啟發(fā)式教學(xué)在彈性力學(xué)課程中的應(yīng)用
——以圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫槔?/h1>
2023-12-04 06:42:02張常光
高教學(xué)刊 2023年34期
朱 倩，王 蘇，張常光
（長(zhǎng)安大學(xué)，西安 710061）
彈性力學(xué)是工程力學(xué)學(xué)科中最基礎(chǔ)、最重要的一門課程，以理論力學(xué)、材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)和高等數(shù)學(xué)為前期課程，后續(xù)課程包括塑性力學(xué)、斷裂力學(xué)、巖石力學(xué)、振動(dòng)理論和有限單元法等，在力學(xué)理論體系中具有“承上啟下”的作用[1]。彈性力學(xué)兼?zhèn)淞藬?shù)學(xué)、科學(xué)和工程三重屬性，將工程問(wèn)題轉(zhuǎn)變成嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論體系，成為數(shù)學(xué)與廣泛工程連接橋梁的一門學(xué)科，在土木、水利、機(jī)械、交通和航空等工程學(xué)科中占有重要的地位[2]。比如，土建工程中，技術(shù)人員往往直接利用彈性力學(xué)方法作為設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)；地震學(xué)中，根據(jù)彈性波在地殼中傳播的研究結(jié)果，計(jì)算震源所在的位置并研究地震波傳播的規(guī)律。彈性力學(xué)課程特點(diǎn)是理論性強(qiáng)、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、直觀性差、概念抽象和難理解，并且基本公式推導(dǎo)復(fù)雜、求解過(guò)程涉及大量的數(shù)學(xué)偏微分知識(shí)[3-4]。學(xué)生普遍反映內(nèi)容枯燥，缺乏興趣，教學(xué)也往往難以實(shí)現(xiàn)理想效果。因此，如何激發(fā)廣大學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，擺脫復(fù)雜繁瑣的公式推導(dǎo)所帶來(lái)的教學(xué)困難，使學(xué)生加深對(duì)彈性力學(xué)在工程應(yīng)用領(lǐng)域中重要性的認(rèn)識(shí)，建立學(xué)生易于接受的教學(xué)模式是值得探討和思考的問(wèn)題。
啟發(fā)式教學(xué)是當(dāng)今教改中大力提倡的一種教學(xué)模式，目的是使學(xué)生真正融入課堂，提高學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，促使學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)，針對(duì)不同專業(yè)人才培養(yǎng)方案的實(shí)際需求對(duì)教學(xué)內(nèi)容取舍與優(yōu)化，是提高教學(xué)質(zhì)量與效率的重要探索方法之一[5-6]。彈性力學(xué)教學(xué)應(yīng)逐步從單一的課堂教學(xué)向多種形式的專業(yè)能力培養(yǎng)過(guò)渡，理論教學(xué)緊密結(jié)合實(shí)踐案例，幫助學(xué)生深入思考，學(xué)以致用[7]。將啟發(fā)式教學(xué)引入彈性力學(xué)課堂，打破傳統(tǒng)教學(xué)中教師“一言堂”、學(xué)生被動(dòng)輸入知識(shí)的課堂模式，讓學(xué)生擁有一種“能聽懂、可學(xué)會(huì)、易掌握、擅應(yīng)用”的上課理念。鑒于此，本文以彈性力學(xué)中“圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Α币还?jié)為例，綜合多媒體教學(xué)手段，采用問(wèn)題啟發(fā)、目的啟發(fā)、圖形啟發(fā)和案例啟發(fā)等靈活多變的教學(xué)策略，探索如何融入啟發(fā)式教學(xué)，增強(qiáng)教學(xué)效果。
一 軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題——闡釋生活現(xiàn)象，問(wèn)題導(dǎo)入，激發(fā)興趣
“基于問(wèn)題的學(xué)習(xí)”是指將學(xué)習(xí)設(shè)置在有意義的問(wèn)題情境中，讓學(xué)生自主探究，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性[8-9]。針對(duì)彈性力學(xué)課程抽象困難，采用問(wèn)題導(dǎo)向法既提高了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，又激發(fā)學(xué)生對(duì)力學(xué)課程的興趣。同時(shí)還可與生活現(xiàn)象相結(jié)合，將課堂知識(shí)與學(xué)生日常生活相結(jié)合，往往令其印象深刻，產(chǎn)生事半功倍的教學(xué)效果。
