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雖然音樂通常被用來放松身心，但音律研究絕非如此，即便“如何確定一個(gè)音階”這樣最基礎(chǔ)的問題，也要涉及纏綿的數(shù)學(xué)運(yùn)算。坦率地說，這是一個(gè)非常簡單的數(shù)學(xué)問題：所謂音樂，就是按照某種節(jié)奏依次連接不同頻率的聲音，而人耳是一種非常靈敏的機(jī)械波感受器，并不是隨便兩個(gè)聲音連在一起就能覺得好聽——在絕大多數(shù)情況下，如果兩個(gè)聲音的頻率接近簡單的整數(shù)比，那么它們接連奏響就比較好聽， 最簡單的比例當(dāng)然是1︰1和1︰2，但這未免太單調(diào)了，需要在兩者之間找到更廣 闊的天地。幸虧聲音的頻率直接反比于弦樂器的弦長，或者管樂器的氣柱長，所以通過打孔或者改弦便可實(shí)現(xiàn)。而人類很早就開始研究聲律法了。

一、音律是在理性思維下的一場數(shù)字游戲

偉大的作曲家伊戈?duì)枴し频侣寰S奇·斯特

拉文斯基曾說： “音樂這種形式和數(shù)學(xué)較為接近——也許不是和數(shù)學(xué)本身相關(guān)，但肯定與數(shù)學(xué)思維和關(guān)系式有關(guān)。”古希臘時(shí)期關(guān)于音樂和比例之間的關(guān)系就是依據(jù)數(shù)學(xué)的等比劃分，早期音樂中時(shí)值最開始是以三等分來劃分，后來才發(fā)展出兩等分；比如各個(gè)模仿聲部之間的比例的確定；比如早期對(duì)八度、五度的運(yùn)用，到逐漸加入三度和六度的過程，以及一直避免三全音的觀念；比如將音樂高潮放在黃金分割點(diǎn)上的創(chuàng)作技法，無一不是在數(shù)學(xué)思維下進(jìn)行的音樂創(chuàng)作。

譬如畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的五度相生律，首先考慮了2/3的情況：先取某個(gè)長度的琴弦為基準(zhǔn)，當(dāng)作C；剪掉C的1/3，得到了G；然后延長G的1/3，得到了D；再剪掉D的1/3，得到了A；再延長A的1/3，得到了E；再剪掉E的1/3，就得到了B。這樣每次剪短都是純五度， 而每次延長都是純四度，新生成的5個(gè)音，連同最初的C，相鄰兩個(gè)的頻率比例都是9/8，而且B和下一個(gè)C的頻率比例是256/243，相當(dāng) 于預(yù)期的9/8的一半，但是E和G之間缺一個(gè)音，那就給下一個(gè)C延長一半，就得到了F，F(xiàn)與G的比例也是9/8，與E的比例也是256/243，可以說很不簡單了。就這樣西方人得到了最初 的七個(gè)音階，也就是鋼琴上的白鍵。

無獨(dú)有偶，中國人也給竹管加 1/3或者減 1/3，即所謂的“三分損益法”：從宮調(diào)開始 得到商、角、徵、羽四個(gè)音，而放棄了最后兩個(gè)有些叛逆的B和F。但是在古代，西方數(shù)學(xué) 長于幾何，而東方數(shù)學(xué)長于算數(shù)，中國人嘗試 了更加極端的三分損益，據(jù)《史記》記載：取 九九八十一為基本長度，定名為黃鐘，也就是C，由此開始連環(huán)三分損益，得到了應(yīng)鐘，也就是B，仍不停下，而后得到了蕤賓，也就是#F，繼續(xù) 損益，最終產(chǎn)生的清黃鐘長度，約39.9548， 這比理想的半個(gè)黃鐘即40.5還差一點(diǎn)，但也無 可奈何。同時(shí)，這也產(chǎn)生了5個(gè)變化的音。當(dāng) 西方人在文藝復(fù)興時(shí)期做出同樣的計(jì)算時(shí)，就 把這幾個(gè)音制成了小鍵琴和大鍵琴的黑鍵。但 五度相生律畢竟古老，它的缺陷非常嚴(yán)重：七 個(gè)基本音只有純五度和純四度一種和諧關(guān)系，其余大三度是81/64（C—E），小三度是32/27 （E—G），都不是簡單的整數(shù)比，嚴(yán)重限制了 音樂的可能。歐洲人嘗試了很多修正法，一種 叫作純律的做法是給E的弦長做了些微小的調(diào) 整，乘上了80/81這個(gè)很接近1的數(shù)字，使得C— E大三度成了5/4，E—G小三度成了6/5——用 類似的方法修改A和B——但這也無非是拆東墻補(bǔ)西墻，不和諧仍然顯著。另一類稍好的做 法稱為中庸律，就是讓五度變得平均，把這些 不和諧分?jǐn)偟?，這樣純五度的變化不甚劇烈， 而大三度和小三度都將變得和諧——這類實(shí)踐在16世紀(jì)以后的歐洲豐富起來，和聲樂理因此 迅速發(fā)展，效果華麗講究對(duì)位的復(fù)調(diào)音樂漸入 佳境。

