文章編號(hào)1000-5269（2024）06-0008-06

DOI：10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2024.06.02

摘要：考慮了常利力環(huán)境下，包含線性紅利、隨機(jī)干擾和隨機(jī)保費(fèi)的復(fù)合P-G風(fēng)險(xiǎn)模型。通過(guò)應(yīng)用全期望公式，推導(dǎo)出該模型的Gerber-Shiu函數(shù)及破產(chǎn)概率的更新方程。在不考慮分紅且保費(fèi)額和索賠額均服從指數(shù)分布時(shí)，進(jìn)一步得到了破產(chǎn)概率所滿足的具體微分方程，并求解得到了其解析表達(dá)式。通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)，系統(tǒng)分析了多個(gè)關(guān)鍵因素對(duì)破產(chǎn)概率的具體影響，所得結(jié)論與保險(xiǎn)公司的實(shí)際經(jīng)營(yíng)情況相吻合。

關(guān)鍵詞：復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程；線性紅利；Gerber-Shiu函數(shù)；破產(chǎn)概率

中圖分類號(hào)：O211.6

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

對(duì)于保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)理論中的經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型，學(xué)者們通過(guò)在模型中引入利率、干擾、紅利、隨機(jī)保費(fèi)和多險(xiǎn)種等因素進(jìn)行拓展和深入的研究[1-6]。文獻(xiàn)[7-9]提出了更貼近實(shí)際的復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型（以下簡(jiǎn)稱P-G風(fēng)險(xiǎn)模型）。趙金娥等[10]擴(kuò)展了復(fù)合P-G風(fēng)險(xiǎn)模型的保費(fèi)收入機(jī)制，將原先的線性函數(shù)拓展至更為靈活的復(fù)合Poisson過(guò)程，這一創(chuàng)新為風(fēng)險(xiǎn)模型提供了更為貼近實(shí)際保費(fèi)收入波動(dòng)的描述。喬克林等[11]則進(jìn)一步深入探討了隨機(jī)干擾因素下的復(fù)合P-G風(fēng)險(xiǎn)模型，其中保費(fèi)收入服從復(fù)合Poisson過(guò)程，索賠額服從復(fù)合P-G過(guò)程。宋鑫等[12]分析了保費(fèi)和索賠過(guò)程均為復(fù)合P-G過(guò)程的雙險(xiǎn)種雙復(fù)合風(fēng)險(xiǎn)模型，但忽略了利率的作用?？紤]到投資收益與分紅機(jī)制，文獻(xiàn)[13-14]研究了包含投資和混合保費(fèi)收取的復(fù)合P-G風(fēng)險(xiǎn)模型。侯致武等[15-16]在常利力和線性分紅環(huán)境下，研究了帶有干擾和隨機(jī)保費(fèi)的復(fù)合P-G風(fēng)險(xiǎn)模型。本文基于文獻(xiàn)[16]中P-G風(fēng)險(xiǎn)模型，深入研究了其Gerber-Shiu函數(shù)和破產(chǎn)概率的更新方程。特別是在未涉及分紅，保費(fèi)和索賠額均服從指數(shù)分布，同時(shí)忽略外部干擾因素的情形下，得出了破產(chǎn)概率的明確解析表達(dá)式。最后，通過(guò)詳盡的數(shù)值實(shí)驗(yàn)，分析了不同變量對(duì)保險(xiǎn)公司破產(chǎn)概率的影響，為保險(xiǎn)公司風(fēng)險(xiǎn)管理提供有益參考。

1模型介紹

定義1在常利力背景下，考慮一個(gè)帶隨機(jī)干擾的復(fù)合P-G風(fēng)險(xiǎn)模型，以描述保險(xiǎn)公司的資金動(dòng)態(tài)。假定：

（1）u為初始資本量，δ0為恒定的利息力，使資金以連續(xù)方式增長(zhǎng)。

（2）在保單銷售過(guò)程方面，t時(shí)刻的累積保費(fèi)收入為X（t）=∑M（t）i=1Xi，其中投保發(fā)生次數(shù)M（t）服從參數(shù)為λ1的Poisson過(guò)程，第i次到達(dá)的保費(fèi)額{Xi，i1}是獨(dú)立同分布的，具有共同的分布函數(shù)F（x）和概率密度函數(shù)f（x），其均值為μ。

（3）在索賠方面，t時(shí)刻的累積索賠為Y（t）=∑N（t）j=1Yj，其中索賠發(fā)生次數(shù)N（t）服從參數(shù)為（λ2，ρ）的復(fù)合P-G過(guò)程，而第j次的索賠額{Yj，j1}也是獨(dú)立同分布的，具有分布函數(shù)G（y）和概率密度函數(shù)g（y）。

