基金項(xiàng)目：江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃初中專項(xiàng)重點(diǎn)資助課題——初中數(shù)學(xué)“學(xué)材再建構(gòu)”研究（E—a/2016/06），江蘇省教育學(xué)會(huì)“十四五”教育科研規(guī)劃課題“核心素養(yǎng)視角下初中數(shù)學(xué)‘整體建構(gòu)’研究”（21A06SXSZ118），蘇州市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃重點(diǎn)課題“指向?qū)W科育人的初中數(shù)學(xué)學(xué)材整體建構(gòu)研究”（2021/C/01/004/05）.

作者簡(jiǎn)介：戴秀琴（1979—），吳江區(qū)學(xué)科帶頭人，中學(xué)高級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究工作.

[摘 要] 學(xué)材整體建構(gòu)，就是幫助學(xué)生用整體的觀點(diǎn)來學(xué)習(xí)知識(shí)的“各部分”，同時(shí)在學(xué)習(xí)“部分”時(shí)又明確它在整體中的作用，即從整體上關(guān)注知識(shí)、方法、過程、思維、習(xí)慣等教學(xué)點(diǎn)，促使核心素養(yǎng)的培養(yǎng)進(jìn)行整體規(guī)劃、逐步實(shí)現(xiàn)，從而將數(shù)學(xué)育人落實(shí)到位.

[關(guān)鍵詞] 整體建構(gòu);核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)育人;思維品質(zhì)

2021年5月蘇州市青年教師優(yōu)秀課評(píng)比在常熟舉辦，規(guī)定的比賽課題是“5. 1二次函數(shù)”（蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)），許多教師通過重構(gòu)“學(xué)材”，很好地注重了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，關(guān)注了數(shù)學(xué)育人. 筆者根據(jù)“學(xué)材再建構(gòu)”操作要義，結(jié)合一些具體的課堂片段及“二次函數(shù)”的整體教學(xué)實(shí)施，談?wù)剶?shù)學(xué)課堂是如何發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)并指向數(shù)學(xué)育人的.

課堂片段和評(píng)析

片段1

出示：“小球滾落”問題（書本章頭圖）.

提問：（1）距離s是時(shí)刻t的一次函數(shù)嗎？是反比例函數(shù)嗎？為什么？

（2）距離s與時(shí)刻t有什么樣的函數(shù)關(guān)系？

（3）投影展示課本中“水滴激起波紋”“圈養(yǎng)小兔”和“加工長(zhǎng)方形鏡子”問題.

追問：以上三個(gè)函數(shù)表達(dá)式有何共同特征？……

評(píng)析 利用課本上的現(xiàn)實(shí)問題，引導(dǎo)學(xué)生建立二次函數(shù)模型，感受二次函數(shù)的意義和存在的廣泛性. 按照常規(guī)建構(gòu)概念的套路（引導(dǎo)學(xué)生由多個(gè)具體的例子歸納概括一個(gè)定義的過程，即“多到一”的歸納概括過程），訓(xùn)練了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng). 但對(duì)于已有一定知識(shí)、技能和方法的學(xué)生而言，更多的要訓(xùn)練學(xué)生的遷移類比和邏輯推理素養(yǎng). 顯然，“多到一”的歸納概括過程稚化了初三學(xué)生的思維，不利于優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì).

片段2

1. 判斷下列函數(shù)是否為二次函數(shù)，如果是，指出其中常數(shù)a，b，c的值.

c=2πr;y=-x（1-x）;y=;y=;y=2（x+1）2-2x2;s=πr2;y=-2x2+3x-1;y=mx2+nx+p.

2. 如果關(guān)于x的函數(shù)y=（m+1）·xm 2-3m-2+2是二次函數(shù)，求m的值.

評(píng)析 通過兩個(gè)小題將概念具體化，突出二次函數(shù)的一般形式中的條件“a≠0”，強(qiáng)化對(duì)二次函數(shù)的定義的認(rèn)識(shí)，發(fā)展了思維的嚴(yán)密性.但第1題中“指出其中常數(shù)a，b，c的值”及第2題大可不必呈現(xiàn)，因?yàn)樵趯W(xué)習(xí)一元二次方程時(shí)類似的問題都出現(xiàn)過，這里再次出現(xiàn)，顯然沖淡了二次函數(shù)的本質(zhì).

