在進行習題訓練時，我們經(jīng)常會遇到含參函數(shù)零點問題.這類問題通常較為復雜，需靈活運用函數(shù)的性質、圖象，以及導數(shù)、方程、不等式的性質進行求解.接下來，通過一個例題探討一下含參函數(shù)零點問題的幾種解法.

例題：若函數(shù)f（x）=ax3-3x2+1存在唯一的零點x0，且x0gt;0，試求參數(shù)a的取值范圍.

題目中給出的條件較少，需從零點的定義入手，將問題與函數(shù)的單調性、圖象，零點存在性定理，方程關聯(lián)起來，以尋找解題的思路.

一、分類討論法

運用分類討論法解題，需將問題化整為零，各個擊破.解題的一般步驟為：（1）確定討論的對象和范圍；（2）確定分類的標準，進行合理的分類；（3）逐層逐級進行討論；（4）匯總所得的結果，得出結論.

解：

題目中的函數(shù)為三次函數(shù)，對其求導后，參數(shù)a為二次項的系數(shù)，分解因式后可得導函數(shù)的零點為0和，于是分agt;0和alt;0兩種情況討論函數(shù)在（-∞，0）、，+∞） 、（（0，上的單調性，進而根據(jù)零點存在性定理確定函數(shù)零點的個數(shù)以及參數(shù)a的取值范圍.

二、數(shù)形結合法

數(shù)形結合法是解答函數(shù)問題的重要工具.運用該方法解題，只需觀察、研究函數(shù)的圖象，即可快速獲得問題的答案.這樣不僅可以使解題的思路更加明朗，還能有效地提升解題的效率.在解答含參函數(shù)零點問題時，需根據(jù)零點的定義，將問題轉化為函數(shù)圖象與x軸的交點問題，或兩個函數(shù)圖象的交點問題，通過研究函數(shù)圖象交點的個數(shù)、位置、取值范圍，從而求得問題的答案.

解：

三、分離參數(shù)法

分離參數(shù)法是求參數(shù)取值范圍常用的方法.在解題時，往往要將等式或不等式中的參數(shù)與變量分離，使其置于等號或不等號的兩側，通過求含有變量的式子的最值，來確定參數(shù)的取值范圍.

解：令f（x）=ax3-3x2+1=0，

可得a=-，設g（x）=-，

對函數(shù)g（x）求導可得g′（x）=-x2（3）+x4（3）=-3（xx4（2-）1），

當x∈（-∞，-1）時，g′（x）lt;0，當x∈（-1，0）時，g′（x）gt;0，當x∈（0，1）時，g′（x）gt;0，當x∈（1，+∞）時，g′（x）lt;0，

所以g（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上單調遞減，在（-1，0）和（0，1）上單調遞增，

則函數(shù)在x=-1處取得極小值，在x=1處取得極大值，

而g（-1）=-2，

要使f（x）有唯一的正零點，需使alt;-2，

所以a的取值范圍為（-∞，-2）.

令f（x）=ax3-3x2+1=0后，通過變形將參數(shù)與變量分離，并構造函數(shù)g（x）=-，即可將問題轉化為求函數(shù)g（x）=-的最值問題.對函數(shù)求導，研究導函數(shù)在區(qū)間（-∞，-1）、（1，+∞）、（-1，0）、（0，1）上的符號，即可判斷出函數(shù)在各個區(qū)間上的單調性，進而求得函數(shù)的極小值，求得參數(shù)a的取值范圍.運用分離參數(shù)法解題，可以避免繁瑣的分類討論，簡化解題的過程.

可見，雖然含參函數(shù)的零點問題的難度較大，但是我們只要抓住關鍵信息，根據(jù)函數(shù)零點的定義和范圍建立關于參數(shù)的關系式，靈活運用數(shù)形結合思想、分類討論思想、轉化思想、方程思想，即可順利解題.

（作者單位：江西省南昌市新建區(qū)第一中學）