李 巍，柯俏俏

（同濟(jì)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，上海 201804）

無線電能傳輸?shù)母拍钭钤缬呻姎夤こ處熌峁爬ぬ厮估岢?，通過電場(chǎng)、磁場(chǎng)、微波等空間無形軟介質(zhì)實(shí)現(xiàn)電能的無物理連接傳輸[1]。無線電能傳輸技術(shù)相較于傳統(tǒng)的直接接觸式電能傳輸技術(shù)更加安全、便捷、有效，應(yīng)用場(chǎng)景也更加廣泛，近年來受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。根據(jù)傳輸機(jī)理不同，無線電能傳輸技術(shù)可大致分為3 種：電磁感應(yīng)耦合式、磁耦合諧振式和微波輻射式，其中磁耦合諧振式可實(shí)現(xiàn)中距離內(nèi)高效率的能量傳輸，且不會(huì)產(chǎn)生輻射，逐漸成為無線電能傳輸方面的研究熱點(diǎn)[2-4]。

磁耦合諧振式無線電能傳輸系統(tǒng)包含至少2個(gè)具有相同諧振頻率的、高品質(zhì)因數(shù)的電磁耦合機(jī)構(gòu)，由補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)、耦合線圈和電磁屏蔽3 個(gè)部分組成，其中能量的無線傳輸在耦合線圈間實(shí)現(xiàn)，當(dāng)耦合線圈發(fā)生共振時(shí)，傳輸?shù)哪芰窟_(dá)到最大值[5]。因此，為實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)高效傳能，需要對(duì)電磁耦合機(jī)構(gòu)電磁參數(shù)進(jìn)行精細(xì)設(shè)計(jì)，包括耦合線圈大小、匝數(shù)、距離、補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞取Ｄ壳?，常用的無線電能傳輸系統(tǒng)分析理論有耦合模理論、電路理論以及二端口網(wǎng)絡(luò)理論這3 種[6-8]。

耦合模理論[9]從物理學(xué)的角度對(duì)無線電能傳輸?shù)臋C(jī)理進(jìn)行了解釋，常被用于分析能量傳輸?shù)臈l件以及系統(tǒng)中能量流動(dòng)的情況，但在設(shè)計(jì)具體電氣參數(shù)時(shí)具有一定的局限性。電路理論[10]將線圈等效為由電感、電阻元件構(gòu)成的集總參數(shù)電路，根據(jù)基爾霍夫定律列出其電壓、電流方程，再對(duì)系統(tǒng)的傳輸特性進(jìn)行求解。各電路元件參數(shù)的準(zhǔn)確等效是電路法準(zhǔn)確應(yīng)用的關(guān)鍵，但高頻時(shí)電路的集總參數(shù)很難準(zhǔn)確獲取。二端口網(wǎng)絡(luò)理論[11]將線圈系統(tǒng)的整體或者一部分用相應(yīng)的外部特性參數(shù)來表示，不考慮其中具體的電氣參數(shù)，極大地簡(jiǎn)化了系統(tǒng)傳輸效率的計(jì)算，但無法得到系統(tǒng)能效與系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)之間的關(guān)系。因此耦合模理論常用于無線電能傳輸?shù)谋匾獥l件和傳輸效率的分析，電路理論常用于對(duì)系統(tǒng)重要參數(shù)和傳輸性能如距離特性、方向特性等進(jìn)行分析研究。