片段3

寫出下列各函數(shù)關(guān)系，并求出自變量的取值范圍.

1. 菱形的兩條對(duì)角線的和為26 cm ，求菱形的面積S（cm2）與一條角線長(zhǎng)x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系.

2. 體育用品店銷售一批運(yùn)動(dòng)服，零售價(jià)每件20元. 如果一次購(gòu)買超過10件，那么每多購(gòu)1套，所購(gòu)運(yùn)動(dòng)服的單價(jià)降低6元，但單價(jià)不能低于150元. 現(xiàn)決定購(gòu)買x（x>10）件，請(qǐng)寫出總售價(jià)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

評(píng)析 通過例題，把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，感受二次函數(shù)是描述一類現(xiàn)實(shí)問題中數(shù)量關(guān)系之間的數(shù)學(xué)模型. 通過求自變量的取值范圍，讓學(xué)生明確“受到實(shí)際意義的限制”. 但是用配方法求“二次函數(shù)的最大值”讓學(xué)生無所適從，建議通過列表的方式讓學(xué)生嘗試尋找二次函數(shù)的最大值更為直觀.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性. 以上“片段”體現(xiàn)了設(shè)計(jì)者在“用教材”教的指引下，對(duì)“學(xué)材”進(jìn)行了一定的再建構(gòu)行為，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升或多或少有一定的積極作用. 但以上片段表明沒有把“5.1二次函數(shù)”這一棵“樹木”放在“函數(shù)”這片“森林”里，從而學(xué)生獲得的是更小的一棵“樹木”. 教師給學(xué)生的是“先森林，后樹木”還是“先樹木，后森林”，本無多大區(qū)別，但教師自己必須“先森林，后樹木”！這樣在“用教材”教的過程中，才能更多地考慮“知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系”“局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系”“感受數(shù)學(xué)的整體性”，更多地聚焦核心素養(yǎng)并且指向數(shù)學(xué)育人.

優(yōu)秀范例和點(diǎn)評(píng)

與以上課堂教學(xué)片段相比，一等獎(jiǎng)獲得者朱敏彥老師的課堂教學(xué)實(shí)踐，注重了知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，對(duì)“學(xué)材”進(jìn)行了適當(dāng)?shù)脑俳?gòu)，既給學(xué)生一顆“樹木”又給學(xué)生一片“森林”，較好地發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

環(huán)節(jié)1：情境創(chuàng)設(shè)

問題：在長(zhǎng)200 m、寬140 m的矩形綠地內(nèi)修建等寬的十字形道路（如圖1所示）.

（1）小學(xué)里我們?nèi)绾谓鉀Q這個(gè)與圖形有關(guān)的計(jì)算問題？（將兩條小路分別平移到左邊和上面，如圖2所示）

（2）設(shè)道路寬為x（m），隨著x值的變化，圖中哪些量也隨之發(fā)生變化？這些量是道路寬x的函數(shù)嗎？是x的什么函數(shù)？

（3）分別設(shè)兩條道路重疊部分的周長(zhǎng)為C（m），合在一起的綠地的邊長(zhǎng)為l1（m）和l2（m），綠地總面積為S（m2），請(qǐng)分別寫出C，l1，l2，S與x之間的函數(shù)表達(dá)式.

（4）C，l1，l2是x的什么函數(shù)？

追問：什么是一次函數(shù)？正比例函數(shù)和一次函數(shù)有何關(guān)系？

強(qiáng)調(diào)：用自變量的一次式表示的函數(shù)就是一次函數(shù)，即形如y=kx+b（k≠0）的函數(shù)是一次函數(shù);特別的，形如y=kx（k≠0）的函數(shù)，叫正比例函數(shù). 正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù).

點(diǎn)評(píng) 借助具體的情境回顧函數(shù)、一次函數(shù)等概念很有必要，一方面為二次函數(shù)的學(xué)習(xí)做好鋪墊，有利于學(xué)生能夠較順利地接受二次函數(shù)的概念等相關(guān)內(nèi)容;另一方面可以反過來進(jìn)一步深化對(duì)函數(shù)和一次函數(shù)的理解和掌握.

