鄭杏桃　岳增成

【摘? ?要】“分?jǐn)?shù)除法”是小學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，目前的教學(xué)較難幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法算法背后的算理。歷史上分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算主要是用代數(shù)推理的方式演繹計(jì)算過(guò)程。教師可從歷史中獲得教學(xué)的啟示，重構(gòu)教學(xué)模式，讓學(xué)生經(jīng)歷從算法多樣化到算法優(yōu)化的過(guò)程，突破分?jǐn)?shù)除法算理理解的難點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】分?jǐn)?shù)除法；數(shù)學(xué)史；運(yùn)算一致性

“分?jǐn)?shù)除法”是人教版教材六年級(jí)上冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，它是整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算知識(shí)結(jié)構(gòu)中的最后一塊“拼圖”。學(xué)生在學(xué)習(xí)此內(nèi)容之前已熟練掌握分?jǐn)?shù)加法、減法和乘法以及整數(shù)和小數(shù)的四則運(yùn)算，他們已經(jīng)積累了豐富的分?jǐn)?shù)運(yùn)算和整數(shù)、小數(shù)除法運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)。按理說(shuō)，學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法應(yīng)該得心應(yīng)手，實(shí)則不然。某學(xué)校在六年級(jí)第一學(xué)期的期末檢測(cè)中有這樣一道題目：“用你喜歡的方法說(shuō)明200÷[1／2]一定等于200×2?！睖y(cè)試結(jié)果不盡如人意。約65%的學(xué)生給出的答案是“因?yàn)槌砸粋€(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”；約10%的學(xué)生能仿照教材例題的呈現(xiàn)方式，“結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境以數(shù)形結(jié)合的方法”闡明理由；約10%的學(xué)生能用演繹推理的方法進(jìn)行解釋?zhuān)贿€有約15%的學(xué)生表示不清楚?？梢?jiàn)，對(duì)于分?jǐn)?shù)除法，大部分學(xué)生只是依據(jù)算法進(jìn)行運(yùn)算，而沒(méi)有理解算理。

一、分析內(nèi)容，尋找原因

（一）分析當(dāng)下，厘清緣由

人教版教材把本內(nèi)容編排在六年級(jí)上冊(cè)第3單元，分2課時(shí)進(jìn)行教學(xué)。第1課時(shí)為“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”，教材以折紙活動(dòng)為載體，利用數(shù)形結(jié)合的方法幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理。整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生根據(jù)整數(shù)除法的意義、分?jǐn)?shù)乘法等知識(shí)，理解“一個(gè)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，等于乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)”。第2課時(shí)為“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”，包括整數(shù)除以分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)兩種情況。教材編排了“誰(shuí)走得快些”這一實(shí)際問(wèn)題，結(jié)合線(xiàn)段圖，依據(jù)“路程÷時(shí)間=速度”的數(shù)量關(guān)系，把求速度的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為先歸一再歸總的問(wèn)題，幫助學(xué)生理解“一個(gè)數(shù)除以一個(gè)分?jǐn)?shù)，等于乘這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”。

按照教材的學(xué)習(xí)路徑實(shí)施教學(xué)，結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境能幫助教師解釋算理，最終使學(xué)生掌握算法。但也存在兩處弊端：一是過(guò)于依賴(lài)情境，難以凸顯分?jǐn)?shù)除法算理的本質(zhì)，更無(wú)法讓學(xué)生真正理解算理，這也導(dǎo)致部分學(xué)生不能準(zhǔn)確說(shuō)明200÷[1／2]一定等于200×2；二是直觀模型多樣化，不利于體現(xiàn)分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算的一致性，更無(wú)法體現(xiàn)分?jǐn)?shù)、整數(shù)和小數(shù)除法運(yùn)算的一致性。教師一般會(huì)按照教材和教學(xué)用書(shū)的要求，結(jié)合不同的現(xiàn)實(shí)情境，根據(jù)實(shí)際的意義解釋不同的分?jǐn)?shù)除法的算理。然而，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)存在一些疑惑，如：為什么不同的分?jǐn)?shù)除法運(yùn)用不同的直觀模型解釋算理？是不是每種分?jǐn)?shù)除法的算理都不一樣？

結(jié)合具體情境，利用直觀圖式進(jìn)行“分?jǐn)?shù)除法”的教學(xué)是符合小學(xué)生形象思維發(fā)展的。但弗賴(lài)登塔爾在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中提到：一味地依賴(lài)具體情境會(huì)使除法問(wèn)題變得更加復(fù)雜。由于教材未能很好地展示從直觀的分?jǐn)?shù)到算法的分?jǐn)?shù)再到分?jǐn)?shù)除法規(guī)則建立的過(guò)程，“分?jǐn)?shù)除法”成了小學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)。