在實(shí)際設(shè)計(jì)中，耦合線圈電阻、電感等電磁參數(shù)的計(jì)算多依賴于經(jīng)驗(yàn)公式或有限元仿真，前者計(jì)算簡(jiǎn)便但準(zhǔn)確度較低，后者計(jì)算精確但計(jì)算復(fù)雜、計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)。耦合線圈常工作在高頻狀態(tài)，寄生參數(shù)和集膚效應(yīng)的影響都不容忽視，這就需要一種準(zhǔn)確、高效且能考慮高頻影響的計(jì)算參數(shù)的方法。部分元等效電路法PEEC（partial element equivalent circuit）是一種基于麥克斯韋方程的電場(chǎng)積分方程的電磁計(jì)算方法[12-15]，采用PEEC 計(jì)算時(shí)，只需對(duì)導(dǎo)體進(jìn)行離散化處理，提取離散單元的電位系數(shù)、自感、互感等參數(shù)，構(gòu)成等效的電路網(wǎng)絡(luò)，利用電路分析方法實(shí)現(xiàn)電路求解。這樣既考慮了寄生參數(shù)和高頻影響，又減少了剖分單元，適用于空間多導(dǎo)體復(fù)雜系統(tǒng)的計(jì)算。因此，本文采用PEEC 法結(jié)合電路法對(duì)無線電能傳輸系統(tǒng)進(jìn)行快速準(zhǔn)確的分析。首先介紹PEEC 的基礎(chǔ)理論，推導(dǎo)基于PEEC 的部分電感、部分電阻、部分電容的計(jì)算方法，結(jié)合耦合線圈對(duì)PEEC 單元剖分原則進(jìn)行說明并推導(dǎo)PEEC 系統(tǒng)方程，采用PEEC 法計(jì)算耦合線圈的電磁參數(shù)，最后分別對(duì)雙線圈和單共振磁耦合諧振式無線電能傳輸系統(tǒng)進(jìn)行分析，將PEEC 計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證采用PEEC 法分析此類問題的優(yōu)越性。

1 部分元等效電路理論

1.1 PEEC 的基礎(chǔ)理論

PEEC 最早由Ruhli 提出用于三維多導(dǎo)體模型的構(gòu)建，是一種由麥克斯韋方程組推導(dǎo)出的電磁場(chǎng)的積分?jǐn)?shù)值解法[16]。考慮導(dǎo)體內(nèi)所有電場(chǎng)源的電場(chǎng)積分方程，可表示為

引入洛倫茲規(guī)范

即可得到達(dá)朗貝爾方程為

由達(dá)朗貝爾方程可知，矢量磁位的源是全電流，動(dòng)態(tài)標(biāo)量位的源是全電荷。對(duì)于大多數(shù)的實(shí)際情況，場(chǎng)隨時(shí)間的變化很慢，可以忽略延遲效應(yīng)，即?φ/?t=0，將上述條件代入洛倫茲規(guī)范和達(dá)朗貝爾方程，即可得到

求解上述方程，即可得到由K 個(gè)導(dǎo)體構(gòu)成的系統(tǒng)的位函數(shù)，表達(dá)式為

式中，r、r'分別為場(chǎng)點(diǎn)位置矢量和場(chǎng)源位置矢量。將式（7）和式（8）代入式（1），得到電場(chǎng)混合勢(shì)積分方程為

由此，將場(chǎng)的分布特性求解轉(zhuǎn)變?yōu)榱藢?duì)源的分布特性求解。將源區(qū)進(jìn)行規(guī)則的離散化，使每個(gè)體電流單元上的電流密度和面電荷單元上的電荷密度近似常數(shù)，從而將J 和ρ 從積分符號(hào)內(nèi)提取到積分符號(hào)外，簡(jiǎn)化計(jì)算。因此，通過建立基爾霍夫電壓、電流方程求解源區(qū)電流和電荷的分布特性，即可確定空間中的電磁場(chǎng)分布。采用PEEC 法進(jìn)行分析時(shí)只需要對(duì)導(dǎo)體進(jìn)行合理地剖分，準(zhǔn)確地計(jì)算各剖分單元的部分參數(shù)，構(gòu)建等效電路即可求解電磁場(chǎng)。

1.2 部分參數(shù)的計(jì)算

1.2.1 部分電阻

對(duì)于體電流源，當(dāng)剖分單元足夠小時(shí)，導(dǎo)體橫截面上的電流密度即可認(rèn)為是均勻分布的。根據(jù)電位的定義，剖分單元兩端的電位差可表示為

式中：li為剖分單元的長(zhǎng)度；ai為截面積；vi為電流流經(jīng)剖分單元時(shí)電阻產(chǎn)生的壓降；Ii為導(dǎo)電單元的電流。根據(jù)歐姆定律可以得到體電流元的部分電阻為