環(huán)節(jié)2：模型建構(gòu)

師：對(duì)于S=x2-2x+28000，S是x的什么函數(shù)呢？（眾生：二次函數(shù). ）

追問：為什么S是x的二次函數(shù)？

生1：用自變量的一次式表示的函數(shù)是一次函數(shù)，那么用自變量的二次式表示的函數(shù)就是二次函數(shù). 所以S是x的二次函數(shù).

生2：在S=x2-2x+28000中，若給定S一個(gè)具體的數(shù)值，那它就是一個(gè)一元二次方程. 這與一次函數(shù)和一元一次方程之間的聯(lián)系是一樣的.

師：同學(xué)們學(xué)得很扎實(shí)，尤其是能充分利用自己已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)得到二次函數(shù)的定義. 二次函數(shù)和一次函數(shù)、反比例函數(shù)一樣，也是用來描述現(xiàn)實(shí)問題中數(shù)量關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型.

根據(jù)以上的交流，我們應(yīng)該如何定義二次函數(shù)呢？什么樣的函數(shù)叫二次函數(shù)？

生3：用自變量的二次式表示的函數(shù)叫二次函數(shù).

生4：一般地，形如y=ax2+bx+c的函數(shù)，叫二次函數(shù).

點(diǎn)評(píng) 沒有按照常規(guī)套路，而是引導(dǎo)學(xué)生充分通過類比遷移進(jìn)行理性推理，比較深刻地認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的本質(zhì)屬性. 這樣的提煉、歸納得到的知識(shí)是深刻的、牢固的、合乎邏輯的發(fā)展結(jié)果，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)素養(yǎng)和智慧的提升.

環(huán)節(jié)3：鞏固拓展

例1 下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？

y=6x2;y=+x2-x;y=x2-（x+1）2;y=x（7-x）;y=600-x2;y=mx2+px-1.

追問：（1）你是怎么判斷的？

（2）若x表示周長(zhǎng)為14的矩形的一邊長(zhǎng)，那么矩形的面積y就可以表示為y=x（7-x）. 對(duì)于其他二次函數(shù)，你能分別賦予它們一個(gè)實(shí)際背景嗎（用生活中的實(shí)例來描述）？

方式：學(xué)生先獨(dú)立思考，再在小組內(nèi)交流，最后全班交流. 教師要求學(xué)生課后進(jìn)一步交流包含二次函數(shù)的實(shí)例.

（3）因?yàn)槎魏瘮?shù)是用自變量的二次整式表示的函數(shù)，因此二次函數(shù)y=ax2+bx+c的自變量取值可以是一切實(shí)數(shù). 對(duì)以上賦予實(shí)際背景的二次函數(shù)，自變量的取值范圍分別是什么？

強(qiáng)調(diào)：如果二次函數(shù)的自變量表示實(shí)際問題中的某個(gè)數(shù)量時(shí)，那么它的取值范圍會(huì)受到實(shí)際意義的限制.

例2 小敏想在自家院子里用24 m長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)方形的生物園飼養(yǎng)小兔，一邊利用院墻（墻長(zhǎng)16 m），如圖3所示. 設(shè)長(zhǎng)方形生物園的一邊AB長(zhǎng)為x（m），面積為S（m2）.

（1）寫出S與x之間的函數(shù)表達(dá)式及自變量x的取值范圍.

（2）若AB長(zhǎng)為6 m，求S的值;若S=54 m2，求x的值.

（3）AB長(zhǎng)為多少時(shí)，可以使長(zhǎng)方形生物園的面積最大？

列表表示長(zhǎng)方形生物園的面積隨AB的變化而變化的情況：

[x/m 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x/m2 ]

你能根據(jù)表格中數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)做出猜想嗎？

方式：在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上小組合作，最后全班交流展示. 對(duì)于第（3）小題，學(xué)生通過列表，不難發(fā)現(xiàn)面積的最大值及兩者之間的變化趨勢(shì). 當(dāng)學(xué)生回答“當(dāng)AB增大時(shí)，S先增大再減小”后，教師隨手畫出圖形（如圖4所示）.

