浙江杭州市濱江區(qū)教育研究院（310051） 顧志能

浙 江 杭 州 市 濱 和 小 學(xué)（310051） 湯佳鋒

【課前之思】

六年級“比例的基本性質(zhì)”一課，能幫助學(xué)生對“比例”有一個全面的理解，同時是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)“解比例”和“用比例解決問題”等內(nèi)容的知識基礎(chǔ)。

對于這一課，不同版本的教材大多編排了傳統(tǒng)的“猜想—驗證—結(jié)論”的教學(xué)模式（圖1 為人教版教材的內(nèi)容）：教師首先引導(dǎo)學(xué)生通過觀察個別比例的共同特點，得出“外項之積等于內(nèi)項之積”，再將其作為一個猜想，鼓勵學(xué)生驗證這個猜想，通過更多的例子來確認(rèn)這一特點，最后以數(shù)學(xué)語言（文字和符號）進(jìn)行總結(jié)，得出結(jié)論。這種教學(xué)方法有助于學(xué)生集中精力理解比例的基本性質(zhì)，以及正確運用這一性質(zhì)來判斷比例是否成立。因此，大多數(shù)教師都采用這種方式來教學(xué)這節(jié)課的內(nèi)容。

圖1

然而，盡管這種方法在實現(xiàn)特定目標(biāo)上效果顯著，但它存在一個明顯的不足之處，即未能充分促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展和素養(yǎng)提升。學(xué)生在四年級已經(jīng)開始且多次經(jīng)歷了“猜想—驗證—結(jié)論”的學(xué)習(xí)路徑（如各種運算定律、運算性質(zhì)等的學(xué)習(xí)），因此，他們在六年級再次遇到類似的內(nèi)容時，往往就會感到缺乏新鮮感，也不想再深入思考。這意味著，學(xué)生雖然獲得了新的數(shù)學(xué)知識，但在數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、數(shù)學(xué)思維方法以及各種數(shù)學(xué)能力素養(yǎng)方面，他們都難以有新的發(fā)展和領(lǐng)悟。前測調(diào)查顯示，有不少學(xué)生在課前已經(jīng)知道了比例的基本性質(zhì)。如此學(xué)情下，運用教材推薦的教學(xué)思路進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生或許就只是“配合”教學(xué)而無思考了。

如何解決上述問題？可通過擴(kuò)展教學(xué)目標(biāo)來解決：基于學(xué)生的學(xué)情和學(xué)習(xí)心理，更加關(guān)注并激發(fā)學(xué)生內(nèi)心的疑問；引導(dǎo)學(xué)生主動提出問題，并利用這些問題來進(jìn)行有意義的探究式學(xué)習(xí)；引入演繹推理，結(jié)合合情推理的基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生的推理意識。這種教學(xué)調(diào)整的目的是幫助學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)知識的同時，培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑和批判性思維。另外，還可以在推理活動方面促使學(xué)生發(fā)展推理意識，以提升數(shù)學(xué)思維水平，為進(jìn)入初中階段奠定堅實的思維基礎(chǔ)。

【課堂實踐】

一、回顧舊知，喚醒經(jīng)驗

師：回憶比例的意義，并運用比例的意義判斷下面哪組中的兩個比可以組成比例。

（1）30∶5和12∶2

（2）0.8∶0.6和4∶3

（教師根據(jù)學(xué)生的回答，選取三個比例進(jìn)行板書：30∶5=12∶2，0.8∶0.6=4∶3，=）

二、借助生問，深入探究

1.基礎(chǔ)知識，簡單介紹

師（出示圖2）：在比例中，有“外項”和“內(nèi)項”。

圖2

2.觀察比例，獲得發(fā)現(xiàn)

師：請同學(xué)們仔細(xì)觀察30∶5=12∶2、0.8∶0.6=4∶3、=這三個比例，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：我發(fā)現(xiàn)每個比例中外項的積和內(nèi)項的積是相等的。