1.2.2 部分電容

對(duì)于面電荷源，對(duì)其進(jìn)行單元?jiǎng)澐郑?dāng)剖分單元足夠細(xì)時(shí)，各個(gè)面電荷單元的電荷分布可以認(rèn)為是均勻分布的。將區(qū)域V 內(nèi)的電荷源剖分為K 個(gè)電荷單元，根據(jù)疊加原理，則該電荷源在空間中某點(diǎn)的電勢(shì)可表示為

式中：Qi為電荷單元的面電荷量；Si為電荷單元的面積。

由此，定義部分電位系數(shù)表示2 個(gè)互相作用的面電荷單元Si和Sj之間的耦合關(guān)系，有

由部分電位系數(shù)和電勢(shì)的關(guān)系可知，部分電位系數(shù)矩陣的逆矩陣就是電容系數(shù)矩陣。

1.2.3 部分電感

圖1 所示為由4 個(gè)剖分體單元構(gòu)成的近似閉合的環(huán)路，則通過此環(huán)路的磁鏈可表示為

由式（14）以及電感與磁鏈和電流的關(guān)系式，可以得到任意2 個(gè)體電流元之間部分電感為

其中，當(dāng)i=j 時(shí)，式（15）表示第i 個(gè)剖分單元的自感；當(dāng)i≠j 時(shí)，式（15）表示第i 個(gè)剖分單元和第j個(gè)剖分單元之間的互感。

PEEC 多基于矩形剖分，剖分單元為規(guī)則的體電流單元，如圖2 所示。

圖2 平行六面體單元示意Fig.2 Schematic of parallelepiped element

對(duì)于兩平行六面體單元，其互感可表示為

1.3 系統(tǒng)電路方程的建立

以無限薄的矩形導(dǎo)體為例，假定電流橫向流動(dòng)，將導(dǎo)體剖分為n-1 個(gè)單元，剖分后，每個(gè)體電流元對(duì)應(yīng)一條電流支路，即有n-1 個(gè)支路電流，每個(gè)面電荷單元對(duì)應(yīng)一個(gè)電位節(jié)點(diǎn)，即有n 個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓，兩節(jié)點(diǎn)之間等效為部分電阻和部分電感，包含自電感和互電感，節(jié)點(diǎn)對(duì)地以及其他節(jié)點(diǎn)之間等效為電容，則導(dǎo)體的網(wǎng)格劃分及其對(duì)應(yīng)的PEEC 等效電路模型如圖3 所示。

圖3 PEEC 等效電路模型Fig.3 PEEC model

假定節(jié)點(diǎn)1 處注入了幅值為Is的電流源，則節(jié)點(diǎn)1 的KCL 方程可表示為

節(jié)點(diǎn)1、2 之間的支路電壓方程可以表示為

同理，在各電位節(jié)點(diǎn)注入相應(yīng)的電流激勵(lì)或電壓激勵(lì)，以支路電流和節(jié)點(diǎn)電壓為未知量，列出各個(gè)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓方程及節(jié)點(diǎn)間各支路的支路電流方程，則可得改進(jìn)節(jié)點(diǎn)電壓方程

式中：AL為電位節(jié)點(diǎn)與電感支路的關(guān)聯(lián)矩陣，由節(jié)點(diǎn)間的電流方向決定；Cs為短路電容矩陣；R 為電阻矩陣；L 為電感矩陣；φ 為節(jié)點(diǎn)電壓向量矩陣；I為支路電流向量矩陣。

利用1.2 節(jié)中的公式計(jì)算部分參數(shù)，代入改進(jìn)節(jié)點(diǎn)電壓方程中，對(duì)方程進(jìn)行求解即可得到每個(gè)剖分單元的節(jié)點(diǎn)電壓和支路電流，從而求解系統(tǒng)端口的阻抗特性以及傳輸特性等。PEEC 法計(jì)算無線電能傳輸系統(tǒng)的具體流程如圖4 所示。