與此同時(shí)，中國人算數(shù)的功力更加精湛出眾：既然五度相生律讓人們養(yǎng)成了將二倍的 頻率分成十二份的習(xí)慣，那么在最理想的條件下，就應(yīng)該將這十二份構(gòu)成等比數(shù)列，這個(gè)比值顯然是2的12次方根，一個(gè)無理數(shù)，本來就不能以簡單整數(shù)表示，這就是五度相生律和純律那些瑕疵的來源，而中庸律已然摸到了門道，所以好用很多，只是算數(shù)不夠強(qiáng)大。于是在明萬歷十二年（1584），東方藝術(shù)百科全書式的人物朱載堉（1536—1610）用算盤硬生生精確計(jì)算出了2的12次方根的25位小數(shù)，推出了全新的“十二平均律”。2的12次方根雖然是個(gè)無理數(shù)，但它們的兩兩比值卻非常接近五度相生律的簡單整數(shù)比，讓人耳難以察覺，同時(shí)排除了五度相生的瑕疵，這種無懈可擊的生律法經(jīng)意大利傳教士利瑪竇介紹給了法國著名的數(shù)學(xué)家梅森，寫進(jìn)《宇宙和諧》（HarmonieUniverselle），這或許給歐洲音樂帶來了至關(guān)重 要的啟發(fā)，研究如何將無理數(shù)的不和諧均攤在所有的音上。巴赫因此創(chuàng)作了精湛的賦格與卡農(nóng)，將巴洛克音樂推上了空前的高峰，再后來有了更加準(zhǔn)確的鋼琴，歐洲的音樂才漸漸有了今天的模樣。

此后歐洲音樂創(chuàng)作的技法和觀念，從巴洛克時(shí)期發(fā)展成熟的各種復(fù)調(diào)手法伊始，從某種程度上來說更是一場數(shù)字的游戲，比如各種對(duì)主題的倒影、逆行和倒影逆行技法的運(yùn)用。整個(gè)巴洛克時(shí)期、古典時(shí)期和浪漫主義時(shí)期通用的功能和聲，也是和數(shù)學(xué)模式緊密相關(guān)的。比如V—I就能確立一個(gè)新調(diào)，或者傳統(tǒng)的轉(zhuǎn)調(diào)都?? 是在近關(guān)系調(diào)之間轉(zhuǎn)，或者模進(jìn)中的“首調(diào)模進(jìn)”和“變調(diào)模進(jìn)”，本質(zhì)上都是長久以來從數(shù)學(xué)的邏輯推導(dǎo)出來的。

到了20世紀(jì)初，勛伯格打破傳統(tǒng)調(diào)性體系后，不論是自由無調(diào)性還是序列音樂，都是建立在“音集”理論上的。這個(gè)“音集”，就是把一個(gè)音高組合的材料數(shù)字化，然后再用各種方式進(jìn)行變形和變奏。再到后來，當(dāng)電子音樂發(fā)展起來以后，很多電子音樂“創(chuàng)作”的軟件或程序，其本身就是一種編程行為而不是傳統(tǒng)的音樂創(chuàng)作思維了。也就是說，只要是以音程和音階及其移位作為基本的音樂理論基礎(chǔ)和創(chuàng)作素材的音樂作品，都是和數(shù)學(xué)思維緊密相關(guān)的。

二、聲音的藝術(shù)與耳朵的特性

關(guān)于音樂和數(shù)學(xué)的討論，最經(jīng)典的聯(lián)系就是傅里葉變換，從我們?nèi)粘?duì)聲音的感知，到樂曲的寫作編排，它們的本質(zhì)都離不開這五個(gè)字；但是我們的耳朵并不需要拿起筆去做微積分來計(jì)算傅里葉變換，因?yàn)榇笞匀坏倪M(jìn)化，讓我們的耳朵擁有著更為微妙的方式去感受這個(gè)世界。

