高達辰， 趙鴻鐸， 馬魯寬， 陳昊昱， 成 可

（同濟大學 道路與交通工程教育部重點實驗室，上海 201804）

貨車編隊是指多輛貨車通過車聯(lián)網(wǎng)和自動駕駛技術(shù)以較小車距和穩(wěn)定軌跡運行的編隊行駛模式，該行駛模式可提高運輸效率、擴大路網(wǎng)容量、實現(xiàn)節(jié)能減排（車輛節(jié)省燃油約8%～13%［1］），已成為各國落實網(wǎng)聯(lián)汽車發(fā)展的普遍戰(zhàn)略。相較于傳統(tǒng)貨車，編隊運行貨車具有高精度的定位和操控系統(tǒng)，其輪跡橫向分布較為集中，交通渠化現(xiàn)象突出。研究表明，自動駕駛等級不同，輪跡橫向分布標準差可相差1倍以上［2］。在輪跡橫向“零”偏移時，即極度渠化的交通荷載下，路面結(jié)構(gòu)累計疲勞損傷會提高近2倍［3］。因此，貨車編隊荷載的高頻和渠化作用對路面承載能力和壽命提出了更高要求。同時，渠化的交通荷載造成的路面結(jié)構(gòu)局部受荷現(xiàn)象突出，使路面結(jié)構(gòu)不同部位力學特性要求的差異性更為顯著，因此對路面結(jié)構(gòu)進行非均勻性的精細化設(shè)計變得尤為重要。

路面結(jié)構(gòu)的非均勻性精細化設(shè)計也為路面智能化與功能化發(fā)展提供了更多的可能性。根據(jù)智能鋪面的概念與技術(shù)發(fā)展路徑［4-5］，路面在實現(xiàn)智能化與功能化過程中，如傳感器埋設(shè)、排水路面以及管線埋設(shè)等，均對路面結(jié)構(gòu)提出了埋設(shè)空間的需求，而非均勻性精細化設(shè)計可以在保證路面結(jié)構(gòu)承載能力與使用壽命的前提下拓展更多的結(jié)構(gòu)內(nèi)部空間。同時，對于以裝配式技術(shù)［6］為主的智能鋪面建造方式，非均勻性精細化設(shè)計也可以使路面結(jié)構(gòu)實現(xiàn)輕量化，有效提高建造效率，降低建造成本。

目前，傳統(tǒng)路面結(jié)構(gòu)設(shè)計方法均采用尺寸優(yōu)化與形狀優(yōu)化方法，無法適應(yīng)貨車編隊下路面結(jié)構(gòu)的非均勻性精細化設(shè)計需求。而拓撲優(yōu)化方法作為結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法之一，可以在設(shè)定的區(qū)域內(nèi)，根據(jù)給定的荷載、邊界條件與性能指標，對區(qū)域內(nèi)材料分布進行優(yōu)化，在路面結(jié)構(gòu)精細化設(shè)計方面具有廣闊的應(yīng)用前景。

拓撲優(yōu)化理論最早可追溯至1904 年Michell 研究的離散結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化中典型的Michell 桁架理論［7］。隨著拓撲優(yōu)化方法的發(fā)展，根據(jù)研究對象不同，拓撲優(yōu)化可分為離散結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化與連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化，目前結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化主要研究對象多為連續(xù)體結(jié)構(gòu)。自從1988 年Bendsoe 與Kikuchi 提出了連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的均勻化方法［8］，拓撲優(yōu)化理論進入蓬勃發(fā)展時期。在均勻化方法的基礎(chǔ)上，變密度法（SIMP）于1989 年由Bendsoe［9］提出，該方法的核心是引入一種假想的相對密度在0～1之間可變的材料，將結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)椴牧媳緲?gòu)模型的插值問題，通過改變微觀尺度上的材料本構(gòu)關(guān)系來實現(xiàn)宏觀尺度的結(jié)構(gòu)優(yōu)化，是目前使用最為廣泛的拓撲優(yōu)化方法之一［10-13］。除此之外，拓撲優(yōu)化的主流方法還包括由Sethian 等提出的水平集方法［14-16］，以及由謝億民和Steven 提出的漸進結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化法［17-18］與雙向漸進拓撲優(yōu)化方法［19-20］等。目前，隨著拓撲優(yōu)化理論的成熟，該方法已被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)設(shè)計，尤其是航空器［21-22］、車輛的結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計［23-24］，以及建筑結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計［25-26］。

