周建成 楊天才

(1.重慶科學(xué)城西永中學(xué)校 2.重慶市大學(xué)城第一中學(xué)校)

1 問題提出

?普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 年修訂)?中指出:“高中物理課程在義務(wù)教育的基礎(chǔ)上,幫助學(xué)生從物理學(xué)的視角認(rèn)識自然,理解自然,建構(gòu)關(guān)于自然界的物理圖景.”為了形象、簡捷地處理物理問題,人們經(jīng)常把復(fù)雜的實(shí)際情況轉(zhuǎn)化成一定的容易接受的簡單的物理情境,從而形成一定的經(jīng)驗(yàn)性的規(guī)律,即建立物理模型.高考試題體現(xiàn)了考試作為教育的重要手段和必要環(huán)節(jié),對中學(xué)教學(xué)有一定的導(dǎo)向作用.本文以2021年高考重慶卷第10題為切入口,回顧機(jī)車啟動模型的特點(diǎn),針對模型的多變與遷移,由一道題改為一類題,抓住其物理本質(zhì),提升學(xué)生物理學(xué)科核心素養(yǎng).

2 模型建構(gòu)

2.1 例題呈現(xiàn)

例1(2021年重慶卷)額定功率相同的甲、乙兩車在同一水平路面上從靜止啟動,其發(fā)動機(jī)的牽引力隨時(shí)間的變化曲線如圖1所示.兩車分別從t1和t3時(shí)刻開始以額定功率行駛,從t2和t4時(shí)刻開始牽引力均視為不變.若兩車行駛時(shí)所受的阻力大小與重力成正比,且比例系數(shù)相同,則( ).

圖1

A.甲車的總重比乙車大

B.甲車比乙車先開始運(yùn)動

C.甲車在t1時(shí)刻和乙車在t3時(shí)刻的速率相同

D.甲車在t2時(shí)刻和乙車在t4時(shí)刻的速率相同

由題意,兩車額定功率P相同,所受阻力Ff＝kmg.根據(jù)甲車t2時(shí)刻后和乙車t4時(shí)刻后牽引力不變,均做勻速直線運(yùn)動,可知甲車牽引力大于乙車牽引力,由F＝Ff可知甲車的總重比乙車大,選項(xiàng)A 正確;如圖2所示,甲車在A點(diǎn)對應(yīng)的時(shí)刻,牽引力與阻力滿足F＝Ff甲,所以甲車從這個(gè)時(shí)刻(圖2、3 中的t甲)開始做加速運(yùn)動;同理,乙車在B點(diǎn)對應(yīng)的時(shí)刻(圖2、3 中的t乙)開始做加速運(yùn)動,故甲車比乙車先開始運(yùn)動,選項(xiàng)B正確;兩車分別從t1和t3時(shí)刻開始以額定功率行駛,由P＝Fv,結(jié)合t1和t3時(shí)刻二者P、F大小分別相等,則二者速度相同,只是甲的加速度比乙的加速度小,選項(xiàng)C 正確;t2時(shí)刻甲車達(dá)到最大速度,t4時(shí)刻乙車達(dá)到最大速度,根據(jù)汽車的額定功率P＝Fv＝Ffvm＝kmgvm,由于甲車的總重比乙車大,所以甲車在t2時(shí)刻的速率小于乙車在t4時(shí)刻的速率,選項(xiàng)D 錯(cuò)誤.故選A、B、C.

圖2

在F-t圖像中,當(dāng)牽引力等于阻力時(shí),汽車做勻速直線運(yùn)動.汽車在啟動的過程中,當(dāng)牽引力大于阻力時(shí)開始做加速運(yùn)動;在牽引力等于阻力之前,汽車處于靜止?fàn)顟B(tài),此時(shí)阻力為靜摩擦力.根據(jù)v-t圖像即可判斷出誰先運(yùn)動,甲、乙兩車v-t圖像如圖3所示,根據(jù)P＝Fv可求得速度.本題主要考查了機(jī)車的啟動,明確兩種啟動方式,抓住當(dāng)牽引力等于阻力時(shí),速度達(dá)到最大.需學(xué)生精準(zhǔn)掌握功率P、牽引力F、速度v這三者之間的關(guān)系.本題脫離機(jī)車啟動的固有考查模式,未直接讓學(xué)生分析兩種啟動方式,而是讓學(xué)生通過分析牽引力的變化情況,分析機(jī)車所處的具體狀態(tài),從而對相關(guān)信息進(jìn)行判斷,考查學(xué)生運(yùn)用圖像解決問題的科學(xué)思維能力,檢測了學(xué)生對于機(jī)車啟動問題物理本質(zhì)的掌握情況,具有創(chuàng)新性.

