劉有彬，閆 歡，彭根齋，白 雪，楊 勤

（中國電子科技集團(tuán)公司第九研究所，四川 綿陽 621000）

0 引 言

微機電系統(tǒng)（MEMS）三軸加速度計［1］是電子羅盤傾斜角測量與補償?shù)暮诵钠骷?，其測量精度直接影響電子羅盤的整體性能［2］。在實際應(yīng)用中，MEMS 三軸加速度計存在較大的測量噪聲，甚至可達(dá)數(shù)百mgn，必須對輸出的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，盡可能減小測量噪聲；另外，MEMS 三軸加速度計受自身制造誤差和安裝誤差的影響，也會產(chǎn)生較大的加速度測量誤差，嚴(yán)重影響電子羅盤的傾斜角測量與補償精度。因此，使用前必須對MEMS 三軸加速度計的相關(guān)誤差進(jìn)行標(biāo)定與補償，提高其測量精度。因材料、設(shè)計、工藝等原因，MEMS三軸加速度計每個軸的參數(shù)并不一致，從而表現(xiàn)出不一致的零偏、刻度因子、正交性誤差。另外，安裝過程中還會引入安裝誤差，由于正交性誤差和安裝誤差的引入，MEMS三軸加速度計的標(biāo)定方法相較于單軸的標(biāo)定更加復(fù)雜。針對MEMS 三軸加速度計的制造誤差和安裝誤差，常用的標(biāo)定方法有靜態(tài)24 位置法、靜態(tài)12 位置法、靜態(tài)9位置法、重力場靜態(tài)翻滾法及6 位置法等［3～7］。針對以上問題，且考慮到實際標(biāo)定的復(fù)雜程度，本文基于六位置法研究了MEMS三軸加速度計誤差標(biāo)定與補償方法，通過卡爾曼濾波（Kalman filtering，KF）算法減小測量噪聲，根據(jù)MEMS三軸加速度計的輸入輸出誤差模型，建立基于六位置法的誤差補償數(shù)學(xué)模型及補償參數(shù)求解方法。

1 MEMS三軸加速度計KF算法與誤差補償數(shù)學(xué)模型

1.1 KF算法

對于無外部輸入控制量的線性離散動態(tài)系統(tǒng)，系統(tǒng)狀態(tài)方程和觀測方程分別為［8］

式中Xk為系統(tǒng)在k時刻的狀態(tài)向量，Ak為系統(tǒng)從k時刻到k+1時刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Wk為系統(tǒng)在k時刻的動態(tài)噪聲；Zk為系統(tǒng)在k時刻的觀測向量，Hk為系統(tǒng)在k時刻的觀測矩陣，Vk為系統(tǒng)在k時刻的觀測噪聲；Wk，Vk為互不相關(guān)的均值為0 的高斯白噪聲，其在k時刻的協(xié)方差矩陣分別為Qk，Rk。

系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣、觀測矩陣、動態(tài)噪聲、觀測噪聲均可認(rèn)為是固定值（即Ak＝A，Hk＝H，Wk＝W，Vk＝V），因此可得到MEMS三軸加速度計的KF 方程為：1）狀態(tài)向量預(yù)測方程為＝；2）狀態(tài)向量協(xié)方差矩陣預(yù)測方程為Pk｜k+1＝APk-1AT+Q；3）KF 增益方程為Kk＝Pk｜k-1HT（HPk｜k-1HT+Rk）-1；4）狀態(tài)向量更新方程為+Kk（Zk-）；5）狀態(tài)向量協(xié)方差矩陣更新方程為Pk＝（I-KkH）Pk｜k-1。其中，為根據(jù)k-1 時刻的三軸狀態(tài)估計向量預(yù)測得到的k時刻的三軸狀態(tài)預(yù)測向量，為k-1時刻的三軸狀態(tài)估計向量，Pk｜k-1為由k-1 時刻到k時刻的三軸狀態(tài)預(yù)測誤差協(xié)方差，Pk-1為k-1 時刻的三軸狀態(tài)估計誤差協(xié)方差。

1.2 誤差補償數(shù)學(xué)模型

根據(jù)MEMS三軸加速度計的主要誤差來源及特點，可將MEMS三軸加速度計的輸出誤差數(shù)學(xué)模型表示為［6～12］

式中Gx，Gy，Gz為MEMS三軸加速度計的測量值，gn；gx0，gy0，gz0為MEMS 三軸加速度計的零偏值，gn；gx，gy，gz為MEMS三軸加速度計的理論值，gn；Sgxx，Sgyy，Sgzz為MEMS三軸加速度計的刻度因子系數(shù)；Kgxy，Kgxz，Kgyx，Kgyz，Kgzx，Kgzy為MEMS三軸加速度計的安裝誤差系數(shù)（含三軸非正交誤差系數(shù)）；Kgx2，Kgy2，Kgz2為MEMS三軸加速度計二階非線性誤差系數(shù)。

