黃尚鵬

(湖北省監(jiān)利市實(shí)驗(yàn)高級中學(xué))

2023年高考全國乙卷物理壓軸題嚴(yán)格依據(jù)高中物理課程標(biāo)準(zhǔn),依托高考評價(jià)體系,深化基礎(chǔ)性和綜合性,聚焦學(xué)科核心素養(yǎng),加強(qiáng)關(guān)鍵能力考查,在豎直下落小球和薄圓盤彈性碰撞多過程問題中,綜合考查勻變速運(yùn)動、追及問題、彈性碰撞、動量守恒定律、機(jī)械能守恒定律等力學(xué)主干知識,深入考查了學(xué)生理性分析問題的思維過程,考查學(xué)科綜合應(yīng)用能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、創(chuàng)新能力,有較好的區(qū)分度,體現(xiàn)選拔功能,下面我們對此題進(jìn)行全面深入的分析和探討.

1 知識準(zhǔn)備:一般彈性碰撞的公式及推論

如圖1所示,光滑水平面上有兩個質(zhì)量分別為m1和m2的小球發(fā)生彈性碰撞,碰撞前m1和m2的速度分別為v1、v2,求碰撞后m1和m2的速度.

圖1

分析此問題為彈性碰撞“動碰動”模型,計(jì)算碰后速度是難點(diǎn),若采用降冪法求解計(jì)算量非常大,可先采用變換參考系法轉(zhuǎn)換成“動碰靜”模型,再用結(jié)論法直接表示碰后速度,最后再變回地面參考系即可表示碰后速度,具體操作方法如下.

如圖2所示,選以速度v2做勻速運(yùn)動的物體為參考系(為慣性系,動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律仍然成立),碰撞前m1的速度為v1－v2,m2靜止,故碰后m1、m2的速度分別為

圖2

因此在地面參考系中,由絕對速度＝相對速度＋牽連速度,得到碰后m1、m2的速度分別為

推論1)若m1＝m2,則,即碰撞后兩球速度發(fā)生交換.

2)v1－v2＝,v1－v2為碰前m1靠近m2的相對速度,稱為相對接近速度,為碰后m2遠(yuǎn)離m1的相對速度,稱為相對分離速度,即相對接近速度等于相對分離速度.

2 對原題的分析與解答

原題(2023年全國乙卷25題)如圖3所示,一豎直固定的長直圓管內(nèi)有一質(zhì)量為M的靜止薄圓盤,圓盤與管的上端口距離為l,圓管長度為20l.一質(zhì)量為的小球從管的上端口由靜止下落,并撞在圓盤中心,圓盤向下滑動,所受滑動摩擦力與其所受重力大小相等.小球在管內(nèi)運(yùn)動時(shí)與管壁不接觸,圓盤始終水平,小球與圓盤發(fā)生的碰撞均為彈性碰撞且碰撞時(shí)間極短.不計(jì)空氣阻力,重力加速度大小為g.求:

(1)第一次碰撞后瞬間小球和圓盤的速度大小;

(2)在第一次碰撞到第二次碰撞之間,小球和圓盤間的最遠(yuǎn)距離;

(3)圓盤在管內(nèi)運(yùn)動過程中,小球與圓盤碰撞的次數(shù).

(1)設(shè)小球從管的上端口由靜止下落距離l時(shí)獲得的速度為v0,由動能定理得解得.

小球以速度v0與靜止的圓盤第一次發(fā)生彈性碰撞,碰撞后小球和圓盤的速度分別為,根據(jù)動量守恒定律(選向下為正方向)和機(jī)械能守恒定律,得,得

(2)第一次碰撞后,小球做豎直上拋運(yùn)動,圓盤所受滑動摩擦力與重力平衡,勻速下滑,所以只要圓盤下滑速度比小球快,二者間距就不斷增大,當(dāng)二者速度相等時(shí),間距最大,設(shè)經(jīng)過時(shí)間t二者速度相等,則有,解得.此段時(shí)間內(nèi)小球和圓盤的位移分別為,故小球和圓盤間的最遠(yuǎn)距離為

或者畫出碰撞后的v-t圖像如圖4所示,當(dāng)二者速度相等時(shí),間距最大,最大間距為圖中陰影部分的面積,即.

圖4

還可以圓盤為參考系,小球相對圓盤以向上的初速度v0做豎直上拋運(yùn)動,最大間距為豎直上拋運(yùn)動上升的最大高度.

(3)為了表述方便,我們約定第n次(n≥1)碰撞前瞬間小球和圓盤的速度分別為vmn、vMn,碰撞后瞬間小球和圓盤的速度分別為,則

方法1(數(shù)學(xué)歸納法)我們先分析前面幾次碰撞和運(yùn)動過程,再歸納總結(jié)出一般規(guī)律.