本文面向貨車編隊，以水泥混凝土路面結(jié)構(gòu)為研究對象，基于拓撲優(yōu)化理論和方法，構(gòu)建了水泥混凝土路面結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化模型并提出了優(yōu)化算法；基于此，在分析貨車編隊輪跡橫向分布特征的基礎(chǔ)上，利用數(shù)值計算方法設(shè)計了面向貨車編隊的水泥混凝土路面拓撲優(yōu)化原型結(jié)構(gòu)；最后通過3D打印方法制作了原型結(jié)構(gòu)的縮尺模型，開展力學性能試驗以分析拓撲優(yōu)化設(shè)計方法的合理性。

1 水泥混凝土路面結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化模型和算法

1.1 拓撲優(yōu)化問題模型

水泥混凝土路面結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計首先需保證優(yōu)化結(jié)構(gòu)具有足夠的承載能力，即水泥混凝土路面拓撲優(yōu)化結(jié)構(gòu)應(yīng)以設(shè)計基準期內(nèi)行車荷載與溫度梯度綜合作用產(chǎn)生的面層板疲勞斷裂作為設(shè)計標準。同時，考慮到水泥混凝土路面結(jié)構(gòu)的功能化以及輕量化需求，在拓撲優(yōu)化設(shè)計算法中，問題模型的建立應(yīng)當以行車荷載與溫度荷載作用下設(shè)計域內(nèi)任一點的疲勞應(yīng)力不超過水泥混凝土材料的極限拉應(yīng)力作為約束條件，并以結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小化為優(yōu)化目標。將優(yōu)化目標與約束條件建模即可得水泥混凝土路面結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計的問題模型，如式（1）所示。

式中：ρ為材料密度，是表征結(jié)構(gòu)內(nèi)材料分布狀態(tài)的變量；Ω為表征結(jié)構(gòu)區(qū)域的有界開集；a(u，v)=l(v)為結(jié)構(gòu)內(nèi)外力平衡方程的弱形式，u、v分別為實際位移場與虛擬位移場；σmax為外部荷載與溫度梯度綜合作用下產(chǎn)生的最大疲勞應(yīng)力；fr為水泥混凝土材料的抗拉強度。

在上述模型基礎(chǔ)上，本文選用變密度法（solid isotropic microstructure with penalization，SIMP）作為結(jié)構(gòu)內(nèi)材料分布的表述方法，對上述問題模型進行改進。變密度法的原理為通過離散初始設(shè)計域，并以離散后每個單元內(nèi)材料密度作為設(shè)計變量來表征結(jié)構(gòu)中材料分布狀態(tài)，并通過改變不同位置的單元內(nèi)材料密度表征結(jié)構(gòu)變化，如圖1所示。

圖1 SIMP方法Fig. 1 SIMP method

由于SIMP 方法會導(dǎo)致大量的灰度材料出現(xiàn)，即單元內(nèi)材料密度介于0 與1 之間，不利于工程建造。為避免優(yōu)化結(jié)果出現(xiàn)此類情況，將拓撲優(yōu)化問題模型（式（1））中的密度ρ替代為體積插值函數(shù)mV(y)，可用式（2）表示。