對于大部分MEMS三軸加速度計，其二階非線性誤差系數(shù)很小，標(biāo)定與補償時可忽略不計［13］。因此，不考慮MEMS三軸加速度計二階非線性誤差，可由式（2）得到簡化后的MEMS三軸加速度計輸出誤差數(shù)學(xué)模型為

為了便于計算誤差補償參數(shù)，將式（3）變換為

K3×3為MEMS三軸加速度計的綜合誤差系數(shù)矩陣，為3階滿秩方陣，可逆，則有

不考慮溫度變化影響，其綜合誤差系數(shù)矩陣K3×3及零偏誤差可視為固定值，因此，式（5）可變換為

式中Gx0，Gy0，Gz0為待求取的MEMS三軸加速度計的零偏誤差值，gn；Sxx，Syy，Szz為待求取的MEMS 三軸加速度計的刻度因子系數(shù)；Kxy，Kxz，Kyx，Kyz，Kzx，Kzy為待求取的MEMS三軸加速度計的安裝誤差系數(shù)（含三軸非正交誤差系數(shù)）。

為便于求解誤差補償參數(shù)，由式（6）可得MEMS 三軸加速度計誤差補償數(shù)學(xué)模型為

采用向量、矩陣表示方法，則為

2 MEMS三軸加速度計的六位置標(biāo)定與補償

2.1 六位置標(biāo)定方向與步驟

本文采用自主研發(fā)的三維電子羅盤輔助開展MEMS三軸加速度計的標(biāo)定與補償研究。實驗時，采集經(jīng)過KF輸出的MEMS三軸加速度計數(shù)據(jù)，在重力場下采用6 位置翻滾完成對MEMS三軸加速度計的標(biāo)定，根據(jù)MEMS三軸加速度計的誤差數(shù)學(xué)模型，以及標(biāo)定測量得到的6 個位置下的三軸重力分量值，求解誤差數(shù)學(xué)模型中的誤差補償參數(shù)矩陣。MEMS三軸加速度計理論輸出與6 個位置的對應(yīng)關(guān)系如圖1所示。

圖1 MEMS三軸加速度計理論輸出與6 個位置的對應(yīng)關(guān)系

六位置標(biāo)定方法的具體標(biāo)定步驟如下：1）先將電子羅盤安裝在三軸無磁轉(zhuǎn)臺上，保證電子羅盤各敏感軸方向與三軸無磁轉(zhuǎn)臺一致，調(diào)整三軸無磁轉(zhuǎn)臺處于水平狀態(tài)；2）接通電子羅盤電源，預(yù)熱3 min后，開始對MEMS三軸加速度計進(jìn)行標(biāo)定；3）調(diào)整轉(zhuǎn)臺，保證MEMS 三軸加速度計分別處于如圖1 中的位置1，2，…，6；4）標(biāo)定過程中，調(diào)整到每個位置后保持靜止30 s，然后在靜止?fàn)顟B(tài)下采集MEMS三軸加速度計的三軸輸出數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)采集持續(xù)30 s。

2.2 六位置標(biāo)定誤差補償數(shù)學(xué)模型

根據(jù)式（8）及六位置標(biāo)定數(shù)據(jù)，可推導(dǎo)得出MEMS三軸加速度計的六位置標(biāo)定誤差補償參數(shù)矩陣求取模型為

3 實驗結(jié)果與分析

3.1 KF算法驗證

從圖2實驗結(jié)果中可以得出，經(jīng)過KF 后，MEMS 三軸加速度計的輸出數(shù)據(jù)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差由0. 005 3gn減少為0.001 4gn，輸出數(shù)據(jù)噪聲減小了74%，滿足標(biāo)定實驗對輸出數(shù)據(jù)噪聲的要求。

圖2 MEMS三軸加速度計濾波前與濾波后對比

3.2 標(biāo)定實驗分析

按照2.1節(jié)中的標(biāo)定步驟對MEMS三軸加速度計進(jìn)行標(biāo)定實驗，并采集經(jīng)過KF輸出的實驗數(shù)據(jù)，再根據(jù)式（10）計算MEMS三軸加速度計的六位置標(biāo)定誤差補償參數(shù)矩陣A4×3。MEMS 三軸加速度計的六位置標(biāo)定數(shù)據(jù)如表1所示。

由式（10）可得，MEMS三軸加速度計的六位置標(biāo)定誤差補償參數(shù)矩陣為

從而可求得式（6）中的綜合誤差補償系數(shù)矩陣和零偏誤差補償值，則有

由表1及式（12）可知，MEMS三軸加速度計存在較大的零偏及靈敏度誤差，且三軸靈敏度均偏大，其中，y軸與理論值1相差最大，差值為0.039 0，約3.9%；各軸靈敏度相差最大值為0.030 7，約3.1%；零偏最大值-0.117 6gn；位置3姿態(tài)下，y軸偏差達(dá)到了0.165 0gn。