圖3

2.2 圖說模型

兩種基本機(jī)車啟動方式對比如表1所示.

表1

2.3 模型拓展

三種特例及性質(zhì)如表2所示.

表2

2.4 數(shù)學(xué)本質(zhì)

對水平方向運(yùn)動的機(jī)車受力分析,如圖4 所示,由牛頓第二定律有,其微分方程是,變形為,變形得,積分得

圖4

這是一個(gè)超級復(fù)合函數(shù)——朗伯函數(shù),不能直接判斷速度和時(shí)間的關(guān)系,用高等代數(shù)只能寫出位移和速度的關(guān)系為

3 深度應(yīng)用

例2(2015年全國Ⅱ卷)一汽車在平直公路上行駛.從某時(shí)刻開始計(jì)時(shí),發(fā)動機(jī)的功率P隨時(shí)間t的變化如圖5 所示.假定汽車所受阻力的大小f恒定不變.下列描述該汽車的速度v隨時(shí)間t變化的圖線中,可能正確的是( ).

圖5

當(dāng)汽車的功率為P1時(shí),汽車在運(yùn)動過程中滿足P1＝F1v,因?yàn)镻1不變,v逐漸增大,所以牽引力F1逐漸減小,由牛頓第二定律得F1－f＝ma1,f不變,所以汽車做加速度減小的加速運(yùn)動,當(dāng)F1＝f時(shí)速度最大,且.當(dāng)汽車的功率突變?yōu)镻2時(shí),汽車的牽引力突增為F2,汽車?yán)^續(xù)加速,由P2＝F2v可知F2逐漸減小,又因F2－f＝ma2,所以加速度逐漸減小,直到F2＝f時(shí),速度最大,以后做勻速運(yùn)動.故選項(xiàng)A 正確.

本題解題關(guān)鍵是明確汽車恒定功率的加速過程是加速度逐漸減小的加速運(yùn)動.注意速度不能突變,功率突變導(dǎo)致的結(jié)果是外力突變,加速度突變,顯然兩種功率下汽車最后都會達(dá)到平衡狀態(tài).本題要求學(xué)生在解題時(shí)要整合必備知識,提升自身關(guān)鍵能力.

例3如圖6所示為汽車的加速度a和車速倒數(shù)的關(guān)系圖像.若汽車質(zhì)量為2×103kg,它由靜止開始沿平直公路行駛,且行駛中阻力恒定,最大車速為30 m?s－1,則( ).

圖6

A.汽車所受阻力為2×103N

B.汽車在車速為15 m?s－1時(shí),功率為6×104W

C.汽車勻加速所需時(shí)間為5 s

D.若汽車在變加速階段歷時(shí)15 s達(dá)到最大速度,則此過程中汽車通過的位移為15 m

設(shè)汽車從v1＝10 m?s－1加速至v2＝30 m?s－1的過程中的功率為P,阻力大小為f,則根據(jù)牛頓第二定律可得,變形可得,與圖像比較a與呈線性關(guān)系,顯然汽車從v1＝10 m?s－1加速至v2＝30 m?s－1的過程中的功率P恒定,且W?kg－1.在v1＝10 m?s－1時(shí),設(shè)牽引力大小為F1,則有,并且P＝F1v1,聯(lián)立解得f＝2×103N,P＝6×104W,選項(xiàng)A、B 正確;汽車勻加速所需時(shí)間＝5 s,選項(xiàng)C正確;若汽車在變加速階段歷時(shí)15 s達(dá)到最大速度,設(shè)此過程中汽車通過的位移為x,根據(jù)動能定理有,解得x＝50 m,選項(xiàng)D 錯(cuò)誤.故選A、B、C.本題考查學(xué)生用圖像解決實(shí)際問題的能力,但題目涉及的圖像不是大家熟悉的四圖(P-t、v-t、F-t、a-t)中的一個(gè),而是圖像,這就要求學(xué)生將所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行遷移和拓展.

如果題目已知條件中沒有機(jī)車,我們可以從隱含條件分析題意為類機(jī)車模型.

例4如圖7-甲所示,質(zhì)量為m＝0.4 kg可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊靜止放在水平地面上,物塊與地面間的動摩擦因數(shù)為0.2,且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力.距離物塊s＝7.5 m 處有一光滑半圓軌道,軌道最低點(diǎn)P的切線水平.t＝0時(shí)用水平拉力F由靜止拉動物塊,使物塊沿水平地面向半圓軌道做加速運(yùn)動.物體的速度v與拉力F大小倒數(shù)的圖像如圖7-乙所示,AB平行于v軸,BC反向延長過原點(diǎn)O.物塊運(yùn)動過程中0～t1時(shí)間內(nèi)對應(yīng)圖像中的線段AB,t1～t2時(shí)間內(nèi)對應(yīng)圖像中的線段BC,時(shí)刻t2＝1 s,t2時(shí)刻后撤掉拉力.重力加速度g取10 m?s－2.