（其他學(xué)生紛紛附和）

師：真的是這樣的嗎？我們一起來檢驗。

（教師組織學(xué)生口算檢驗，確認(rèn)發(fā)現(xiàn)）

3.激發(fā)生問，舉例驗證

師：顯然，這三個比例中存在著一個相同的現(xiàn)象——外項的積等于內(nèi)項的積。對此，你有什么想法嗎？

生2：是不是所有的比例都有這樣的現(xiàn)象？

生3：有沒有比例不是這樣的呢？

生4：比例中為什么會有這樣的特點？

（教師引導(dǎo)學(xué)生感受什么是好問題，并讓學(xué)生意識到這個發(fā)現(xiàn)只是個猜想）

師：對“所有的比例是否都這樣”進(jìn)行舉例驗證，同桌之間相互交流。

師：大家一共舉了一百多個例子進(jìn)行驗證，沒有發(fā)現(xiàn)一個反例?，F(xiàn)在能不能確定地說“所有的比例都是外項的積等于內(nèi)項的積”？

生5：能確定，因為舉再多的例子，一定也是這樣的。

生6：還不行，因為例子舉不完，也許就有比例不符合這個規(guī)律。

生7：不行，因為我們要研究的是“所有”比例，舉例子永遠(yuǎn)舉不完所有。

師：說得有道理！舉不完例子，憑什么就能說所有的比例都是這樣的呢？所有比例，就是任意一個比例，那應(yīng)該怎么表示呢？對于a∶b=c∶d這樣的比例，一定能得到ad=bc嗎？（出示圖3）你用什么

圖3

方法來說明？

師（展示學(xué)生的思考方法，如圖4-1、圖4-2）：請這兩位同學(xué)介紹自己的方法，其他同學(xué)可以進(jìn)行提問。

圖4-1

圖4-2

師：運用學(xué)過的知識，圍繞之前的猜想，對一個用字母表達(dá)的比例進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治觯@樣的過程就叫證明?，F(xiàn)在證明已經(jīng)成功了，所以我們可以確定地說——

生（齊）：所有的比例，外項的積等于內(nèi)項的積。

師：對，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的“比例的基本性質(zhì)”。

師：現(xiàn)在梳理這節(jié)課的學(xué)習(xí)經(jīng)歷。從個別例子得出的發(fā)現(xiàn)叫作猜想，猜想是否正確，可以通過舉例來驗證，但例子通常舉不完，所以我們可以進(jìn)行證明。通過證明，我們可以得到一個確定的結(jié)論。同時，可以看到，大量舉例且舉不出反例，這時得出的結(jié)論往往是正確的。（出示圖5）

圖5

師：猜想—驗證—結(jié)論，猜想—證明—結(jié)論，這兩種思維方式都叫推理。第一種是我們以前用過很多次的，第二種我們用得比較少。在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，這兩種不同形式的推理功能不同，各有好處。

三、鞏固應(yīng)用，加深理解

基礎(chǔ)練習(xí)：判斷下面哪組中的兩個比可以組成比例。

（1）2∶25和4∶50

（3）0.6∶0.3和8∶5

變式練習(xí)：已知24×3=8×9，你能寫出比例嗎？

四、課堂總結(jié)，強(qiáng)調(diào)學(xué)法（略）

【課后有感】

該課教學(xué)，沒有精妙的情境，沒有復(fù)雜的課件，形式很樸素，過程很簡約，但卻讓人眼前一亮，讓人感受到了普通的教學(xué)內(nèi)容因創(chuàng)新設(shè)計而煥發(fā)出的迷人魅力。本課的特色主要體現(xiàn)在以下兩個方面。

一、兩種推理交融并進(jìn)，推理意識得到提升

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》指出“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”，在義務(wù)教育階段，推理是主要數(shù)學(xué)思維（小學(xué)階段叫“推理意識”）。由此可見，錘煉學(xué)生的推理意識，就是在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生核心素養(yǎng)。眾所周知，推理分為合情推理和演繹推理，鑒于小學(xué)生的思維水平，第一和第二學(xué)段的教材主要編排一些適合運用合情推理（一般是不完全歸納推理）的教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷歸納的過程，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、感悟思想方法。隨著思維水平的提升，學(xué)生自然還需要學(xué)習(xí)過程更嚴(yán)謹(jǐn)、思考更理性的演繹推理，但目前的教材只在第三學(xué)段偶有體現(xiàn)，第四學(xué)段（初中）才有系統(tǒng)的編排。

