雙軸音圈電機(jī)快速反射鏡的系統(tǒng)建模與滑?？刂?/h1>
2024-01-04 02:24:32李智斌張建強孫崇尚
光學(xué)精密工程 2023年24期
李智斌，李 亮，張建強，孫崇尚
（山東科技大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院，山東 青島 266590）
1 引言
快速反射鏡（Fast Steering Mirror，F(xiàn)SM）作為一種精密光束指向控制儀器，在激光通信、自適應(yīng)光學(xué)、光束跟蹤等高精密光學(xué)系統(tǒng)中扮演著重要角色，其伺服控制精度決定了高精密光學(xué)系統(tǒng)伺服精度的上限。基于音圈電機(jī)（Voice Coil Actuator，VCA）驅(qū)動的FSM 憑借其精度高、響應(yīng)速度快、行程大和結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點在FSM 中占有主導(dǎo)地位［1］。
相比于壓電陶瓷驅(qū)動的FSM，VCA-FSM 沒有非線性遲滯和蠕變等不利特性，對環(huán)境適應(yīng)性強，適用于空間、海洋等復(fù)雜環(huán)境下的系統(tǒng)控制。但是，VCA-FSM 普遍采用柔性支撐結(jié)構(gòu)，對機(jī)械加工和裝調(diào)精度要求極高。然而，由于結(jié)構(gòu)件加工誤差、裝配誤差和柔性支撐結(jié)構(gòu)自身形變等因素，導(dǎo)致VCA-FSM 存在復(fù)雜軸間耦合問題［2］，嚴(yán)重影響系統(tǒng)的控制性能，以PID、頻域校正為代表的傳統(tǒng)控制方法難以解決復(fù)雜耦合系統(tǒng)的高性能控制問題。
目前，VCA-FSM 的控制系統(tǒng)設(shè)計以單軸控制策略為主，即不考慮軸間耦合，將實際系統(tǒng)視作是兩個單輸入單輸出系統(tǒng)，分別進(jìn)行控制器的設(shè)計。其中，單軸控制策略又以PID 及其改進(jìn)控制算法為主，如模擬PID 控制［3］、模糊自適應(yīng)PID控制［4］、PID 自適應(yīng)前饋復(fù)合控制［5］等，也有一些先進(jìn)控制方法，如自適應(yīng)控制［6］、自抗擾控制［7］、H∞混合靈敏度控制［8］等。上述控制方法都通過實驗驗證了其有效性，但忽略了系統(tǒng)必然存在的耦合特性，在存在強耦合特性的VCA-FSM 中難以取得較好的控制性能。
為實現(xiàn)對存在強耦合特性VCA-FSM 的高性能控制，需針對耦合模型設(shè)計雙軸控制方法。文獻(xiàn)［9］通過設(shè)計X軸校正控制器、Y軸校正控制器、X軸對Y軸的補償控制器以及Y軸對X軸的補償控制器，顯著提高了雙軸VCA-FSM 的穩(wěn)定性和抗干擾能力。文獻(xiàn)［10］通過雙前饋與雙神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的解耦算法分別補償直流耦合分量和非直流耦合分量，大幅度降低了X軸和Y軸間的耦合度。文獻(xiàn)［11］通過在控制回路中引入解算網(wǎng)絡(luò)，使X軸和Y軸相互獨立、互不影響，降低控制系統(tǒng)的設(shè)計難度，并在此基礎(chǔ)上實現(xiàn)了VCAFSM 的雙軸閉環(huán)控制。上述控制方法能夠有效降低系統(tǒng)的軸間耦合，提高控制精度，具有重要的理論意義和實際工程價值。但是，高精密光學(xué)系統(tǒng)不僅要求VCA-FSM 具有較高指向精度，同時要求其具有高跟蹤帶寬，且能夠有效校正載體抖動和大氣擾動等因素帶來的干擾。而上述工作均采用的是復(fù)合頻域校正方法，本質(zhì)上屬于低通濾波算法，跟蹤和抗擾性能難以保證，因此，采用先進(jìn)的多變量控制方法對提升VCA-FSM 控制性能具有重要意義。
滑?？刂剖且环N魯棒性較強的先進(jìn)控制方法，其對于模型參數(shù)不確定性、外部擾動以及系統(tǒng)間耦合擾動等因素具有較強的抑制能力，對于VCA-FSM 系統(tǒng)中的柔性模態(tài)、軸間耦合等因素具有較好的控制能力，是提高VCA-FSM 控制性能的理想控制方法之一。但是，需要提及的是，滑?？刂频膽?yīng)用主要存在兩方面的技術(shù)問題，其一，滑模控制器的高性能控制依賴于精確的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型；其二，滑模抖振可能會激發(fā)系統(tǒng)復(fù)雜模態(tài)進(jìn)而影響實際控制效果。