其中

式（2）～（5）中：z為結(jié)構(gòu)設(shè)計變量，其值決定了單元密度的大小；AT為設(shè)計域內(nèi)各單位面積的向量；I為與其維度大小相同的單位向量；單元密度矩陣y=Pz，P為靈敏度過濾矩陣，作用是減緩結(jié)構(gòu)邊界出現(xiàn)的鋸齒化現(xiàn)象；體積插值函數(shù)mV(y)中，β參數(shù)控制函數(shù)的平滑程度，而η參數(shù)代表大于該閾值的數(shù)將被投射為1；mE(yj)為材料插值函數(shù)，主要作用為關(guān)聯(lián)單元材料密度mV(yj)與模量ε；yj為單元密度矩陣y的子項，j為單元編號；gj(z，u)為式（1）中應(yīng)力約束σmax≤fr的變體，可以對超出最大應(yīng)力限制的局部應(yīng)力進行有效約束；Λj為單元j的應(yīng)力相對于約束值的偏離程度；σmaxj為單元j的最大疲勞應(yīng)力。

為尋找優(yōu)化問題的最優(yōu)解，利用增廣拉格朗日法（augmented Lagrange method，ALM）將有約束優(yōu)化問題模型（式（2））轉(zhuǎn)變?yōu)闊o約束優(yōu)化問題模型。

其中

式（6）～（8）中：N為單元總數(shù)；p(z，u)為懲罰項；λj為單元j的拉格朗日乘子；μ為罰函數(shù)。其中，拉格朗日乘子與罰函數(shù)隨著計算步的迭代而更新，其更新準則為

式（9）、（10）中：k為計算步；α為大于1 的更新系數(shù)；μmax為罰函數(shù)上限值。

通過逐步求解式（6）即可獲得設(shè)計變量z，從而得到單元密度ρ并形成最后的優(yōu)化結(jié)果。

1.2 靈敏度求解

在求解式（6）的過程中，需要對優(yōu)化模型的靈敏度進行分析。靈敏度是指設(shè)計變量的改變對目標方程產(chǎn)生的影響，是拓撲優(yōu)化計算過程中指導(dǎo)設(shè)計變量改變方向的重要參數(shù)。本文選用拓撲梯度法獲取靈敏度。將式（6）關(guān)于設(shè)計變量z求導(dǎo)即可得本文優(yōu)化模型的靈敏度。

式中：E=mE(Pz)；V=mV(Pz)。

材料剛度與密度關(guān)于設(shè)計變量的靈敏度為

式（12）、（13）中：JmE與JmV分別為mE(yj)'與mV(yj)'的對角矩陣。

對于其他項，有

由于式（17）中?u/?E項在實際計算過程中對計算資源占用過高，故采用伴隨方程法避免該項計算。將平衡方程與伴隨變量ξ引入式（17），有

令包含?u/?E的項之和為零，利用有限元方法即可求解伴隨變量ξ為

式中：K為剛度矩陣。將伴隨變量帶入式（11）即可得本文拓撲優(yōu)化問題的靈敏度為

1.3 設(shè)計變量更新

在獲取優(yōu)化模型關(guān)于設(shè)計變量的靈敏度后，需要利用適合的更新算法對設(shè)計變量進行逐步迭代更新，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的拓撲改變。本文選用移動漸近線法（method of moving asymptotes，MMA）對設(shè)計變量z進行更新，其形式可以表現(xiàn)為

其中

式（21）～（29）中：k為迭代步數(shù)；l為單元編號；z?為單元的設(shè)計變量；?J/?z?為式（20）計算得到的靈敏度；τ與θ為算法參數(shù)，默認分別取10-3與10-6；U與L分別對應(yīng)MMA 方法中設(shè)計變量的上界與下界；s為上下界移動步的步長；ν為設(shè)計變量更新步長。

通過構(gòu)造移動近似子問題（式（21））逐步逼近原問題（式（6）），并隨著迭代步更新設(shè)計變量的上下界值，最終可得到式（6）的近似解，即最終的優(yōu)化結(jié)果。

2 面向貨車編隊的水泥混凝土路面拓撲優(yōu)化原型結(jié)構(gòu)

貨車編隊荷載是水泥混凝土路面拓撲優(yōu)化的重要參數(shù)之一，在水泥混凝土路面結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化模型和算法的基礎(chǔ)上，本文以EcoTwin 貨車編隊測試項目的開源數(shù)據(jù)［27］為基礎(chǔ)，分析貨車編隊運行中的輪跡橫向偏移特征，以此作為代表性荷載開展拓撲優(yōu)化原型結(jié)構(gòu)設(shè)計。