以老鼠打洞為例[10]，生動(dòng)形象地闡述動(dòng)物洞穴涉及的力學(xué)問(wèn)題，可將其簡(jiǎn)化為軸對(duì)稱力學(xué)模型，給出其基本方程、邊界條件，求解其應(yīng)力變化規(guī)律，并指出老鼠打洞對(duì)于樁基施工等工程實(shí)際問(wèn)題的啟示及其潛在的工程應(yīng)用價(jià)值，以提高學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)主動(dòng)性。再比如講授圓環(huán)或圓筒問(wèn)題時(shí)，可融入與生活息息相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題：有水流經(jīng)過(guò)地面下排水管道的時(shí)候，為什么路面上的人卻毫無(wú)察覺(jué)？以此來(lái)引發(fā)學(xué)生對(duì)本節(jié)課的理論思考，掌握彈性力基于問(wèn)題的建模和解析方法。其實(shí)，生活中處處皆學(xué)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生熱愛(ài)生活，從日常點(diǎn)滴中培養(yǎng)純粹的科研學(xué)習(xí)熱情。
結(jié)合生活現(xiàn)象，引入本節(jié)課所需的前置知識(shí)，即軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)明扼要的回顧，使同學(xué)們?cè)诤罄m(xù)接受本節(jié)課的新知識(shí)時(shí)，能夠迅速與前置知識(shí)建立思維關(guān)聯(lián)。關(guān)于平面軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題的一般性解答的公式說(shuō)明：①按應(yīng)力求解建立的平面軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題的通解，適用于各種軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題。②軸對(duì)稱應(yīng)力即繞軸應(yīng)力對(duì)稱的條件為物體形狀、面力和體力都是繞軸對(duì)稱的。③平面應(yīng)力、平面應(yīng)變兩類問(wèn)題的應(yīng)力通解相同，只需對(duì)E、μ 做簡(jiǎn)單變換，即得平面應(yīng)變問(wèn)題的位移通解?；趩?wèn)題啟發(fā)，通過(guò)闡釋生活現(xiàn)象和對(duì)前置知識(shí)點(diǎn)的回顧，下面將對(duì)本節(jié)課后續(xù)環(huán)節(jié)的啟發(fā)式教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行探討。
二 圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?wèn)題求解——由淺入深，注重教學(xué)思路，適時(shí)引導(dǎo)
圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?wèn)題是彈性力學(xué)的經(jīng)典問(wèn)題之一，又稱拉梅問(wèn)題。該問(wèn)題的求解，應(yīng)著重教學(xué)思路的邏輯性和條理性，淡化數(shù)學(xué)運(yùn)算，由淺入深、循序漸進(jìn)地講解。采用引導(dǎo)與提問(wèn)相結(jié)合的教學(xué)方式，逐步帶動(dòng)學(xué)生思維；善于設(shè)疑，激發(fā)學(xué)生的探究欲望。
近年來(lái)，祖國(guó)飛速發(fā)展，修路架橋成就非凡，以海底懸浮隧道為例（圖1），是否能用彈性力學(xué)中圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Φ膯?wèn)題解決該工程結(jié)構(gòu)的受力分析，從而培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出力學(xué)模型的能力。
圖1 海底懸浮隧道工程實(shí)例
（一）應(yīng)力通解的偉大
圓環(huán)（平面應(yīng)力問(wèn)題）和圓筒（平面應(yīng)變問(wèn)題）受內(nèi)外均布?jí)毫Γ瑢儆谳S對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題，可以引用軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題的通解。顯然海底隧道這一工程結(jié)構(gòu)屬于平面應(yīng)力問(wèn)題，但不管是圓環(huán)還是圓筒，我們截取單位長(zhǎng)度，橫截面都是圓環(huán)形，力學(xué)模型如圖2 所示。應(yīng)力通解表達(dá)式如下[1]