小球與圓盤第二次發(fā)生彈性碰撞,根據(jù)動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律,得

小球與圓盤第三次發(fā)生彈性碰撞,根據(jù)動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律(方程略),得

小球與圓盤第四次發(fā)生彈性碰撞,根據(jù)動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律(方程略),得

歸納總結(jié):每次碰撞后到下一次碰撞前,經(jīng)歷的時(shí)間都相等,即,每次碰撞后瞬間圓盤的速度依次為

即每次碰撞后瞬間圓盤的速度都比上一次碰撞后瞬間圓盤的速度增加,恰好構(gòu)成等差數(shù)列,因此第一次碰撞后到第二次碰撞前,圓盤以速度勻速下降的距離

即圓盤每次碰撞后到下一次碰撞前下降的距離依次為2l,4l,6l,…,恰好構(gòu)成以d＝2l為公差的等差數(shù)列,到第四次碰撞時(shí),圓盤已下降的距離為2l＋4l＋6l＝12l,此時(shí)圓盤距離管下端口長度為20ll－12l＝7l,第四次碰撞后,若發(fā)生下一次碰撞,圓盤將向下移動8l＞7l,說明第四次碰撞后,圓盤將落出管口外,因此圓盤在管內(nèi)運(yùn)動過程中,小球與圓盤碰撞的次數(shù)為4次.

方法2(相對運(yùn)動法)我們以圓盤為參考系來描述小球的運(yùn)動情況.

如圖5所示,第一次碰撞前小球相對圓盤的接近速度大小為v0,根據(jù)彈性碰撞的推論:相對接近速度等于相對分離速度,碰撞后小球相對圓盤的分離速度大小仍為v0,則第一次碰撞后到第二次碰撞前,小球相對圓盤做豎直上拋運(yùn)動,當(dāng)再次返回拋出點(diǎn)時(shí),小球相對圓盤的接近速度大小仍為v0,此過程經(jīng)歷的時(shí)間為.由于第二次碰撞前小球相對圓盤的接近速度大小仍為v0,以后小球相對圓盤的運(yùn)動周期性重復(fù),即每次碰撞前小球相對圓盤的接近速度大小和碰撞后小球相對圓盤的分離速度大小都為v0,每次碰撞后到下一次碰撞前,經(jīng)歷的時(shí)間都為,且對于第n次(n≥1)碰撞,由一般彈性碰撞公式,可知

圖5

方法3(質(zhì)心法)以小球和圓盤構(gòu)成的系統(tǒng)的質(zhì)心為研究對象來描述質(zhì)心的運(yùn)動情況.

小球和圓盤構(gòu)成的系統(tǒng)的合外力始終為mg,根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理,質(zhì)心C的加速度,即質(zhì)心的加速度恒定.

以小球從管的上端口由靜止下落開始計(jì)時(shí),t＝0時(shí)刻,質(zhì)心的初速度為零,故質(zhì)心做初速度為零的勻加速運(yùn)動.由于小球和圓盤的質(zhì)量之比為1∶3,故系統(tǒng)的質(zhì)心到小球和圓盤的距離之比為3∶1,即t＝0時(shí)刻,質(zhì)心到小球和圓盤的距離分別為0.75l和0.25l,質(zhì)心距離管下端口長度為19.25l,如圖6所示.

圖6

第一次碰撞前小球做自由落體運(yùn)動的時(shí)間為

由方法2可知,每次碰撞后到下一次碰撞前,經(jīng)歷的時(shí)間都為

故第n次碰撞時(shí)(此時(shí)小球、圓盤以及系統(tǒng)的質(zhì)心三者重合)經(jīng)歷的總時(shí)間為

質(zhì)心C運(yùn)動的位移為.因此,當(dāng)n＝1時(shí),yC1＝0.25l;當(dāng)n＝2時(shí),yC2＝2.25l;當(dāng)n＝3時(shí),yC3＝6.25l;當(dāng)n＝4時(shí),yC4＝12.25l;當(dāng)n＝5時(shí),yC5＝20.25l＞19.25l,圓盤已落出管口外,因此圓盤在管內(nèi)運(yùn)動過程中,小球與圓盤碰撞的次數(shù)為4次.

方法4(遞推法)我們直接分析第n次碰撞和運(yùn)動過程,建立遞推關(guān)系式求通項(xiàng).