（4）為了更全面地描述保險(xiǎn)公司的資金流動(dòng)，引入一個(gè)擾動(dòng)系數(shù)為σ的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)W（t）作為擾動(dòng)項(xiàng)，來(lái)表示市場(chǎng)不確定性或未預(yù)期到的事件對(duì)保險(xiǎn)公司資金的影響。

（5）隨機(jī)變量{Xi}，{Yj}，M（t），N（t），以及W（t）都假定為相互獨(dú)立的，以確保模型分析的準(zhǔn)確性。

因此，在以上假定條件下，該P(yáng)-G風(fēng)險(xiǎn)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

U（t）=ueδt+∫t0eδ（t－s）dX（s）－∫t0eδ（t－s）dY（s）+σ∫t0eδ（t－s）dW（s）（1）

定義2設(shè)由初值b（u≤b）和增長(zhǎng)速率a（0lt;alt;λ1μ）共同決定的紅利界為b+at，當(dāng)公司盈余低于紅利界b+at時(shí)，不分紅；而一旦盈余高于這個(gè)紅利界，公司就會(huì)發(fā)放紅利，單位時(shí)間內(nèi)發(fā)放紅利為λ1μ－a，直至索賠再次發(fā)生。基于此紅利分配策略，模型（1）可以修改為

dU（t）=dX（t）－dY（t）+σdW（t）

U（t）lt;b+atadt－dY（t）+σdW（t）

U（t）=b+at（2）

定義3模型（2）的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)，即Gerber-Shiu函數(shù)為

m（u，b）=E［e－rTw（U（T－），U（T））×

I（Tlt;∞）U（0）=u］（3）

其中，T=inf（tgt;0;U（t）lt;0）為破產(chǎn)時(shí)刻，e－rT（r0）為折現(xiàn)因子，I（E）為事件E的示性函數(shù)，w（x，y）為一非負(fù)有界的罰金函數(shù)，U（T－）為破產(chǎn)前瞬時(shí)盈余，U（T）為破產(chǎn)時(shí)赤字。

當(dāng)w（x，y）=1且r=0時(shí)，式（3）即為模型（2）的最終破產(chǎn)概率ψ（u，b）=P（Tlt;∞U（0）=u）。

引理[7]設(shè)N（t）是以（λ，ρ）為參數(shù)的P-G過(guò)程，記α=λ（1－ρ）/ρ（當(dāng)ρ=0時(shí)，α=λ）。當(dāng)t→0時(shí)，有

P{N（t）=0}=e－λt=1－λt+o（t）

P{N（t）=k}=αρkt+Ak（t）ο（t），k=1，2，…其中，Ak（t）=ρk+（k－1）（ρ（1+αt））k－2，o（t）與k無(wú)關(guān)，且∑∞k=1Ak（t）一致收斂。

2主要結(jié)果

G（y）和g（y）的k重卷積分別表示為Gk（y）和gk（y），并記

Gρ（y）=∑∞k=1（1－ρ）ρk－1Gk（y）

gρ（y）=∑∞k=1（1－ρ）ρk－1gk（y）

定理1模型（2）Gerber-Shiu函數(shù)m（u，b）的更新方程為

σ222u2m（u，b）+δuum（u，b）+abm（u，b）－（r+λ1+λ2）m（u，b）+λ1∫∞0m（u+x，b）dF（x）+

λ2［∫u0m（u－y，b）gρ（y）dy+∫∞uw（u，y－u）gρ（y）dy］=0（0≤u≤b）（4）

且滿足特定的邊界條件um（u，b）u=b=0，limb→∞m（u，b）=m（u），其中m（u）表示無(wú)分紅情形下的模型（1）的Gerber-Shiu函數(shù)。

證明令h（t）=ueδt+σ∫t0eδ（t－s）dW（s）－u，當(dāng)0≤u≤b時(shí)，在（0，t］內(nèi)，按是否發(fā)生保費(fèi)收取和索賠事件分為M（t）和N（t）都無(wú)跳躍，M（t）無(wú)跳躍但N（t）有k次跳躍，M（t）有一次跳躍但N（t）無(wú)跳躍，其他情形。