圖2 力學(xué)模型
其實(shí)通解都是非常偉大的，只要是這一類問(wèn)題都可以寫成這個(gè)形式，可用于求解各種有重要意義的彈性力學(xué)具體問(wèn)題及構(gòu)造新的通解（比如拉梅解答）。因此，求解平面問(wèn)題，通解將是最重要的工具[11]。
（二）列寫應(yīng)力邊界條件
基于應(yīng)力通解，引導(dǎo)學(xué)生思考：如何確定具體問(wèn)題的解答呢？針對(duì)圓環(huán)或圓筒這類具體的問(wèn)題，只不過(guò)待定系數(shù)不同。彈性力學(xué)問(wèn)題實(shí)際上是偏微分方程的邊值問(wèn)題，邊界條件對(duì)確定具體問(wèn)題的解答起著至關(guān)重要的作用。錯(cuò)誤的邊界條件會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的解答，給工程問(wèn)題留下隱患。因此，邊界條件的識(shí)別、書寫及正確運(yùn)用是基本功。從問(wèn)題的已知條件分析，屬于應(yīng)力邊值問(wèn)題。接下來(lái)，我們的任務(wù)就是通過(guò)列寫應(yīng)力邊界條件，求出應(yīng)力通解中的待定系數(shù)。特殊邊界采用直接法（或稱比較法）列寫應(yīng)力邊界條件，那比較法的關(guān)鍵問(wèn)題是什么？標(biāo)出一點(diǎn)的應(yīng)力，與邊界上已知的面力作比較。因此，關(guān)鍵是要知道坐標(biāo)系下一點(diǎn)的應(yīng)力符號(hào)規(guī)定，圖3 直觀地展示了極坐標(biāo)系下的應(yīng)力符號(hào)規(guī)定。
圖3 極坐標(biāo)下一點(diǎn)的應(yīng)力符號(hào)規(guī)定
強(qiáng)調(diào)復(fù)習(xí)助記口訣，面上應(yīng)力的正方向是以“正面正向?yàn)檎?fù)面負(fù)向?yàn)檎?。跟著老師思路寫出本?wèn)題的邊界條件
式中有3 個(gè)未知量，2 個(gè)有效方程，如何求解?
（三）引入位移單值條件
需找補(bǔ)充條件，應(yīng)力邊界條件已用完，看看位移上有沒(méi)有其他條件？轉(zhuǎn)換思路，從問(wèn)題本身出發(fā)，充分挖掘隱藏的條件：該問(wèn)題橫截面形狀是一個(gè)環(huán)形，有兩個(gè)連續(xù)邊界，而且不相交，力學(xué)上稱為多連體。其有一個(gè)限制，就是必須考察位移單值條件。本節(jié)也是首次引入位移單值條件。為了更直觀地表達(dá)，這里舉例說(shuō)明，如圖4所示，同一個(gè)點(diǎn)M，對(duì)應(yīng)無(wú)窮多個(gè)坐標(biāo)。
圖4 位移單值條件舉例說(shuō)明
平面軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題的環(huán)向位移表達(dá)式如下[1]
在位移解答中，式（3）第一項(xiàng)是位移多值項(xiàng)。要使uφ單值，必須有B=0。結(jié)合式（2），即得圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Φ睦方獯穑☉?yīng)力）
（四）位移單值條件補(bǔ)充說(shuō)明
對(duì)于多連體問(wèn)題，位移須滿足位移單值條件。大家開動(dòng)腦筋，這里有什么疑問(wèn)嗎？①多連體需要，那單連體有單值要求嗎？②只提了位移單值，那應(yīng)力、應(yīng)變呢？③位移單值什么意思？是必要的，還是可有可無(wú)的？其實(shí)這些問(wèn)題有著深刻的力學(xué)意義：多連體位移單值條件實(shí)質(zhì)上是物體連續(xù)性假設(shè)的表現(xiàn)形式之一，即位移連續(xù)性條件；在連續(xù)體上，對(duì)于同一點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變或位移都應(yīng)為單值。
三類力學(xué)響應(yīng)量，都是一個(gè)位置一個(gè)值。為什么不討論呢？其實(shí)這和求解方法有關(guān)。①按位移求解時(shí)，設(shè)/求位移未知函數(shù)（單值）；由位移求應(yīng)變（幾何方程求導(dǎo)）也為單值；由應(yīng)變求應(yīng)力（物理方程-代數(shù)方程）也為單值；②按應(yīng)力求解時(shí)，設(shè)/求應(yīng)力未知函數(shù)（單值）；由應(yīng)力求應(yīng)變（物理方程-代數(shù)方程）也為單值；由應(yīng)變求位移（幾何方程積分），常常會(huì)出現(xiàn)多值項(xiàng)。
給學(xué)生強(qiáng)調(diào)一下，按應(yīng)力求解，也不是所有問(wèn)題都要考慮位移單值。
三 對(duì)拉梅解答的討論——抽象知識(shí)具體化，思維拓展，啟發(fā)探索
