沈惠平 李霞 李菊 李濤 孟慶梅 吳廣磊

摘要：

設(shè)計(jì)了兩個(gè)零耦合度且部分運(yùn)動(dòng)解耦的兩支鏈新型三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)，它們含有的相同支鏈Ⅰ為混合支鏈，而支鏈Ⅱ分別為約束支鏈和無(wú)約束支鏈。分析了兩個(gè)機(jī)構(gòu)的主要拓?fù)涮匦?，并給出其拓?fù)浣馕鍪剑粚?duì)兩個(gè)機(jī)構(gòu)的位置正反解、奇異性、動(dòng)平臺(tái)的速度與加速度以及工作空間依次求解；進(jìn)行了剛度計(jì)算與分析。最后，比較分析兩個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)與剛度性能，結(jié)果表明含約束支鏈的機(jī)構(gòu)1具有工作空間較大、剛度性能好等優(yōu)勢(shì)，為優(yōu)選機(jī)型；給出了機(jī)構(gòu)1用于工件物料在貨車與堆場(chǎng)或倉(cāng)庫(kù)之間的分揀及轉(zhuǎn)送應(yīng)用場(chǎng)景的概念設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞：并聯(lián)機(jī)構(gòu)；拓?fù)湓O(shè)計(jì)；運(yùn)動(dòng)學(xué)；工作空間；奇異性；剛度

中圖分類號(hào)：TH112

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2023.13.003

Effect of Constrained or Unconstrained Branches on Kinematics and Stiffness Performance of PMs

—Design，Analysis and Optimization of Two Novel Three-translation PMs with Partial Motion Decoupling Being Examples

SHEN Huiping1 LI Xia1 LI Ju1 LI Tao1 MENG Qingmei1 WU Guanglei2

1.Research Center of Advanced Mechanism，Changzhou University，Changzhou，Jiangsu，213016

2.School of Mechanical Engineering，Dalian University of Technology，Dalian，Liaoning，116024

Abstract： Two novel three-translation PMs of two branch chains with zero coupling-degree and partial motion decoupling were designed. They contained the same branch Ⅰ as a mixed branch， while branch Ⅱ was a constrained branch or an unconstrained branch respectively. Firstly， the main topological characteristics of the two mechanisms were analyzed， and their topological analytical expressions were given. Secondly， the forward and inverse position solutions， singularity， velocity and acceleration of the moving platforms， and workspaces of the two mechanisms were solved in turn. Then， the stiffness was calculated and analyzed. Finally， the comparative analyses of the kinematics and stiffness performance of the two PMs show that the PM 1 with the constraint branch chain has the advantages of large working space and good stiffness performance， which is the preferred PM. Meanwhile， the conceptual design of the application scenario of the PM 1 for the transmission， sorting and transfer of workpiece materials between trucks and yards or warehouses was given.

Key words： parallel mechanism（PM）； topology design； kinematics； workspace； singularity； stiffness

收稿日期：2022-09-27

基金項(xiàng)目：

國(guó)家自然科學(xué)基金（51975062）

0 引言

三自由度（DOF）的三平移（3T）并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有驅(qū)動(dòng)件少、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、控制不復(fù)雜、動(dòng)態(tài)性能好、制造成本較低等優(yōu)點(diǎn)，具有良好的工程應(yīng)用前景。

較多學(xué)者研究了Delta機(jī)構(gòu)［1］及其衍生操作手［2-4］的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。PRAUSE等［5］采用不同的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)（工作空間、最大驅(qū)動(dòng)力和速度、功率、驅(qū)動(dòng)器剛度、精度和傳動(dòng)性能）對(duì)三平移對(duì)稱并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了比較分析。楊廷力等［6］基于單開鏈單元綜合出多種3T新機(jī)型，并對(duì)它們進(jìn)行了分類。TSAI等［7］研究了3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析和優(yōu)化。ZHU等［8］提出了一種新的三平移空間柔性機(jī)構(gòu)及其拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法。DI GREGORIO［9］討論了一種特殊的3-URU型平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正向位置分析。KONG［10］提出了一種基于約束奇異軌跡的3-UPU平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)的系統(tǒng)分類方法。MACHO等［11］提出了一種新的無(wú)浮動(dòng)移動(dòng)關(guān)節(jié)、無(wú)冗余約束的三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其工作空間內(nèi)完全沒(méi)有奇點(diǎn)。PAN等［12］提出了一種三平移運(yùn)動(dòng)的柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)，能在較大的工作空間中以足夠的位姿精度實(shí)現(xiàn)預(yù)期的空間平移。MENG等［13-14］提出了一種改進(jìn)的Delta-CU并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并進(jìn)行了靈敏度分析和運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定。XIE等［15］研究了一種纜索驅(qū)動(dòng)三自由度平移機(jī)構(gòu)的定向保證方法。