由全期望公式有

m（u，b）

=e－rtE［m（u+h（t），b+at）］×

［（1－λ1t+o（t））（1－λ2t+o（t））］+

e－rt∑∞k=1E［m（ueδt－∑kj=1Yj，b+at）］×

［（1－λ1t+o（t））（αρkt+Ak（t）o（t））］+

∫∞0E［m（u，b+at）X1=x］dF（x）×

［λ1t（1－λ2t+o（t））］+E［m（u，b+at）］o（t）

=e－rtE［m（u+h（t），b+at）］×

［1－（λ1+λ2）t+o（t）］+

e－rt∑∞k=1［∫u+h（t）0m（u+h（t）－y，b+at）gk（y）dy+

∫∞u+h（t）w（u+h（t），y－u－h(huán)（t））gk（y）dy］×

［αρkt+Ak（t）o（t）］+

e－rt∫∞0m（u+h（t）+x，b+at）dF（x）×

（λ1t+o（t））+E［m（u，b+at）］o（t）

（5）

由伊藤積分公式知

E［m（u+h（t），b+at）］=m（u，b+at）+

［σ222mu2+δumu+amb］t+o（t）

由引理和單調(diào)收斂定理得，式（5）可化為

m（u，b）=e－rt［m（u，b+at）+

（σ222mu2+δumu+amb）t］［1－（λ1+λ2）t］+

e－rtλ1t∫∞0m（u+h（t）+x，b+at）dF（x）+

e－rtλ2t［∫u+h（t）0m（u+h（t）－y，b+at）gρ（y）dy+

∫∞u+h（t）w（u+h（t），y－u－h(huán)（t））gρ（y）dy］+o（t）

整理得

ertm（u，b）

=

［m（u，b+at）+（σ222mu2+δumu+amb）t］－

（λ1+λ2）m（u，b+at）t+

λ1t∫∞0m（u+h（t）+x，b+at）dF（x）+

λ2t［∫u+h（t）0m（u+h（t）－y，b+at）gρ（y）dy+

∫∞u+h（t）w（u+h（t），y－u－h(huán)（t））gρ（y）dy］+o（t）

化簡(jiǎn)得式（4）成立。

當(dāng)u=b時(shí)，運(yùn)用上述方法得um（u，b）u=b=0；當(dāng)b→∞時(shí)，不發(fā)生分紅，故limb→∞m（u，b）=m（u）。

定理2模型（2）破產(chǎn)概率ψ（u，b）的更新方程為

σ222u2ψ（u，b）+δuuψ（u，b）+abψ（u，b）－（λ1+λ2）ψ（u，b）+λ1∫∞0ψ（u+x，b）dF（x）+λ2［∫u0ψ（u－y，b）gρ（y）dy+G-ρ（u）］=0（0≤u≤b）（6）

且滿足特定的邊界條件uψ（u，b）u=b=0，limb→∞ψ（u，b）=φ（u），其中φ（u）表示無(wú)分紅情況下的模型（1）的破產(chǎn)概率。

證明只需在式（4）中，令r=0，w（x，y）=1即可證明定理2。

定理3模型（1）破產(chǎn)概率φ（u）的更新方程為

σ22φ″（u）+δuφ′（u）－（λ1+λ2）φ（u）+

λ1∫∞0φ（u+x）dF（x）+

λ2［∫u0φ（u－y）gρ（y）dy+G-ρ（u）］=0（7）

證明在式（6）中，令a=0，則ψ（u，b）=φ（u），即得文獻(xiàn)[17]中推論1，即式（7）成立。

在一般情況下，破產(chǎn)概率的更新方程的精確解往往難以直接獲得。然而，當(dāng)索賠額和保費(fèi)額都服從指數(shù)分布時(shí)，可構(gòu)建出描述破產(chǎn)概率的微分方程模型，并通過(guò)計(jì)算求解出該概率的精確表達(dá)式。