大學(xué)生長(zhǎng)于形象思維，而不喜抽象思維。教師可將抽象知識(shí)具體化，通過(guò)討論式教學(xué)[12-13]，開拓學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究的積極性。圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?wèn)題（即拉梅問(wèn)題）是軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題的一個(gè)特例，而拉梅解答本身還有幾種更特殊的情況。接下來(lái)，分五種情況一一討論，如圖5 所示。
圖5 拉梅解答的討論
其中特別指出：第四種情況，若qa≠0，qb=0，b→∞，即具有圓孔的無(wú)限大薄板或彈性體孔壁處受內(nèi)壓作用，對(duì)應(yīng)靜壓沉樁、頂管及注漿加固等擴(kuò)孔問(wèn)題。圖5（d）中可看出，驗(yàn)證了圣維南原理：在r＞＞a 處，應(yīng)力很小，即在內(nèi)壓qa作用下，對(duì)b→∞處影響可不計(jì)。與前面引出的事例呼應(yīng)，解釋了“水流經(jīng)過(guò)地下排水管道的時(shí)候，為什么路面上的人卻毫無(wú)察覺(jué)”的生活現(xiàn)象；第五種情況，若qa=0，qb≠0，b→∞，即具有圓形孔道的無(wú)限大彈性體無(wú)窮遠(yuǎn)處受外壓作用，對(duì)應(yīng)隧道開挖、豎井施工及巷道掘進(jìn)等縮孔問(wèn)題。由圖5（d）可知，內(nèi)邊界r=a 處環(huán)向應(yīng)力出現(xiàn)應(yīng)力集中。通過(guò)可視化圖形，啟迪學(xué)生對(duì)“孔邊應(yīng)力集中”知識(shí)點(diǎn)思考。
四 工程應(yīng)用舉例——結(jié)合實(shí)例，學(xué)以致用，培養(yǎng)創(chuàng)新能力
啟發(fā)式教學(xué)還需注重理論學(xué)習(xí)與工程實(shí)例的結(jié)合[14]。彈性力學(xué)授課過(guò)程中，不僅要考慮數(shù)理邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，還要兼顧其與工程案例的聯(lián)系，充分調(diào)動(dòng)和發(fā)揮學(xué)生的主體性，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，層層剖析，建立力學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題最終化為彈性力學(xué)問(wèn)題，為學(xué)生今后的職業(yè)發(fā)展和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)奠定堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，應(yīng)用舉例如圖6 所示。
圖6 工程應(yīng)用實(shí)例
將典型的科研案例引入課堂，尋找教學(xué)與科研的契合點(diǎn)，讓學(xué)生們感受到領(lǐng)悟新知識(shí)后的豁然開朗感，激發(fā)學(xué)生的科研興趣，充分利用已有的知識(shí)基礎(chǔ)去解決未知的問(wèn)題，將未知轉(zhuǎn)已知，達(dá)到真正學(xué)以致用的目的。
五 結(jié)束語(yǔ)
彈性力學(xué)課程具有很強(qiáng)的理論性、抽象性和高度概括性的特點(diǎn)，在本課程的教學(xué)實(shí)踐中，改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，融入啟發(fā)式教學(xué)法，取得優(yōu)良的教學(xué)效果。本文從以下幾個(gè)方面著手實(shí)施：①闡釋生活現(xiàn)象，引入問(wèn)題，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；②由淺入深，注重教學(xué)思路，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生思考；③抽象知識(shí)具體化，開發(fā)學(xué)生的邏輯思維，展開討論、啟發(fā)探索；④注重理論知識(shí)與工程實(shí)例結(jié)合，學(xué)以致用，將未知轉(zhuǎn)化成已知，提高科研創(chuàng)新能力。啟發(fā)式教學(xué)有助于學(xué)生理論結(jié)合實(shí)際，合理選擇與優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生克服畏難心理和被動(dòng)接受知識(shí)，激勵(lì)學(xué)生主動(dòng)思考，形成一種“能聽懂、可學(xué)會(huì)、易掌握、擅應(yīng)用”的教學(xué)模式。啟發(fā)式教學(xué)在彈性力學(xué)教學(xué)改革的初步探討和有益嘗試，對(duì)將來(lái)學(xué)生綜合素質(zhì)的培養(yǎng)必然形成良好的促進(jìn)作用，這也是提高教學(xué)效果一個(gè)行之有效的教學(xué)方法。