點(diǎn)評(píng) 通過例1的辨別，強(qiáng)化對(duì)二次函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，同時(shí)適時(shí)、自然地將自變量取值范圍的討論融于其中;利用例2巧妙地進(jìn)行二次函數(shù)的圖象、最值和增減性的滲透，用發(fā)展的觀點(diǎn)把學(xué)生帶到“最近發(fā)展區(qū)”，啟動(dòng)了學(xué)生的積極思維，而且全面依靠學(xué)生自己探究解決. 學(xué)生在體驗(yàn)分析問題、發(fā)現(xiàn)結(jié)論的探索過程中，直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)都得到提升.

環(huán)節(jié)4 反思總結(jié)

圍繞以下問題引領(lǐng)學(xué)生思考回顧，并形成知識(shí)框圖如圖5所示.

對(duì)于二次函數(shù)，我們研究了哪些內(nèi)容？怎么研究的？還要研究哪些內(nèi)容？如何去研究？

點(diǎn)評(píng) 采用“問題化”引領(lǐng)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的定義從本質(zhì)、方法和過程等方面進(jìn)行總結(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生從獲得知識(shí)、形成技能、發(fā)展能力等方面談?wù)勛约旱氖斋@或體會(huì). 這樣不但把握二次函數(shù)的實(shí)質(zhì)，還能用語言刻畫思維過程. 同時(shí)，通過類比猜想“二次函數(shù)”的其他相關(guān)內(nèi)容，促使學(xué)生將已知的內(nèi)容很自然地遷移到未知的內(nèi)容上去，不僅提升了學(xué)生的思維能力，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，而且促進(jìn)了學(xué)生自主建構(gòu)并良好優(yōu)化的、富有彈性的“森林式”的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)了學(xué)生的全面發(fā)展.

教學(xué)思考

1. “二次函數(shù)”蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度來看，“二次函數(shù)”內(nèi)容蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)，它們?cè)诎l(fā)展學(xué)生思維能力和優(yōu)化思維品質(zhì)方面具有非常重要的價(jià)值.

二次函數(shù)作為現(xiàn)實(shí)生活中普遍存在的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)該集中起來研究其具有的本質(zhì)特征，然后根據(jù)這些特征歸納出概念，即二次函數(shù)概念體系的建立可以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念表征的抽象能力. 從數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系看，二次函數(shù)概念體系的建立，需要以一次函數(shù)和一元二次方程為邏輯起點(diǎn)，基于一次函數(shù)的本質(zhì)和一元二次方程，通過遷移類比，初步發(fā)展并建構(gòu)相應(yīng)的概念體系. 通過遷移聯(lián)想，引導(dǎo)學(xué)生自主搭建深入學(xué)習(xí)的支架，形成“拋物線平移”體系，從而培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng).

在描點(diǎn)畫二次函數(shù)圖象的過程中，用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合的思想，直觀而形象地感受到函數(shù)圖象的軸對(duì)稱性、圖象的變化趨勢(shì)及最高（低）點(diǎn)，強(qiáng)化了函數(shù)思想（式、數(shù)、形之間的內(nèi)在聯(lián)系）. 用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)圖象，引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)關(guān)于某條直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，想象出該直線是二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸;另外，從函數(shù)的視角出發(fā)，審視二次函數(shù)與方程（組）的關(guān)系，根據(jù)圖象，直觀地探索拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而建立二次函數(shù)與方程（組）的內(nèi)在聯(lián)系，很好地發(fā)展了幾何的直觀性.

二次函數(shù)是研究某些變量最優(yōu)化問題的常用數(shù)學(xué)模型，教學(xué)中通過大量案例，從數(shù)量關(guān)系分析入手或從圖形中獲取有效信息，把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，進(jìn)而求出最優(yōu)解的全過程（如面積最大、利潤(rùn)最大、能耗最小等）. 在建立二次函數(shù)這個(gè)數(shù)學(xué)模型的過程中，拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)，提升了數(shù)學(xué)能力，尤其是有效訓(xùn)練了學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