定理4若{Xi}和{Yj}分別服從β1和β2為參數(shù)的指數(shù)分布，則模型（1）破產(chǎn)概率φ（u）的微分方程為

σ22φ（4）（u）+［σ22（β*2－β1）+δu］φ（u）+

［δ（β2－β1）u－σ22β1β2－（λ1+λ2）+2δ］φ″（u）+

（λ2β1－λ1β2－δβ1+δβ2－δβ1β2u）φ′（u）=0（8）

其中，β2=（1－ρ）β2。

證明因f（x）=β1e－β1x，g*k（y）表示一個(gè)以（k，β2）為參數(shù)的Gamma分布的概率密度函數(shù)。令β2=（1－ρ）β2，有

gρ（y）=∑∞k=1（1－ρ）ρk－1β2kyk－1（k－1）！e－β2y

=（1－ρ）β2e－（1－ρ）β2y

=β2e－β2y

式（7）化為

（λ1+λ2）φ（u）－δuφ′（u）－σ22φ″（u）－λ2e－β2u

=λ1∫∞0φ（u+x）β1e－β1xdx+

λ2∫u0φ（u－y）β2e－β2ydy（9）

若記ξ=u+x，ζ=u－y，則有

ddu∫∞0φ（u+x）β1e－β1xdx

=ddu∫∞uφ（ξ）β1e－β1（ξ－u）dξ

=β1∫∞uφ（ξ）β1e－β1（ξ－u）dξ－β1φ（u）

ddu∫u0φ（u－y）β2e－β2ydy

=ddu∫u0φ（ζ）β2e－β2（u－ζ）dζ

=－β2∫u0φ（ζ）β2e－β2（u－ζ）dζ+β2φ（u）

整理后，式（9）化為

（λ1+λ2）φ（u）－δuφ′（u）－σ22φ″（u）－λ2e－β2u

=λ1∫∞uφ（ξ）β1e－β1（ξ－u）dξ+

λ2∫u0φ（ζ）β2e－β2（u－ζ）dζ（10）

（λ1β1－λ2β2）φ（u）+（λ1+λ2－δ）φ′（u）－δuφ″（u）－σ22φ（u）+λ2β2e－β2u

=λ1β1∫∞uφ（ξ）β1e－β1（ξ－u）dξ－λ2β2∫u0φ（ζ）β2e－β2（u－ζ）dζ（11）

（λ1β12+λ2β22）φ（u）+（λ1β1－λ2β2）φ′（u）+

（λ1+λ2－2δ）φ″（u）－δuφ（u）－σ22φ（4）（u）－

λ2β22e－β2u=λ1β12∫∞uφ（ξ）β1e－β1（ξ－u）dξ+λ2β22∫u0φ（ζ）β2e－β2（u－ζ）dζ（12）

聯(lián)立式（10）和式（11），消去∫∞uφ（ξ）β1e－β1（ξ－u）dξ得

（λ2β1+λ2β2）φ（u）－（δβ1u+λ1+λ2－δ）φ′（u）－

（σ22β1－δu）φ″（u）+σ22φ（u）－（λ2β1+λ2β2）e－β2u

=（λ2β1+λ2β2）∫u0φ（ζ）β2e－β2（u－ζ）dζ（13）

同理，由式（11）和式（12）得

（λ2β1β2+λ2β22）φ（u）－（λ2β1+λ2β2－δβ1）

φ′（u）+

（λ1+λ2－2δ+δβ1u）φ″（u）+

（σ22β1－δu）φ（u）－

σ22φ（4）（u）－

（λ2β1β2+λ2β22）e－β2u

=（λ2β1β2+λ2β22）∫u0φ（ζ）β2e－β2（u－ζ）dζ（14）

由式（13）和式（14），消去∫u0φ（ζ）β2e－β2（u－ζ）dζ，整理即得式（8）。

定理5若在定理4的條件下，且σ=0，則模型（1）破產(chǎn)概率φ（u）的解析表達(dá)式為

φ（u）=（β1－Δ2）λ2β1λ2－Δ2（λ1+λ2）eΔ2u（15）

其中，Δ2=－［δ（β2－β1）u－（λ1+λ2）+2δ］－Λ2δu，

β2=（1－ρ）β2，Λ=4δ（δ－λ1－λ2）+（λ1+λ2）2+

δ2（β1+β2）2u2+2δ（λ1－λ2）（β1+β2）u。

證明令σ=0，則由式（8）知

δuφ（u）+［δ（β2－β1）u－（λ1+λ2）+2δ］φ″（u）+

（λ2β1－λ1β2－δβ1+δβ2－δβ1β2u）φ′（u）=0

特征方程為

δuΔ3+［δ（β2－β1）u－（λ1+λ2）+2δ］Δ2+

（λ2β1－λ1β2－δβ1+δβ2－δβ1β2u）Δ=0

特征根為

Δ0=0

Δ1，2=－［δ（β2－β1）u－（λ1+λ2）+2δ］±Λ2δu

所以φ（u）=c0+c1eΔ1u+c2eΔ2u。由φ（∞）=0

得c0=0，由Δ1gt;0，Δ2lt;0得c1=0，即φ（u）=c2eΔ2u，代入式（9）并令u=0，σ=0得c2=（β1－Δ2）λ2β1λ2－Δ2（λ1+λ2）。故破產(chǎn)概率φ（u）的解析表達(dá)式即為式（15）。

下面給出定理5中破產(chǎn)概率的數(shù)值實(shí)驗(yàn)，并深入探討模型中各相關(guān)參數(shù)對(duì)破產(chǎn)概率的具體影響。不失一般性，設(shè)定偏離參數(shù)ρ=0.2。

