作者簡介：宋曉東（1975—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

[摘 要] 微專題課以建構(gòu)知識體系、強化知識理解、探究數(shù)學(xué)本質(zhì)為目標(biāo)，能夠有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力. 教師應(yīng)認真研究教材，深入理解試題本質(zhì)，采用靈活的教學(xué)方法逐層引導(dǎo)學(xué)生進行探究，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識的同時有效發(fā)展思維能力，從而落實核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)思想;微專題課;核心素養(yǎng)

試題是數(shù)學(xué)知識的載體，在解題應(yīng)用中能夠深化學(xué)生對知識的理解，能提升學(xué)生運用知識的能力，但是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能陷于解題的窠臼，使學(xué)生淪為解題的“機器”. 教師要善于在解決問題中引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)思想方法，抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，使學(xué)生真正掌握知識的內(nèi)涵，學(xué)會研究的方法，從而落實核心素養(yǎng)的培養(yǎng). 微專題課以相似的數(shù)學(xué)知識為教學(xué)內(nèi)容，以專題研討的教學(xué)模式迅速幫助學(xué)生建構(gòu)知識體系，以實現(xiàn)高效學(xué)習(xí).

何謂微專題研討課

數(shù)學(xué)微專題課是將知識體系、思想方法相互關(guān)聯(lián)的內(nèi)容作為一個專題進行專項研討的課程. 微專題課程首先要確定研究的專題，并選擇能夠反映專題研究目標(biāo)的典型試題，進行循序漸進、由表及里的探究，同時進行相應(yīng)的鞏固練習(xí)和變式提升，使學(xué)生逐漸掌握數(shù)學(xué)研究的思想方法，落實核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo). 微專題課對于學(xué)生解決同類問題，幫助學(xué)生抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)特征，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型起著關(guān)鍵性的作用，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要手段.

本文以二次函數(shù)試題為抓手，開展“拋物線的幾何性質(zhì)”專題研討課，滲透數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生更加深入地理解拋物線的知識，提升知識運用能力.

教學(xué)活動

1. 操作實踐，導(dǎo)入課題

問題：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象為一條拋物線，我們已經(jīng)熟知二次函數(shù)的解析式和相關(guān)性質(zhì)，如頂點、對稱軸以及拋物線的增減性等. 那么二次函數(shù)的圖象還具有哪些性質(zhì)和特征呢？拋物線究竟是一條怎樣的曲線？下面讓我們通過操作來進行探究.

操作1：如圖1所示，將一張紙進行折疊，使折疊后的點A，B，C，D，E，G，H，M，N分別與點F重合，折痕分別與直線a，b，c，d，e，g，h，m，n相交于點A，B，C，D，E，G，H，M，N.

學(xué)生紛紛動手操作.

師：觀察折疊后的紙張，假設(shè)我們用光滑的曲線將這些點連接起來，能夠得到什么樣的曲線呢？

生1：像一條拋物線.

師：是的，讓我們進一步觀察紙張的折痕和點A，B，C，D，E，G，H，M，N，請問這些折痕和點具有怎樣的幾何特征？

生2：折疊之后的每條折痕分別是線段AF，BF，…，NF的垂直平分線，因此可以得到AA與AF相等，BB與BF相等，……，NN與NF相等.

師：講得非常好，下面我們用幾何畫板將剛才的操作過程還原出來.

操作2：如圖2所示，現(xiàn)在有一個定點F和一條不經(jīng)過點F的定直線l. 首先在直線l上取一個點H，連接HF，接著作HF的垂直平分線m;再次，過點H作直線l的垂線HM，與垂直平分線m相交于點M;最后連接MF.

師：假設(shè)我們移動點M，這些點M滿足怎樣的幾何條件？移動的點M形成了一條怎樣的曲線？

生3：我們發(fā)現(xiàn)MH與MF相等，并且點M在平面上形成了一條拋物線.

師：你觀察得非常仔細. 根據(jù)剛才的操作和觀察，我們可以將拋物線進行如下定義——平面內(nèi)有一個定點F和不經(jīng)過點F的直線l，與這一定點和直線距離相等的點的集合便為拋物線.