2.1 貨車編隊的輪跡偏移特征

EcoTwin 項目起始于2018 年，測試路段為位于荷蘭海爾蒙德市（Helmond）至埃因霍溫市（Eindhoven）之間的公路，貨車編隊數(shù)為1 隊，隊列中車輛為2 輛，運行過程中以居中式編隊為主要隊列形態(tài)，其測試數(shù)據(jù)包括每輛貨車的位置坐標、速度、傳感器信息、車輛交互信息等。圖2 和圖3分別展示了2019 年4 月9 日測試的編隊貨車速度狀態(tài)和跟車狀態(tài)，其中A270 路段車輛間距全程保持在21～22 m，車頭時距穩(wěn)定保持在0.7～0.8 s。由此可知，貨車編隊在A270 路段行駛狀態(tài)較為穩(wěn)定，因此本文選擇該路段的行車數(shù)據(jù)作為分析對象。

圖2 編隊貨車速度狀態(tài)Fig. 2 Speed status of trucks in platoon

圖3 編隊測試過程中的車輛間距與車頭時距Fig. 3 Location and time distance of trucks in test program

提取A270 路段的64 000 條車輛位置數(shù)據(jù)，與開源地圖數(shù)據(jù)庫OpenStreetMap（OSM）提供的道路數(shù)據(jù)進行比對，計算車輛中軸線相對于車道的橫向偏移分布狀態(tài)。車道寬度為3.75 m，圖4 為以1 cm 為區(qū)間繪制所得的車輛中軸線對于車道的橫向偏移分布狀態(tài)，由圖4 可知，貨車在編隊運行過程中車輛中軸線相對于車道中線的偏移量約為15 cm。雖然其運行模式設(shè)定為嚴格沿車道中線行駛，但實際情況中3～10 cm 以內(nèi)的偏移出現(xiàn)概率較高。

圖4 編隊測試中車輛中軸線橫向偏移分布Fig.4 Distribution of truck centerline in test program

根據(jù)國際自動機工程師學會（Society of Automotive Engineers， SAE）制定的5 層級貨車編隊等級［28］，EcoTwin 中采用的貨車編隊等級僅為Level 2 級，在行駛過程中會產(chǎn)生一定程度的輪跡偏移現(xiàn)象。隨著控制器與自動駕駛技術(shù)的發(fā)展，未來在更高等級的編隊中，輪跡偏移量會逐漸減小甚至達到零偏移狀態(tài)［3］。因此，本文選用面向未來貨車編隊的輪跡零偏移和實測數(shù)據(jù)得到的輪跡15 cm 偏移兩種場景，作為代表性荷載特征開展后續(xù)分析。

2.2 拓撲優(yōu)化原型結(jié)構(gòu)數(shù)值計算

首先，選取傳統(tǒng)水泥混凝土路面結(jié)構(gòu)的橫截面為拓撲優(yōu)化初始設(shè)計域，尺寸為3.5 m×0.3 m，邊界條件為無傳力桿構(gòu)件的四邊自由板。為改善剛性混凝土結(jié)構(gòu)整體的抗開裂能力，同時也考慮到在路面板下方拓展空間的需求，本文基于平衡剛度設(shè)計理念，將路面結(jié)構(gòu)底部支撐設(shè)置為剛性梁基礎(chǔ)［29］。為簡化分析，本文選取單軸單輪作為分析荷載模型，軸載大小取為100 kN，輪胎寬度為20 cm，基于荷載零偏移和15 cm 偏移兩種場景，在輪跡分布范圍內(nèi)均設(shè)置均布荷載，分別如圖5、圖6 所示。路面設(shè)計場景選取為位于公路自然區(qū)劃Ⅱ區(qū)的三級公路，交通荷載等級為中等。