由圖3可知，標(biāo)定后六位置下的誤差明顯減小，標(biāo)定后位置3和位置4偏差最大，偏差值為0.003 5gn。相較于標(biāo)定前的0.165 0gn，測量精度提升了將近2個數(shù)量級。

圖3 六位置標(biāo)定補償前與補償后MEMS加速度計誤差對比

3.3 標(biāo)定結(jié)果驗證

當(dāng)進(jìn)行俯仰角多位置驗證時，保持轉(zhuǎn)臺橫滾角處于0°刻度位置，同時從-90°～+90°以10°步長調(diào)整轉(zhuǎn)臺俯仰角刻度位置，記為姿態(tài)位置1～19；當(dāng)進(jìn)行橫滾角多位置驗證時，保持轉(zhuǎn)臺俯仰角處于0°刻度位置，同時從-90°～+90°以10°步長調(diào)整轉(zhuǎn)臺橫滾角刻度位置，記為姿態(tài)位置20～38。

俯仰角多位置驗證實驗加速度計的三軸分量理論值為

橫滾角多位置驗證實驗加速度計的三軸分量理論值為

求解得到電子羅盤的俯仰角α和橫滾角β分別為

根據(jù)圖4可以看出，標(biāo)定前y軸的零偏誤差及靈敏度誤差最大，x軸次之，z軸最小，與3.2 節(jié)中標(biāo)定實驗分析一致；標(biāo)定前y軸正負(fù)方向測量的靈敏度存在明顯偏差，x軸次之，z軸最??；經(jīng)過六位置標(biāo)定后，MEMS三軸加速度計的三軸輸出值幾乎與理論值一致。

圖4 多位置下MEMS三軸加速度計的輸出及誤差曲線

根據(jù)圖4（b）可知，標(biāo)定后的MEMS三軸加速度計誤差明顯減小，其中，x軸的誤差由標(biāo)定前的-0.0900gn減小為-0.0131gn，y軸的誤差由標(biāo)定前的0. 168 3gn減小為0.008 9gn，z軸的誤差由標(biāo)定前的0. 064 2gn減小為-0.015 8gn，標(biāo)定后的測量精度提升了1 個數(shù)量級。另外，在零偏誤差補償方面，x軸的零偏誤差標(biāo)定前約為-0.082 0gn，標(biāo)定后約為-0. 006 7gn，標(biāo)定后減小了91.8%；y軸的零偏誤差標(biāo)定前約為0.125 0gn，標(biāo)定后約為0.0033gn，標(biāo)定后減小了97.4%；z軸的零偏誤差標(biāo)定前約為0.057gn，標(biāo)定后約為0.0042gn，標(biāo)定后減小了92.6%。

圖5 可以看出，在傾斜角度為-90°～+90°，傾斜角精度由標(biāo)定前的5.9°RMS提高為0.3°RMS，傾斜角精度提升了1個數(shù)量級；標(biāo)定前俯仰角測量最大誤差為7.55°，標(biāo)定后為0.78°；標(biāo)定前橫滾角測量最大誤差為8.30°，標(biāo)定后為0.92°；標(biāo)定前俯仰角和橫滾角均存在明顯的零偏誤差，其中俯仰角零偏誤差由6.35°減小為0.12°，誤差減小了98.2%，橫滾角零偏誤差由4.14°減小為0.05°，誤差減小了98.8%。

圖5 MEMS三軸加速度計標(biāo)定前與標(biāo)定后的傾斜角誤差

此外，根據(jù)圖5可以得知，由于三軸非正交誤差和安裝誤差的影響，在標(biāo)定前，隨著俯仰角或橫滾角的變化，橫滾角或俯仰角存在漂移誤差，其中，當(dāng)俯仰角由-90°變化為90°時，橫滾角由-4.73°變化為-3.74°，變化了1.00°，標(biāo)定后橫滾角變化縮小為0.08°；當(dāng)橫滾角由-90°變化為90°時，俯仰角由7.71°變化為5.94°，變化了1.77°，且此時的二次項系數(shù)不可忽略，標(biāo)定后俯仰角變化縮小為0.04°。

4 結(jié) 論

本文方法不僅能減小數(shù)據(jù)輸出噪聲，還能有效地補償MEMS加速度計自身零偏、刻度因子、非正交及安裝誤差。實驗結(jié)果表明，經(jīng)過KF后，MEMS三軸加速度計數(shù)據(jù)輸出噪聲減小了74%；經(jīng)過六位置法標(biāo)定后，MEMS 三軸加速度計的測量精度提升了1 個數(shù)量級，解算得到的傾斜角精度由5.9°RMS提高到了0.3°RMS。該方法補償精度較高，操作簡單，易于實現(xiàn)，具有重要的工程實用價值。