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（長(zhǎng)安大學(xué)，西安 710061）
彈性力學(xué)是工程力學(xué)學(xué)科中最基礎(chǔ)、最重要的一門課程，以理論力學(xué)、材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)和高等數(shù)學(xué)為前期課程，后續(xù)課程包括塑性力學(xué)、斷裂力學(xué)、巖石力學(xué)、振動(dòng)理論和有限單元法等，在力學(xué)理論體系中具有“承上啟下”的作用[1]。彈性力學(xué)兼?zhèn)淞藬?shù)學(xué)、科學(xué)和工程三重屬性，將工程問(wèn)題轉(zhuǎn)變成嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論體系，成為數(shù)學(xué)與廣泛工程連接橋梁的一門學(xué)科，在土木、水利、機(jī)械、交通和航空等工程學(xué)科中占有重要的地位[2]。比如，土建工程中，技術(shù)人員往往直接利用彈性力學(xué)方法作為設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)；地震學(xué)中，根據(jù)彈性波在地殼中傳播的研究結(jié)果，計(jì)算震源所在的位置并研究地震波傳播的規(guī)律。彈性力學(xué)課程特點(diǎn)是理論性強(qiáng)、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、直觀性差、概念抽象和難理解，并且基本公式推導(dǎo)復(fù)雜、求解過(guò)程涉及大量的數(shù)學(xué)偏微分知識(shí)[3-4]。學(xué)生普遍反映內(nèi)容枯燥，缺乏興趣，教學(xué)也往往難以實(shí)現(xiàn)理想效果。因此，如何激發(fā)廣大學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，擺脫復(fù)雜繁瑣的公式推導(dǎo)所帶來(lái)的教學(xué)困難，使學(xué)生加深對(duì)彈性力學(xué)在工程應(yīng)用領(lǐng)域中重要性的認(rèn)識(shí)，建立學(xué)生易于接受的教學(xué)模式是值得探討和思考的問(wèn)題。
啟發(fā)式教學(xué)是當(dāng)今教改中大力提倡的一種教學(xué)模式，目的是使學(xué)生真正融入課堂，提高學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，促使學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)，針對(duì)不同專業(yè)人才培養(yǎng)方案的實(shí)際需求對(duì)教學(xué)內(nèi)容取舍與優(yōu)化，是提高教學(xué)質(zhì)量與效率的重要探索方法之一[5-6]。彈性力學(xué)教學(xué)應(yīng)逐步從單一的課堂教學(xué)向多種形式的專業(yè)能力培養(yǎng)過(guò)渡，理論教學(xué)緊密結(jié)合實(shí)踐案例，幫助學(xué)生深入思考，學(xué)以致用[7]。將啟發(fā)式教學(xué)引入彈性力學(xué)課堂，打破傳統(tǒng)教學(xué)中教師“一言堂”、學(xué)生被動(dòng)輸入知識(shí)的課堂模式，讓學(xué)生擁有一種“能聽懂、可學(xué)會(huì)、易掌握、擅應(yīng)用”的上課理念。鑒于此，本文以彈性力學(xué)中“圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Α币还?jié)為例，綜合多媒體教學(xué)手段，采用問(wèn)題啟發(fā)、目的啟發(fā)、圖形啟發(fā)和案例啟發(fā)等靈活多變的教學(xué)策略，探索如何融入啟發(fā)式教學(xué)，增強(qiáng)教學(xué)效果。
一 軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題——闡釋生活現(xiàn)象，問(wèn)題導(dǎo)入，激發(fā)興趣
“基于問(wèn)題的學(xué)習(xí)”是指將學(xué)習(xí)設(shè)置在有意義的問(wèn)題情境中，讓學(xué)生自主探究，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性[8-9]。針對(duì)彈性力學(xué)課程抽象困難，采用問(wèn)題導(dǎo)向法既提高了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，又激發(fā)學(xué)生對(duì)力學(xué)課程的興趣。同時(shí)還可與生活現(xiàn)象相結(jié)合，將課堂知識(shí)與學(xué)生日常生活相結(jié)合，往往令其印象深刻，產(chǎn)生事半功倍的教學(xué)效果。
