張鳳珊，陳 拓，陳曉燕，蔣 陽，曾 浩

（1.北京衛(wèi)星信息工程研究所，北京 100086；2.重慶大學(xué) 微電子與通信工程學(xué)院，重慶 400044）

0 引言

在雷達(dá)、通信、測控等領(lǐng)域中，采用基于相控陣天線的幅度和差單脈沖測角技術(shù)被廣泛用于目標(biāo)角度跟蹤，具體又分為查表法和公式法[1]。查表法需要建立每一個跟蹤軸角度下的差和比曲線，天線測量過程復(fù)雜，存儲資源消耗大，訪問速度慢。而公式法只需要根據(jù)子波束接收信號幅度計算目標(biāo)角度，克服了查表法的不足，所以本文討論公式法。根據(jù)文獻(xiàn)[1]，公式法誤差來源主要有兩個，一是子波束接收信號的幅度估計誤差，二是改變波束指向?qū)е碌姆较驁D畸變誤差。

來波信號的幅度估計是公式法的重要步驟，幅度估計精度將直接影響到目標(biāo)測角精度，估計方法主要有最大似然估計[2-3]、能量公式估計[4]等方法。利用最大似然法檢測強(qiáng)背景噪聲中的信號已經(jīng)成為比較成熟的方法，并得到廣泛應(yīng)用，但該方法要求有用信號已知，并非真正意義上的盲估計算法[5]。利用能量公式法估計信號幅度的復(fù)雜度低，且在高信噪比（Signal-to-Noise Ratio,SNR）下幅度估計精度高，但在低SNR 下，易受到噪聲的影響。如果可以降低接收信號中的噪聲，提高信噪比，那么能量公式法將是一種復(fù)雜度低、但估計精度高的幅度估計方法。

另一方面，為了減小方向圖畸變對測角的影響，相關(guān)學(xué)者對此展開了廣泛的研究。文獻(xiàn)[6-9]通過引入線性約束條件，減小差和比曲線畸變的問題，但約束條件繁瑣、復(fù)雜。文獻(xiàn)[10]建立一種誤差補(bǔ)償?shù)纳窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法來對差和比曲線進(jìn)行補(bǔ)償，但學(xué)習(xí)復(fù)雜度高且樣本依賴性嚴(yán)重。文獻(xiàn)[11]提出了一種獨(dú)立于和波束的數(shù)字差波束形成方法，相比于傳統(tǒng)方法，測角精度提高了1.16 倍。文獻(xiàn)[12]提出一種基于虛擬子陣的目標(biāo)角度估計方法，它將陣列劃分為兩個虛擬子陣，并利用測量值的相位差來估計目標(biāo)角度，但涉及矩陣求逆和積分運(yùn)算，不利于硬件實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[13]提出一種基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的單脈沖角度跟蹤方法，其算法魯棒性高，但很難建立運(yùn)動目標(biāo)的精確運(yùn)動模型，且模型線性化過程復(fù)雜。文獻(xiàn)[14]針對二維測角方法存在角度估計耦合的問題，提出了一種解耦測角方法。

針對上述問題，本文采用循環(huán)位移自相關(guān)方法來降低噪聲對信號的影響，并利用復(fù)雜度低的能量公式估計來波信號幅度。此外，本文利用同心圓環(huán)陣在結(jié)構(gòu)上的對稱性，從而保持天線的波束形狀和增益基本不變[15-16]，最終減小改變波束指向?qū)е碌姆较驁D畸變誤差。從這兩個方面減小誤差來源，提高目標(biāo)角度估計精度。

1 陣列接收信號模型

假設(shè)一個具有M層圓環(huán)的同心圓環(huán)陣，各個圓環(huán)半徑ρm沿徑向依次遞增，Nm表示第m層圓環(huán)的陣元個數(shù)。進(jìn)一步假設(shè)第m層圓環(huán)的第n個陣元的方位角為ψmn，其示意圖如圖1 所示。

