作者簡(jiǎn)介：王鑫（1990—），本科學(xué)歷，二級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作.

[摘 要] 解題探究建議圍繞中考真題分兩個(gè)環(huán)節(jié)來構(gòu)建：一是思路突破，解后總結(jié);二是圍繞核心知識(shí)，開展教學(xué)微設(shè)計(jì). 文章以2023年江蘇無錫的一道反比例函數(shù)中考題為例，探索問題解法及隱含模型，開展教學(xué)微設(shè)計(jì).

[關(guān)鍵詞] 解題探索 ;“一線三直角”模型;教學(xué)微設(shè)計(jì)

由考題思路突破及模型探索

說起

考題 （2023年江蘇無錫中考卷第17題）已知曲線C，C分別是函數(shù)y=-（x<0），y=（k>0，x>0）的圖象，邊長為6的正三角形ABC的頂點(diǎn)A在y軸正半軸上，頂點(diǎn)B，C在x軸上（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），現(xiàn)將△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B在曲線C上時(shí)，點(diǎn)A恰好在曲線C上，則k的值為______.

思路突破 由條件可知，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B，C在x軸上，考慮到△ABC是等邊三角形，并且AO⊥BC，于是有∠BAO=30°. 所以tan∠BAO=tan30°==. 可按照如下步驟作圖：分別過A，B兩點(diǎn)作x軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，如圖1所示. 因?yàn)锳O⊥BO，∠BFO=∠AEO=∠AOB=90°，所以∠BOF=90°-∠AOE=∠EAO. 于是有△BFO∽△OEA. 由相似性質(zhì)，可得=

2=，又S==1，所以S=3. 最后結(jié)合反比例函數(shù)k的幾何意義，可得k=6.

解后反思 本題是反比例函數(shù)的綜合題，涉及三角形旋轉(zhuǎn)、三角函數(shù)等知識(shí)，屬于解析動(dòng)態(tài)幾何與函數(shù)問題. 突破問題時(shí)要把握幾何運(yùn)動(dòng)過程，提取其中的特殊模型，再結(jié)合函數(shù)與幾何的相關(guān)性質(zhì)求解. 其中問題涉及“一線三直角”相似模型，即“K”模型，如圖2所示.

在圖2中，存在如下幾何關(guān)系：∠F=∠E=∠AOB=90°，從而可推知如下結(jié)論：△BFO∽△OEA. 在解題過程中，若學(xué)生能準(zhǔn)確把握復(fù)合圖形中的幾何特征，提取其中的特殊模型，則可以直接利用模型結(jié)論，簡(jiǎn)化解題過程.

對(duì)于“一線三直角”相似模型，有如下三大應(yīng)用，解題探究中可以靈活運(yùn)用：（1）根據(jù)特征確定模型，利用模型結(jié)論直接解幾何問題;（2）在平面直角坐標(biāo)系中構(gòu)造“相似型”三垂直，求解與函數(shù)相關(guān)的幾何問題;（3）用于運(yùn)動(dòng)型問題中，根據(jù)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)構(gòu)建直角，結(jié)合模型結(jié)論串聯(lián)條件.

圍繞考題開展教學(xué)微設(shè)計(jì)

1. 教學(xué)環(huán)節(jié)一：基礎(chǔ)熱身

例1 如圖3所示，在矩形ABCD中，AD=8，折疊矩形ABCD，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)P處，已知折痕經(jīng)過點(diǎn)A，且與邊BC交于點(diǎn)O.

（1）求證：=;

（2）若OP與PA的比為1 ∶ 2，求邊AB的長.

教學(xué)預(yù)設(shè)：選取上述幾何問題作為熱身探究素材，引導(dǎo)學(xué)生把握關(guān)鍵條件，結(jié)合折疊特性推導(dǎo)條件，根據(jù)問題條件來確定、提取模型，結(jié)合模型結(jié)論再逐步求解. 整體上按照“條件解析→模型提取→結(jié)論利用”的思路來引導(dǎo).