小球與圓盤第n次發(fā)生彈性碰撞,根據(jù)動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律得

解得

在管道中第n次碰撞后到第(n＋1)次碰撞前,設(shè)經(jīng)過時(shí)間tn二者位移相等,則有,解得

此時(shí)小球的速度

圓盤的速度

顯然,

因此,每次碰撞后到下一次碰撞前,經(jīng)歷的時(shí)間都相等,即

3 試題賞析

本題既源于教材又不拘泥于教材,粗看感覺很眼熟,讓學(xué)生有信心去完成答題,但細(xì)看后發(fā)現(xiàn)對能力的要求較高,體現(xiàn)了命題低起點(diǎn)高要求的特點(diǎn).本題以學(xué)習(xí)探索情境為載體,除考查一般的理解能力、分析綜合能力外,還突出考查了模型建構(gòu)能力、推理論證能力、用數(shù)學(xué)方法解決物理問題的能力和創(chuàng)新能力等關(guān)鍵能力,有較好的區(qū)分度,體現(xiàn)了選拔功能.

1)本題第(1)問考查彈性碰撞“動碰靜”模型,第(2)問考查“豎直上拋運(yùn)動”模型和追及模型,強(qiáng)化必備知識考查,深化基礎(chǔ)性,引導(dǎo)教學(xué)回歸課標(biāo)、教材.

2)本題第(3)問考查了彈性碰撞“動碰動”模型,并且為多次碰撞,一般考生都能根據(jù)動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律列出方程組,但很難計(jì)算出正確結(jié)果,以致無法歸納總結(jié)出一般規(guī)律,這就要求學(xué)生最好記住一般彈性碰撞的公式及推論,或者先采用變換參考系法將彈性碰撞“動碰動”模型轉(zhuǎn)換成“動碰靜”模型,“動碰靜”模型可用結(jié)論法直接表示碰后速度,最后再變回地面參考系即可快速表示碰后速度,大大降低計(jì)算量.為使學(xué)生掌握利用一般彈性碰撞公式快速解題的方法和技巧,這里不妨再舉一個典型例子.

例題如圖7 所示,光滑水平面上有兩個質(zhì)量分別為m1和m2的小球A和B,它們在一條與右側(cè)豎直墻面垂直的直線上前后放置.開始時(shí)B球靜止,A球以速度v向B球運(yùn)動.不計(jì)各種摩擦,所有碰撞都是完全彈性碰撞.如果要求兩球只發(fā)生兩次碰撞,試確定的范圍.

圖7

分析選向右為正方向,第一次碰撞后A、B的速度分別為.

①當(dāng)m1＞m2時(shí),A、B均向右運(yùn)動,B碰墻后彈回與A發(fā)生第二次碰撞,碰后A、B的速度分別為

將v1、v2的表達(dá)式代入后,可得

當(dāng)m1＞m2時(shí),,B向右運(yùn)動,要使不發(fā)生第三次碰撞,首先要求,其次要求B球碰墻返回后追不上A,即要求,因此有

②當(dāng)m1＝m2時(shí),第一次碰撞后A靜止,B向右運(yùn)動,B碰墻后彈回與A發(fā)生第二次碰撞,碰后B靜止,A向左運(yùn)動,只發(fā)生兩次碰撞,故可取.

③當(dāng)m1＜m2時(shí),則第一次碰后,v1＜0,A向左運(yùn)動,B向右運(yùn)動,B碰墻后返回.若能追上A,則要求－v1＜v2,即,解得故.

將以上3種情況綜合起來,便得到可使A、B能且僅能發(fā)生兩次碰撞的的取值范圍為

3)本題第(3)問考查了數(shù)學(xué)歸納法在物理問題中的應(yīng)用,歸納法是一種研究問題的基本方法,它是從認(rèn)識個別的、特殊的事物推出一般原理和普遍事物,對考生的思辨性思維要求較高,考查學(xué)生的高階思維能力,突出關(guān)鍵能力考查,引導(dǎo)減少死記硬背和機(jī)械刷題現(xiàn)象,有較好的區(qū)分度,體現(xiàn)選拔功能,并且此問還能夠運(yùn)用相對運(yùn)動法和質(zhì)心法巧解,從而可快速總結(jié)出一般規(guī)律,體現(xiàn)了物理思想方法的靈活運(yùn)用,引導(dǎo)學(xué)生多角度思考,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

4)在本題的解答中,方法1即數(shù)學(xué)歸納法只分析了前面幾次碰撞和運(yùn)動過程,再歸納總結(jié)出一般規(guī)律,為不完全歸納法,在物理解題中經(jīng)常采用.而方法4即遞推法,直接分析第n次碰撞和運(yùn)動過程,建立遞推關(guān)系式,然后由遞推公式求通項(xiàng)公式,為完全歸納法.顯然遞推法比數(shù)學(xué)歸納法更為嚴(yán)謹(jǐn),且計(jì)算過程更簡潔,但對考生的數(shù)學(xué)能力要求更高.所謂遞推法,即當(dāng)問題中涉及的物理過程較多,且各物理過程具有相同的特點(diǎn)和遵循相同的規(guī)律時(shí),可選取有代表性的任一物理過程分析,得出聯(lián)系相鄰物理過程的相關(guān)物理量的遞推關(guān)系式,再根據(jù)遞推公式求解相關(guān)物理量的通項(xiàng)公式,從而達(dá)到解決問題的目的的一種科學(xué)思維方法.由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式的問題一般比較復(fù)雜,不過只要我們抓住遞推數(shù)列的遞推關(guān)系,分析結(jié)構(gòu)特征,善于合理變形,就能找到解決問題的有效途徑,使學(xué)生深入理解遞推法,掌握遞推法的應(yīng)用技巧.

