孫 凱

南京市特種設(shè)備安全監(jiān)督檢驗(yàn)研究院 南京 210019

0 引言

在半個(gè)世紀(jì)前，計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展給結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)帶來(lái)新的發(fā)展契機(jī)，涌現(xiàn)出大量的工程優(yōu)化設(shè)計(jì)算法和軟件[1]。高效的機(jī)械結(jié)構(gòu)優(yōu)化流程的實(shí)施離不開基礎(chǔ)理論、力學(xué)分析手段和軟件方法實(shí)現(xiàn)，這些基礎(chǔ)學(xué)科的發(fā)展為工程設(shè)計(jì)者提供了清晰的設(shè)計(jì)思路和工具。目前，針對(duì)機(jī)械結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)主要分為尺寸優(yōu)化、形貌優(yōu)化、拓?fù)鋬?yōu)化等，優(yōu)化設(shè)計(jì)理論比較完備，且在各領(lǐng)域均有廣泛應(yīng)用案例，如Ansys、Nastran和Hyperworks等CAE分析軟件中均已加入優(yōu)化分析功能模塊[2]。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已將結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)理論應(yīng)用到機(jī)械臂設(shè)計(jì)中。Rout B K等[3]以平面機(jī)械手和四自由度機(jī)械臂為研究對(duì)象，以尺寸和質(zhì)量為優(yōu)化目標(biāo)開展機(jī)械臂的優(yōu)化設(shè)計(jì)，將對(duì)運(yùn)行精度和重復(fù)定位精度的影響降到最??；Hedge G S等[4]采用拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)對(duì)機(jī)械臂進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，以柔度、質(zhì)量降低為優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)，將彈性位移、速度作為約束條件，實(shí)現(xiàn)了初步的優(yōu)化目標(biāo)；Zhou L L等[5]以機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)性能為約束條件，利用有限元分析技術(shù)進(jìn)行動(dòng)應(yīng)力計(jì)算，系統(tǒng)全面地考慮了傳動(dòng)鏈、零件尺寸等因素，對(duì)五自由度機(jī)械臂結(jié)構(gòu)開展了以減重為目標(biāo)的輕量化研究；羅忠等[6]針對(duì)細(xì)長(zhǎng)機(jī)械臂結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題，提出了一種基于剛度靈敏度分析的參數(shù)優(yōu)化方法；管貽生等[7]將動(dòng)力學(xué)分析與有限元分析相結(jié)合，基于動(dòng)力學(xué)仿真尋找到最危險(xiǎn)的機(jī)械臂姿態(tài)，對(duì)工業(yè)機(jī)械臂進(jìn)行尺寸優(yōu)化和拓?fù)鋬?yōu)化，取得了良好優(yōu)化效果；劉延杰等[8]以機(jī)械臂各臂的制造板材厚度為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，提出了以柔性關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率為目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計(jì)新方法，為了避免結(jié)構(gòu)柔度過(guò)小，在優(yōu)化過(guò)程中還增加了靜態(tài)偏移量為約束條件；任亮等[9]利用靈敏度分析技術(shù)篩選優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)，大大降低了待優(yōu)化參數(shù)規(guī)模，并在此基礎(chǔ)上對(duì)六自由度機(jī)械臂進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，同時(shí)達(dá)到了增大機(jī)械臂的模態(tài)頻率、改善力學(xué)性能和輕量化等多個(gè)目標(biāo)。

機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)以結(jié)構(gòu)疲勞壽命、動(dòng)柔度、經(jīng)濟(jì)性、可制造性等指標(biāo)為約束條件，通過(guò)對(duì)機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)尺寸、形狀、拓?fù)錁?gòu)型、材料、工藝等方面進(jìn)行合理調(diào)整，使指定的性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)（如質(zhì)量最輕、能耗最小等）[10，11]。如圖1所示，船用起重液壓機(jī)械臂的主要功能是離岸吊裝（如將船上的重物，通過(guò)起重機(jī)械臂運(yùn)輸?shù)酱a頭地面）一些重要精密設(shè)備對(duì)起吊過(guò)程中的沖擊振動(dòng)、平穩(wěn)性要求尤為嚴(yán)格，需要對(duì)機(jī)械臂進(jìn)行精密主動(dòng)控制。機(jī)械臂自身的質(zhì)量直接影響控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度，故起重機(jī)械臂的輕量化設(shè)計(jì)是重中之重。