以老鼠打洞為例[10]，生動(dòng)形象地闡述動(dòng)物洞穴涉及的力學(xué)問(wèn)題，可將其簡(jiǎn)化為軸對(duì)稱力學(xué)模型，給出其基本方程、邊界條件，求解其應(yīng)力變化規(guī)律，并指出老鼠打洞對(duì)于樁基施工等工程實(shí)際問(wèn)題的啟示及其潛在的工程應(yīng)用價(jià)值，以提高學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)主動(dòng)性。再比如講授圓環(huán)或圓筒問(wèn)題時(shí)，可融入與生活息息相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題：有水流經(jīng)過(guò)地面下排水管道的時(shí)候，為什么路面上的人卻毫無(wú)察覺(jué)？以此來(lái)引發(fā)學(xué)生對(duì)本節(jié)課的理論思考，掌握彈性力基于問(wèn)題的建模和解析方法。其實(shí)，生活中處處皆學(xué)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生熱愛(ài)生活，從日常點(diǎn)滴中培養(yǎng)純粹的科研學(xué)習(xí)熱情。
結(jié)合生活現(xiàn)象，引入本節(jié)課所需的前置知識(shí)，即軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)明扼要的回顧，使同學(xué)們?cè)诤罄m(xù)接受本節(jié)課的新知識(shí)時(shí)，能夠迅速與前置知識(shí)建立思維關(guān)聯(lián)。關(guān)于平面軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題的一般性解答的公式說(shuō)明：①按應(yīng)力求解建立的平面軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題的通解，適用于各種軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題。②軸對(duì)稱應(yīng)力即繞軸應(yīng)力對(duì)稱的條件為物體形狀、面力和體力都是繞軸對(duì)稱的。③平面應(yīng)力、平面應(yīng)變兩類問(wèn)題的應(yīng)力通解相同，只需對(duì)E、μ 做簡(jiǎn)單變換，即得平面應(yīng)變問(wèn)題的位移通解?；趩?wèn)題啟發(fā)，通過(guò)闡釋生活現(xiàn)象和對(duì)前置知識(shí)點(diǎn)的回顧，下面將對(duì)本節(jié)課后續(xù)環(huán)節(jié)的啟發(fā)式教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行探討。
二 圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?wèn)題求解——由淺入深，注重教學(xué)思路，適時(shí)引導(dǎo)
圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?wèn)題是彈性力學(xué)的經(jīng)典問(wèn)題之一，又稱拉梅問(wèn)題。該問(wèn)題的求解，應(yīng)著重教學(xué)思路的邏輯性和條理性，淡化數(shù)學(xué)運(yùn)算，由淺入深、循序漸進(jìn)地講解。采用引導(dǎo)與提問(wèn)相結(jié)合的教學(xué)方式，逐步帶動(dòng)學(xué)生思維；善于設(shè)疑，激發(fā)學(xué)生的探究欲望。
近年來(lái)，祖國(guó)飛速發(fā)展，修路架橋成就非凡，以海底懸浮隧道為例（圖1），是否能用彈性力學(xué)中圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Φ膯?wèn)題解決該工程結(jié)構(gòu)的受力分析，從而培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出力學(xué)模型的能力。
圖1 海底懸浮隧道工程實(shí)例
（一）應(yīng)力通解的偉大
圓環(huán)（平面應(yīng)力問(wèn)題）和圓筒（平面應(yīng)變問(wèn)題）受內(nèi)外均布?jí)毫Γ瑢儆谳S對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題，可以引用軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題的通解。顯然海底隧道這一工程結(jié)構(gòu)屬于平面應(yīng)力問(wèn)題，但不管是圓環(huán)還是圓筒，我們截取單位長(zhǎng)度，橫截面都是圓環(huán)形，力學(xué)模型如圖2 所示。應(yīng)力通解表達(dá)式如下[1]
圖2 力學(xué)模型
