劉 碩，董宇航，尹聰穎，張紅翠，李冰心

（河北工業(yè)大學(xué)電子信息工程學(xué)院，天津 300401）

0 引言

超連續(xù)譜（Supercontinuum，SC）具有大光譜帶寬、高光譜功率密度和良好的空間相干性的優(yōu)點(diǎn)，廣泛用于光譜學(xué)、生物醫(yī)學(xué)和光學(xué)相干層析技術(shù)等領(lǐng)域。光子晶體光纖（Photonic Crystal Fiber，PCF）靈活的色散特性和高非線性進(jìn)一步促進(jìn)了SC的發(fā)展。泵浦光脈沖泵浦到PCF產(chǎn)生SC的過(guò)程受到多種因素的影響，因此通過(guò)脈沖參數(shù)的調(diào)整可以提高光譜的帶寬和幅度[1-2]。然而絕大多數(shù)研究都使用具有對(duì)稱和緊湊時(shí)間分布的強(qiáng)光脈沖，例如高斯脈沖[3]和雙曲正割脈沖[4]，對(duì)于非對(duì)稱脈沖，例如Airy脈沖和Pearcey脈沖，在SC方面的研究相對(duì)較少。

非對(duì)稱脈沖具有許多區(qū)別于傳統(tǒng)型脈沖的特性，因此受到越來(lái)越多的關(guān)注。2007年，Siviloglou 等[5]在Airy 函數(shù)基礎(chǔ)上添加衰減項(xiàng)，將有限能量的Airy 光束引入光場(chǎng)，并首次在實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到Airy 光束。之后，由于Airy 脈沖的獨(dú)特性質(zhì)，Airy 脈沖被用于產(chǎn)生SC。2011 年，Ament 等[6]通過(guò)實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬，證明了自愈Airy脈沖在波形的主峰已經(jīng)產(chǎn)生孤子和色散波，并將其自身從連續(xù)譜產(chǎn)生過(guò)程中移除之后，新的光譜分量的產(chǎn)生可以繼續(xù)。2016年，Mandeng等[7]證明了啁啾Airy脈沖可以獲得不對(duì)稱的光譜輸出，并且在反常色散區(qū)，相比于雙曲正割型的緊湊對(duì)稱脈沖，截?cái)嘞禂?shù)小的Airy脈沖更適合生成相干的SC。2021年，Purohit等[8]闡述了啁啾參數(shù)對(duì)Airy 脈沖的傳播影響，在高階非線性色散介質(zhì)中，啁啾Airy 脈沖不是沿直線傳播，而是根據(jù)啁啾參數(shù)符號(hào)在時(shí)間上延遲或前進(jìn)。近年來(lái)，Pearcey脈沖作為新型光束代表也被廣泛研究。2012年，Ring等[9]提出了與Airy脈沖具有相似性質(zhì)的Pearcey脈沖。隨后的研究驗(yàn)證了其自動(dòng)聚焦[9]、自愈合[10]和非衍射傳播[11]的特性，因此Pearcey脈沖在高非線性光纖中的傳輸特性受到了廣泛關(guān)注。Pearcey脈沖頻譜呈不對(duì)稱分布，在傳輸過(guò)程中二階和三階色散的貢獻(xiàn)在整個(gè)頻譜中具有相反的符號(hào)，并且在傳輸過(guò)程中能夠相互抵消，因此，Pearcey脈沖在非線性區(qū)域傳輸時(shí)，能夠在傳播過(guò)程中保持其包絡(luò)來(lái)獲得足夠長(zhǎng)的傳播距離[12]。2020年，Li等[13]發(fā)現(xiàn)啁啾參數(shù)越大，Pearcey脈沖聚焦傳播距離越短，證明可以通過(guò)調(diào)整啁啾參數(shù)來(lái)控制Pearcey 脈沖的自聚焦速度。同年，Chen等[14]研究了在零色散波長(zhǎng)附近具有前向和后向Pearcey-Gaussian脈沖的光纖中SC的產(chǎn)生，發(fā)現(xiàn)在相同初始泵浦峰值功率下，前向Pearcey-Gaussian脈沖產(chǎn)生的SC的寬度比后向脈沖寬。2021年，Huang等[15]討論了Pearcey-Gaussian脈沖在具有振蕩非線性的多模光纖中傳播的動(dòng)力學(xué)特性，發(fā)現(xiàn)在適當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)，初始脈沖功率和振蕩頻率都可以控制呼吸孤子的周期和深度。2022年，Zhang等[16]發(fā)現(xiàn)，與對(duì)稱脈沖相比，Pearcey-Gaussian脈沖產(chǎn)生色散波所需要滿足的最小三階色散系數(shù)從0.06降至0.03。