圖1 同心圓環(huán)陣的陣元分布圖

由于均勻同心圓環(huán)陣需要滿足陣元在各個圓環(huán)上等間距分布且其相鄰圓環(huán)間距相等的要求，因此均勻同心圓環(huán)陣的陣元方位角位置ψmn、圓環(huán)半徑ρm和陣元數(shù)Nm的計算公式如下：

式中：Δρ表示相鄰圓環(huán)之間的間距，λ表示來波信號波長。進(jìn)一步假設(shè)窄帶遠(yuǎn)場平面波信號入射俯仰角θs和方位角φs，根據(jù)圓心處的陣元接收到的信號：

則第m層圓環(huán)的第n個陣元的接收信號可以表示為

式中：m(t) 表示信號復(fù)包絡(luò)，ω表示信號角頻率，τmn(θs,φs)表示第m層圓環(huán)的第n個陣元相對于圓心陣元接收信號的延時：

由于接收信號一般含有噪聲，因此可定義陣列接收信號矩陣為：

式中：V(θs,φs)表示信號方向矩陣，如式（6）所示；N(t)表示噪聲矩陣，各個單元噪聲獨(dú)立同分布。

根據(jù)和差波束設(shè)置，接收機(jī)采用數(shù)字加權(quán)方式同時形成4 個不同指向子波束。記子波束指向?yàn)?θ0,φ0)，則對應(yīng)的權(quán)值矩陣為：

此時波束指向(θ0,φ0)的同心圓環(huán)陣的波束輸出信號為：

式中：W*表示W(wǎng)的共軛，符號“?”表示兩個同階矩陣的Hadamard 積，sum[]表示求矩陣所有元素的和。d(t)表示不含噪聲的子波束輸出信號，n(t)表示輸出信號中的噪聲。

2 二次循環(huán)位移自相關(guān)幅度估計

幅度和差單脈沖測角技術(shù)需要估計子波束接收信號幅度，而帶內(nèi)噪聲和雜波是影響估計精度的主要因素。如果接收信號是周期信號，通過循環(huán)位移自相關(guān)序列進(jìn)行信號幅度估計，可以使非期望信號（包括帶內(nèi)噪聲和雜波）的影響大大減小。

假設(shè)子波束接收信號y(t)采樣后的離散序列y(k)，其自相關(guān)函數(shù)ry(m)為：

式中：K表示快拍數(shù)，m∈[1-K,K-1]。根據(jù)式(8)，ry(m)可以進(jìn)一步表示為：

式中：rd(m)、rn(m)分別表示期望信號d(k)、非期望信號n(k)的自相關(guān)函數(shù)，rdn(m)、rnd(m)表示兩者互相關(guān)函數(shù)。根據(jù)信號統(tǒng)計特性可知：如果噪聲和雜波均為非相關(guān)信號，那么rdn(m)、rnd(m)均為零，且rn(m)為Delta 函數(shù)。假設(shè)d(k)是周期信號，則rd(m)是一個與原信號同周期的函數(shù)，幅度大小恒定且由待估計量，即信號d(k)的幅度A決定。顯然，對于新的序列ry(m)，由于噪聲和雜波的影響僅僅在m=0 一個位置，那么用m≠0 的剩余ry(m)進(jìn)行幅度估計就可以克服非相關(guān)噪聲和雜波的影響。

實(shí)際上，子波束輸出信號y(k)的長度K是有限的，此時ry(m)的幅度不再是定值，而是隨著m模值的增大而減小。為了保證ry(m)的幅度基本不變，從而能夠高效估計A，本文引入循環(huán)位移[4]的概念，即先把序列y(k)進(jìn)行周期延拓，得到周期為K的新序列：