圖1 船用起重液壓機(jī)械臂示意圖

本文以圖1中船用液壓機(jī)械臂的實(shí)驗(yàn)室樣機(jī)（相似縮比模型）為研究對(duì)象，進(jìn)行剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)建模，計(jì)算其在典型、完整工作循環(huán)中的各關(guān)節(jié)載荷時(shí)域響應(yīng)。以機(jī)械臂結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)為優(yōu)化目標(biāo)，以機(jī)械臂主承力構(gòu)件—主臂板材厚度為待優(yōu)化參數(shù)，以主臂最大米塞斯應(yīng)力為約束邊界，建立待優(yōu)化參數(shù)與約束邊界之間的多項(xiàng)式響應(yīng)面模型；采用蒙特卡洛法在約束邊界內(nèi)進(jìn)行全局尋優(yōu)，得到機(jī)械臂輕量化設(shè)計(jì)結(jié)果；再將優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)參數(shù)帶入有限元模型中，驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果的正確性。

1 基于多項(xiàng)式響應(yīng)面法的優(yōu)化設(shè)計(jì)理論

響應(yīng)面法的基本核心是采用多項(xiàng)式或其他方法（如支持向量機(jī)函數(shù)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等）建立可以模擬實(shí)際系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，避免求解規(guī)模巨大的有限元、多體模型，在提高分析效率的同時(shí)保證符合要求的精度。其中，多項(xiàng)式擬合法因其構(gòu)造簡(jiǎn)單、物理意義明確，在工程實(shí)踐中使用最廣泛。多項(xiàng)式法線性擬合多元自變量與因變量的關(guān)系式為

式中：X1、X2、…、Xm為m個(gè)一般自變量，Y為因變量，β0、β1、…、βm為未知的回歸系數(shù)，ε為隨機(jī)誤差。

為了計(jì)算回歸系數(shù)，需要對(duì)X1、X2、…、Xm做n次測(cè)量，得到n組測(cè)量數(shù)據(jù)（Yi、Xi1、Xi2、…、Xim），i＝1、…、n，n＞m，則回歸關(guān)系為

多項(xiàng)式響應(yīng)面中的二階多項(xiàng)式方法在工程應(yīng)用中較普遍，其形式可表示為

式中：y（x）為系統(tǒng)的響應(yīng)，可以為加速度信號(hào)值、應(yīng)變值、模態(tài)特征值等；x＝（x1，x2，…，xm）為響應(yīng)面中的樣本點(diǎn)，即試驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)；m為試驗(yàn)參數(shù)數(shù)量；β為回歸系數(shù)。

結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的是在滿足結(jié)構(gòu)功能要求的前提下獲得最優(yōu)的解決方案，如尺寸最小、質(zhì)量最輕，其流程主要包括定義目標(biāo)響應(yīng)和待優(yōu)化參數(shù)、定義邊界約束、優(yōu)化計(jì)算等。

2 機(jī)械臂剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)建模及分析

在機(jī)械臂結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，需將結(jié)構(gòu)最危險(xiǎn)工況下的載荷作為邊界條件輸入到力學(xué)模型中。傳統(tǒng)的篩選典型靜力學(xué)工況的分析方法由于忽略了系統(tǒng)加減速過(guò)程、振動(dòng)沖擊等因素，且人工考慮極限工況可能會(huì)有遺漏，不能反映機(jī)械臂真實(shí)工作受力情況。為了計(jì)算液壓機(jī)械臂在工作過(guò)程中各關(guān)節(jié)點(diǎn)的真實(shí)動(dòng)態(tài)載荷用于后續(xù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化的載荷輸入條件，需進(jìn)行剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)分析。

在多體動(dòng)力學(xué)軟件MSC.ADAMS中，建立機(jī)械臂的剛體模型，并進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真，評(píng)估模型的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特性是否符合設(shè)計(jì)要求。再將有限元軟件生成的包含機(jī)械臂主臂、伸縮臂網(wǎng)格信息、模態(tài)結(jié)果信息等的.mnf文件導(dǎo)入MSC.ADAMS軟件中，并建立機(jī)械臂剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型。剛?cè)狁詈夏Ｐ图瓤赡M機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)，又可同時(shí)研究柔性體的彈性位移、應(yīng)變等力學(xué)響應(yīng)。