圖7

(1)求0～t1時(shí)間內(nèi)物塊的位移大小;

(2)物塊能夠經(jīng)過半圓軌道最高點(diǎn)Q,求半圓軌道的半徑R滿足的條件;

(3)物塊經(jīng)半圓軌道最高點(diǎn)Q后拋出落回地面,落地后不再彈起.圓軌道半徑R多大時(shí)物塊落點(diǎn)離P點(diǎn)的距離最大? 最大值為多少?(1)物塊在0～t1時(shí)間內(nèi)拉力不變,做勻加速運(yùn)動,產(chǎn)生位移為x1,則有F1－μmg＝ma1,＝2a1x1,聯(lián)立解得x1＝0.25 m.

(2)由運(yùn)動學(xué)公式可得v1＝a1t1,得t1＝0.25 s,由題意知P＝Fv,解得,結(jié)合圖像,說明物塊在t1～t2時(shí)間內(nèi)拉力的功率恒定且為圖像的斜率.物塊在t1～t2時(shí)間內(nèi)做變速運(yùn)動,位移為x2,由動能定理得

撤去外力后,物塊做勻減速運(yùn)動,根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式可得

代入數(shù)據(jù)解得R＝0.1 m.

綜上所述,R應(yīng)滿足條件為R≤0.1 m.

(3)設(shè)物塊到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)的速度為v4,則有

物塊離開Q點(diǎn)做平拋運(yùn)動,因此可得

可得數(shù)學(xué)表達(dá)式

本題解決第(2)問的關(guān)鍵是從圖像中分析出物塊的運(yùn)動情況,知道圖像的斜率表示拉力的額定功率,且功率恒定,將題目的問題轉(zhuǎn)化為類機(jī)車啟動模型.

例5(2021年天津卷)如圖8所示,兩根足夠長的平行光滑金屬導(dǎo)軌MN、PQ間 距L＝1 m,其電阻不計(jì),兩導(dǎo)軌及其構(gòu)成的平面均與水平面成θ＝30°角,N、Q兩端接有R＝1Ω 的電阻.一金屬棒ab垂直導(dǎo)軌放置,ab兩端與導(dǎo)軌始終有良好接觸,已知ab的質(zhì)量m＝0.2 kg,電阻r＝1Ω,整個(gè)裝置處在垂直于導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場中,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B＝1 T.ab在平行于導(dǎo)軌向上的拉力作用下,以初速度v1＝0.5 m?s－1沿導(dǎo)軌向上開始運(yùn)動,可達(dá)到最大速度v＝2 m?s－1.運(yùn)動過程中拉力的功率恒定不變,重力加速度g取10 m?s－2.

圖8

(1)求拉力的功率P;

(2)ab開始運(yùn)動后,經(jīng)t＝0.09 s速度達(dá)到v2＝1.5 m?s－1,此過程中ab克服安培力做功W＝0.06 J,求該過程中ab沿導(dǎo)軌的位移大小x.(1)在ab棒運(yùn)動過程中,由于拉力功率恒定,ab棒做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動,速度達(dá)到最大時(shí),加速度為零,設(shè)此時(shí)拉力大小為F,安培力大小為FA.由平衡條件得F＝mgsin 30°＋FA,此時(shí)ab棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為E＝BLv.

設(shè)回路中感應(yīng)電流為I,根據(jù)閉合電路歐姆定律得,ab棒受到的安培力大小為FA＝BIL,拉力的功率P＝Fv,聯(lián)立以上各式解得P＝4 W.

(2)ab棒從v1到v2的過程中,由動能定理得

解得x＝0.1 m.

本題與汽車恒定功率啟動類型相比,只是阻力由恒力改變?yōu)榱俗兞?具體的運(yùn)動過程用數(shù)學(xué)表達(dá)非常復(fù)雜,但定性分析仍然是加速度減小的加速運(yùn)動,且速度達(dá)到最大時(shí),加速度為零,利用平衡狀態(tài)即可求解,然后利用動能定理求解位移.這個(gè)改變在考試中能考查學(xué)生的知識遷移能力,在練習(xí)中能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、求知欲和探究熱情,又有助于培養(yǎng)和提升學(xué)生的物理學(xué)科核心素養(yǎng).

4 結(jié)語

機(jī)車啟動模型是機(jī)械能守恒定律章節(jié)中一類重要問題,是高考中的?？?對培養(yǎng)學(xué)生相互作用觀、能量觀,提升邏輯推理和科學(xué)論證能力有積極意義.

(完)