（二）回顧歷史，啟迪教學(xué)

從歷史的角度看，國(guó)內(nèi)外都很少借用現(xiàn)實(shí)情境解釋“分?jǐn)?shù)除法”的算理，大多是把計(jì)算問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)化處理，用代數(shù)推理的方式演繹計(jì)算過(guò)程。如：

（二）教學(xué)反思

本內(nèi)容教學(xué)以學(xué)生的已有認(rèn)知為起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)史中獲得教學(xué)啟示，打破日常教學(xué)方式，運(yùn)用代數(shù)推理的方式進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷從算法多樣化到算法優(yōu)化的過(guò)程，突破分?jǐn)?shù)除法算理理解的認(rèn)知難點(diǎn)。

1.研讀歷史，直白引入，突破難點(diǎn)

“如何計(jì)算”并不是分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)難點(diǎn)，“為什么可以這樣計(jì)算”才是理解分?jǐn)?shù)除法算理的教學(xué)難點(diǎn)，前測(cè)的結(jié)果也充分說(shuō)明了這一點(diǎn)。前面的分析說(shuō)明了利用具體情境結(jié)合直觀圖示教學(xué)并不能有效突破難點(diǎn)。歷史是教學(xué)的指南，在教學(xué)中引入數(shù)學(xué)史，并不是為了讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，而是幫助教師在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的歷史進(jìn)程中獲得教育啟示，并進(jìn)行課堂教學(xué)設(shè)計(jì)。筆者通過(guò)查閱史料，發(fā)現(xiàn)歷史中分?jǐn)?shù)除法都是通過(guò)代數(shù)推理的方式闡明算理的。因此，本內(nèi)容的教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)放在幫助學(xué)生利用代數(shù)推理理解分?jǐn)?shù)除法的算理、破解教學(xué)的難點(diǎn)上。基于此，教學(xué)時(shí)直接以無(wú)背景的分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)計(jì)算（（2／3）÷（3／4））為切入點(diǎn)，“逼迫”學(xué)生運(yùn)用代數(shù)推理的方式解決問(wèn)題。通過(guò)知識(shí)的聯(lián)結(jié)與遷移，學(xué)生利用代數(shù)推理探究出了多種解決問(wèn)題的方法。

2.巧設(shè)教學(xué)，凸顯過(guò)程，方法多元

歷史發(fā)展的進(jìn)程表明，代數(shù)推理在分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算中至關(guān)重要。如何喚起學(xué)生代數(shù)推理的思維，探究出分?jǐn)?shù)除法的多種計(jì)算方法是教學(xué)的關(guān)鍵。本內(nèi)容的教學(xué)通過(guò)復(fù)習(xí)整十?dāng)?shù)除法、小數(shù)除法的計(jì)算方法與計(jì)算原理，喚起學(xué)生對(duì)商不變規(guī)律及計(jì)數(shù)單位在運(yùn)算中的本質(zhì)作用的再認(rèn)識(shí)，為分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算做好了鋪墊；通過(guò)小組活動(dòng)探究分?jǐn)?shù)除法的多種計(jì)算方法，從而幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法的算理。

3.古今對(duì)照，理解算理，優(yōu)化算法

讓學(xué)生穿越時(shí)空，與古人隔空進(jìn)行思想交流與思維碰撞，不僅能激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還能促使他們?cè)诠沤穹椒ǖ膶?duì)比中自主優(yōu)化算法。學(xué)生通過(guò)自主探究，得出8種不同的分?jǐn)?shù)除法計(jì)算方法，與古人的算法大致相同。通過(guò)與歷史上算法的橫向比較，學(xué)生更好地理解了古今算法，并對(duì)探究出的方法進(jìn)行了歸類(lèi)，在歸類(lèi)中深刻地理解了分?jǐn)?shù)除法的算理；通過(guò)與歷史上算法的縱向?qū)Ρ?，學(xué)生發(fā)現(xiàn)顛倒相乘法是多種算法中最簡(jiǎn)便的一種，這也是人們最終選擇顛倒相乘法計(jì)算分?jǐn)?shù)除法的原因。在對(duì)比中，學(xué)生從多到少、由繁入簡(jiǎn)，不僅理解了算理、優(yōu)化了算法，還在思考中感受到數(shù)學(xué)探究的樂(lè)趣，發(fā)現(xiàn)了人類(lèi)思維的趨同性，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

*本文系廣東省教育科學(xué)規(guī)劃2022年度一般課題“HPM視角下小學(xué)高年段數(shù)學(xué)文化育人的實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：1156031）的研究成果。