為研究方便,我們選取凹槽形狀是圓的情況來探討小球最大速度出現(xiàn)的位置.當(dāng)二者的質(zhì)量之比滿足什么條件時(shí),小球最大速度出現(xiàn)在最低點(diǎn)呢?

小球在S′系中做圓周運(yùn)動(dòng),設(shè)圖中小球在該系中的速度為,二者在S系中的速度分別為v1、v2.此時(shí)小球和凹槽圓心的連線與水平方向所成夾角為θ,如圖7所示.

水平方向有v1x＝－v2.

豎直方向有v1y＝.

在S系中,根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律可得mv1x＝Mv2,即

聯(lián)立上述各式可得

接下來,我們探討這個(gè)小球最大速度出現(xiàn)在最低點(diǎn)時(shí)k所滿足的條件.

令x＝sinθ∈(0,1),整理可得

令u＝x2∈(0,1),這是一個(gè)關(guān)于u的二次方程.對稱軸,故上式二次方程的最小值在u＝1時(shí)取到,如要恒成立,則需最小值都要大于零,即有

整理可得2k2＋2k－1≤0,解得,故當(dāng)時(shí),小球的速度最大值出現(xiàn)在最低點(diǎn);當(dāng)時(shí),小球的速度最大值出現(xiàn)在最低點(diǎn)兩側(cè).

5 教學(xué)啟示

一道高考題的設(shè)計(jì)是命題專家深思熟慮后完成的,經(jīng)典模型不按套路出牌將會(huì)成為新高考試題的亮點(diǎn).這道高考?jí)狠S題實(shí)質(zhì)上是一道經(jīng)典模型題目的改編題,只是將圓軌道改成了橢圓軌道.這就啟示我們在未來物理教學(xué)中,要對教材和課后習(xí)題中的典型題目進(jìn)行深入挖掘,開展“一題多解、一題多變、多題歸一”的變式訓(xùn)練,讓學(xué)生透徹理解題目中的物理規(guī)律本質(zhì).當(dāng)然,我們也可以通過小組討論的形式,讓學(xué)生自主改編試題并進(jìn)行自我解答,從而引導(dǎo)學(xué)生在討論分享中形成多樣化的問題意識(shí),碰撞出思維的火花.

(完)