上述大部分三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)存在兩點(diǎn)不足：①機(jī)構(gòu)不具有符號(hào)式位置正解，僅有數(shù)值解，加大了工作空間分析、誤差校正、尺寸綜合、運(yùn)動(dòng)控制和動(dòng)力學(xué)研究的難度；②不具有輸入-輸出運(yùn)動(dòng)解耦性，因此，不利于正向位置求解、運(yùn)動(dòng)控制和軌跡規(guī)劃。因此，具有符號(hào)式位置正解和運(yùn)動(dòng)解耦的新型3T并聯(lián)機(jī)構(gòu)一直引起人們的關(guān)注。

文獻(xiàn)［16-18］設(shè)計(jì)了多種具有運(yùn)動(dòng)解耦及符號(hào)式位置正解的3T機(jī)構(gòu)，并分析了其主要拓?fù)涮卣?，但?duì)這些機(jī)構(gòu)的工作空間分析仍采用基于位置反解的離散化方法，計(jì)算量偏大，同時(shí)，對(duì)設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)的應(yīng)用場(chǎng)景沒(méi)有較好的闡述。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度分析方法主要有有限元法（FEA）［19-20］、矩陣結(jié)構(gòu)法（MSA）［21］和虛擬關(guān)節(jié)法（VJM）［22-23］。虛擬彈簧法［24-25］結(jié)合虛擬關(guān)節(jié)法與矩陣結(jié)構(gòu)法，不考慮預(yù)載荷，在桿件末端增加虛擬彈簧來(lái)描述桿件的彈性變形，其剛度系數(shù)用彈簧的彈性系數(shù)來(lái)表示。

本文提出兩個(gè)零耦合度（k=0）且部分運(yùn)動(dòng)解耦的兩支鏈新型三平移（3T）并聯(lián)機(jī)構(gòu)，給出這兩種機(jī)構(gòu)的4個(gè)主要拓?fù)涮匦裕?duì)其運(yùn)動(dòng)學(xué)和剛度進(jìn)行分析與比較后得到優(yōu)選機(jī)型。

1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與拓?fù)浞治?/p>

1.1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

1.1.1 設(shè)計(jì)的基本思路

已有研究表明：①兩支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)能力強(qiáng)、干涉少等優(yōu)點(diǎn)［26］；②含有混合支鏈的并聯(lián)機(jī)構(gòu)一般具有耦合度低（k=0，1）、輸入-輸出（部分）運(yùn)動(dòng)解耦，且易得到符號(hào)式位置正解等優(yōu)點(diǎn)，且其運(yùn)動(dòng)學(xué)、剛度以及動(dòng)力學(xué)綜合性能也較好［27］；同時(shí)，含1-DOF、2-DOF混合支鏈數(shù)目越多，機(jī)構(gòu)的輸入-輸出（部分）運(yùn)動(dòng)解耦性能越好，其運(yùn)動(dòng)學(xué)/動(dòng)力學(xué)求解也越容易，這是因?yàn)椋?～2）-DOF混合支鏈本身的位姿易求得。

考慮上述兩方面因素，本文將設(shè)計(jì)兩個(gè)兩支鏈的、零耦合度且部分運(yùn)動(dòng)解耦的新型三平移（3T）并聯(lián)機(jī)構(gòu)，顯然，兩條支鏈末端構(gòu)件的輸出運(yùn)動(dòng)都包含三平移元素，其中，支鏈Ⅰ均為兩滑塊兩平移平面機(jī)構(gòu)的輸出桿上串聯(lián)一個(gè)運(yùn)動(dòng)平面相垂直的平行四邊形機(jī)構(gòu)構(gòu)成的3-DOF混合支鏈；而支鏈Ⅱ不同，分別為一個(gè)4-DOF的（混合）約束支鏈和一個(gè)6-DOF的無(wú)約束支鏈，以對(duì)比分析含約束支鏈和無(wú)約束支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)和剛度性能的優(yōu)劣。

1.1.2 支鏈設(shè)計(jì)

1.1.2.1 混合支鏈Ⅰ的設(shè)計(jì)

首先，設(shè)計(jì)一個(gè)兩滑塊兩平移（2T）的平面子并聯(lián)機(jī)構(gòu)［27］，它由一條包含由4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副（4R）組成的平行四邊形機(jī)構(gòu)①（記作Pa①）的分支鏈S2｛-P2∥Pa①-｝和另一條分支鏈S1｛-P1⊥R11∥R12-｝并聯(lián)組成（“∥”表示平行，“⊥”表示垂直），兩個(gè)移動(dòng)副P1、P2在同一直線導(dǎo)軌上，如圖1a所示。