對于上述問題，本文開展了系統(tǒng)辨識、模型降階與滑模控制器設(shè)計方面的研究工作，論文的主要內(nèi)容與貢獻(xiàn)可概述為兩個方面：（1）采用基于脈沖響應(yīng)的Hankel 矩陣系統(tǒng)辨識方法和基于平衡實現(xiàn)與平衡截斷的模型降階方法，建立了雙軸VCA-FSM 系統(tǒng)的精確耦合模型；（2）設(shè)計了積分增廣滑模控制器，并基于VCA-FSM 伺服控制系統(tǒng)實驗平臺對該控制方法進(jìn)行了測試與評估。
2 VCA-FSM 機(jī)理分析與實驗平臺介紹
2.1 VCA-FSM 伺服機(jī)構(gòu)概述與數(shù)學(xué)模型描述
本文研究對象為1 英寸鏡面的雙軸VCAFSM，其結(jié)構(gòu)如圖1 所示，采用柔性鉸鏈作為支撐結(jié)構(gòu)，VCA 作為驅(qū)動元件，四象限探測器（Four-quadrant Detector，QD）作為位 置檢測 元件。該結(jié)構(gòu)具有驅(qū)動電壓低、響應(yīng)速度快、行程范圍大等優(yōu)點，其偏轉(zhuǎn)角度范圍可達(dá)±1.5°。
圖1 雙軸VCA-FSM 結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of dual-axis VCA-FSM
雙軸VCA-FSM 通過四個圓周分布的VCA來實現(xiàn)反射鏡在水平（X軸）方向和垂直（Y軸）方向上的偏轉(zhuǎn)。在對控制性能要求不高的系統(tǒng)中，可將VCA-FSM 視為兩個獨立的單輸入單輸出（Single Input Single Output，SISO）系統(tǒng)，即不考慮軸間耦合，以簡化控制系統(tǒng)設(shè)計。
軸間耦合是指X軸和Y軸間的運動相互影響，導(dǎo)致系統(tǒng)的控制性能受到限制，這種耦合產(chǎn)生的原因主要有：（1）柔性鉸鏈支撐結(jié)構(gòu)自身的變形以及加工誤差引起的兩個旋轉(zhuǎn)軸線不垂直；（2）兩對VCA 的坐標(biāo)軸線與柔性鉸鏈支撐結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)軸線的夾角與45°有偏差；（3）VCA 與反射鏡之間的連接結(jié)構(gòu)導(dǎo)致振動傳遞和受力不均衡等［12-13］。
鑒于上述因素，軸間耦合是不可避免的。因此，在高精密光學(xué)系統(tǒng)中，要滿足高性能指標(biāo)的要求，必須要考慮耦合特性的影響，將雙軸VCAFSM 視為一個雙輸入雙輸出（Double Input Double Output，DIDO）系統(tǒng)，并采取相應(yīng)的控制策略來克服這些問題。
如圖2 所示為雙軸VCA-FSM 耦合模型，其中ux，uy表示在X軸和Y軸施加的控制電壓；θx，θy表示反射鏡在X軸和Y軸方向上的偏轉(zhuǎn)角度；Gxx（s）表示控制電壓ux與偏轉(zhuǎn)角度θx之間的傳遞函數(shù)；Gxy（s）表示控制電壓ux與偏轉(zhuǎn)角度θy之間的傳遞函數(shù)；Gyx（s）表示控制電壓uy與偏轉(zhuǎn)角度θx之間的傳遞函數(shù)；Gyy（s）表示控制電壓uy與偏轉(zhuǎn)角度θy之間的傳遞函數(shù)。耦合模型數(shù)學(xué)描述如式（1）所示：
圖2 雙軸VCA-FSM 耦合模型Fig.2 Coupling model of dual-axis VCA-FSM
其中：Ux（s），Uy（s）表示控制電壓ux，uy的拉氏變換；Θx（s），Θy（s）表示偏轉(zhuǎn)角度θx，θy的拉氏變換。
2.2 VCA-FSM 伺服控制系統(tǒng)實驗平臺介紹
VCA-FSM 伺服控制系統(tǒng)實驗平臺如圖3 所示，主要包括dSPACE，AD/DA，電壓放大驅(qū)動電路，VCA，反射鏡及QD 等部件。實驗平臺采用10 kHz 采樣頻率，采樣周期為0.000 1 s，通過上位機(jī)軟件Control Desk 實時控制此系統(tǒng)的運行和終止。