（1）引導(dǎo)學(xué)生理解題意. “折疊矩形ABCD，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)P處”，根據(jù)折疊特性可知△POA≌△BOA，從而可推得∠APO=∠ABO=90°. 綜合可得∠APO=∠D=∠C=90°，從而可提取其中的“一線三直角”相似模型，于是有△OCP∽△PDA，利用相似三角形的性質(zhì)可得=.

（2）該問求線段的長，同樣需要充分利用模型結(jié)論進(jìn)行推導(dǎo). 根據(jù)“一線三直角”相似模型，可得△OCP∽△PDA，所以有=. 結(jié)合條件“OP與PA的比為1 ∶ 2，AD=8，可得=，所以PC=4. 在直角三角形中利用勾股定理構(gòu)建方程求解：設(shè)AB=x，則DC=x，AP=x，PD=x-4. 在Rt△APD中，因?yàn)锳P2=AD2+PD2，所以x2=82+（x-4）2，解得x=10，所以AB=10.

2. 教學(xué)環(huán)節(jié)二：拾0db2a095eb7743316a575cc8d8aee5bd0b0681ac49ba1dfe14d11f86d7189bc9級(jí)而上

例2 如圖4所示，在矩形ABCD中，E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接AE并延長交CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG⊥AE交BC于點(diǎn)G. 若AB=8，AD=6，BG=2，則AE的長為（ ）

A. B.

C. D.

教學(xué)預(yù)設(shè)：本題為復(fù)合型幾何問題，具有一定的難度. 題目中沒有直接構(gòu)建“一線三直角”相似模型，教學(xué)中教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析問題條件，通過作輔助線來構(gòu)建模型，再利用模型條件求解.

作圖建模：過點(diǎn)E作EN⊥BC，垂足為N，延長NE交AD于點(diǎn)M，如圖5所示.

條件推導(dǎo)：四邊形AMNB是矩形，故∠AMN=90°，AB=MN= 8，AM=BN，MN∥AB. 從而可證△DME∽△DAB，所以有=.

設(shè)定線段：設(shè)ME=x，則EN=MN-ME=8-x. 所以=. 所以DM=x，BN=AM=AD-DM=6-x，GN=BN-BG=4-x.

模型分析：由條件知∠AME=∠GNE=∠AEG=90°，顯然存在“一線三直角”相似模型，于是有△AME∽△ENG，所以有=，即=，解得x=，x=8. 經(jīng)檢驗(yàn)，x=，x=8都是原方程的根，但x=8不符合題意，舍去. 所以ME=，AM=6-x=. 由勾股定理可得AE===，故答案為B.

3. 教學(xué)環(huán)節(jié)三：深入拓展

對(duì)于其中的“一線三直角”相似模型，若存在一組對(duì)應(yīng)邊相等，則可以生成特殊的“一線三直角”全等模型，如圖6所示. 教學(xué)中教師可以先展示模型，再預(yù)設(shè)問題探究.

在圖6中，存在如下幾何關(guān)系：∠F=∠E=∠AOB=90°，F(xiàn)O=AE，于是可推得結(jié)論：△BFO≌△OEA.

例3 如圖7所示，在△PMN中，PM=PN，PM⊥PN，P（0，2），N（2，-2），則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（ ）

A. （-2，0） B. （-2，0）

C.（-2，0） D.（-4，0）

教學(xué)預(yù)設(shè)：本題為“一線三直角”全等模型問題，其特殊之處在于引入了平面直角坐標(biāo)系. 教學(xué)探究中教師需要引導(dǎo)學(xué)生探索模型成立的兩大條件：一是等直角，二是對(duì)應(yīng)邊相等，然后在此基礎(chǔ)上提取模型，利用模型推導(dǎo)線段長.

線段推導(dǎo)：過點(diǎn)N作y軸的垂線，垂足為D，如圖7所示. 已知P（0，2），N（2，-2），則OP=2，OD=2，DN=2，從而可得PD=4.

模型提?。航處熞龑?dǎo)學(xué)生分析其中的角度與線段等量條件，則有∠MOP=∠MOD=∠PDN=90°，PM=PN，則有△MOP≌△PDN.

解題推導(dǎo)：根據(jù)模型結(jié)論有OM=PD=4，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-4，0），故答案為D.