為了闡述方便，在靜平臺(tái)0上建立靜坐標(biāo)系OXYZ，X軸垂直于P1、P2所在的直線導(dǎo)軌，Y軸平行于P1、P2所在的直線導(dǎo)軌，Z軸由右手螺旋定則確定。

進(jìn)一步，在子并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出構(gòu)件2上串聯(lián)一個(gè)平行于OXZ平面的4R平行四邊形機(jī)構(gòu)②（記作Pa②），于是，得到混合支鏈Ⅰ，如圖1b所示。顯然，混合支鏈Ⅰ的末端構(gòu)件（G）的輸出運(yùn)動(dòng)為三平移。

1.1.2.2 支鏈Ⅱ的設(shè)計(jì)

支鏈Ⅱ可為約束支鏈或無(wú)約束支鏈，但至少都應(yīng)含有三平移輸出的元素。

（1）約束支鏈Ⅱ的設(shè)計(jì)。

首先，位于另一側(cè)平行直線導(dǎo)軌上的移動(dòng)副P3通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副R31與第3個(gè)4R平行四邊形機(jī)構(gòu)（相當(dāng)于一個(gè)移動(dòng)副，記作Pa③）一短邊連接，然后，在其另一對(duì)邊短桿上串聯(lián)一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副R32，且移動(dòng)副P3的軸線方向平行于轉(zhuǎn)動(dòng)副R31、R32的軸線。此時(shí)，4-DOF的約束支鏈Ⅱ可記作｛-P3∥R31∥Pa③∥R32-｝，如圖2a所示。

（2）無(wú)約束支鏈Ⅱ的設(shè)計(jì)。

顯然，這里的無(wú)約束支鏈可選用6-DOF的｛-P3-S1-S2-｝類型，如圖2b所示。

1.1.3 機(jī)構(gòu)的生成

此時(shí)，將混合支鏈Ⅰ與約束支鏈Ⅱ分別連接于動(dòng)平臺(tái)1的兩端S、T，得到的機(jī)構(gòu)1如圖3a所示；或者將無(wú)約束支鏈Ⅱ的球副S2直接連接到混合支鏈Ⅰ上Pa①輸出桿的延長(zhǎng)桿1，得到的機(jī)構(gòu)2如圖3b所示，則動(dòng)平臺(tái)1均可實(shí)現(xiàn)三平移輸出［28］。

對(duì)機(jī)構(gòu)2而言，一旦無(wú)約束支鏈Ⅱ裝配于動(dòng)平臺(tái)1的右端，則球副S1、S2只會(huì)分別產(chǎn)生繞平行于X軸的u′、u″軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，以及繞平行于Y軸的v′、v″軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，而不能分別產(chǎn)生平行于Z軸的繞w′、w″軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，繞w′、w″軸的轉(zhuǎn)動(dòng)為虛約束，而繞S1、S2連線的轉(zhuǎn)動(dòng)為局部DOF。這樣，無(wú)約束支鏈Ⅱ去掉兩個(gè)虛約束、一個(gè)局部DOF后，也剩下7-3=4個(gè)DOF。因此，當(dāng)圖3b所示的無(wú)約束支鏈Ⅱ中S1、S2連線的長(zhǎng)度等于圖3a所示的約束支鏈Ⅱ中Pa③長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度時(shí)，兩者完全等效。

4? 機(jī)構(gòu)1、2的運(yùn)動(dòng)學(xué)、剛度性能比較

4.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)性能（位置正反解、奇異性、速度及加速度）

機(jī)構(gòu)1、2的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模及其位置正反解、奇異性、速度及加速度的求解過(guò)程、難易程度、具體數(shù)值完全相同，兩個(gè)機(jī)構(gòu)均具有部分運(yùn)動(dòng)解耦性，即動(dòng)平臺(tái)沿Y軸的分量都僅由驅(qū)動(dòng)副P1、P2決定。