到目前為止，非對(duì)稱型脈沖的研究主要集中在動(dòng)力學(xué)傳播方面，對(duì)于脈沖參數(shù)，包括初始脈沖截?cái)嘞禂?shù)、分布因子和初始啁啾等參數(shù)對(duì)SC產(chǎn)生的影響研究較少，缺乏系統(tǒng)的討論。因此，本文研究了相同參數(shù)下的不同脈沖類型的頻譜演化，以及不同初始頻率啁啾情況下非對(duì)稱脈沖在PCF中的時(shí)頻演化。另外本文研究了截?cái)嘞禂?shù)和分布因子變化對(duì)Airy脈沖和Airy-Gaussian脈沖時(shí)域和頻域演化的影響。

1 理論模型

對(duì)超短脈沖在PCF 中的傳播，選取了幾種典型脈沖，包括雙曲正割脈沖、高斯脈沖、超高斯脈沖、Pearcey-Gaussian脈沖、Airy脈沖、Airy-Gaussian脈沖。

定義歸一化振幅為U(0,T)，它與實(shí)際脈沖的振幅之間的關(guān)系為

式中：A(0,T)為泵浦脈沖；T為時(shí)間坐標(biāo)；P0為入射脈沖的峰值功率。由于本文涉及初始啁啾的影響，所以選取入射脈沖中均帶有初始啁啾參量C。

雙曲正割脈沖的入射場(chǎng)表達(dá)式為

式中：P0為初始脈沖峰值功率；T0是初始輸入脈寬；C是初始頻率啁啾；i為虛數(shù)單位。當(dāng)C＞0時(shí)，為正啁啾，表示前沿到后沿的瞬時(shí)頻率是線性增加的；當(dāng)C＜0時(shí)，為負(fù)啁啾，表示前沿到后沿的瞬時(shí)頻率是線性減小的。

高斯脈沖的入射場(chǎng)表達(dá)式為

許多激光器發(fā)射的脈沖都近似為高斯形狀，它是很典型的對(duì)稱型脈沖。式（3）是啁啾高斯脈沖的入射光場(chǎng)的表示形式，當(dāng)初始啁啾C=0時(shí)，即為未引入啁啾變量時(shí)的高斯脈沖。

超高斯脈沖的入射場(chǎng)表達(dá)式為

式中，m的取值決定光脈沖前后沿的陡度，當(dāng)m取值較大時(shí)，光脈沖就變成前后沿更銳的方形光脈沖，當(dāng)m=1時(shí)，該光脈沖即為啁啾高斯光脈沖。為了使光脈沖的前后沿形狀較陡，在傳輸過(guò)程中更容易展寬，本文中所使用的超高斯光脈沖的m為3。

Pearcey-Gaussian脈沖的入射場(chǎng)表達(dá)式為

Airy脈沖的入射場(chǎng)表達(dá)式為

Airy-Gaussian脈沖的入射場(chǎng)表達(dá)式為

式中，χ0表示分布因子，它和式中的截?cái)嘞禂?shù)a都能很大程度上影響Airy-Gaussian脈沖的傳播行為，在后續(xù)的仿真分析過(guò)程中會(huì)重點(diǎn)討論。

本文所使用的PCF 的包層節(jié)距為2.3 μm、空氣孔半徑為1.0 μm，且其中心去掉了一個(gè)空氣孔形成纖芯[17]，所使用的PCF長(zhǎng)度較短，因此，假設(shè)光纖損耗α=0。所使用到的脈沖的中心波長(zhǎng)均為1 000 nm，脈沖寬度為100 fs，光纖長(zhǎng)度為0.3 m，計(jì)算得到1 000 nm處的光纖系數(shù)γ=0.023 76 W-1·m-1，各階色散參數(shù)β2～β6分別為：β2=-33.414 83 ps2/km，β3=0.109 88 ps3/km，β4=-1.619 58×10-4ps4/km，β5=3.730 96×10-7ps5/km，β6=-3.167 02×10-7ps6/km。

2 脈沖參數(shù)對(duì)不同類型脈沖演化的影響

SC的產(chǎn)生是具有高峰值功率的超短泵浦脈沖通過(guò)非線性材料傳播的光譜展寬過(guò)程，它在很大程度受到輸入脈沖參數(shù)的影響。因此本節(jié)對(duì)相同脈沖參數(shù)下，對(duì)稱與非對(duì)稱脈沖產(chǎn)生的SC進(jìn)行了比較。同時(shí)對(duì)不同脈沖形狀下的初始頻率啁啾對(duì)SC產(chǎn)生的影響進(jìn)行了分析。