圖4 PEEC 計(jì)算流程Fig.4 Calculation process of PEEC

2 基于PEEC 的平面螺旋線圈計(jì)算

2.1 平面螺旋線圈參數(shù)

無線電能傳輸系統(tǒng)常用的線圈類型主要分為3 種：平面式線圈、松耦合變壓器式線圈和螺旋管式線圈，其中松耦合變壓器式線圈只適用于傳輸距離較短的系統(tǒng)；螺旋管式線圈體積較大，應(yīng)用場(chǎng)景較為局限；，而平面螺旋線圈耦合面積大，傳輸距離長(zhǎng)且占空間小，適用于各種應(yīng)用場(chǎng)景。因此，本文主要研究平面螺旋線圈。為驗(yàn)證PEEC 計(jì)算耦合線圈參數(shù)的準(zhǔn)確性，設(shè)計(jì)3 個(gè)不同尺寸的平面矩形螺旋線圈分別進(jìn)行計(jì)算，并利用IM3536LCR 分析儀對(duì)線圈的自感進(jìn)行直接測(cè)量，線圈結(jié)構(gòu)以及測(cè)量平臺(tái)如圖5 所示，線圈具體參數(shù)如表1 所示。

表1 平面矩形螺旋線圈具體參數(shù)Tab.1 Specific parameters of planar rectangular spiral coils

圖5 平面矩形螺旋線圈模型及測(cè)量平臺(tái)Fig.5 Models of planar rectangular spiral coils and measuring platform

2.2 平面螺旋線圈的部分元等效電路

首先對(duì)線圈進(jìn)行網(wǎng)格劃分。耦合線圈諧振頻率一般在kHz 以上，頻率較高，此時(shí)導(dǎo)體的集膚效應(yīng)和臨近效應(yīng)不能忽略，集膚效應(yīng)會(huì)使電流密度集中在線圈外側(cè)，而臨近效應(yīng)會(huì)使線圈中的電流密度失去對(duì)稱性。高頻時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部電流主要集中分布在線圈表面，而導(dǎo)線中心電流密度變化較小，因此，在網(wǎng)格劃分時(shí)，對(duì)銅線外表面進(jìn)行更細(xì)化的剖分，為保證計(jì)算精度，其邊緣的剖分單元寬度需小于或等于集膚深度，而中間部分可以使用較為粗糙的網(wǎng)格以減少計(jì)算量，網(wǎng)格剖分如圖6 所示，剖分單元中心對(duì)稱，從外到內(nèi)，剖分單元寬度呈等比增長(zhǎng)。

圖6 網(wǎng)格剖分Fig.6 Mesh generation

根據(jù)工作頻率設(shè)置最外層剖分單元寬度，當(dāng)剖分足夠細(xì)時(shí)，每個(gè)剖分單元上的電流密度可以近似為均勻的，將每一個(gè)剖分單元看作一條電阻與電感串聯(lián)的電流支路，則線圈的部分元等效電路如圖7所示。根據(jù)式（11）可得，剖分單元的部分電阻為

圖7 線圈部分元等效電路Fig.7 PEEC of coil

式中：lmn為剖分單元的長(zhǎng)度；smn為剖分單元的截面積；a 為線圈橫向最外層剖分單元寬度；b為線圈縱向最外層剖分單元長(zhǎng)度，a 和b 小于集膚深度。

同理，根據(jù)剖分單元的尺寸和位置關(guān)系，由式（15）可計(jì)算剖分單元的部分電感以及各剖分單元之間的部分互感，每一匝線圈同一方向上剖分單元等效的電流支路為并聯(lián)關(guān)系，與垂直方向上相連的等效支路為串聯(lián)關(guān)系，則根據(jù)線圈部分元等效電路以及部分電阻和部分電感，即可計(jì)算線圈整體的總電阻和總電感。

2.3 計(jì)算結(jié)果對(duì)比

首先使用部分元等效電路法建立各平面矩形螺旋線圈的模型，計(jì)算出各個(gè)線圈的電感、電阻等參數(shù)，將PEEC 計(jì)算結(jié)果和有限元計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值對(duì)比，結(jié)果如表2 所示。