設(shè)計意圖 本環(huán)節(jié)通過兩個操作活動將學(xué)生引入學(xué)習(xí)拋物線的狀態(tài). 學(xué)生通過自己的實際操作，對拋物線產(chǎn)生了更加直觀的認識，進一步了解了拋物線的形成，初步建構(gòu)起了拋物線的幾何模型，這就為接下來進一步研討拋物線的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).

2. 數(shù)形結(jié)合，建構(gòu)模型

師：研究拋物線的性質(zhì)時，我們通常采用數(shù)形結(jié)合的方式，通過建立平面直角坐標(biāo)系來求拋物線的函數(shù)解析式，將幾何與代數(shù)進行相互轉(zhuǎn)化，通過“數(shù)”的計算，將“形”與“數(shù)”相結(jié)合. 那么，我們應(yīng)該建立什么樣的平面直角坐標(biāo)系才更加符合要求呢？

生4：如圖3所示，我們可以根據(jù)函數(shù)y=ax2建立平面直角坐標(biāo)系的方式，利用經(jīng)過點F并且與直線l相垂直的直線FP（點P在直線l上）為y軸，將線段FP的垂直平分線作為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，由此拋物線的頂點便落在坐標(biāo)原點.

師：非常好！現(xiàn)在我們能否根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)求拋物線的解析式？

生5：我們可以設(shè)點F的坐標(biāo)為（0，p），直線l的解析式為y=-p，點M（x，y）是拋物線上的任意一點，根據(jù)MF與MH相等，可以得到（x-0）2+（y-p）2=（y+p）2，化簡后可以得到拋物線的解析式為y=x2.

師：解答得非常好，根據(jù)這個解析式我們可以知道這是一個二次函數(shù). 當(dāng)然，我們還要注意，建立平面直角坐標(biāo)系的方法是不唯一的，我們還可以將EF所在的直線作為x軸，將直線l作為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)計意圖 本環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合的方式求拋物線的解析式，將“數(shù)”與“形”的結(jié)合進行了具體的應(yīng)用，初步滲透了數(shù)學(xué)研究的思想，不僅讓學(xué)生掌握了求解函數(shù)解析式的方法，而且讓學(xué)生初步掌握了圖形問題中的數(shù)學(xué)運算思想.

3. 探究性質(zhì)，深刻理解

（1）幾何性質(zhì)1

師：拋物線還有哪些幾何性質(zhì)呢？下面我們一起來探究. 如圖4所示，過點F（0，p）的直線與拋物線相交于A，B兩點. 假設(shè)AB與x軸平行，連接AP，BP，你可以得到哪些結(jié)論？

生6：我們可以得到線段AF與BF相等，AP與BP相等，∠APF與∠BPF相等.

師：如圖5所示，過點F（0，p）的直線與拋物線相交于A，B兩點. 假設(shè)直線AB與x軸不平行，那么上述結(jié)論還成立嗎？

生6：只有∠APF與∠BPF相等這個結(jié)論可能成立.

師：由題意我們可以得到拋物線的解析式為y=x2，直線AB的解析式為y=kx+p（k≠0），于是設(shè)點A的坐標(biāo)為

x，

，點B的坐標(biāo)為

x，

. 我們能證明∠APF與∠BPF相等嗎？

生7：根據(jù)全等三角形或者銳角三角函數(shù)值來進行說明. 因為tan∠APF==-，tan∠BPF==，所以我們只需要證明這兩個角的正切值是否相等，即證明tan∠APF=tan∠BPF能否成立.

師：那么怎么驗證這兩個角的正切值是否相等呢？

生7：根據(jù)剛才的分析，我們已經(jīng)將兩個角的正切值表示出來了，那么我們只要用作差法進行證明就可以了，即證明--=0是否成立.

師：這種方法是我們常用的一種證明方法，但是由這個算式我們可以看到計算量非常大，似乎很難求解. 那你們還有其他的計算方法嗎？

生8：證明兩個角的正切值相等也可以通過作商來比較，即證明=-=1是否成立.

師：這個算式讓我們想到了什么？

生8：想到了韋達定理. 聯(lián)立方程

y=x2，

y=kx+p， 化簡后可以得到x2-4pkx-4p2=0，于是有x+x=4pk，xx=-4p2. 所以=-==1. 所以∠APF與∠BPF相等.