2.1 相同脈沖參數(shù)下的不同類型脈沖產(chǎn)生超連續(xù)譜

為了研究相對(duì)于對(duì)稱型脈沖，非對(duì)稱型脈沖的有關(guān)優(yōu)勢(shì)，本節(jié)中考慮相同脈沖參數(shù)下的不同類型脈沖產(chǎn)生SC 造成的影響。本節(jié)選取了啁啾系數(shù)為0.5、初始脈沖峰值功率為10 kW 時(shí)的7 種脈沖，包括雙曲正割、高斯、超高斯對(duì)稱型脈沖和Pearcey-Gaussian、Airy、Airy-Gaussian非對(duì)稱型脈沖，它們的中心波長(zhǎng)均為1 000 nm，脈沖寬度為100 fs，光纖長(zhǎng)度為0.3 m，產(chǎn)生的SC輸出如圖1和圖2所示。

圖1中展示的是P0=10 kW、C=0.5條件下的雙曲正割、高斯、超高斯（m=3）等對(duì)稱型脈沖頻譜輸出，其中綠色虛線為30 dB 譜線。從脈沖頻譜形狀上來(lái)看，雙曲正割脈沖和高斯脈沖依舊是十分相似的，兩者的頻譜平坦度較高。在此條件下兩者展寬程度不大，雙曲正割脈沖的展寬范圍為865 ～1 272 nm，高斯脈沖的展寬范圍為861 ～1 272 nm，長(zhǎng)波長(zhǎng)側(cè)相同，短波長(zhǎng)側(cè)高斯脈沖多展寬了4 nm。超高斯脈沖從頻譜形狀上看，相對(duì)于前兩者平坦度下降，在1 130 nm附近有頻譜凹陷，展寬范圍為876 ～1 272 nm，短波長(zhǎng)側(cè)展寬較少。

圖2 中展示了P0= 10 kW、C= 0.5 條件下的Pearcey-Gaussian、Airy、Airy-Gaussian 非對(duì)稱型脈沖頻譜輸出。Pearcey-Gaussian 脈沖的展寬程度在長(zhǎng)波長(zhǎng)側(cè)較小，尾部有小的光譜峰值，展寬范圍為657～2 008 nm。

然而相同參數(shù)下的Airy 和Airy-Gaussian 脈沖的頻譜展寬會(huì)減弱一些，頻譜寬度較小，以30 dB 譜為標(biāo)準(zhǔn)，兩者的展寬范圍分別為952～1 183 nm和950～1 175 nm，甚至?xí)惹懊娴?種對(duì)稱型脈沖的展寬程度還要小。這是在相同的脈沖參數(shù)下的結(jié)果，可以看到Airy和Airy-Gaussian脈沖在較小的脈沖峰值功率下頻譜展寬效果不理想。

2.2 初始啁啾對(duì)不同非對(duì)稱型脈沖的演化影響

為了考察初始頻率啁啾在PCF中對(duì)3種不同非對(duì)稱型脈沖的演化是否有影響，仍然只改變初始啁啾的正負(fù)，并與C=0時(shí)非對(duì)稱型脈沖的傳輸情況進(jìn)行比較。

首先對(duì)Pearcey-Gaussian 脈沖展開研究，選取Pearcey-Gaussian 脈沖峰值功率P0=2 kW。圖3中展示了取值C=-5、0、3 下的Pearcey-Gaussian 脈沖輸出頻譜。紅色實(shí)線為未引入啁啾時(shí)的頻譜，展寬范圍為815 ～1 511 nm。由于選取的脈沖峰值功率沒有太大，短波長(zhǎng)范圍在改變啁啾時(shí)沒有明顯變化，而長(zhǎng)波長(zhǎng)側(cè)在30 dB譜的位置分布明顯，C=-5時(shí)減小到1 450 nm，C=3時(shí)移動(dòng)到了1 536 nm。

同時(shí)觀察了不同初始啁啾C=-5、0、3 的Pearcey-Gaussian 脈沖光譜演化，如圖4所示。相同初始脈沖峰值功率下的Pearcey-Gaussian 脈沖展寬速度偏慢，圖中的脈沖傳播到10 cm 處頻譜才開始展寬，并且正啁啾條件下更利于SC生成。

圖4 不同初始啁啾C=-5、0、3 的Pearcey-Gaussian 脈沖光譜演化圖Fig.4 Evolution of Pearcey-Gaussian pulse spectra with different initial chirps C=-5,0,and 3