其實(shí)通解都是非常偉大的，只要是這一類問(wèn)題都可以寫成這個(gè)形式，可用于求解各種有重要意義的彈性力學(xué)具體問(wèn)題及構(gòu)造新的通解（比如拉梅解答）。因此，求解平面問(wèn)題，通解將是最重要的工具[11]。
（二）列寫應(yīng)力邊界條件
基于應(yīng)力通解，引導(dǎo)學(xué)生思考：如何確定具體問(wèn)題的解答呢？針對(duì)圓環(huán)或圓筒這類具體的問(wèn)題，只不過(guò)待定系數(shù)不同。彈性力學(xué)問(wèn)題實(shí)際上是偏微分方程的邊值問(wèn)題，邊界條件對(duì)確定具體問(wèn)題的解答起著至關(guān)重要的作用。錯(cuò)誤的邊界條件會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的解答，給工程問(wèn)題留下隱患。因此，邊界條件的識(shí)別、書寫及正確運(yùn)用是基本功。從問(wèn)題的已知條件分析，屬于應(yīng)力邊值問(wèn)題。接下來(lái)，我們的任務(wù)就是通過(guò)列寫應(yīng)力邊界條件，求出應(yīng)力通解中的待定系數(shù)。特殊邊界采用直接法（或稱比較法）列寫應(yīng)力邊界條件，那比較法的關(guān)鍵問(wèn)題是什么？標(biāo)出一點(diǎn)的應(yīng)力，與邊界上已知的面力作比較。因此，關(guān)鍵是要知道坐標(biāo)系下一點(diǎn)的應(yīng)力符號(hào)規(guī)定，圖3 直觀地展示了極坐標(biāo)系下的應(yīng)力符號(hào)規(guī)定。
圖3 極坐標(biāo)下一點(diǎn)的應(yīng)力符號(hào)規(guī)定
強(qiáng)調(diào)復(fù)習(xí)助記口訣，面上應(yīng)力的正方向是以“正面正向?yàn)檎?fù)面負(fù)向?yàn)檎?。跟著老師思路寫出本?wèn)題的邊界條件
式中有3 個(gè)未知量，2 個(gè)有效方程，如何求解?
（三）引入位移單值條件
需找補(bǔ)充條件，應(yīng)力邊界條件已用完，看看位移上有沒(méi)有其他條件？轉(zhuǎn)換思路，從問(wèn)題本身出發(fā)，充分挖掘隱藏的條件：該問(wèn)題橫截面形狀是一個(gè)環(huán)形，有兩個(gè)連續(xù)邊界，而且不相交，力學(xué)上稱為多連體。其有一個(gè)限制，就是必須考察位移單值條件。本節(jié)也是首次引入位移單值條件。為了更直觀地表達(dá)，這里舉例說(shuō)明，如圖4所示，同一個(gè)點(diǎn)M，對(duì)應(yīng)無(wú)窮多個(gè)坐標(biāo)。
圖4 位移單值條件舉例說(shuō)明
平面軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題的環(huán)向位移表達(dá)式如下[1]
在位移解答中，式（3）第一項(xiàng)是位移多值項(xiàng)。要使uφ單值，必須有B=0。結(jié)合式（2），即得圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Φ睦方獯穑☉?yīng)力）
（四）位移單值條件補(bǔ)充說(shuō)明
對(duì)于多連體問(wèn)題，位移須滿足位移單值條件。大家開動(dòng)腦筋，這里有什么疑問(wèn)嗎？①多連體需要，那單連體有單值要求嗎？②只提了位移單值，那應(yīng)力、應(yīng)變呢？③位移單值什么意思？是必要的，還是可有可無(wú)的？其實(shí)這些問(wèn)題有著深刻的力學(xué)意義：多連體位移單值條件實(shí)質(zhì)上是物體連續(xù)性假設(shè)的表現(xiàn)形式之一，即位移連續(xù)性條件；在連續(xù)體上，對(duì)于同一點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變或位移都應(yīng)為單值。
三類力學(xué)響應(yīng)量，都是一個(gè)位置一個(gè)值。為什么不討論呢？其實(shí)這和求解方法有關(guān)。①按位移求解時(shí)，設(shè)/求位移未知函數(shù)（單值）；由位移求應(yīng)變（幾何方程求導(dǎo)）也為單值；由應(yīng)變求應(yīng)力（物理方程-代數(shù)方程）也為單值；②按應(yīng)力求解時(shí)，設(shè)/求應(yīng)力未知函數(shù)（單值）；由應(yīng)力求應(yīng)變（物理方程-代數(shù)方程）也為單值；由應(yīng)變求位移（幾何方程積分），常常會(huì)出現(xiàn)多值項(xiàng)。
給學(xué)生強(qiáng)調(diào)一下，按應(yīng)力求解，也不是所有問(wèn)題都要考慮位移單值。
三 對(duì)拉梅解答的討論——抽象知識(shí)具體化，思維拓展，啟發(fā)探索