4.2 工作空間的性質(zhì)和大小

對(duì)比圖13和圖15，以及圖14和圖16，可得如下結(jié)論。

（1）工作空間的連續(xù)性、對(duì)稱性：兩種機(jī)構(gòu)的工作空間均連續(xù)，且關(guān)于y=0處的OXZ面對(duì)稱。

（2）工作空間的形狀及其大?。?/p>

①機(jī)構(gòu)1在OXY平面投影的右側(cè)及在OYZ平面投影的上側(cè)近似矩形，而機(jī)構(gòu)2在OXY平面投影的右側(cè)輪廓及在OYZ平面投影的上側(cè)輪廓呈弧狀。這是由于兩個(gè)機(jī)構(gòu)支鏈Ⅱ采用的機(jī)械結(jié)構(gòu)不同，以及兩個(gè)機(jī)構(gòu)具有相同的支鏈Ⅰ，但機(jī)構(gòu)2受到支鏈Ⅱ中運(yùn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角的限制遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于機(jī)構(gòu)1，因此，機(jī)構(gòu)2在Y軸上的工作范圍僅為機(jī)構(gòu)1的60%。

②隨著Z軸的工作范圍的增大，機(jī)構(gòu)1的OXZ平面投影變化趨勢(shì)近似折線，而機(jī)構(gòu)2的OXZ平面投影較為陡峭，趨勢(shì)近似直線。

③機(jī)構(gòu)2在X軸上的工作范圍僅為機(jī)構(gòu)1的7.178%，而在Z軸上的工作范圍僅為機(jī)構(gòu)1的1.386%，因此，機(jī)構(gòu)1在X軸和Z軸上的工作范圍明顯大于機(jī)構(gòu)2，這是由于機(jī)構(gòu)1支鏈Ⅱ中平行四邊形機(jī)構(gòu)Pa③的轉(zhuǎn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角為15°～165°，大于機(jī)構(gòu)2支鏈Ⅱ中球副轉(zhuǎn)角的30°。

④在機(jī)構(gòu)1、2內(nèi)截取規(guī)則工作空間，分別如圖14a、圖16a黑色虛線框內(nèi)的工作空間，它們?cè)赮軸上的工作范圍均為［-50 mm，50 mm］，但機(jī)構(gòu)2在OXY平面的規(guī)則空間僅為機(jī)構(gòu)1的2.985%。

4.3 剛度性能比較

為了直觀地比較機(jī)構(gòu)1、2在各個(gè)方向上的剛度性能，選取工作空間中z=0.33 m 時(shí)的X-Y截面，同時(shí)分析兩個(gè)機(jī)構(gòu)的剛度矩陣中主對(duì)角線元素上元素的分布情況，對(duì)比結(jié)果如圖28所示。

由圖28可知，在z=0.33 m的截面內(nèi)，機(jī)構(gòu)1各方向扭轉(zhuǎn)/線性剛度均好于機(jī)構(gòu)2。這是由于兩個(gè)機(jī)構(gòu)支鏈Ⅰ相同，機(jī)構(gòu)1支鏈Ⅱ中的4R平行四邊形③比機(jī)構(gòu)2支鏈Ⅱ中的定長(zhǎng)桿B3C3具有更高的剛度，因此，機(jī)構(gòu)1的剛度性能更好。

若取末端點(diǎn)P=（-0.005 m，0，0.33 m），機(jī)構(gòu)1、2在其所在位置的扭轉(zhuǎn)與線性剛度由MATLAB導(dǎo)出，如表4所示。由表4可知，含4R平行四邊形機(jī)構(gòu)形式的約束支鏈Ⅱ的機(jī)構(gòu)1，其扭轉(zhuǎn)剛度約增大20.7%、線性剛度約增大28.8%，總之，機(jī)構(gòu)1的剛度大于機(jī)構(gòu)2。

機(jī)構(gòu)1、2的運(yùn)動(dòng)/剛度性能對(duì)比結(jié)果如表5所示。由表5可知，從位置正反解、奇異性、速度與加速度等方面來(lái)看，兩個(gè)機(jī)構(gòu)沒(méi)有較大區(qū)別，但由于：①機(jī)構(gòu)1相對(duì)機(jī)構(gòu)2工作空間更大，且OXZ平面投影變化更平緩；②機(jī)構(gòu)1的剛度更好

（這是因?yàn)闄C(jī)構(gòu)1均由單自由度轉(zhuǎn)動(dòng)副或移動(dòng)副組成，且約束支鏈Ⅱ采用了4R平行四邊形機(jī)構(gòu)）；③機(jī)構(gòu)1制造、加工、維修更簡(jiǎn)單，因此，可認(rèn)為機(jī)構(gòu)1為較優(yōu)機(jī)型。

5 應(yīng)用場(chǎng)景的概念設(shè)計(jì)