圖5 初始模型：零偏移的交通荷載Fig.5 Initial model: drainage traffic loading

圖6 初始模型：15 cm偏移的交通荷載Fig. 6 Initial model: traffic loading with an offset of 15 cm

在拓撲優(yōu)化模型中，路面結(jié)構(gòu)材料為水泥混凝土，彈性模量取3.15×104MPa，泊松比取0.15，線膨脹系數(shù)αc=1×10-5℃-1，溫度梯度取為88 ℃·m-1；可靠度系數(shù)γ=1.04，荷載安全系數(shù)kc=1.0，應(yīng)力折減系數(shù)kj=1.00，荷載應(yīng)力疲勞系數(shù)由下式確定：

其中標準軸載累計作用次數(shù)Ne取值為1×105，回歸系數(shù)為a=1.0，b=0.057。溫度疲勞應(yīng)力系數(shù)計算公式為

其中混凝土彎拉強度fr=4.5 MPa，回歸系數(shù)分別為at=0.828、bt=0.041、ct=1.323。

基于本文提出的拓撲優(yōu)化算法，利用MATLAB軟件進行有限單元法與拓撲優(yōu)化的編程與計算。考慮到計算成本，本文的拓撲優(yōu)化設(shè)計主要在二維空間展開。將初始設(shè)計區(qū)域劃分為10 500 個單元，即延寬度方向350個單元，厚度方向30個單元，單元尺寸為1 cm×1 cm，單元類型為雙線性矩形單元。在計算過程中，單元應(yīng)變與單元應(yīng)力的計算點位選取為單元中心點處，中心點應(yīng)力值通過對高斯積分點應(yīng)力進行差值得到。為方便比較，采用單元應(yīng)力值與設(shè)定的應(yīng)力約束值之比作為結(jié)果。

對于零偏移的渠化交通荷載場景，路面結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化數(shù)值計算的材料分布與應(yīng)力云圖如圖7 所示。在圖7 中，左圖黑色部分的材料密度為1，是主要承力結(jié)構(gòu)，白色區(qū)域為無材料區(qū)域，可自行根據(jù)功能和建造需求進行拓展。根據(jù)優(yōu)化結(jié)果，應(yīng)力約束在優(yōu)化過程中有較為明顯的振蕩，但總體滿足約束，收斂時結(jié)構(gòu)最大疲勞應(yīng)力為相同條件下初始結(jié)構(gòu)的45.0%，約束值的68.0%，如圖8 所示。此外，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)材料用量為原結(jié)構(gòu)的34.3%。而對于輪跡15 cm偏移的交通荷載場景，其材料分布狀態(tài)與應(yīng)力云圖如圖9 所示。根據(jù)優(yōu)化結(jié)果，該結(jié)構(gòu)最大疲勞應(yīng)力為相同荷載與邊界條件下原結(jié)構(gòu)的37.5%，約束值的75.0%，如圖10 所示。此外，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)材料用量為原結(jié)構(gòu)的30.5%。

圖7 優(yōu)化后材料分布與疲勞應(yīng)力云圖（輪跡零偏移交通荷載）Fig. 7 Optimized material distribution and fatigue stress (drainage traffic loading)

圖8 最大疲勞應(yīng)力水平迭代過程（輪跡零偏移交通荷載）Fig. 8 Iteration courses of fatigue stress (drainage traffic loading)

圖9 優(yōu)化后材料分布與疲勞應(yīng)力云圖（輪跡15 cm偏移交通荷載）Fig. 9 Optimized material distribution and fatigue stress (traffic loading with an offset of 15 cm)

圖10 最大疲勞應(yīng)力水平迭代過程（輪跡15 cm偏移的交通荷載）Fig. 10 Iteration courses of fatigue stress (traffic loading with an offset of 15 cm)

3 拓撲優(yōu)化原型結(jié)構(gòu)性能驗證

為探究拓撲優(yōu)化設(shè)計方法的合理性，本文采用3D 打印技術(shù)制作零偏移的交通荷載作用下拓撲優(yōu)化路面結(jié)構(gòu)的縮尺原型結(jié)構(gòu)，并利用靜載加載試驗開展力學性能分析。