表2 線圈電感計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Tab.2 Comparison between calculation and experimental results of coil inductance

可以看到對(duì)任意線圈尺寸，PEEC 法計(jì)算的電感與測(cè)量結(jié)果的誤差都更小，且PEEC 建模多基于矩形的剖分，剖分單元較少，相較于有限元計(jì)算速度更快，能更高效準(zhǔn)確地計(jì)算線圈參數(shù)。

在上述基礎(chǔ)上建立1 號(hào)線圈的雙線圈系統(tǒng)，即將2 個(gè)1 號(hào)線圈分別作為接收線圈與發(fā)射線圈，改變線圈間距，從3 mm 開始，每間隔2 mm 計(jì)算一次2 個(gè)線圈之間的互感。為驗(yàn)證PEEC 方法計(jì)算參數(shù)的準(zhǔn)確性，將仿真結(jié)果與實(shí)測(cè)值對(duì)比，結(jié)果如圖8所示?？梢姡琍EEC 計(jì)算結(jié)果與實(shí)際測(cè)量結(jié)果基本吻合，兩者的相對(duì)誤差小于1.3%，即驗(yàn)證了部分元等效電路法計(jì)算無線電能傳輸系統(tǒng)耦合線圈參數(shù)的準(zhǔn)確性。

圖8 互感參數(shù)的PEEC 計(jì)算結(jié)果與測(cè)量結(jié)果對(duì)比Fig.8 Comparison between PEEC calculation results and measurement results of mutual inductance parameters

3 磁耦合無線電能傳輸系統(tǒng)傳輸性能分析

3.1 雙線圈無線電能傳輸系統(tǒng)

除了采用PEEC 計(jì)算耦合線圈參數(shù)外，還可以應(yīng)用PEEC 分析磁耦合諧振式無線電能傳輸系統(tǒng)的傳輸特性。建立如圖9 所示的雙線圈磁耦合諧振式無線電能傳輸系統(tǒng)，系統(tǒng)由一對(duì)收發(fā)諧振器構(gòu)成，高頻電源直接接在發(fā)射諧振器上，而負(fù)載則是直接接在接收諧振器上。發(fā)射線圈和接收線圈結(jié)構(gòu)相同，均為平面矩形螺旋線圈，具體參數(shù)如表3 所示。

表3 雙線圈系統(tǒng)線圈具體參數(shù)Tab.3 Specific parameters of coils of two-coil system

圖9 兩線圈系統(tǒng)模型Fig.9 Model of two-coil system

首先搭建單個(gè)線圈模型，利用部分元等效電路法求解線圈參數(shù)，通過計(jì)算可得線圈自感約為1.8 μH，設(shè)定補(bǔ)償電容為14 nF，則系統(tǒng)的諧振頻率為1 MHz。固定工作頻率不變，改變發(fā)射線圈和接收線圈之間的距離，從1 mm 開始，每隔1 mm分別利用PEEC 法和有限元法對(duì)系統(tǒng)能量傳輸?shù)男蔬M(jìn)行計(jì)算，其中采用PEEC 法結(jié)合電路法進(jìn)行分析時(shí)，系統(tǒng)效率可表示為[17]

式中：ω=2πf；M 為互感；R1為發(fā)射線圈電阻；R2為接收線圈電阻；RL為負(fù)載電阻。

通過計(jì)算可得系統(tǒng)傳輸效率隨距離變化曲線，如圖10 所示。由計(jì)算結(jié)果可得，隨著傳輸距離的增大，系統(tǒng)效率降低，且PEEC 計(jì)算結(jié)果和有限元計(jì)算結(jié)果的規(guī)律和分布趨勢(shì)具有較好的一致性，即PEEC 法能很好地用于無線電能傳輸系統(tǒng)的分析和計(jì)算。

圖10 雙線圈系統(tǒng)效率隨距離變化曲線Fig.10 Curves of two-coil system efficiency versus distance

3.2 單共振磁耦合式無線電能傳輸系統(tǒng)