接著是對(duì)不同初始頻率啁啾的Airy脈沖輸出展開研究，在Airy 脈沖峰值功率為450 kW 的情況下，只改變C值為-2、0、1，輸出頻譜如圖5所示。在C=0和C= 1 時(shí)，兩種頻譜輸出的重合率很高，只是在1 300 nm以后范圍有所不同。正啁啾下的頻譜尾部凹陷會(huì)更大，長(zhǎng)波長(zhǎng)范圍也從未引入啁啾的1 531 nm擴(kuò)展到了1 557 nm，短波長(zhǎng)側(cè)始終保持在747 nm。對(duì)于負(fù)啁啾下的頻譜來(lái)說(shuō)，長(zhǎng)波長(zhǎng)側(cè)有明顯的縮減，只達(dá)到1 483 nm附近。

圖5 不同初始頻率啁啾的Airy 脈沖輸出頻譜Fig.5 Airy pulse output spectrum with different initial frequency chirps

圖6 展示了3 種初始頻率啁啾下Airy 脈沖的光譜演化。由于處于很高的脈沖峰值功率下，它們的展寬速度都非?？?，幾乎不能夠區(qū)分。在C=0情況下，Airy脈沖傳播到5 cm處就開始有3個(gè)明顯的光譜峰值，其他展寬部分十分平坦。C=1時(shí)，5 cm處不是多個(gè)光譜峰值，而是1個(gè)強(qiáng)度更大的峰值。C=-2時(shí)，無(wú)明顯的峰值。

圖6 不同初始啁啾C=-2、0、1 的Airy 脈沖光譜演化圖Fig.6 Evolution of Airy pulse spectra with different initial chirps C=-2,0,and 1

最后對(duì)Airy-Gaussian脈沖的初始啁啾變化進(jìn)行了討論，圖7 為峰值功率為600 kW，分布因子值為0.1的Airy-Gaussian 脈沖在不同初始頻率啁啾C=-2、0、1 下的輸出頻譜，其中的黑色虛線為30 dB 譜線。3種情況下產(chǎn)生的SC短波長(zhǎng)側(cè)幾乎完全重合，展寬的短波長(zhǎng)側(cè)范圍達(dá)到718 nm，整體都十分平坦，沒有大程度的凹陷和峰值，從短波向長(zhǎng)波側(cè)呈現(xiàn)一個(gè)向上的趨勢(shì)。而長(zhǎng)波長(zhǎng)側(cè)的C=-2 和C= 0 相差并不是很大，分別達(dá)到了1 558 nm和1 577 nm，負(fù)啁啾仍減弱了頻譜的展寬效果。C= 1 時(shí)的頻譜尾部展寬較大，達(dá)到了1 637 nm，相比C=0時(shí)展寬了60 nm。

圖7 不同初始頻率啁啾的Airy-Gaussian 脈沖輸出頻譜Fig.7 Airy-Gaussian pulse output spectrum with different initial frequency chirps

不同初始啁啾C=-2、0、1的Airy-Gaussian脈沖光譜演化如圖8所示，3種情況下的展寬速度依舊是非?？斓?，只產(chǎn)生了程度較小的光譜峰值。對(duì)于啁啾的變化演化除了頻譜寬度的變化，并沒有太大的不同，整體都十分平坦，向長(zhǎng)波長(zhǎng)側(cè)移動(dòng)較多，并且強(qiáng)度也大，短波長(zhǎng)側(cè)移動(dòng)較小，在傳播距離為1 cm后就已經(jīng)達(dá)到了穩(wěn)定。

圖8 不同初始啁啾C=-2、0、1 的Airy-Gaussian 脈沖光譜演化圖Fig.8 Evolution of Airy-Gaussian pulse spectra with different initial chirps C=-2,0 and 1

以上結(jié)果表明，在相同脈沖參數(shù)下，Pearcey-Gaussian 脈沖產(chǎn)生的SC有明顯的優(yōu)勢(shì)，展寬范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)其他脈沖。對(duì)于初始頻率啁啾來(lái)說(shuō)，脈沖的傳輸特性與群速度色散和初始啁啾的相對(duì)符號(hào)有關(guān)，在反常色散區(qū)，正啁啾有利于SC的展寬，而負(fù)啁啾會(huì)產(chǎn)生抑制。

3 非對(duì)稱型脈沖特殊參數(shù)對(duì)脈沖演化的影響

對(duì)于Airy 脈沖和Airy-Gaussian 脈沖來(lái)說(shuō)，截?cái)嘞禂?shù)和分布因子都能夠很大程度上改變脈沖的傳播行為，本節(jié)對(duì)非線性薛定諤方程進(jìn)行了求解，并使用分步傅里葉法模擬脈沖傳輸，分別對(duì)截?cái)嘞禂?shù)和分布因子變化對(duì)SC產(chǎn)生的影響進(jìn)行了討論。Airy脈沖和Airy-Gaussian脈沖的中心波長(zhǎng)均為1 000 nm，脈沖寬度為100 fs，光纖長(zhǎng)度為0.3 m，脈沖峰值功率初始值為25 kW，Airy-Gaussian脈沖截?cái)嘞禂?shù)初始值為0.1，分布因子初始值為0.1。