模擬機(jī)械臂在真實(shí)工作狀態(tài)將貨物從船上運(yùn)輸?shù)降孛娴雀髌鸬豕r下的動(dòng)力學(xué)特性，同時(shí)進(jìn)行主臂關(guān)節(jié)節(jié)點(diǎn)力計(jì)算。主臂關(guān)節(jié)動(dòng)態(tài)載荷即為主臂結(jié)構(gòu)優(yōu)化載荷輸入條件。機(jī)械臂剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型及將貨物從船上運(yùn)輸?shù)降孛鏁r(shí)各關(guān)節(jié)節(jié)點(diǎn)的載荷如圖2所示。

圖2 機(jī)械臂剛?cè)狁詈夏Ｐ图瓣P(guān)節(jié)載荷

在圖2b中，液壓機(jī)械臂的剛?cè)狁詈夏Ｐ蛯⒁粋€(gè)圓柱體重物負(fù)載從船舶平臺(tái)運(yùn)輸?shù)搅硗獯a頭岸上，此為一個(gè)作業(yè)循環(huán)。機(jī)械臂的主臂和伸縮臂各具有前后2個(gè)關(guān)節(jié)，每個(gè)關(guān)節(jié)的受力沿X、Y、Z方向進(jìn)行分解，共計(jì)12個(gè)分量，如圖2a所示。在剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型中，液壓機(jī)械臂將貨物從船上運(yùn)輸?shù)降孛娴倪^(guò)程中4個(gè)典型時(shí)刻（即起吊開始、提升階段、平移運(yùn)送負(fù)載、釋放負(fù)載等時(shí)刻）的機(jī)械臂米塞斯應(yīng)力云圖如圖3所示。

圖3 4個(gè)時(shí)刻主臂米塞斯應(yīng)力云圖

由圖3可知，主臂米塞斯應(yīng)力較大的部位在其內(nèi)側(cè)受壓處，且受力較均勻，應(yīng)力集中情況較少。保證應(yīng)力云圖中每一點(diǎn)都符合安全系數(shù)要求是輕量化過(guò)程中的約束條件，主臂總質(zhì)量只需用其板材厚度和密度經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單代數(shù)運(yùn)算即可求出，而主臂板材厚度與主臂最大米塞斯應(yīng)力之間無(wú)顯式的數(shù)學(xué)關(guān)系表達(dá)式，需要采用響應(yīng)面模型進(jìn)行描述。

3 基于響應(yīng)面法的機(jī)械臂結(jié)構(gòu)優(yōu)化

3.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

試驗(yàn)設(shè)計(jì)是關(guān)于怎樣合理安排試驗(yàn)的數(shù)學(xué)方法，其確定了設(shè)計(jì)點(diǎn)的數(shù)量及分布規(guī)律，是建立高精度響應(yīng)面的首要步驟。常用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法包括全因子、均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)等。拉丁超立方抽樣（Latin Hypercube Sampling，LHS）是一種分層的隨機(jī)抽樣方法，可改進(jìn)抽樣策略，使產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)更具代表性。LHS抽樣能以較少采樣次數(shù)獲得較高的采樣精度，其采樣點(diǎn)均勻分布于設(shè)計(jì)區(qū)間內(nèi)，而非集中在中值區(qū)域。如圖4所示，將主臂按加工過(guò)程中的板材結(jié)構(gòu)分布進(jìn)行材料劃分。

圖4 參數(shù)分區(qū)示意圖

在圖4中，1、2、3為在機(jī)械臂制造過(guò)程中的鋼板分區(qū)，每個(gè)分區(qū)由一整塊金屬板材焊接而成，每個(gè)分區(qū)采用同一厚度規(guī)格的板材，選取板材厚度為待優(yōu)化參數(shù)。采用LHS方法對(duì)主臂區(qū)域Ⅰ、區(qū)域Ⅱ、區(qū)域Ⅲ（對(duì)應(yīng)的板材厚度參數(shù)為P1、P2、P3）進(jìn)行抽樣，綜合考慮建模速度和精度，抽樣點(diǎn)數(shù)為100個(gè)，參數(shù)P1、P2、P3的初始值為10 mm。根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，抽樣上下邊界均為參數(shù)初始值的50%～150%。