（2）幾何性質(zhì)2

師：拋物線的性質(zhì)還不止于此，根據(jù)拋物線上點的坐標(biāo)的特殊性，我們還能繼續(xù)探究它的其他性質(zhì). 如圖6所示，經(jīng)過點A作直線l的垂線AC，垂足為C，連接OC，OB，你發(fā)現(xiàn)C，O，B三點之間具有怎樣的關(guān)系了嗎？

生8：我們可以通過證明點C的坐標(biāo)符合直線OB的函數(shù)解析式，得到C，O，B三點共線這一結(jié)論.

師：很好，你能說一說證明過程嗎？

生8：由題意可知點C的坐標(biāo)為（x，-p），直線OB的解析式為y=x，對于y=x，令x=x，可得y===-p，所以點C在直線OB上，即C，O，B三點共線.

師：非常好，除此之外，還有其他的證明方法嗎？

生9：我們還可以通過三角形相似的性質(zhì)或者斜率來進行證明.

（3）幾何性質(zhì)3

師：如圖7所示，過點B作BD⊥l，垂足為D，你能用剛才的類似證明方法證明線段AC，F(xiàn)P，BD之間的數(shù)量關(guān)系嗎？

學(xué)生合作討論.

生10：根據(jù)剛才證明三點共線的方法，我們也同樣可以證明A，O，D三點共線. 因為AC，OP，BD相互平行，所以有=，=. 所以+=1. 又因為FP=2p=2OP，所以AC，F(xiàn)P，BD之間的數(shù)量關(guān)系為+=.

設(shè)計意圖 教師進一步引導(dǎo)學(xué)生探究拋物線的性質(zhì)，通過問題引導(dǎo)，由淺入深地引導(dǎo)學(xué)生進行深入思考. 本環(huán)節(jié)教師首先以開放性的問題引導(dǎo)學(xué)生展開數(shù)學(xué)猜想，緊接著引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)證明，滲透了從猜想到論證的一般數(shù)學(xué)研究方法. 從研究角的關(guān)系到點的位置，最后到線段的數(shù)量關(guān)系，層層深入，發(fā)展學(xué)生思維的深刻性，提升了學(xué)生對問題的認識.

4. 變式練習(xí)，深度學(xué)習(xí)

如圖8所示，若拋物線的解析式為y=ax2，點Q（0，b）是y軸正半軸上任意一點，直線l的解析式為y=-b，那∠APQ與∠BPQ是否相等？C，O，B三點共線的結(jié)論還成立嗎？AC，QP，BD之間有著怎樣的數(shù)量關(guān)系？請同學(xué)們在課后進行拓展學(xué)習(xí).

設(shè)計意圖 本環(huán)節(jié)以變式練習(xí)的形式進行知識拓展延伸，促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)，考查學(xué)生的知識掌握情況，將課堂學(xué)習(xí)延伸到了課外，有效提升了學(xué)習(xí)效果.

5. 聯(lián)系生活，拓展延伸

假設(shè)我們在拋物線上確定一個定點F，將這一定點命名為焦點，即光線的聚焦點，由此可知，拋物線不僅具有幾何性質(zhì)，還具有光學(xué)性質(zhì). 下面我們一起來觀看一個視頻，通過視頻可以知道從焦點發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上的一個點反射后，反射得到的光線與拋物線的軸平行.

師生共同觀看視頻，發(fā)現(xiàn)呈自由落體的小球落在拋物面上后經(jīng)過反射，能夠全部擊中鈴鐺（如圖9所示）. 在日常生活中我們看見的探照燈、汽車遠光燈等都是利用了拋物面的這一光學(xué)性質(zhì).

設(shè)計意圖 本環(huán)節(jié)將數(shù)學(xué)知識與生活進行聯(lián)系，豐富了學(xué)生的認識，使學(xué)生認識到數(shù)學(xué)知識在生活中的具體應(yīng)用，激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.

教學(xué)反思

微專題研討課是基于相類似的數(shù)學(xué)知識在不同試題中的應(yīng)用而進行的研討，能使學(xué)生更加全面和深刻地掌握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，提升知識遷移能力，完善知識體系，從而實現(xiàn)解題能力的提升.

總之，微專題課教學(xué)要基于教學(xué)目標(biāo)和學(xué)情進行設(shè)計，并選擇合適的問題以及教學(xué)模式引導(dǎo)學(xué)生在專題探討中獲得知識和能力的提升，并由此掌握數(shù)學(xué)思想和方法，實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升.