3.1 截?cái)嘞禂?shù)對(duì)脈沖演化的影響

3.1.1 截?cái)嘞禂?shù)對(duì)Airy 脈沖演化的影響

為研究PCF中Airy脈沖演化過(guò)程，保持Airy脈沖的其他參數(shù)不變，只改變脈沖的截?cái)嘞禂?shù)，使a值分別為0.1、0.3和0.5，觀察其時(shí)域和頻域在3種情況下產(chǎn)生的變化。不同截?cái)嘞禂?shù)下Airy脈沖在時(shí)域和頻域的演化如圖9、圖10和圖11所示。

圖9 不同截?cái)嘞禂?shù)下Airy 脈沖的時(shí)域和頻域輸出Fig.9 Time and frequency domain outputs of Airy pulses with different truncation coefficients

圖11 截?cái)嘞禂?shù)為0.1、0.3、0.5 時(shí)Airy 脈沖的頻域演化Fig.11 Frequency domain evolution of Airy pulses with truncation coefficients of 0.1,0.3,and 0.5

圖9 展示了在不同截?cái)嘞禂?shù)下Airy 脈沖的時(shí)域和頻域輸出，其中，圖9b）的黑色虛線為10 dB 譜線。Airy脈沖的輸入波形為不對(duì)稱的連續(xù)脈沖，在PCF中傳播后，主瓣分裂成了幾個(gè)具有不同脈沖持續(xù)時(shí)間和峰值的孤子。從圖9a）中可以看出，在截?cái)嘞禂?shù)為0.3時(shí)，孤子數(shù)量就已經(jīng)減小，并且隨著截?cái)嘞禂?shù)的增大，產(chǎn)生的孤子數(shù)量和峰值均在減小。圖9b）展示了3種截?cái)嘞禂?shù)下產(chǎn)生的SC，當(dāng)截?cái)嘞禂?shù)為0.5時(shí)的頻譜展寬范圍最小，為901 ～1 249 nm。截?cái)嘞禂?shù)為0.3時(shí)，相對(duì)于0.1時(shí)展寬程度有所增加，但不明顯，展寬范圍為892 ～1 258 nm。繼續(xù)減小0.2，截?cái)嘞禂?shù)達(dá)到0.1時(shí)，展寬程度明顯增大，短波長(zhǎng)和長(zhǎng)波長(zhǎng)側(cè)分別為879 nm和1 272 nm，譜寬度達(dá)到了393 nm。這說(shuō)明截?cái)嘞禂?shù)對(duì)Airy脈沖產(chǎn)生SC的影響是不均勻的，在較小的截?cái)嘞禂?shù)范圍內(nèi)改變，對(duì)其展寬產(chǎn)生的變化更大。

不同截?cái)嘞禂?shù)下Airy脈沖的時(shí)域演化如圖10所示，分別對(duì)應(yīng)a=0.1、0.3、0.5時(shí)的脈沖時(shí)域演化。從圖中可以看出，輸入脈沖主瓣首先經(jīng)歷了一個(gè)壓縮過(guò)程，然后分裂出了數(shù)量和速度不同的孤子。截?cái)嘞禂?shù)為0.1 時(shí)的旁瓣也比另外兩種條件下的強(qiáng)度大。a=0.1 時(shí)，在傳播到距離4 cm 時(shí)就產(chǎn)生了分裂，a=0.3、0.5的情況下傳播距離分別達(dá)到5 cm和6 cm時(shí)才分裂產(chǎn)生孤子。

圖11展示了不同截?cái)嘞禂?shù)下Airy脈沖的頻域演化，分別對(duì)應(yīng)a=0.1、0.3、0.5時(shí)的脈沖頻域演化。從兩側(cè)展寬程度能夠明顯看出，截?cái)嘞禂?shù)小時(shí)的頻譜演化在短波長(zhǎng)側(cè)展寬更多，長(zhǎng)波長(zhǎng)側(cè)均比短波長(zhǎng)側(cè)的范圍更大。a=0.1時(shí)，頻譜演化在距離為4 cm之前均呈現(xiàn)對(duì)稱分布，之后向長(zhǎng)波長(zhǎng)側(cè)的范圍快速移動(dòng)，表現(xiàn)出不對(duì)稱的頻域演化。而在截?cái)嘞禂?shù)為0.3和0.5的條件下，該現(xiàn)象分別出現(xiàn)在傳播距離為5 cm和6 cm時(shí)，這與時(shí)域孤子在光纖中產(chǎn)生的位置是一致的。