大學(xué)生長(zhǎng)于形象思維，而不喜抽象思維。教師可將抽象知識(shí)具體化，通過(guò)討論式教學(xué)[12-13]，開拓學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究的積極性。圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫?wèn)題（即拉梅問(wèn)題）是軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題的一個(gè)特例，而拉梅解答本身還有幾種更特殊的情況。接下來(lái)，分五種情況一一討論，如圖5 所示。
圖5 拉梅解答的討論
其中特別指出：第四種情況，若qa≠0，qb=0，b→∞，即具有圓孔的無(wú)限大薄板或彈性體孔壁處受內(nèi)壓作用，對(duì)應(yīng)靜壓沉樁、頂管及注漿加固等擴(kuò)孔問(wèn)題。圖5（d）中可看出，驗(yàn)證了圣維南原理：在r＞＞a 處，應(yīng)力很小，即在內(nèi)壓qa作用下，對(duì)b→∞處影響可不計(jì)。與前面引出的事例呼應(yīng)，解釋了“水流經(jīng)過(guò)地下排水管道的時(shí)候，為什么路面上的人卻毫無(wú)察覺(jué)”的生活現(xiàn)象；第五種情況，若qa=0，qb≠0，b→∞，即具有圓形孔道的無(wú)限大彈性體無(wú)窮遠(yuǎn)處受外壓作用，對(duì)應(yīng)隧道開挖、豎井施工及巷道掘進(jìn)等縮孔問(wèn)題。由圖5（d）可知，內(nèi)邊界r=a 處環(huán)向應(yīng)力出現(xiàn)應(yīng)力集中。通過(guò)可視化圖形，啟迪學(xué)生對(duì)“孔邊應(yīng)力集中”知識(shí)點(diǎn)思考。
四 工程應(yīng)用舉例——結(jié)合實(shí)例，學(xué)以致用，培養(yǎng)創(chuàng)新能力
啟發(fā)式教學(xué)還需注重理論學(xué)習(xí)與工程實(shí)例的結(jié)合[14]。彈性力學(xué)授課過(guò)程中，不僅要考慮數(shù)理邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，還要兼顧其與工程案例的聯(lián)系，充分調(diào)動(dòng)和發(fā)揮學(xué)生的主體性，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，層層剖析，建立力學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題最終化為彈性力學(xué)問(wèn)題，為學(xué)生今后的職業(yè)發(fā)展和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)奠定堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，應(yīng)用舉例如圖6 所示。
圖6 工程應(yīng)用實(shí)例
將典型的科研案例引入課堂，尋找教學(xué)與科研的契合點(diǎn)，讓學(xué)生們感受到領(lǐng)悟新知識(shí)后的豁然開朗感，激發(fā)學(xué)生的科研興趣，充分利用已有的知識(shí)基礎(chǔ)去解決未知的問(wèn)題，將未知轉(zhuǎn)已知，達(dá)到真正學(xué)以致用的目的。
五 結(jié)束語(yǔ)
彈性力學(xué)課程具有很強(qiáng)的理論性、抽象性和高度概括性的特點(diǎn)，在本課程的教學(xué)實(shí)踐中，改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，融入啟發(fā)式教學(xué)法，取得優(yōu)良的教學(xué)效果。本文從以下幾個(gè)方面著手實(shí)施：①闡釋生活現(xiàn)象，引入問(wèn)題，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；②由淺入深，注重教學(xué)思路，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生思考；③抽象知識(shí)具體化，開發(fā)學(xué)生的邏輯思維，展開討論、啟發(fā)探索；④注重理論知識(shí)與工程實(shí)例結(jié)合，學(xué)以致用，將未知轉(zhuǎn)化成已知，提高科研創(chuàng)新能力。啟發(fā)式教學(xué)有助于學(xué)生理論結(jié)合實(shí)際，合理選擇與優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生克服畏難心理和被動(dòng)接受知識(shí)，激勵(lì)學(xué)生主動(dòng)思考，形成一種“能聽懂、可學(xué)會(huì)、易掌握、擅應(yīng)用”的教學(xué)模式。啟發(fā)式教學(xué)在彈性力學(xué)教學(xué)改革的初步探討和有益嘗試，對(duì)將來(lái)學(xué)生綜合素質(zhì)的培養(yǎng)必然形成良好的促進(jìn)作用，這也是提高教學(xué)效果一個(gè)行之有效的教學(xué)方法。
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