楊 松，李科宇,2，張 剛，陳躍華，馮 銳

(1. 寧波大學 海運學院，浙江 寧波 315211；2. 寧波舜宇光電信息有限公司，浙江 寧波 315211)

0 引 言

圓柱殼結(jié)構(gòu)作為艦艇推進器、潛艇艙室等水下航行器基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，廣泛應用于海洋工程領(lǐng)域[1-2]。其受內(nèi)外部復雜載荷激勵產(chǎn)生的振動，影響機械結(jié)構(gòu)壽命，降低設(shè)備可靠性，且嚴重惡化工作人員工作環(huán)境。

在船舶與海洋工程領(lǐng)域，圓柱殼作為大型機械結(jié)構(gòu)，尺寸達數(shù)百米。在保證圓柱殼振動控制任務(wù)的同時，需考慮傳感器和執(zhí)行器在空間上的分布問題，否則將導致控制系統(tǒng)龐大復雜[3]。對大型結(jié)構(gòu)的振動控制而言，分布式減振控制可降低中心控制器的計算負荷，控制節(jié)點擴展靈活[4]，是復雜激勵智能減振的研究熱點。目前分布式減振控制系統(tǒng)大多應用可控性、可觀性等性能指標進行作動器位置設(shè)計。以H∞、衰減率等控制性能指標進行減振控制器設(shè)計，同時考慮分布式控制系統(tǒng)中多智能體的一致性問題，使控制器具有更好協(xié)調(diào)控制性能[5,6]。Sun 等[7]針對具有分布式執(zhí)行器和傳感器的大型撓性航天器，設(shè)計了分布式一致性觀測器估計系統(tǒng)模態(tài)坐標，設(shè)計主從積分一致性振動控制器減小了柔性結(jié)構(gòu)的振動。耿小明等[8]對振動主動控制中作動器位置優(yōu)化問題進行了研究，基于可控性優(yōu)化配置原則，利用遺傳算法完成了圓柱殼體內(nèi)作動器位置優(yōu)化。周威亞等[9]基于一致性理論分布式振動控制方法，針對衛(wèi)星太陽能帆板振動控制問題，通過數(shù)值算例驗證了分布式控制方法的有效性。

然而，大型結(jié)構(gòu)減振控制系統(tǒng)，激勵形式及位置具有隨機性。在假定需要控制的模態(tài)階數(shù)下，當激勵形式超出了模態(tài)截斷階次，存在著控制溢出的風險。且用H∞范數(shù)指標直接限定對外激勵的減振衰減，相比可控、可觀的作動器位置優(yōu)化，更直觀反應控制器的控制能力?；诖?，本文假定在圓柱殼上以網(wǎng)格形式，成對布置壓電傳感器和作動器?；跀?shù)據(jù)驅(qū)動方法，在線對控制階次進行模態(tài)截斷。且通過H∞范數(shù)指標和粒子群優(yōu)化算法，對作動器進行在線迭代優(yōu)化選取，以實現(xiàn)分布式多智能體減振的自組織和自適應能力。

1 控制方程

1.1 動力學方程

圖1 為具有坐標系的壓電-圓柱殼耦合結(jié)構(gòu)動力學模型，其中Ls為圓柱殼的長度，R為圓柱殼的半徑，hs為圓柱殼的厚度。x為沿其長度方向的軸， θ為相對于垂直軸的周向角度，z為從殼中間曲面到殼上任意點的徑向距離，u、v和w分別為x、 θ和z方向上的振動位移。矩形壓電片以粘貼的形式安裝在圓柱殼表面，x1i、x2i為第i個壓電片在軸向坐標上的起點和終點位置， θ1i、 θ2i為第i個壓電片在周向坐標上的起點和終點位置。

圓柱殼系統(tǒng)的動力學方程由Hamilton 原理導出：

式中：δT、δV、δW分別為圓柱殼系統(tǒng)動能、勢能和外力功的變分。殼體和壓電元件的總動能表示為：

式中，ρs、ρpi分別為圓柱殼密度和第i個壓電元件的密度；Vs、Vpi分別為圓柱殼體積和第i個壓電元件的體積，dVs=dVpi=Rdθdxdz；Np為壓電元件的數(shù)量。線性壓電材料本構(gòu)方程表示為[10]：