3.1 拓撲優(yōu)化原型結(jié)構(gòu)建造

利用有限單元法對初始結(jié)構(gòu)進行了離散化計算，所以最終的優(yōu)化結(jié)果為數(shù)值離散狀態(tài)，無法直接依據(jù)計算結(jié)果進行建造。本文主要利用AutoCAD中的NURBS 曲線對計算結(jié)果進行可行性優(yōu)化。由于應(yīng)力計算點位為單元中心點處，故以單元中心點為控制點構(gòu)造NURBS 曲線，對原離散結(jié)構(gòu)連續(xù)化，使原型結(jié)構(gòu)具有清晰明確的邊界，如圖11、12所示。

圖12 優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)對比Fig. 12 Comparison of structure before and after optimization

根據(jù)相似第二定理中的量綱分析方法，將原型結(jié)構(gòu)（截面尺寸為3.5 m×0.3 m）等比例縮小為截面尺寸為23.3 cm×2.0 cm的板結(jié)構(gòu)，如圖13所示。由于目前水泥混凝土結(jié)構(gòu)制造技術(shù)尚無法精確成型大尺寸異形板結(jié)構(gòu)，本文選用尼龍材料替代水泥混凝土材料，使用3D 打印技術(shù)制作縮尺結(jié)構(gòu)，比較不同荷載等級下優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)的最大疲勞應(yīng)力值，以探究本文提出的拓撲優(yōu)化設(shè)計方法的合理性。尼龍材料參數(shù)如表1 所示，最終的縮尺結(jié)構(gòu)如圖14所示。

表1 尼龍材料主要參數(shù)Tab. 1 Material properties of nylon

圖13 原型結(jié)構(gòu)尺寸（單位：cm）Fig. 13 Size of prototype structure(unit:cm)

3.2 試驗方法

試驗采用電液式壓力試驗機（最大加載壓力為2 000 kN）進行加載，并利用DIC（digital image correlation）設(shè)備對加載過程中的形變進行圖像捕捉，如圖15所示，最后利用MATLAB軟件對結(jié)構(gòu)形變進行分析。加載試件由應(yīng)力擴散板、原型結(jié)構(gòu)以及底部支撐板組成，如圖14 所示。其中，應(yīng)力擴散板用于將頂部加載頭的圓形均布荷載轉(zhuǎn)變?yōu)樽饔糜谥饕芰Y(jié)構(gòu)上方的條形均布荷載，底部支撐板與縮尺結(jié)構(gòu)利用結(jié)構(gòu)膠黏接，作用為模擬邊界條件。

試驗加載過程分為2 個階段，分別為20 kN 至90 kN逐級（10 kN為一級）加載階段，以及加載至破壞階段。試驗過程中，DIC 設(shè)備會在未加載的初始階段捕捉圖片，作為后期變形識別的參照標準，同時在每一級加載時對試件進行拍攝，通過后期比對加載時圖片與未加載時的圖片的像素位置，獲取結(jié)構(gòu)的應(yīng)變狀態(tài)，即可計算并繪制結(jié)構(gòu)的疲勞應(yīng)力云圖以及最大疲勞應(yīng)力值，如圖16所示。

圖16 疲勞應(yīng)力云圖Fig. 16 Map of fatigue stress

3.3 結(jié)果及分析

利用DIC 設(shè)備，分別捕捉了1 張初始未加載狀態(tài)下的結(jié)構(gòu)圖、50張加載過程中結(jié)構(gòu)圖以及10張破壞時刻結(jié)構(gòu)圖，通過圖像處理與后期計算，可得結(jié)構(gòu)在每級加載時內(nèi)部產(chǎn)生的最大疲勞應(yīng)力值。同時，本文計算了采用尼龍材料的傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)與拓撲優(yōu)化后的原型結(jié)構(gòu)在相同等級荷載下產(chǎn)生的最大疲勞應(yīng)力，并與試驗觀測的最大疲勞應(yīng)力值進行比較，結(jié)果如圖17所示。