3.2 多項(xiàng)式響應(yīng)面建立

建立響應(yīng)面模型可以模擬原始有限元模型的輸入輸出關(guān)系。在結(jié)構(gòu)優(yōu)化迭代過(guò)程中，只需在響應(yīng)面模型中進(jìn)行擬合計(jì)算，即可避免反復(fù)調(diào)用耗時(shí)較長(zhǎng)的有限元求解器。此外，該方法同時(shí)具有數(shù)據(jù)精度高、計(jì)算速度快等優(yōu)點(diǎn)。將100個(gè)試驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)分別輸入有限元模型中，計(jì)算出100個(gè)對(duì)應(yīng)的主臂最大米塞斯應(yīng)力。通過(guò)嘗試，選用5階多項(xiàng)式方法擬合樣本點(diǎn)，建立3個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)（P1、P2、P3）和主臂最大米塞斯應(yīng)力之間的響應(yīng)面模型，其中區(qū)域Ⅰ、區(qū)域Ⅱ的板材厚度與最大應(yīng)力之間的響應(yīng)面模型如圖5所示。

圖5 區(qū)域Ⅰ、區(qū)域Ⅱ響應(yīng)面模型

在圖5中，橫縱坐標(biāo)表示當(dāng)區(qū)域Ⅰ、區(qū)域Ⅱ板材厚度從0.5 mm變化到1.0 mm時(shí)，豎坐標(biāo)表示主臂最大米塞斯應(yīng)力從62.0 MPa變化到145.0 MPa。

在實(shí)際工程問(wèn)題中，響應(yīng)面模型的精度和泛化能力必須滿足一定的要求，故所建立的響應(yīng)面模型都要按照一定的指標(biāo)進(jìn)行精度評(píng)價(jià)。本文通過(guò)常用的均方根誤差(RMSE)及決定系數(shù)R2這2種標(biāo)準(zhǔn)對(duì)響應(yīng)面模型精度進(jìn)行評(píng)估。其表達(dá)式為

式中：y、ys為設(shè)計(jì)空間中各樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)真值和代理模型預(yù)測(cè)值；為設(shè)計(jì)空間上各點(diǎn)的均值；RMSE為設(shè)計(jì)空間各點(diǎn)試驗(yàn)真值和代理模型預(yù)測(cè)值之間誤差占平均幅值的百分比；R2為決定系數(shù)，即試驗(yàn)真值與代理模型預(yù)測(cè)值之間的總體差異程度，取0～1。

如果R2越接近1、RMSE越接近0，則代理模型越能反映真實(shí)的參數(shù)和響應(yīng)之間的關(guān)系。通過(guò)對(duì)響應(yīng)面進(jìn)行檢驗(yàn)，決定系數(shù)R2均大于0.99，相對(duì)均方根誤差RMSE均小于0.001，響應(yīng)面模型精度滿足工程要求。

3.3 基于蒙特卡洛法的響應(yīng)面尋優(yōu)

采用蒙特卡洛法求解響應(yīng)面最優(yōu)問(wèn)題既可避免求解過(guò)程陷入局部最優(yōu)，也可兼顧較高的求解效率。在設(shè)計(jì)參數(shù)的取值空間內(nèi)，再次采用拉丁超立方抽取2萬(wàn)個(gè)樣本點(diǎn)。由于LHS為分層均勻抽樣，2萬(wàn)個(gè)樣本點(diǎn)從概率學(xué)上能完全覆蓋3個(gè)參數(shù)的取值空間。