式中：ε、Es、Ep分別為圓柱殼應變、圓柱殼彈性矩陣和壓電彈性矩陣；H，δi，D分別為壓電勁度常數(shù)、第i個壓電元件的電荷密度矢量和介電常數(shù)。因施加電場僅在壓電的厚度方向上起作用，所以電荷密度矢量可進一步表示為僅有厚度方向參數(shù)的電荷密度系數(shù)與電荷矢量乘積。

式中，Si為第i個壓電元件的耦合面積。外力功可分為外擾做功和壓電執(zhí)行器做功，假設(shè)外擾僅在軸向方向上有作用：

其中：fd為外擾，Vai為第i個執(zhí)行器上施加的電壓，δqacti為第i個執(zhí)行器上的電荷量變化，Na表示執(zhí)行器數(shù)量。

假定圓柱殼的邊界條件為簡支-簡支。圓柱殼模型3 個方向上位移可表示為[11]：

3 個方向上的位移用向量表達并寫成線性組合的形式：

采用Sanders 殼體理論描述圓柱殼應變和位移之間的關(guān)系。導出基于Sanders 殼體理論應變方程并改寫為矩陣形式[11]，將式(13)代入得：

將式(14)代入到系統(tǒng)能量方程中，圓柱殼系統(tǒng)的總動能、總勢能和外力功變化可進一步表示為：

其中，F(xiàn)d為相容維數(shù)的擾動向量。將式(15)～式(17)代入到Hamilton 變分方程中，并合并同類項得：

qact和qsen分別為執(zhí)行器電荷矢量和傳感器電荷矢量，其矢量長度分別為執(zhí)行器數(shù)量Na和傳感器數(shù)量Ns，一般有Na=Ns且Np=Na+Ns。式(18)中各參數(shù)表示為：

得執(zhí)行器和傳感器電荷量為：

將式(27)代入式(26)中得到系統(tǒng)總動力學方程：

傳感器經(jīng)電荷放大增益G輸出為：

1.2 動力學模型Ansys 驗證

給定圓柱殼幾何參數(shù)：長度Ls=0.51 m，半徑R=0.15 m，厚度hs=0.002 m；材料參數(shù)：密度ρs=2 770 kg/m3，泊松比μs=0.3，楊氏模量Es=7.4×1010Pa；邊界條件：簡支-簡支。使用Ansys 軟件仿真計算，定義誤差ε=(f1i-f2i)/f2i×100%，其中f1i為理論推導結(jié)果的第i階固有頻率，f2i為仿真結(jié)果的第i階固有頻率。具體結(jié)果如表1 所示。圖2 為該圓柱殼仿真模型前6 階模態(tài)振型圖。

表1 圓柱殼結(jié)構(gòu)固有頻率對比Tab. 1 Comparison of natural frequencies of cylindrical shell structures

圖2 圓柱殼結(jié)構(gòu)前6 階模態(tài)Fig. 2 The first six modes of cylindrical shell structure

由表1 可知，本文圓柱殼振動理論模型與仿真結(jié)果在前8 階固有頻率對比中，相對誤差最大為1.05%，表明理論模型準確度較高。

1.3 狀態(tài)空間

針對式(28)的系統(tǒng)總動力學方程，由于壓電元件對圓柱殼結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度影響較小，假設(shè)忽略壓電元件對結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度的影響，簡化可得：

引入式(31)的坐標變換，使坐標轉(zhuǎn)換到正則模態(tài)坐標下，滿足特征值和特征向量的正交性原則，使動力學方程解耦。

其中，式(34)、式(35)各參數(shù)矩陣表示為：

2 多智能體分布式H∞一致性減振控制器

2.1 H∞一致性減振控制器

多智能體分布式協(xié)同控制的一個基本問題是一致性，即設(shè)計一個僅基于本地信息交換的分布式控制協(xié)議，使所有控制代理以協(xié)調(diào)的方式實現(xiàn)一個共同目標[12-13]。

壓電執(zhí)行器傳感器組成的多智能體通信拓撲可用G=(V,E,A)來表示。其中，V={1, 2, ···,N}為節(jié)點集合，E ?V×V表示邊集合，表示鄰接矩陣，其中aij為邊(i,j)的權(quán)重，aij=0時，節(jié)點i、j之間不存在通信，且當i=1,2,...,N時，aii=0。對于無向圖，有，且aij=aji。Laplacian矩陣與鄰接矩陣 A相關(guān)，定義。