符號mod(k,K)表示對序號k進(jìn)行模K運(yùn)算，再按照自相關(guān)定義式（9）計算得到新自相關(guān)序列：

不同于ry(m)，循環(huán)位移自相關(guān)rz(m)的幅度基本上是恒定的，并由A決定。需要注意的是，K的取值不是任意的，K值必須保證周期延拓后的序列在拼接點(diǎn)處相位是連續(xù)的。

rz(m)的噪聲是由于有限快拍導(dǎo)致的期望與噪聲、雜波的互相關(guān)rdn(m)和rnd(m)不為零。相同的原理，通過對rz(m)做二次循環(huán)位移自相關(guān)處理，可以進(jìn)一步消除噪聲和雜波對信號的影響，即取長度為K的rz(m)進(jìn)行周期延拓，得到：

然后再計算自相關(guān)函數(shù)：

根據(jù)上述分析，如果期望信號d(k)是一個正弦波，對rr(k) 可采用復(fù)雜度低的能量公式來估計信號幅度A，即：

3 和差單脈沖測角方法

3.1 子波束建立方法

假設(shè)跟蹤軸的波束指向角度為(θ0,φ0)，四個子波束的波束指向角度與跟蹤軸的俯仰偏角均為θk，方位偏角均為φk。根據(jù)前文對陣列權(quán)值的表示，四個子波束權(quán)值分別為：

進(jìn)一步假設(shè)目標(biāo)角度為(θs,φs)，目標(biāo)偏離跟蹤軸的俯仰角為θt、方位角為φt，如圖2 所示。規(guī)定目標(biāo)在跟蹤軸的下側(cè)時θt為正，目標(biāo)在跟蹤軸的右側(cè)時φt為正，顯然有：

圖2 幅度和差單脈沖測角示意圖

如果波束指向跟蹤軸的相控陣天線幅度方向圖函數(shù)為：

根據(jù)圓環(huán)陣列幾何布局特點(diǎn)，幅度方向圖函數(shù)E(θ,φ)在四個子波束方向具有相同的值，即：

相比于均勻平面陣列，由于同心圓環(huán)陣在結(jié)構(gòu)上的對稱性，使得式（19）中的四個表達(dá)式之間的誤差更小，最終導(dǎo)致基于同心圓環(huán)陣模型的測角誤差更小。

3.2 差和比計算

文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[14]介紹了差和比計算方法的兩種經(jīng)典方法，都可以采用本文提出的幅度估計方法和陣列結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[11]利用陣列法向方向矢量構(gòu)建方向圖函數(shù)，文獻(xiàn)[14]則直接利用跟蹤軸方向矢量，此處僅僅討論后者。

根據(jù)文獻(xiàn)[14]，和波束信號幅度、差波束信號幅度，作比得到俯仰維的差和比曲線Sθ(θs)和方位維的差和比曲線Sφ(φs)，即：

式中：

3.3 算法步驟

（1）對來波信號粗捕獲，估計得到的目標(biāo)大致角度(θ0,φ0)，并將該角度作為幅度和差單脈沖測角方法的跟蹤軸指向角度。

（2）根據(jù)θk、φk以及跟蹤軸指向角度(θ0,φ0)，確定四個子波束的波束指向角度，并同時產(chǎn)生四個相應(yīng)波束指向的子波束。

（3）根據(jù)四個子波束的接收信號，采用第2 節(jié)的二次循環(huán)位移自相關(guān)方法估計得到四個子波束的接收信號幅度。

（4）根據(jù)式（20）、式（21）計算得到俯仰維的差和比值和方位維的差和比值。

（5）根據(jù)式（20）、式（21）分別估計得到目標(biāo)信號角度。

4 算法復(fù)雜度分析

平面陣列模型和信號幅度估計的能量公式法是目前單脈沖相控陣角度跟蹤的基本方法，而采用圓環(huán)陣列和二次循環(huán)位移自相關(guān)是本文新方法。這些方法都可以同文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[14]兩種經(jīng)典差和比計算方法結(jié)合。為此，定義6 種單脈沖測角方法，并按照表1 關(guān)系命名，其對應(yīng)計算量如表2 所示。