為了讓學(xué)生對推理有更多的感悟，更順暢地銜接中小學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，在第三學(xué)段（尤其是六年級）時，教師可以自主選擇合適的教學(xué)內(nèi)容，以恰當(dāng)?shù)姆绞揭龑?dǎo)學(xué)生開展演繹推理，以幫助學(xué)生積累經(jīng)驗、感悟思想。“比例的基本性質(zhì)”一課，知識的理解和運用都比較簡單，這就為從單純地開展合情推理拓展到兩種推理交融并進(jìn)的目標(biāo)定位帶來了可能。在本課中，借助三個比例式，學(xué)生自然而然地走上了熟悉的歸納推理之路，但教師并未止步于以前的“猜想—驗證—結(jié)論”的目標(biāo)，而是引導(dǎo)學(xué)生深入分析“所有的比例都這樣嗎”“為什么會這樣”，從而使學(xué)生的思維再上一級臺階，使學(xué)生主動地走向演繹推理；在利用演繹推理證明后，教師再說明歸納推理的價值，并總結(jié)兩種推理方式的聯(lián)系和區(qū)別。這樣，學(xué)生較好地經(jīng)歷了兩種推理的思維過程，尤其是充分感受到了演繹推理的力量，推理意識得到了一定的提升，課堂也因此而綻放光彩。

二、學(xué)生提問引領(lǐng)探究，創(chuàng)新意識得到錘煉

培養(yǎng)有較強(qiáng)創(chuàng)新意識的學(xué)生，為國家輸送更多的創(chuàng)新型人才，是時代賦予教育的重要使命。那么，發(fā)揮數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容富含思維元素的優(yōu)勢，引導(dǎo)學(xué)生多開展提問活動，就是一條培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識的重要途徑。學(xué)生面對一個數(shù)學(xué)內(nèi)容時往往能主動地發(fā)現(xiàn)和提出問題，尤其是提出好問題，這需要高階思維的參與，如批判性思維和創(chuàng)造性思維等，而這些思維活動最有利于創(chuàng)新意識的形成。

因此，多讓學(xué)生在課堂上提問，能使學(xué)生有更多的機(jī)會展開分析、比較、批判、質(zhì)疑等高質(zhì)量的思維活動，從而增強(qiáng)思維能力，發(fā)展創(chuàng)新意識。在本課中，筆者有意將此作為重要的素養(yǎng)追求納入教學(xué)目標(biāo)，為此精心設(shè)計提問材料，努力引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題，并借助學(xué)生的問題激勵學(xué)生深度探究，自主釋問?？梢钥吹剑趯W(xué)生對三個比例式的“發(fā)現(xiàn)”，教師一句“對此，你有什么想法嗎？”就將學(xué)生的批判性思維、創(chuàng)造性思維點燃，接著，“是不是所有的比例都有這樣的現(xiàn)象？”“有沒有比例不是這樣的呢？”“比例中為什么會有這樣的特點？”等問題噴薄而出。此時，教師并不滿足于這些問題的提出，而是特意引導(dǎo)學(xué)生感受什么是好問題，鼓勵學(xué)生要有質(zhì)疑精神。在學(xué)生借助問題開展探究后，教師引導(dǎo)學(xué)生對別人的證明方法進(jìn)行提問，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成敢質(zhì)疑、講道理的思維習(xí)慣。如上的過程，充分體現(xiàn)了“引發(fā)學(xué)生積極思考，鼓勵學(xué)生質(zhì)疑問難，引導(dǎo)學(xué)生在真實情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題”的教學(xué)理念，學(xué)生的提問能力、創(chuàng)新意識由此得到了有效鍛煉，核心素養(yǎng)更是在潛移默化中得以發(fā)展。

綜上，類似于“比例的基本性質(zhì)”這樣的高年級教學(xué)內(nèi)容，教師都可以帶著上述理念進(jìn)行目標(biāo)的拓展和設(shè)計的創(chuàng)新。這樣，課堂會展現(xiàn)全新的面貌，學(xué)生會得到更大的收獲。