考慮一般線性多智能體系統(tǒng)中N個相同的智能體：

式中，xi∈Rn為第i個智能體狀態(tài)，ui∈Rp為控制輸入， ωi為外擾輸入，可包括外部激勵，設(shè)備干擾，測量噪聲等；A、B、D分別為具有相容維數(shù)的狀態(tài)矩陣，控制矩陣和干擾輸入矩陣。設(shè)計分布式控制協(xié)議如下式：

其中，K∈Rp×n為反饋增益矩陣，c>0為耦合強度。設(shè)計控制器的本質(zhì)是設(shè)計控制協(xié)議中的反饋增益矩陣K，使多智能體在受到外部干擾和不確定的初始狀態(tài)時，具有良好的瞬態(tài)響應和魯棒性，并達到一致性。定義以下一致性輸出度量[14-16]。

其中，C為輸出增益矩陣。上式寫成閉環(huán)系統(tǒng)矩陣形式：

用Tωz描述系統(tǒng)(38)從擾動 ω到輸出z的傳遞函數(shù)矩陣，給出以下H∞性能指標定義。

定義1[15,17]綜合考慮衰減外部干擾和初始狀態(tài)干擾意義上的最優(yōu)控制率，定義權(quán)重矩陣R=RT>0，引入綜合瞬時性能的H∞一致性指標定義：

定義2[15]對于給定值γ>0，多智能體系統(tǒng)(38)若滿足以下條件，則分布式一致性協(xié)議(36)解決了綜合瞬時性能的H∞一致性問題：

1） 當ωi=0， 即時，多智能體系統(tǒng)可達成一致性。

2）當ωi≠0時，。

定義 2.3[14,15]對于給定的γ>0，當且僅當存在滿足以下線性矩陣不等式(LMIs)的對稱矩陣控制P>0，標量τ>0時，存在H∞一致性指標的控制器：

當P>0，τ>0，γ>0，根據(jù)LMIs 最小化 γ，得到帶有一致性增益的控制器(36)系統(tǒng)(38)的H∞性能極限γtmin。求解LMIs 得到的γtmin通常伴隨著高增益K，通過以下算法流程進一步優(yōu)化控制器：

1）對于給定的γ ≥γtmin，當P>0，τ>0時，根據(jù)LMIs 最小化 τ；

2.2 參數(shù)優(yōu)化

在有限執(zhí)行器、傳感器的前提下，針對某一擾動情況，在全定義域內(nèi)進行控制位置尋優(yōu)，假定選擇N對壓電執(zhí)行器、傳感器，則需對壓電位置參數(shù)[(x11,θ11),(x12,θ12),...,(x1N,θ1N)]進行優(yōu)化選擇。本文采用離散粒子群算法(BPSO)對劃分區(qū)塊并編號的圓柱殼域進行控制塊優(yōu)化選擇。流程如下：

步驟1初始化算法參數(shù)，生成粒子初始位置參數(shù)。

步驟2導出各粒子對應的狀態(tài)空間。

步驟3求解該組粒子位置參數(shù)下的LMIs，導出γtmin，并給定值γ ≥γtmin。

步驟4在該定值 γ下，重新求解LMIs，最小化標量τ>0，記錄該粒子群的最小 τ，并保存產(chǎn)生該 τ的位置參數(shù)。

步驟5依據(jù)上一代粒子的歷史最優(yōu)位置和歷史最優(yōu)目標函數(shù)值，更新粒子群速度與位置參數(shù)。

步驟6若新粒子群代數(shù)G未超過迭代上限Gen，則返回步驟2；否則輸出最優(yōu)位置參數(shù)，并導出控制器。

2.3 分布式減振控制流程

本文圓柱殼結(jié)構(gòu)干擾自適應分布式減振控制方法流程，如圖3 所示。

圖3 圓柱殼展開模型Fig. 3 Cylindrical shell expansion model

步驟1進行圓柱殼控制區(qū)塊劃分，區(qū)塊作為壓電元件的預選擇位置，分別對位安裝壓電執(zhí)行器和壓電傳感器。

步驟2不同激勵位置和形式，系統(tǒng)振動響應不同，采用傅里葉變換(FFT) 進行振動能量時頻分析，一般取振動能量占系統(tǒng)振動總能量90%以上的前n階模態(tài)作為系統(tǒng)控制階數(shù)。