將2萬(wàn)個(gè)樣本點(diǎn)帶入響應(yīng)面模型中，計(jì)算主臂在嚴(yán)苛工況工作下的最大米塞斯應(yīng)力。結(jié)果顯示，米塞斯應(yīng)力為62.0～145.0 MPa。機(jī)械臂采用LY12材料制造，其屈服強(qiáng)度為325.0 MPa。在實(shí)際工程中，結(jié)構(gòu)取4倍安全系數(shù)，即材料許用應(yīng)力為81.25 MPa。在圖6中，區(qū)域Ⅰ、區(qū)域Ⅱ、區(qū)域Ⅲ板材厚度為一個(gè)參數(shù)取值的組合，如區(qū)域Ⅰ、區(qū)域Ⅱ、區(qū)域Ⅲ的板材厚度取6.5 mm、8.2 mm、9.8 mm時(shí)為一個(gè)滿足許用應(yīng)力要求的參數(shù)組合，即一個(gè)樣本點(diǎn)。圖6為從2萬(wàn)個(gè)樣本點(diǎn)中篩選出的3 799個(gè)滿足材料許用應(yīng)力要求的樣本點(diǎn)。計(jì)算3 799個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的主臂質(zhì)量，最小質(zhì)量為74.5 kg，區(qū)域Ⅰ、區(qū)域Ⅱ、區(qū)域Ⅲ的最薄板材厚度組合為8.49 mm、5.60 mm、5.27 mm。

圖6 滿足條件的樣本點(diǎn)

4 優(yōu)化結(jié)果二次驗(yàn)證

考慮到板材厚度為標(biāo)準(zhǔn)化、系列化，取3個(gè)板材厚度分別為8.5 mm、5.6 mm、5.3 mm。相比優(yōu)化前的10 mm初始厚度，主臂板材厚度下降了15%～47%，總質(zhì)量降低了26%。將上述優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果帶入原始有限元模型中，進(jìn)行結(jié)果二次驗(yàn)證確認(rèn)。在機(jī)械臂主臂上，選取應(yīng)力最大的區(qū)域內(nèi)6個(gè)典型位置，計(jì)算每個(gè)位置危險(xiǎn)有限元網(wǎng)格單元的米塞斯應(yīng)力。圖7為一個(gè)工作循環(huán)中機(jī)械臂應(yīng)力最大的6個(gè)區(qū)域的米塞斯應(yīng)力曲線。

圖7 驗(yàn)證優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果

由圖7可知，優(yōu)化設(shè)計(jì)后主臂在嚴(yán)苛工況下的一個(gè)工作循環(huán)0～20 s，6個(gè)危險(xiǎn)位置的有限元網(wǎng)格單元米塞斯應(yīng)力隨起吊、舉升、下降、卸載等過(guò)程發(fā)生連續(xù)變化，其中舉升過(guò)程米塞斯應(yīng)力最大。工作過(guò)程中最大米塞斯應(yīng)力為79.9 MPa，滿足4倍安全系數(shù)下許用應(yīng)力的要求，且冗余量較小，同時(shí)也滿足輕量化設(shè)計(jì)目的。

5 結(jié)論

1）采用剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方法，建立了機(jī)械臂力學(xué)模型，計(jì)算了其在典型動(dòng)態(tài)工作循環(huán)下的主臂受力情況，更精確地模擬了結(jié)構(gòu)的真實(shí)受載狀態(tài)。

2）以機(jī)械臂輕量化設(shè)計(jì)為目標(biāo)，以材料許用應(yīng)力為約束條件，以主臂板材厚度為待優(yōu)化參數(shù)，建立了待優(yōu)化參數(shù)與約束條件之間的響應(yīng)面模型，并進(jìn)行了響應(yīng)面質(zhì)量檢驗(yàn)。響應(yīng)面可以在保證較高求解精度的同時(shí)，大大提高求解效率。

3）采用蒙特卡洛法對(duì)響應(yīng)面模型進(jìn)行優(yōu)化求解，既可避免求解過(guò)程陷入局部最優(yōu)，也可兼顧較高的求解效率。對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行二次驗(yàn)證，證實(shí)本算法優(yōu)化結(jié)果為全局最優(yōu)，安全可靠。

4）從結(jié)構(gòu)可靠性和輕量化角度對(duì)主臂優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)。相比于原始方案，主臂板材厚度下降了15%～47%，總質(zhì)量降低了26%，達(dá)到了輕量化、經(jīng)濟(jì)性的目標(biāo)，也為類似結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，提供了良好的工程案例。