表1 不同方法的解釋說明

表2 不同方法計算復(fù)雜度對比

比較方法11 和方法21，兩種算法復(fù)雜度相當(dāng)，且都不高。但一旦采用二次循環(huán)位移自相關(guān)方法，則計算量明顯增加。此外，相比等面積平面陣，圓環(huán)陣的計算復(fù)雜度會隨著單元數(shù)L增加而增加。可以看出，本文所提方法23 是以計算復(fù)雜度為代價提高角度跟蹤精度。

5 仿真校驗(yàn)

5.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

以中低軌道的機(jī)載衛(wèi)通角度跟蹤為背景，假設(shè)接收點(diǎn)頻信號的頻率為70 MHz，采樣頻率為300 MHz，SNR為-10 dB。采用1 024 個快拍數(shù)據(jù)進(jìn)行目標(biāo)角度估計，并做M=500 次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。進(jìn)一步假設(shè)同心圓環(huán)陣的圓環(huán)層數(shù)為5 層，通過式（1）計算同心圓環(huán)陣的總單元數(shù)，然后開方取整得到均勻平面陣的天線單元行、列數(shù)。假設(shè)跟蹤軸指向角度為(30°,150°)，跟蹤軸與四個子波束指向的俯仰偏角θk、方位偏角φk均為3 dB 帶寬的一半，目標(biāo)偏離跟蹤軸的俯仰角為2°、方位角為1°。

為了對各算法進(jìn)行評價，采用角度估計值的均方根誤差（Root Mean Square Error,RMSE）來評價算法的測角精度：

式中：θ、φ分別表示目標(biāo)真實(shí)俯仰角、方位角；分別表示第m次目標(biāo)角度估計值；θRMSE、φRMSE分別表示目標(biāo)俯仰角估計值、方位角估計值的RMSE。

5.2 循環(huán)位移自相關(guān)去噪

仿真參數(shù)如5.1 節(jié)的實(shí)驗(yàn)設(shè)置所示。對含有噪聲的子波束輸出信號進(jìn)行自相關(guān)和二次循環(huán)位移自相關(guān)，其結(jié)果如圖3 所示。

圖3 自相關(guān)和循環(huán)位移自相關(guān)去噪結(jié)果

圖3 中，橫坐標(biāo)表示采樣序號，縱坐標(biāo)表示信號幅度。從圖3（c）可以看出，輸出信號的自相關(guān)函數(shù)的幅度隨采樣序號的增大而減小，而其二次循環(huán)位移自相關(guān)函數(shù)是幅度基本不變的周期函數(shù)，且與原信號具有相同的周期，如圖3（d）所示。這說明循環(huán)位移自相關(guān)方法能夠降低信號中的噪聲。

5.3 測角精度影響因素分析

現(xiàn)在對來波信號進(jìn)行角度估計，并分析信噪比SNR、陣列層數(shù)M、跟蹤軸的方位指向角度φ0和目標(biāo)偏離跟蹤軸的方位角φt這四個因素對測角精度的影響。

5.3.1 SNR 對測角精度的影響

設(shè)定SNR 從-25 dB 到10 dB 均勻變化，步長為1 dB，其余參數(shù)和5.1 節(jié)保持一致。從而六種方法的角度估計RMSE 曲線如圖4 所示。

圖4 SNR 對測角精度的影響

在中低軌道的機(jī)載衛(wèi)通角度跟蹤背景下，接收機(jī)的SNR 水平一般在-25 dB 到0 dB。從圖4 可以看出，當(dāng)SNR 為-25 dB 時，本文所提出的方法23 的測角精度是最高的，其空間角度誤差不到1°。進(jìn)一步觀察可知，隨著SNR 的增大，所有方法的測角RMSE 均會減小，當(dāng)SNR 足夠大時，測角誤差收斂。但對于任意SNR，方法23 的測角精度都是最高的。