2. 在整體規(guī)劃中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有有序性、系統(tǒng)性、連貫性、整體性和結(jié)構(gòu)性等特點(diǎn). 這就要求“學(xué)材再建構(gòu)”時(shí)遵循初中數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯與學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，以構(gòu)建學(xué)生結(jié)構(gòu)性知識(shí)體系與能力發(fā)展價(jià)值體系為目的，促進(jìn)學(xué)生的整體發(fā)展和素養(yǎng)提升[1]. 為此幫助學(xué)生用整體的觀點(diǎn)來學(xué)習(xí)知識(shí)的“各部分”，同時(shí)在學(xué)習(xí)“部分”時(shí)又明確它在整體中的作用，這對(duì)完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有積極的作用. 即從整體上關(guān)注知識(shí)、方法、過程、思維、習(xí)慣等教學(xué)點(diǎn)，從而將數(shù)學(xué)育人落實(shí)到位.

知識(shí)、技能碎片化的教學(xué)方式，導(dǎo)致了思維和素養(yǎng)提升的碎片化或者得不到落實(shí). 為了將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)真正落實(shí)到課堂中，落實(shí)到“二次函數(shù)”教學(xué)中，重組教材，合理安排“二次函數(shù)”整章教學(xué)單元顯得尤為重要. 根據(jù)教材和課程標(biāo)準(zhǔn)，由學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)條件，確定教學(xué)目標(biāo)，并對(duì)“二次函數(shù)”整章教學(xué)進(jìn)行“整體建構(gòu)”和單元規(guī)劃. 具體可將整章分為三大教學(xué)單元：二次函數(shù)及其圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程、實(shí)際問題和二次函數(shù). 考慮到學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)及整體實(shí)現(xiàn)發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)，將“二次函數(shù)及其圖象和性質(zhì)”這個(gè)大教學(xué)單元?jiǎng)澐譃槿齻€(gè)小教學(xué)單元，即二次函數(shù)及二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)、拋物線y=ax2的平移、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)[2].

特別地，將教材中“5.1 二次函數(shù)”和“5.2 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)第1課時(shí)”合二為一作為一個(gè)教學(xué)小單元更為合理. 具體實(shí)施時(shí)，首先類比一次函數(shù)的定義研究二次函數(shù)的定義，從而節(jié)約研究時(shí)間，提高效率;其次二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)，在研究圖象、性質(zhì)的過程中，把重點(diǎn)放在強(qiáng)化“數(shù)形結(jié)合”思想上. 學(xué)生在深刻理解函數(shù)圖象及性質(zhì)的本質(zhì)，并掌握了研究方法的前提下，加快了研究進(jìn)程，提高了學(xué)習(xí)效率. 顯然，這是注重了知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，有利于學(xué)生從整體上把握. 當(dāng)然，這樣的過程尤其突出研究方法的引導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生通過類比的方法自主研究，并通過“問題”引領(lǐng)學(xué)生積極思考，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣.

顯然，對(duì)“二次函數(shù)”整章教學(xué)進(jìn)行“整體建構(gòu)”和單元規(guī)劃，將相關(guān)教學(xué)點(diǎn)納入一個(gè)結(jié)構(gòu)或框架中形成模塊化體系，學(xué)生收獲的不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)，而是基于舊知生長(zhǎng)新知的過程中，學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)方式、數(shù)學(xué)思想和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等都有收獲. 這樣，學(xué)生的理性思維、學(xué)科能力、人文素養(yǎng)、核心價(jià)值觀等都會(huì)得到同步發(fā)展，育人成效得到明顯體現(xiàn). 這樣的再建構(gòu)才有可能將核心素養(yǎng)的培養(yǎng)進(jìn)行整體規(guī)劃、逐步實(shí)現(xiàn).

參考文獻(xiàn)：

[1]施俊進(jìn). 基于“原有基礎(chǔ)”，引導(dǎo)“整體架構(gòu)”，促進(jìn)“協(xié)同發(fā)展”——“二次根式”教學(xué)實(shí)踐與反思[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（02）：4-7.

[2]施俊進(jìn). 學(xué)材再建構(gòu)，在結(jié)構(gòu)中教與學(xué)——以“一元二次方程”單元教學(xué)設(shè)計(jì)為例[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2018（Z3）：12-15.