在19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家傅里葉證明了任何周期函數(shù)都可以寫作正弦函數(shù)的和，而聲波正是一種周期函數(shù)， 聲音的三種品質(zhì)：音量、音調(diào)、音色分別對(duì)應(yīng)該函數(shù)的振幅、頻率和分解得到的正弦函數(shù)序列。簡單來講，傅里葉變換就是把“隨著時(shí)間變化的波動(dòng)”變成“固定數(shù)值的頻率”來表示。再具體到聲音上面，聲音是由振動(dòng)產(chǎn)生的，而振動(dòng)則是隨著時(shí)間往返重復(fù)變化的位移，那么最簡單直接的感受振動(dòng)的方式，就是感受每一個(gè)時(shí)刻對(duì)應(yīng)的位移。但是，如果這個(gè)振動(dòng)的位移變化的規(guī)律是固定不變的呢？比如，是按照相同的時(shí)間間隔持續(xù)往返的變化？如果老老實(shí)實(shí)去描述它每一個(gè)時(shí)刻的位移，就會(huì)產(chǎn)生大量重復(fù)的信息。因此我們可以重新定義一個(gè)物理量，即“頻率”，來概括這些冗余的信息。頻率描述的就是一個(gè)振動(dòng)的快慢。這就是傅里葉變換所做的事情，而我們的耳朵則無時(shí)無刻不在做這樣的事情——把振動(dòng)變換成頻率的描述，然后傳遞給大腦。因此我們的一切有關(guān)聲音的藝術(shù)也圍繞著我們耳朵的這個(gè)特性而展開。

聲音通過外耳被收集，在中耳，也就是鼓膜和三個(gè)聽小骨，被放大，最后傳遞到內(nèi)耳被轉(zhuǎn)換成神經(jīng)信號(hào)。在內(nèi)耳，最主要的感受聲音的器官叫作耳蝸，它像蝸牛殼一樣，是一個(gè)螺 旋形的結(jié)構(gòu)；而耳蝸內(nèi)部分布著大量的聽覺毛細(xì)胞，當(dāng)有聲音進(jìn)入耳朵里的時(shí)候，耳蝸就會(huì) 接收到聲音的振動(dòng)；耳蝸有一個(gè)特性，就是由于基底膜的材質(zhì)、毛細(xì)胞的形態(tài)等不同，特定的位置只對(duì)特定的頻率敏感。耳蝸的最中心處對(duì)最低的頻率敏感，對(duì)人類來說，這個(gè)頻率大 概是20Hz，而越往外則對(duì)高頻越敏感。這樣一 來，在耳蝸里，聲音就按照不同的頻率被分開了。不同位置的毛細(xì)胞，在受到其對(duì)應(yīng)的特定頻率 的振動(dòng)的刺激后就會(huì)產(chǎn)生神經(jīng)沖動(dòng)；不同位置的毛細(xì)胞產(chǎn)生的神經(jīng)沖動(dòng)傳遞到大腦，大腦就可以分辨出不同頻率的聲音了。這就完成了人 耳內(nèi)部的傅里葉變換。

由此我們把持續(xù)的振動(dòng)轉(zhuǎn)換為固定的頻率去感受聲音。比如在樂譜中，一個(gè)音符可以傳達(dá)出兩個(gè)信息：頻率（音高）和持續(xù)的時(shí)長。實(shí)際上，當(dāng)我們奏響音符的時(shí)候，發(fā)出來的是 持續(xù)的振動(dòng)。然而，對(duì)于同樣頻率的振動(dòng)，我們只需要用某個(gè)特定位置的小黑點(diǎn)來代表就可以了。這個(gè)小黑點(diǎn)的上下位置，在音樂里，我們稱為音高；而在物理上，我們就把它稱為振動(dòng)的頻率。樂譜這樣的特性為音樂的發(fā)展帶來了極大的便利，否則如果我們需要依賴一系列變化的波動(dòng)來記錄音樂，那么我們的樂譜將會(huì)復(fù)雜到無法辨認(rèn)。