上述優(yōu)選出的機(jī)構(gòu)1可用于貨車與堆場(chǎng)或倉(cāng)庫(kù)工件物料之間的傳送與分揀，其工作原理（圖29）如下：

傳送帶A以v0的速度傳輸工件物料，三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)1在傳送帶A的末端承接物件，3個(gè)驅(qū)動(dòng)移動(dòng)副（P1、P2、P3）均以相同的速度v1沿Y向的導(dǎo)軌行走；途經(jīng)工業(yè)相機(jī)D，可以識(shí)別貨物是否有瑕疵或損壞，再通過(guò)3-DOF吸盤機(jī)械手E將正常件分揀到傳送帶B上、將損壞件分揀到傳送帶C上；之后，傳送帶B、C分別以v2、v3的速度傳輸工件物料，使其進(jìn)入庫(kù)存或下一環(huán)節(jié)。在此過(guò)程中，動(dòng)平臺(tái)1的Y向位置由P1、P2決定，而X、Z向的位置由P1、P2、P3決定；導(dǎo)軌上的3個(gè)移動(dòng)驅(qū)動(dòng)副P1、P2、P3取不同的位置，可使動(dòng)平臺(tái)1的位置與傳送帶A、B、C的位置協(xié)調(diào)、對(duì)應(yīng)一致。

工作平面示意圖及空間布置如圖29a～圖29b所示，圖29c所示為其應(yīng)用場(chǎng)景的概念設(shè)計(jì)三維圖。應(yīng)用場(chǎng)景的具體工作過(guò)程運(yùn)動(dòng)仿真掃描

本文OSID二維碼可見(jiàn)。

6 結(jié)論

（1）本文設(shè)計(jì)了兩個(gè)零耦合度的新型兩支鏈三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)，它們含有相同的混合支鏈Ⅰ，而支鏈Ⅱ分別為約束支鏈和無(wú)約束支鏈；同時(shí)分析了兩個(gè)機(jī)構(gòu)的方位特征（3T）、自由度（3）和耦合度（k=0），證明了這兩個(gè)機(jī)構(gòu)都具有部分運(yùn)動(dòng)解耦性，這使得其運(yùn)動(dòng)學(xué)建模與求解過(guò)程簡(jiǎn)便，有利于機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)控制和軌跡規(guī)劃。

（2）對(duì)這兩個(gè)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了完整的運(yùn)動(dòng)性能計(jì)算與分析，即：①求解并驗(yàn)證了這兩個(gè)機(jī)構(gòu)相同的符號(hào)式位置正反解；②得到了這兩個(gè)機(jī)構(gòu)相同的3類奇異性發(fā)生的條件及其位置，兩個(gè)機(jī)構(gòu)具有相同的奇異位置易達(dá)性；③計(jì)算了這兩個(gè)機(jī)構(gòu)相同的動(dòng)平臺(tái)的速度與加速度曲線變化規(guī)律，表明運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性較好；④分別計(jì)算分析了這兩個(gè)機(jī)構(gòu)的工作空間，表明機(jī)構(gòu)1比機(jī)構(gòu)2在X、Y、Z方向上的工作范圍均較大?？傊@兩個(gè)機(jī)構(gòu)的位置正反解、奇異性及速度加速度變化規(guī)律相同或相似，但機(jī)構(gòu)1工作空間更大，從而可實(shí)現(xiàn)的操作范圍也更大。

（3）基于虛擬彈簧法得到并分析了兩個(gè)機(jī)構(gòu)在工作空間中的扭轉(zhuǎn)/線性剛度分布，表明：①兩個(gè)機(jī)構(gòu)的整體線性剛度遠(yuǎn)大于其扭轉(zhuǎn)剛度，且Z方向的線性剛度要好于其余兩個(gè)方向；②在同一高度截面，機(jī)構(gòu)1的剛度性能更好。

（4）與著名的三平移Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)（21個(gè)低副）相比，優(yōu)選機(jī)構(gòu)1具有較少的低運(yùn)動(dòng)副（19個(gè)），從而使制造、裝配更容易；當(dāng)3個(gè)移動(dòng)副（P1、P2、P3）取同向同速時(shí)，整個(gè)機(jī)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)距離的移動(dòng)；當(dāng)取不同值時(shí)，可實(shí)現(xiàn)物料的精確分揀。因此，它可用于工件物料在貨車與堆場(chǎng)或倉(cāng)庫(kù)之間的長(zhǎng)距離的傳輸、分揀。

本文工作對(duì)揭示約束支鏈或無(wú)約束支鏈對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)與剛度性能的影響具有較高的參考價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

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（編輯 王旻玥）

作者簡(jiǎn)介：

沈惠平，男，1965年生，教授、博士研究生導(dǎo)師。研究方向?yàn)椴⒙?lián)機(jī)構(gòu)、機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)。發(fā)表論文300余篇。E-mail：shp65@126.com。