綜上所述，對(duì)于Airy脈沖來(lái)說(shuō)，截?cái)嘞禂?shù)增大會(huì)使Airy脈沖越來(lái)越接近高斯脈沖，主瓣和旁瓣的強(qiáng)度都會(huì)減小，其獨(dú)特性逐漸減弱。在PCF中傳播脈沖主瓣會(huì)產(chǎn)生裂變，截?cái)嘞禂?shù)較小的脈沖產(chǎn)生裂變的距離越短，脈沖能量較大，產(chǎn)生的SC展寬的范圍更廣。而且截?cái)嘞禂?shù)引起的變化也不是均勻的，在較小的系數(shù)下變化影響更大。

3.1.2 截?cái)嘞禂?shù)對(duì)Airy-Gaussian 脈沖演化的影響

本小節(jié)討論截?cái)嘞禂?shù)對(duì)Airy-Gaussian脈沖在PCF中的演化影響，改變截?cái)嘞禂?shù)a的取值分別為0.1、0.3和0.5，從演化及產(chǎn)生的SC兩個(gè)方面來(lái)分析其造成的影響。

圖12展示了不同截?cái)嘞禂?shù)下的Airy-Gaussian脈沖的時(shí)域和頻域輸出，圖12a）可以看到藍(lán)色實(shí)線為最小截?cái)嘞禂?shù)下的輸出，從主瓣分裂成間隔不等的孤子，隨著截?cái)嘞禂?shù)的增加，孤子的峰值有所減小，并且個(gè)數(shù)也在下降，取值最大為0.5時(shí)，脈沖的強(qiáng)度最低。從圖12b）中可以發(fā)現(xiàn)，截?cái)嘞禂?shù)為0.1時(shí)的SC相對(duì)于其他兩種，展寬效果會(huì)更加明顯，在長(zhǎng)波長(zhǎng)和短波長(zhǎng)側(cè)都有明顯展寬。圖中的黑色虛線仍為10 dB 譜線，以此為標(biāo)準(zhǔn)，a=0.1時(shí)（藍(lán)色實(shí)線）的展寬范圍為880～1 270 nm，寬度為390 nm。而a=0.3（紅色實(shí)線）和a=0.5時(shí)（綠色實(shí)線），SC的展寬就明顯減少，展寬范圍分別為892～1 257 nm和901～1 249 nm，中間部分的光譜峰值也會(huì)更加明顯。這兩種情況下的展寬程度十分相近，在兩側(cè)的范圍分別相差9 nm 和8 nm。同樣，截?cái)嘞禂?shù)對(duì)Airy-Gaussian脈沖產(chǎn)生SC的影響也是在較小的截?cái)嘞禂?shù)范圍內(nèi)影響更大。

圖12 不同截?cái)嘞禂?shù)下Airy-Gaussian 脈沖的時(shí)域和頻域輸出Fig.12 Time and frequency domain outputs of Airy-Gaussian pulses with different truncation coefficients

圖13 展示了Airy-Gaussian脈沖傳播過(guò)程中的時(shí)域演化情況，圖13a）中展示的是截?cái)嘞禂?shù)為0.1的情況下Airy-Gaussian脈沖的時(shí)域演化，在光纖中傳播到4 cm處脈沖開始?jí)嚎s，5 cm處率先產(chǎn)生了速度很快的孤子，隨后在8 cm和22 cm處相繼產(chǎn)生另外2個(gè)孤子。當(dāng)截?cái)嘞禂?shù)減小0.2后，脈沖壓縮和產(chǎn)生孤子的距離都向后延長(zhǎng)了將近1 cm，孤子的數(shù)量也減小到了2個(gè)。繼續(xù)減小0.2，使截?cái)嘞禂?shù)為0.5時(shí)，脈沖的時(shí)域演化變化較小，雖然孤子數(shù)量沒有變化，但是彎曲程度減小，如圖13c）所示。

圖13 截?cái)嘞禂?shù)為0.1、0.3、0.5 時(shí)Airy-Gaussian 脈沖的時(shí)域演化Fig.13 Time domain evolution of Airy-Gaussian pulses with truncation coefficients of 0.1,0.3,and 0.5