4 教學(xué)啟示

高考物理命題要落實(shí)立德樹人的根本任務(wù),堅(jiān)持正確的育人方向,促進(jìn)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展;堅(jiān)持守正創(chuàng)新,依托高考評價(jià)體系,深化基礎(chǔ)性,突出對關(guān)鍵能力的考查.在課程改革進(jìn)入新時(shí)期之際,物理學(xué)科考試內(nèi)容改革將在一定程度上推動物理教學(xué)變革、高考改革乃至課程改革的發(fā)展,同時(shí),也為物理教學(xué)提供了一些啟示.

1)強(qiáng)調(diào)物理必備知識.高中物理課程在結(jié)構(gòu)上注重為全體學(xué)生打好共同基礎(chǔ),重視對基本概念、基本規(guī)律的理解和掌握.物理知識體系的建構(gòu)是學(xué)生解決物理問題的基礎(chǔ),教科書是教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的主要資源.因此,要重視教科書內(nèi)容的選擇與編排,注重對教材例題和習(xí)題的研究,發(fā)掘教材的指導(dǎo)價(jià)值.另外,教學(xué)中我們不能將知識靜態(tài)化與孤立化,應(yīng)注重知識間的聯(lián)系和知識的遷移.

2)注重培養(yǎng)理解、推理論證、模型建構(gòu)、實(shí)驗(yàn)探究和創(chuàng)新等關(guān)鍵能力.要結(jié)合物理學(xué)科核心素養(yǎng)進(jìn)行教學(xué),要通過好的情境素材把核心素養(yǎng)和課程內(nèi)容進(jìn)行深度關(guān)聯(lián).教學(xué)中要注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷物理概念的建構(gòu)過程和物理規(guī)律的形成過程,體會建構(gòu)物理模型的思維方式,認(rèn)識物理模型在探索自然規(guī)律中的作用,培養(yǎng)學(xué)生建構(gòu)模型的意識和能力.就習(xí)題教學(xué)而言,要通過增強(qiáng)習(xí)題的開放性和探究性,鼓勵學(xué)生討論與多角度作答,促進(jìn)對學(xué)生推理論證、質(zhì)疑創(chuàng)新等關(guān)鍵能力的培養(yǎng).要特別重視實(shí)驗(yàn)探究,凸顯物理實(shí)驗(yàn)在發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)方面的重要地位和作用,要開足開好實(shí)驗(yàn)課,鼓勵學(xué)生開展各種科學(xué)探究活動,提高學(xué)生的實(shí)驗(yàn)探究能力.

3)加強(qiáng)理論聯(lián)系實(shí)際,發(fā)展學(xué)生的問題解決能力.教學(xué)中要創(chuàng)設(shè)聯(lián)系生產(chǎn)生活實(shí)際、科學(xué)技術(shù)進(jìn)步的真實(shí)情境,把物理知識跟實(shí)踐情境進(jìn)行關(guān)聯(lián),引導(dǎo)學(xué)生用物理學(xué)的視角觀察周圍世界、建立物理模型,培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)物理知識解決實(shí)際問題的能力.要加強(qiáng)習(xí)題情境化設(shè)計(jì),重視情境化習(xí)題教學(xué).情境化試題在高考物理命題中的比例將逐漸加大,代表高考物理命題改革的方向,引領(lǐng)物理教育本原的回歸.

總之,一道高考題的設(shè)計(jì)是經(jīng)過命題專家深思熟慮的,經(jīng)典模型不按套路出牌,?？汲Ｐ聦⑹切赂呖荚囶}的亮點(diǎn).教學(xué)中要對教材中的典型例題和課后習(xí)題多進(jìn)行“一題多解、一題多變、多題歸一”的訓(xùn)練,通過自主獨(dú)立思考和小組合作探究,挖掘?qū)W生潛力,激發(fā)學(xué)生思維的火花,引導(dǎo)學(xué)生在討論分享中形成多樣化的問題解決意識.這樣學(xué)生才能在新的命題情境和設(shè)問方式中明確思維去向,快速找到解決問題的突破口.

(完)