步驟3根據(jù)步驟2 中給定的控制階數(shù)進行H∞一致性性能指標優(yōu)化，利用BPSO 算法進行控制位置參數(shù)迭代優(yōu)化，導出該激勵參數(shù)下，全局最優(yōu)控制位置和控制器參數(shù)。

步驟4導出該激勵參數(shù)下的控制器，進行振動控制仿真。

步驟5當激勵參數(shù)改變時，重新進行步驟2～步驟4 的優(yōu)化和振動控制仿真過程。

3 仿真實驗與分析

將圓柱殼結(jié)構(gòu)劃分為6×6 的控制區(qū)塊，圖3 為圓柱殼展開模型。

圓柱殼和壓電元件的各仿真參數(shù)如表2 所示，其中壓電執(zhí)行器和壓電傳感器結(jié)構(gòu)參數(shù)相同。為驗證控制器在結(jié)構(gòu)受激勵形式、激勵位置變化時，減振控制的自適應性，第一組和第二兩組仿真實驗分別設(shè)置同一位置參數(shù)的3 個脈沖激勵和同相位持續(xù)激勵。第三組仿真實驗設(shè)置4 個點激勵，其形式分別為結(jié)構(gòu)前四階模態(tài)頻率同相位正弦函數(shù)。

表2 圓柱殼結(jié)構(gòu)和壓電元件參數(shù)Tab. 2 Cylindrical shell structure and piezoelectric element parameters

仿真實驗1 中，設(shè)置結(jié)構(gòu)所受激勵位置分別為(Ls/2,π/6)，(Ls/2,5π/6)，(Ls/2,3π/2)， 其形式為t=0 時刻同幅值脈沖。位置迭代初始化參數(shù)為：最大迭代數(shù)Gen=200，粒子數(shù)目NP=20，粒子維度Den=36，學習因子c1=1.8，c2=1.8，慣性權(quán)重w=1～0.1，vmin=-1.2，vmax=1.2。

針對圖3 所示的控制區(qū)塊模型，進行圓柱殼結(jié)構(gòu)振動控制自組織優(yōu)化。同時為避免結(jié)構(gòu)振動節(jié)線位置，取第15 區(qū)塊作為系統(tǒng)振動能量對比位置以及減振控制效果對比位置。

該激勵參數(shù)下，圓柱殼結(jié)構(gòu)第15 區(qū)塊的振動能量分布如圖4 所示。圓柱殼結(jié)構(gòu)第四階固有頻率振動能量最高，且結(jié)構(gòu)振動能量主要分布在前四階模態(tài)，故選擇壓電對元件數(shù)量為4 組。Laplacian 矩陣 Ls的元素lij=3(i=j)，lij=-1(i≠j)，i,j=1,...,4。圖5 為基于位置迭代優(yōu)化得到壓電控制區(qū)塊(15,20,32,36)，導出該激勵下的最優(yōu)一致性控制器(36)進行振動控制仿真，各區(qū)塊壓電傳感器經(jīng)放大后電壓輸出如圖6 所示。

圖4 實驗1 圓柱殼振動能量分布Fig. 4 Cylindrical shell vibration energy distribution of experiment 1

圖5 實驗1 位置優(yōu)化的殼模型示意圖Fig. 5 Schematic diagram of shell model with optimized position in experiment 1

圖6 實驗1 傳感器電壓輸出Fig. 6 Sensor voltage output of experiment 1

可知，區(qū)塊20 傳感器位于第四階模態(tài)振型的節(jié)線處。結(jié)合圖7 可知，對于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的第四階模態(tài)振動控制器有較好抑制效果，圓柱殼結(jié)構(gòu)的振動能量降低了91.5%。仿真實驗1 中一致性輸出度量Z如圖8 所示，通過設(shè)計的一致性項，各輸出度量能在0.1 s 內(nèi)達到同一輸出頻率且收斂。

圖7 實驗1 圓柱殼結(jié)構(gòu)振動能量對比Fig. 7 Comparison of cylindrical shell vibration energy distribution of experiment 1

圖8 實驗1 一致性輸出項ZFig. 8 Consistency output item Z of experiment 1

仿真實驗2 中，外激勵形式為圓柱殼結(jié)構(gòu)第四階固有頻率的同相位正弦函數(shù)，作用位置及其他條件與實驗1 相同。圓柱殼結(jié)構(gòu)受該激勵影響振動能量分布如圖9 所示。