不同截?cái)嘞禂?shù)下Airy-Gaussian脈沖的頻域演化如圖14所示，3種結(jié)果與Airy脈沖在不同截?cái)嘞禂?shù)下的頻域演化是十分相近的。圖中分別對(duì)應(yīng)截?cái)嘞禂?shù)為0.1、0.3、0.5 時(shí)的光譜演化，當(dāng)它們傳播距離分別為4 cm、5 cm和6 cm時(shí)，演化由對(duì)稱轉(zhuǎn)為不對(duì)稱，長(zhǎng)波長(zhǎng)側(cè)出現(xiàn)了明顯的光譜峰值，而在截?cái)嘞禂?shù)小的0.1下，光譜則較為平坦些。到達(dá)傳播距離為15 cm處，3種截?cái)嘞禂?shù)下的光譜演化都趨于穩(wěn)定，顯然，a=0.5時(shí)的展寬范圍是最小的。

圖14 截?cái)嘞禂?shù)為0.1、0.3、0.5 時(shí)Airy-Gaussian 脈沖的頻域演化Fig.14 Frequency domain evolution of Airy-Gaussian pulses with truncation coefficients of 0.1,0.3,and 0.5

由此可見，Airy-Gaussian脈沖產(chǎn)生SC受到截?cái)嘞禂?shù)的影響與Airy脈沖是相同的，截?cái)嘞禂?shù)越小時(shí)，主瓣裂變的距離越短，脈沖能量越高，產(chǎn)生的光譜范圍和寬度也越大。

3.2 分布因子對(duì)Airy-Gaussian 脈沖演化的影響

對(duì)于Airy-Gaussian脈沖來(lái)說(shuō)，除了截?cái)嘞禂?shù)這一參數(shù)會(huì)影響SC的產(chǎn)生，分布因子χ0對(duì)脈沖的傳播也有很大的影響。在本節(jié)中對(duì)Airy-Gaussian脈沖的分布因子這一參量展開研究，模擬脈沖在PCF中傳輸，距離依舊為0.3 m，仿真條件與3.1節(jié)中相同。選取了初始脈沖峰值功率為25 kW的Airy-Gaussian 脈沖，并令其啁啾C=0，截?cái)嘞禂?shù)a=0.5，保持其他參數(shù)不變，只改變?cè)撁}沖的分布因子。初始的分布因子取值為0.1，每隔0.3逐漸增大，共模擬了χ0=0.1、0.4、0.7、1等4種條件下的脈沖傳輸情況，得到的時(shí)頻域輸出及演化結(jié)果如圖15、圖16、圖17所示。

圖15 不同分布因子下Airy-Gaussian 脈沖的時(shí)域和頻域輸出Fig.15 Time and frequency domain outputs of Airy-Gaussian pulses under different distribution factors

圖16 分布因子為0.1、0.4、0.7、1 時(shí)Airy-Gaussian 脈沖的時(shí)域演化Fig.16 Time domain evolution of Airy-Gaussian pulses with distribution factors of 0.1,0.4,0.7,and 1

圖17 分布因子為0.1、0.4、0.7、1 時(shí)Airy-Gaussian 脈沖的頻域演化Fig.17 Frequency domain evolution of Airy-Gaussian pulses with distribution factors of 0.1,0.4,0.7,and 1

首先，圖15 展示了Airy-Gaussian 脈沖在分布因子為0.1、0.4、0.7、1 條件下的時(shí)域和頻域輸出。圖15a）中最右側(cè)分別是4 種條件下產(chǎn)生的孤子，它們持續(xù)的時(shí)間強(qiáng)度有所不同，并且隨著分布因子的增加，孤子產(chǎn)生的時(shí)移越小，強(qiáng)度也越來(lái)越弱。不同分布因子下的孤子數(shù)量也是不同的，分布因子為0.1（藍(lán)色實(shí)線）時(shí)的孤子數(shù)量是最多的，分布因子為1（黃色實(shí)線）時(shí)的孤子數(shù)量最少。圖15b）顯示了4種分布因子下產(chǎn)生的SC，以10 dB譜（黑色虛線）作為展寬標(biāo)準(zhǔn)。分布因子為1時(shí)產(chǎn)生的光譜凹陷是最大的，出現(xiàn)在波長(zhǎng)為1 030 nm 附近，SC 的展寬程度是最小的，范圍為927～1 220 nm。當(dāng)分布因子按0.3 等間隔減小后，頻譜變得平坦，并且展寬程度也增大，長(zhǎng)波長(zhǎng)側(cè)依次擴(kuò)展到1 240 nm、1 258 nm和1 270 nm，短波長(zhǎng)側(cè)也分別達(dá)到了900 nm、886 nm和879 nm。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，光譜的凹陷程度逐漸減小，并逐漸向長(zhǎng)波長(zhǎng)側(cè)移動(dòng)。