VCA-FSM 伺服控制系統(tǒng)的工作原理框圖如圖4 所示。通過QD 輸出由反射鏡的偏轉(zhuǎn)角度（θx，θy）引起的反饋電壓（Δux，Δuy）；通過實驗平臺的AD 接口采集QD 的輸出信號，并在dSPACE 中解算出伺服機(jī)構(gòu)反射鏡的偏轉(zhuǎn)角度，與參考信號一起經(jīng)過控制算法運算后得到伺服機(jī)構(gòu)的控制信號（xin，yin）；通過DA 接口輸出控制信號，并經(jīng)過電壓放大器放大后（ux，uy）驅(qū)動伺服機(jī)構(gòu)的兩對VCA 執(zhí)行推拉工作，從而實現(xiàn)雙軸閉環(huán)控制。
3 VCA-FSM 系統(tǒng)辨識與模型降階
由于VCA-FSM 的柔性模態(tài)與復(fù)雜耦合特性導(dǎo)致其模型很難被準(zhǔn)確描述，這就造成了基于VCA-FSM 自身物理特性建立的數(shù)學(xué)模型與實際系統(tǒng)無法很好地匹配。而現(xiàn)如今，先進(jìn)控制方法的應(yīng)用更加依賴于準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，因此，VCA-FSM 的精確建模是滑?？刂茟?yīng)用的前提和關(guān)鍵條件。下文分別從系統(tǒng)辨識與模型降階兩個方面開展了研究工作，建立了VCA-FSM 的精確耦合模型。
關(guān)于雙軸VCA-FSM 的系統(tǒng)辨識與模型降階可理解為對Gxx，Gxy，Gyx，Gyy四個SISO 子系統(tǒng)模型的階次與參數(shù)辨識以及對其并聯(lián)組合模型的降階，技術(shù)方法路線如圖5 所示。
3.1 基于脈沖響應(yīng)的Hankel 矩陣系統(tǒng)辨識方法
本文在參考文獻(xiàn)［14-15］的基礎(chǔ)上開展VCA-FSM 子系統(tǒng)模型的階次與參數(shù)辨識。
設(shè)VCA-FSM 子系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間方程為：
其脈沖響應(yīng)序列g(shù)（k）與系統(tǒng)離散狀態(tài)空間方程的參數(shù)滿足如式（3）所示的關(guān)系：
根據(jù)系統(tǒng)脈沖響應(yīng)構(gòu)造的d維Hankel 矩陣H與系統(tǒng)離散狀態(tài)空間方程參數(shù)的關(guān)系如式（4）所示：
對d維Hankel 矩陣H進(jìn)行奇異值進(jìn)行分解：
其中：U=[u1u2…ud]，V=[v1v2…vd]，σ1≥σ2≥…≥σe?σe+1≥…≥σd≥0。
利用實驗數(shù)據(jù)構(gòu)造的Hankel 矩陣通常是非奇異矩陣（即所有的奇異值均大于零），但是大部分的非零奇異值是由于測量噪聲引起的。Hankel 矩陣的奇異值可表征系統(tǒng)各模態(tài)在系統(tǒng)中的重要程度，將奇異值從大到小排列，根據(jù)奇異值跳變的位置選擇系統(tǒng)的階次，故選擇系統(tǒng)階次為e。
根據(jù)確定的系統(tǒng)階次，將Hankel 矩陣H奇異值分解的結(jié)果進(jìn)一步分解：
其中：U1=[u1u2…ue]，V1=[v1v2…ve]，∑1=diag{σ1σ2…σe}。
其中：E1表示矩陣的第一行，E1表示矩陣的第一列。
根據(jù)式（4），再構(gòu)建新的d維Hankel 矩陣H1：
綜上，可確定VCA-FSM 子系統(tǒng)的離散數(shù)學(xué)模型。利用Matlab 軟件中的d2c 函數(shù)將離散數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為連續(xù)時間數(shù)學(xué)模型，以方便后續(xù)的模型降階及滑模控制系統(tǒng)設(shè)計。
3.2 VCA-FSM 系統(tǒng)辨識
基于圖3 所示的實驗平臺開展系統(tǒng)辨識實驗。
選取兩個周期的幅值為5 mV、階次為14 的偽隨機(jī)序列作為激勵信號。給X軸施加激勵信號，Y軸自由；給Y軸施加激勵信號，X軸自由，X軸和Y軸響應(yīng)如圖6 所示?？梢钥闯觯瓷溏R在X（或Y）軸方向VCA 的驅(qū)動下繞X（或Y）軸偏轉(zhuǎn)的同時，在Y（或X）軸方向上產(chǎn)生了較大的耦合運動。
圖6 激勵信號與響應(yīng)信號曲線Fig.6 Excitation signal &response signal curve