進(jìn)一步分析圖中曲線，還可以得到如下結(jié)論：其他條件一樣時，文獻(xiàn)[14]差和比計算方法優(yōu)于文獻(xiàn)[11]方法，采用二次循環(huán)位移自相關(guān)估計幅度方法優(yōu)于傳統(tǒng)能量公式法，采用圓環(huán)陣列方法優(yōu)于平面陣列。這也是本文方法誤差最小的原因。

5.3.2 陣列層數(shù)對測角精度的影響

設(shè)定同心圓環(huán)陣的陣列層數(shù)M從2 到10 均勻變化，步長為1。由于θt、φt不能超過方向圖的3 dB 帶寬的一半，因此設(shè)定θt、φt均為1°。其余參數(shù)和5.1 節(jié)保持一致。從而六種方法的角度估計RMSE 曲線如圖5 所示。

圖5 陣列層數(shù)對測角精度的影響

從圖5 可以看出，隨著陣列層數(shù)的增加，即對應(yīng)天線單元數(shù)的增加，所有方法的測角RMSE 均會減小。這是因?yàn)殛囋獢?shù)越多，方向圖的3 dB 帶寬就越窄，從而差和比曲線的斜率就越大，測角靈敏度就越高，最終使得測角精度越高。對于任意陣列層數(shù)，方法23 即本文方法的測角精度都是最高的，而且可以得到與5.3.1 相同結(jié)論。

5.3.3 跟蹤軸角度對測角精度的影響

設(shè)定跟蹤軸的俯仰角θ0固定為30°，方位角φ0從0°到360°變化，步長為10°。其余參數(shù)和5.1 節(jié)保持一致。從而六種方法的角度估計RMSE 曲線如圖6 所示。

圖6 跟蹤軸角度對測角精度的影響

從圖6 可以看出，由于同心圓環(huán)陣在結(jié)構(gòu)上的對稱性，使得當(dāng)跟蹤軸的波束指向角度發(fā)生改變時，其方向圖形狀基本保持不變，從而使得測角RMSE 基本不變。而基于均勻平面陣模型的測角方法由于改變波束指向?qū)е路较驁D畸變嚴(yán)重，最終使得測角RMSE 增大。但由于均勻平面陣也具有一定的對稱性，因此其測角誤差呈現(xiàn)出一定的周期性。進(jìn)一步觀察可知，方法23 即本文方法幾乎在整個角域的測角精度都是最高的，而且同樣可以得到與5.3.1 相同結(jié)論。

5.3.4 φt 對測角精度的影響

設(shè)定φt從0°到2°均勻變化，步長為0.2°。其余參數(shù)和5.1 節(jié)保持一致。從而六種方法的角度估計RMSE 曲線如圖7 所示。

圖7 φt 對測角精度的影響

從圖7 可以看出，隨著φt的增大，除了采用能量公式法估計信號幅度的方法11 和方法21 之外，其余方法的測角RMSE 均會增大。這是因?yàn)槿绻繕?biāo)偏離跟蹤軸越遠(yuǎn)，那么四個子波束接收信號的SNR 就越低，且受方向圖畸變的影響就越大，最終導(dǎo)致測角RMSE 增大。進(jìn)一步觀察可知，對于任意目標(biāo)偏離跟蹤軸的方位角角度，方法23 即本文方法的測角精度都是最高的，這時5.3.1 相同結(jié)論還是成立。

6 結(jié)論

本文基于相控陣天線基本理論，利用同心圓環(huán)陣在結(jié)構(gòu)上的對稱性，減小改變波束指向?qū)е碌姆较驁D畸變誤差。進(jìn)一步利用循環(huán)位移自相關(guān)方法降低信號中的噪聲，并采用復(fù)雜度低的能量公式估計信號幅度。從這兩個方面減小誤差來源，提高目標(biāo)角度估計精度。本文方法算法簡單，存儲空間小，實(shí)時性高，可以應(yīng)用于對目標(biāo)角度測量有需求的領(lǐng)域。