分布因子分別為0.1、0.4、0.7、1.0 時(shí)Airy-Gaussian 脈沖的時(shí)域演化如圖16 所示。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，隨著分布因子的增大，脈沖產(chǎn)生的孤子時(shí)的傳播距離沒有產(chǎn)生明顯的變化，幾乎都在光纖中傳輸?shù)? cm時(shí)壓縮產(chǎn)生孤子。但是孤子的數(shù)量和能量都在減少，在χ0=1的情況下，觀察到Airy-Gaussian脈沖經(jīng)過(guò)壓縮后只產(chǎn)生了1個(gè)孤子。當(dāng)分布因子取值為0.1時(shí)，Airy-Gaussian脈沖的旁瓣分布范圍很廣，但是在分布因子增加到0.4時(shí)就已經(jīng)減少十分明顯，繼續(xù)增加分布因子的值，旁瓣的強(qiáng)度也會(huì)有所減弱。

圖17 展示分布因子分別為0.1、0.4、0.7、1時(shí)Airy-Gaussian脈沖的頻域演化?？梢钥吹?，4種情況下都進(jìn)行脈沖的展寬，頻譜展寬的初始階段均呈現(xiàn)對(duì)稱型的分布。在距離為4 cm后，產(chǎn)生了周期性的展寬和壓縮過(guò)程，不是恢復(fù)到初始狀態(tài)，而且一直向長(zhǎng)波長(zhǎng)側(cè)移動(dòng)。經(jīng)過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，在分布因子較大時(shí)產(chǎn)生的周期過(guò)程會(huì)更少，但是它們均在距離1 cm處結(jié)束，并在緩慢向長(zhǎng)波長(zhǎng)側(cè)移動(dòng)后保持展寬狀態(tài)不變。通過(guò)觀察也可以得到，隨著分布因子的增大，Airy-Gaussian脈沖在頻譜演化中的光譜峰值越明顯，平坦度下降，展寬程度也在減小。

通過(guò)數(shù)值模擬和分析可以發(fā)現(xiàn)，脈沖的截?cái)嘞禂?shù)越小，輸出的脈沖能量越大，產(chǎn)生的SC 展寬效果更好，向兩側(cè)擴(kuò)展程度也會(huì)增大。但是在PCF 中，截?cái)嘞禂?shù)在較小時(shí)進(jìn)行參數(shù)改變引起的變化程度會(huì)更明顯。對(duì)于分布因子來(lái)說(shuō)，當(dāng)脈沖的分布因子越小時(shí)，它在光纖中傳輸達(dá)到穩(wěn)定時(shí)頻譜的展寬范圍和寬度越大，輸出的脈沖的強(qiáng)度增大。同時(shí)，脈沖產(chǎn)生的SC的凹陷程度也會(huì)降低，平坦度提高。所以，在優(yōu)化SC展寬時(shí)，可以在允許的范圍內(nèi)選擇截?cái)嘞禂?shù)小和分布因子小的脈沖。

4 結(jié)論

本文比較了相同參數(shù)下對(duì)稱與非對(duì)稱脈沖產(chǎn)生SC 差異，研究結(jié)果表明，相同參數(shù)情況下，Pearcey-Gaussian脈沖的頻譜展寬程度最大，頻譜展寬范圍為657～2 008 nm。Airy脈沖和Airy-Gaussian脈沖相對(duì)于對(duì)稱脈沖和Pearcey-Gaussian脈沖來(lái)說(shuō)，展寬效果不理想。對(duì)于初始頻率啁啾來(lái)說(shuō)，非對(duì)稱脈沖的傳輸特性與群速度色散和初始啁啾的相對(duì)符號(hào)有關(guān)，在反常色散區(qū)，正啁啾有利于SC的展寬，負(fù)啁啾則會(huì)產(chǎn)生抑制。

對(duì)于非對(duì)稱型脈沖的特殊參數(shù)，主要討論了分布因子和截?cái)嘞禂?shù)兩種脈沖參數(shù)，它們都能在很大程度上改變脈沖在PCF中的傳播行為。脈沖的截?cái)嘞禂?shù)越小，輸出的脈沖能量越大，強(qiáng)度越高，產(chǎn)生的SC展寬程度越大。同時(shí)，截?cái)嘞禂?shù)在較小的范圍內(nèi)改變，對(duì)脈沖展寬產(chǎn)生的變化更大。脈沖的分布因子越小，產(chǎn)生的孤子數(shù)量增多，SC凹陷程度降低，頻譜越來(lái)越平坦，展寬范圍和寬度更大，分布因子為0.1時(shí)的Airy-Gaussian脈沖的頻譜寬度比0.7時(shí)增加了51 nm。因此在反常色散區(qū)優(yōu)化SC的產(chǎn)生時(shí)，在合理的范圍內(nèi)，可以盡量選擇截?cái)嘞禂?shù)小、分布因子小、初始頻率啁啾為正的脈沖參數(shù)。