建立單共振磁耦合式無線電能傳輸系統(tǒng)，進(jìn)一步驗(yàn)證PEEC 法分析無線電能傳輸系統(tǒng)的可行性。單共振系統(tǒng)由發(fā)射線圈、接收線圈以及共振線圈構(gòu)成，通過非共振線圈和共振線圈之間的耦合傳輸電能，由于有且僅有一個(gè)共振線圈，系統(tǒng)只工作在一個(gè)確定的共振頻率下，不會(huì)出現(xiàn)頻率分裂現(xiàn)象。共振線圈為平面矩形螺旋線圈，線圈具體參數(shù)如表4 所示，搭建的單共振三線圈系統(tǒng)仿真模型如圖11 所示。

表4 單共振系統(tǒng)線圈具體參數(shù)Tab.4 Specific parameters of coils of single resonance system

圖11 三線圈系統(tǒng)模型Fig.11 Model of three-coil system

由PEEC 計(jì)算可得共振線圈的自感約為98 μH，設(shè)定補(bǔ)償電容為20 nF，則系統(tǒng)的諧振頻率為114 kHz。發(fā)射線圈和接收端的距離為3 cm，保持其他參數(shù)不變，改變工作頻率，即可得到系統(tǒng)效率隨頻率變化曲線，如圖12 所示。由計(jì)算結(jié)果可以看出，隨著頻率增大，系統(tǒng)效率先增大后減小，在諧振頻率點(diǎn)效率達(dá)到最大值。

圖12 單共振系統(tǒng)效率隨頻率變化曲線Fig.12 Curve of single resonance system efficiency versus frequency

固定工作頻率為114 kHz，改變發(fā)射線圈和接收端之間的距離，分別利用PEEC 法和有限元法進(jìn)行計(jì)算，得到系統(tǒng)能量傳輸效率隨距離變化特性，如圖13 所示。由計(jì)算結(jié)果可得隨著距離的增大，線圈之間的耦合強(qiáng)度降低，單共振系統(tǒng)的傳輸效率隨之減小，有限元計(jì)算結(jié)果和PEEC 計(jì)算結(jié)果的規(guī)律和分布趨勢(shì)具有較好的一致性。

圖13 單共振系統(tǒng)效率隨距離變化曲線Fig.13 Curves of single resonance system efficiency versus distance

PEEC 法和有限元法具體剖分單元和計(jì)算時(shí)間如表5 所示，可以看到PEEC 法求解系統(tǒng)參數(shù)時(shí)，只需對(duì)導(dǎo)體進(jìn)行矩形剖分，剖分單元較少，計(jì)算時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于有限元法。

表5 PEEC 法和有限元法計(jì)算效率對(duì)比Tab.5 Comparison of calculation efficiency between PEEC and finite element methods

4 結(jié)語

本文對(duì)部分元等效理論及其在無線電能傳輸系統(tǒng)中的應(yīng)用進(jìn)行了研究。對(duì)部分元等效電路法的基礎(chǔ)理論、建模求解進(jìn)行了詳細(xì)推導(dǎo)。采用部分元等效電路法對(duì)平面矩形螺旋線圈進(jìn)行了自感、互感參數(shù)計(jì)算，將計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果以及實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，證明了部分元等效電路法能在較廣的頻率范圍內(nèi)，對(duì)任意尺寸的平面矩形螺旋線圈都可以高效準(zhǔn)確地計(jì)算出線圈的電感參數(shù)，即部分元等效電路法在無線電能傳輸系統(tǒng)參數(shù)的計(jì)算上具有一定的優(yōu)越性。雙線圈磁耦合諧振式系統(tǒng)和單共振三線圈磁耦合諧振式系統(tǒng)傳輸特性的計(jì)算結(jié)果均表明部分元等效電路法結(jié)合電路理論可以很好地應(yīng)用于無線電能傳輸系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)，且相較于傳統(tǒng)的有限元法，部分元等效電路法具有更高的計(jì)算精度和更短的計(jì)算時(shí)間，更適用于空間多導(dǎo)體系統(tǒng)的分析。