圖9 實驗2 圓柱殼振動能量分布Fig. 9 Cylindrical shell vibration energy distribution of experiment 2

圖10 中峰值頻率為結(jié)構(gòu)第四階固有頻率，即結(jié)構(gòu)做第四階固有頻率下的共振，選擇控制前4 階模態(tài)振動。由于僅改變了外激勵形式，故僅影響H∞一致性性能指標上界，即當ωi≠0時，。執(zhí)行器傳感器數(shù)量選擇和位置優(yōu)化結(jié)果同仿真實驗1。各壓電傳感器電壓輸出如圖10 所示。

圖10 實驗2 傳感器電壓輸出Fig. 10 Sensor voltage output of experiment 2

由圖11 和圖12 可知，在實驗2 激勵載荷下，圓柱殼振動形式為第四階固有頻率的共振，控制器能在0.1 s內(nèi)使振動收斂到較低幅值，圓柱殼結(jié)構(gòu)的振動能量相較于未控制時降低90.9%。其中，區(qū)塊20 位于第四階模態(tài)振型的節(jié)線處。

圖11 實驗2 圓柱殼結(jié)構(gòu)振動能量分布對比Fig. 11 Comparison of cylindrical shell vibration energy distribution of experiment 2

圖12 實驗3 圓柱殼振動能量分布Fig. 12 Cylindrical shell vibration energy distribution of experiment 3

仿真實驗3 中，設(shè)置圓柱殼結(jié)構(gòu)所受外激勵的位置為(2Ls/5,π/8)，(3Ls/5,5π/8)，(2Ls/5,9π/8)，(3Ls/5,3π/2)，其形式分別為圓柱殼結(jié)構(gòu)前四階固有頻率的同相位、同幅值正弦函數(shù)，其他條件均與實驗1 相同。

該激勵參數(shù)下，圓柱殼結(jié)構(gòu)第15 區(qū)塊的振動能量分布如圖12 所示，圓柱殼結(jié)構(gòu)受到前4 階模態(tài)頻率的正弦函數(shù)激勵，其振動形式主要為前4 階共振的疊加，且結(jié)構(gòu)振動能量主要分布在前4 階模態(tài)，選擇壓電對的元件數(shù)量為4 組。Laplacian 矩陣 Ls的元素lij=3(i=j)，lij=-1(i≠j)，i,j=1,...,4。

壓電控制區(qū)塊為(6,20,23,25)，如圖13 所示。導出該激勵下的最優(yōu)一致性控制器(36)并進行振動控制仿真，各區(qū)塊壓電傳感器電壓輸出如圖14 所示。

圖13 實驗3 位置優(yōu)化的殼模型示意圖Fig. 13 Schematic diagram of shell model with optimized position in experiment 3

圖14 實驗3 傳感器電壓輸出Fig. 14 Sensor voltage output of experiment 3

由圖14 可知，圓柱殼結(jié)構(gòu)受到復雜激勵時，經(jīng)自組織的控制器能在0.1 s 內(nèi)，使結(jié)構(gòu)振動收斂到穩(wěn)定區(qū)域。結(jié)合圖15 可知該激勵形式下，對于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)第二、四階模態(tài)振動控制器有較好抑制效果，圓柱殼結(jié)構(gòu)振動能量相較于未控制時降低了91.2%。

圖15 實驗3 圓柱殼結(jié)構(gòu)振動能量分布對比Fig. 15 Comparison of cylindrical shell vibration energy distribution of experiment 3

4 結(jié) 語

1）基于Sanders 殼理論和Hamilton 變分法建立圓柱殼和壓電元件耦合動力學模型，驗證了該模型的準確性。

2）根據(jù)外激勵位置和形式變化的特點，設(shè)計了壓電多智能體分布式H∞一致性減振控制器干擾自適應優(yōu)化策略。

3）本控制策略下，圓柱殼結(jié)構(gòu)受3 個初始脈沖激勵時，能較快使振動收斂到0，且振動能量相較于未控制時降低91.5%；持續(xù)激勵時，振動能量降低了90.9%；多模態(tài)激勵時，振動能量降低91.2%。

綜上，圓柱殼受到脈沖激勵、持續(xù)激勵、多模態(tài)持續(xù)激勵時，經(jīng)優(yōu)化的控制器能有效抑制結(jié)構(gòu)振動，使分布式控制器對外激勵有較好的自適應能力。