三、音樂是無法量化的美感和意境

關(guān)于這一結(jié)論，來源于筆者近期看到的將神經(jīng)科學(xué)引入音樂研究的課題。研究音樂本質(zhì)上是研究我們自己，音樂、聲音本身不產(chǎn)生美，它們只是美的誘餌。這又可以聯(lián)想到一個(gè)問題——為什么大眾會(huì)覺得現(xiàn)代派的音樂難以入耳，而莫扎特的音樂大眾會(huì)覺得好聽？筆者認(rèn)為這也可以從神經(jīng)科學(xué)的角度來回答。首先莫扎特的音樂和聲很樸素，更接近數(shù)學(xué)的和諧，這種好聽是屬于自然科學(xué)的；但后期比如斯特拉文斯基，大概就很難有大眾能聽得進(jìn)去了，但搞音樂的人，水平越高，越是能“聽懂”，反而會(huì)覺得好聽。這就是一個(gè)類似“墻上的污點(diǎn)”的道理，盯得時(shí)間久了，污點(diǎn)之間就會(huì)在腦中生發(fā)出某種聯(lián)系，最后變成一副有意義的供欣賞的畫。同理，搞音樂的人對(duì)和聲的欣賞需求遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了莫扎特時(shí)期，他們會(huì)無限細(xì)分和聲排列組合的可能性，這樣一來他們欣賞音樂的需求就從莫扎特到貝多芬，從柴可夫斯基到瓦格納，從拉赫瑪尼諾夫到斯特拉文斯基，再到最后無調(diào)性音樂，一路下來他們不斷地在腦海中無限細(xì)分“不協(xié)和到協(xié)和解決”的原理。

所以整個(gè)過程就是人腦自己跟自己玩的一 個(gè)無限拆分游戲，大腦不斷渴望尋求更新鮮的聲音。聽音樂的美感跟看小說、電影其實(shí)是一樣的，讓大腦興奮的永遠(yuǎn)是劇情矛盾的升級(jí)到矛盾解決后的暢快淋漓，一部電影僅有單純的和諧肯定是索然無味的，音樂也一樣，從頭到尾C大三和弦重復(fù)五分鐘不叫美感，而G屬七和弦到C大三才產(chǎn)生美感，實(shí)際上就是和電影一樣注重矛盾沖突的解決過程。

筆者對(duì)于用神經(jīng)科學(xué)來回答音樂“悅耳” 的問題并不專業(yè)，只能給出淺顯的理解，即由于人腦的獎(jiǎng)勵(lì)機(jī)制并不平滑可導(dǎo)，所以用音樂試錯(cuò)成本低。音樂，或者說藝術(shù)，之所以觸及靈魂，是因?yàn)樽饔糜谏窠?jīng)柱級(jí)的獎(jiǎng)勵(lì)機(jī)制，其目的在于幫助大腦開發(fā)新功能的神經(jīng)柱；而數(shù)學(xué)，是系統(tǒng)提升無法構(gòu)建某種功能神經(jīng)柱的環(huán)境，所以無法觸發(fā)獎(jiǎng)勵(lì)機(jī)制，普遍指多巴胺。

回到音樂與數(shù)學(xué)的關(guān)系，既然音樂的本質(zhì)是數(shù)學(xué)，但數(shù)字化的東西卻始終缺一點(diǎn)點(diǎn)，即感情。感情表達(dá)不是寫一個(gè)記號(hào)就能清晰完成的，每一個(gè)失誤都可能造就經(jīng)典，每一根沒調(diào)準(zhǔn)的弦也有可能形成鮮明的風(fēng)格，每一次演奏者腦子里形成的畫面也會(huì)被接受者重新理解，所以感情是不可量化的。所以， 對(duì)比錄音錄像，大家可能會(huì)更喜歡聽現(xiàn)場演唱；對(duì)比完美無瑕的midi（樂器數(shù)字化接口）制品（可理解為計(jì)算機(jī)合成的音樂），大家更喜歡有錯(cuò)誤和不穩(wěn)定發(fā)揮的bigband（大樂團(tuán)）。類比來說，正是因?yàn)橐魳酚衅洳淮_定性，以及無法量化的美感和意境，才使它成為數(shù)學(xué)可以解釋、可以評(píng)論，但無法替代的藝術(shù)。

四、結(jié)語

萊布尼茲有一句話， “音樂是數(shù)學(xué)在靈魂 中無意識(shí)的運(yùn)算”，音樂正如有情緒的數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)則像最純粹的音樂，樂音激蕩，而數(shù)字翩躚，音樂與數(shù)學(xué)恰似人類心智開出的兩朵玫瑰。雖然樂律是音樂樂音體系的基石，但樂律 與音樂就像軟件編程與軟件操作之間的關(guān)系，前者需要精密的計(jì)算邏輯，而后者只需要把軟件當(dāng)作工具來運(yùn)用即可，無須關(guān)心這個(gè)軟件是如何編寫的。而音樂與數(shù)理之間的關(guān)系，也并 非一定要牽扯到理性與感性之間的矛盾與平衡。

[作者簡介]張?zhí)耜浚?，漢族，湖北黃石人，南京藝術(shù)學(xué)院碩士研究生在讀，研究方向?yàn)槊褡逡魳穼W(xué)。