算例1若期望保費(fèi)1β1=1元/份，保費(fèi)率λ1=20份/d，期望索賠額1β2=1000元，索賠強(qiáng)度λ2=001份/d，則破產(chǎn)概率隨著初始資本u和利息力δ的增大而減?。▓D1）。這是因?yàn)楦渥愕某跏假Y本為公司提供了更大的緩沖來(lái)應(yīng)對(duì)初期可能發(fā)生的連續(xù)索賠，較高的利息力意味著公司可獲得更多的投資收益，有助于增強(qiáng)公司的財(cái)務(wù)實(shí)力并減輕索賠造成的資本壓力。

算例2若利息力δ=0.05，初始資本u=1000元，期望保費(fèi)1β1=1元/份，期望索賠額1β2=1000元，則破產(chǎn)概率隨著索賠強(qiáng)度λ2的增加而提高，隨著保費(fèi)率λ1的增加而降低（圖2）。這是因?yàn)楦叩乃髻r強(qiáng)度意味著公司需要支付更多的賠款，從而增加了破產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)；相反，更高的保費(fèi)率為公司帶來(lái)了更多的收入，有助于公司抵御風(fēng)險(xiǎn)。

算例3若利息力δ=0.05，初始資本u=1000元，保費(fèi)率λ1=20份/d，索賠強(qiáng)度λ2=0.01次/d，則破產(chǎn)概率隨著期望索賠額1β2的增加而提高，隨著期望保費(fèi)1β1的增加而降低（圖3）。這是因?yàn)檩^大的期望索賠額意味著發(fā)生索賠時(shí)公司需支付更多的賠償金，從而加劇了公司的財(cái)務(wù)負(fù)擔(dān)和破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)；而更高的期望保費(fèi)則為公司提供了更多的資金來(lái)覆蓋潛在的索賠成本，增強(qiáng)了其財(cái)務(wù)穩(wěn)定性。

3結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)符合保險(xiǎn)實(shí)務(wù)的復(fù)合P-G風(fēng)險(xiǎn)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，成功推導(dǎo)出該模型所對(duì)應(yīng)的Gerber-Shiu函數(shù)及破產(chǎn)概率的更新方程。特別地，在無(wú)分紅情形的設(shè)定下，進(jìn)一步得出了該模型破產(chǎn)概率的更新方程。在保費(fèi)額和索賠額遵循指數(shù)分布的前提下，又深入推導(dǎo)出了該模型破產(chǎn)概率的微分方程，并在不考慮干擾因素的理想情境下，求得了該微分方程的精確解。最后，借助具體的數(shù)值算例，對(duì)市場(chǎng)利率、初始資金、保費(fèi)率、索賠強(qiáng)度、期望保費(fèi)、期望索賠額等多個(gè)關(guān)鍵參數(shù)如何影響保險(xiǎn)公司的破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了深入的探討。分析結(jié)果表明，這些影響因素與保險(xiǎn)業(yè)的實(shí)際運(yùn)營(yíng)狀況高度匹配，對(duì)于保險(xiǎn)公司實(shí)現(xiàn)穩(wěn)健經(jīng)營(yíng)具有重要的理論指導(dǎo)意義和決策參考價(jià)值。

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（責(zé)任編輯：周曉南）

Abstract：

AcompoundP-Griskmodelconsideringlineardividends，randomdisturbances，andrandompremiumsinaconstantprofitenvironmentisconsidered.Byapplyingthefullexpectationformula，theupdateequationfortheGerber-Shiufunctionandtheupdateequationfortheruinprobabilityofthemodelarederived.Whendividendsarenotconsideredandbothpremiumandclaimamountsfollowanexponentialdistribution，thespecificdifferentialequationsatisfiedbytheruinprobabilityisfurtherobtained，anditsanalyticalexpressionissolved.Throughnumericalexperiments，thespecificimpactofmultiplekeyfactorsonbankruptcyprobabilitywassystematicallyanalyzed.Theconclusionsdrawnalignwiththerealoperationalcircumstancesencounteredbyinsurancecompanies.

Keywords：

compoundPoisson-Geometricprocess;lineardividend;Gerber-Shiufunction;ruinprobability

收稿日期：2023-11-15

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（31600299）；陜西省教育科學(xué)規(guī)劃資助項(xiàng)目（SGH22Y1746，SGH23Y2953）

作者簡(jiǎn)介：侯致武（1985—），男，副教授，在讀博士，研究方向：金融數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)建模等，E-mail：houzhiwu99@126.com.

*通訊作者：侯致武，E-mail：houzhiwu99@126.com.