圖17 最大疲勞應(yīng)力計算值與實測值對比Fig. 17 Comparison of calculated and measured values of maximum equivalent fatigue stress

試驗結(jié)果表明，在每級荷載作用下，優(yōu)化結(jié)構(gòu)最大疲勞應(yīng)力值均約為傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)的45.0%，符合理論計算結(jié)果。優(yōu)化結(jié)構(gòu)的實測值普遍大于計算值，是由于在拓撲優(yōu)化計算過程中，邊界條件均為理想狀態(tài)，故實際測量值與計算值有所不同。但總體而言，實測的最大疲勞應(yīng)力值與理論計算值差距較小，且均低于傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)的最大疲勞應(yīng)力值。

為探究結(jié)構(gòu)的最大承載極限，在逐級加載后，繼續(xù)提升荷載作用水平直至結(jié)構(gòu)破壞。當荷載加載至104 kN時，結(jié)構(gòu)出現(xiàn)了過大的變形，并伴隨拓撲優(yōu)化結(jié)構(gòu)的開裂，如圖18 所示。根據(jù)計算可得，尼龍材料建造的傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)在同樣邊界條件下，當荷載加載至88 kN時會在底部支撐處產(chǎn)生超過材料抗拉強度的應(yīng)力，因而可知優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的承載能力相較于傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)提升約18.3%。

圖18 試件破壞Fig. 18 Failure of scale model specimen

由上述試驗可知，經(jīng)過拓撲優(yōu)化設(shè)計后的結(jié)構(gòu)可以在有效提高結(jié)構(gòu)承載能力的同時降低結(jié)構(gòu)質(zhì)量，表明本文提出的拓撲優(yōu)化設(shè)計方法有效可行。

4 結(jié)論

（1）綜合考慮荷載疲勞應(yīng)力與溫度疲勞應(yīng)力，構(gòu)建了基于變密度法的水泥混凝土路面結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化模型。采用拓撲梯度法，對拓撲優(yōu)化問題的靈敏度求解通式進行推導(dǎo)，并結(jié)合移動漸近線更新算法，提出了適用于水泥混凝土路面結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化算法。

（2）數(shù)值分析結(jié)果表明，在輪跡零偏移的交通荷載場景下，拓撲優(yōu)化結(jié)構(gòu)的質(zhì)量降低至傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)的34.3%，產(chǎn)生的最大疲勞應(yīng)力降低至傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)的45.0%；在輪跡15 cm 偏移的交通荷載場景下，其質(zhì)量降低至傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)的30.5%，最大疲勞應(yīng)力降低至傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)的37.5%。

（3）縮尺試驗結(jié)果表明，拓撲優(yōu)化原型結(jié)構(gòu)在不同等級荷載下產(chǎn)生的最大疲勞應(yīng)力值均小于相同荷載與邊界條件下的傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)，與理論值較為接近；同時，拓撲優(yōu)化原型結(jié)構(gòu)的極限承載能力相較于傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)提升了18.3%，表明本文提出的拓撲優(yōu)化設(shè)計方法有效可行。

拓撲優(yōu)化設(shè)計方法在道路領(lǐng)域的實際應(yīng)用較少，并且非均質(zhì)的拓撲優(yōu)化路面結(jié)構(gòu)的建造具有一定技術(shù)難度，建議深入研究拓撲優(yōu)化算法的適用性與可靠性，對拓撲優(yōu)化設(shè)計的原型結(jié)構(gòu)進行驗算與路用性能分析，并探討包括水泥混凝土3D打印技術(shù)在內(nèi)的適用于輕量化裝配式路面結(jié)構(gòu)的建造方式。

作者貢獻聲明：

高達辰：論文撰寫，提出算法以及試驗方案。

趙鴻鐸：論文審定，論文整體結(jié)構(gòu)與研究方法指導(dǎo)。

馬魯寬：研究思路和技術(shù)指導(dǎo)。

陳昊昱：算法公式推導(dǎo)與參數(shù)分析。

成 可：數(shù)據(jù)采集與分析。