VCA-FSM 從靜態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閭坞S機(jī)信號激勵下的動態(tài)過程中存在過渡過程，會導(dǎo)致模型參數(shù)計算不準(zhǔn)確，因此根據(jù)第二個周期的實驗數(shù)據(jù)，分別針對Gxx，Gxy，Gyx，Gyy四個SISO 子系統(tǒng)開展系統(tǒng)辨識。Hankel 矩陣的奇異值如圖7 所示，選擇四個SISO 子系統(tǒng)模型的階次均為4。
圖7 Hankel 矩陣奇異值Fig.7 Singular value of the Hankel matrix
由此，根據(jù)式（7）和式（9）可確定系統(tǒng)離散數(shù)學(xué)模型，通過Matlab 連續(xù)化后，得到其對應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的狀態(tài)空間實現(xiàn)分別為：
基于線性子系統(tǒng)并聯(lián)組合理論［16］，得到雙軸VCA-FSM 系統(tǒng)DIDO 耦合模型的狀態(tài)空間實現(xiàn)為：
3.3 VCA-FSM 模型降階
通過上述辨識方法得到的雙軸VCA-FSM系統(tǒng)的DIDO 耦合數(shù)學(xué)模型階次為Gxx，Gxy，Gyx，Gyy四個子系統(tǒng)模型階次之和，即耦合系統(tǒng)模型階次為16，高階次模型會導(dǎo)致滑?？刂葡到y(tǒng)設(shè)計復(fù)雜、數(shù)字控制系統(tǒng)難以實現(xiàn)等問題。因此，有必要對VCA-FSM 系統(tǒng)的高階次數(shù)學(xué)模型進(jìn)行降階。
本文在參考文獻(xiàn)［17-18］的基礎(chǔ)上開展VCA-FSM 系統(tǒng)DIDO 耦合模型的降階。
系統(tǒng)（11）的能控性格拉姆矩陣Lc與能觀測性格拉姆矩陣Lo滿足以下李亞普諾夫方程，其中Lc與Lo均為正定矩陣［19］。
存在線性非奇異平衡變換矩陣T，使得變換后系統(tǒng)的能控性格拉姆矩陣與能觀測性格拉姆矩陣滿足以下關(guān)系：
其中：Λ=diag{λ1λ2…λN}，其對角元素為系統(tǒng)奇異值，且λ1≥λ2≥…≥λr?λr+1≥…≥λN≥0。
變換后系統(tǒng)的平衡實現(xiàn)模型為：
系統(tǒng)模型平衡實現(xiàn)后，根據(jù)系統(tǒng)奇異值的大小對所得到的平衡模型進(jìn)行平衡截斷，保留奇異值相對較大的這部分系統(tǒng)，故選擇降階系統(tǒng)的階次為r，從而得到平衡截斷后的降階模型。
其中，Gr維數(shù)為r。
根據(jù)上述降階方法，得到VCA-FSM 系統(tǒng)平衡實現(xiàn)模型的奇異值如圖8 所示。
圖8 系統(tǒng)平衡實現(xiàn)模型的奇異值Fig.8 Singular value of system's balanced realization model
選擇降階模型的階次為4，得到降階模型的狀態(tài)空間實現(xiàn)為：
式（16）所示的降階模型（綠色實線）、式（10）所示的辨識模型（藍(lán)色實線）與真實系統(tǒng)（紅色實線）的頻率特性曲線對比如圖9 所示(彩圖見期刊電子版）。
圖9 降階前后模型與實際系統(tǒng)的頻率特性對比曲線Fig.9 Comparison curves of frequency characteristic of the model and the actual system before and after the reduction
根據(jù)圖9 可得：（1）基于脈沖響應(yīng)的Hankel矩陣系統(tǒng)辨識方法建立的系統(tǒng)模型能夠充分表征系統(tǒng)的幅頻特性與相頻特性；（2）基于平衡實現(xiàn)與平衡截斷模型降階方法得到的降階模型與未降階模型的頻率特性具有極高的相似性，可滿足高性能控制系統(tǒng)的設(shè)計需求；（3）系統(tǒng)存在強耦合特性，且系統(tǒng)在80 Hz 后出現(xiàn)了較大的不確定性，這對控制系統(tǒng)的設(shè)計帶來了很大挑戰(zhàn)，控制器必須具有一定的魯棒性，以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。
4 控制器設(shè)計
4.1 積分增廣滑模控制器設(shè)計
VCA-FSM 的DIDO 耦合模型是通過系統(tǒng)辨識與模型降階得到的，所得模型的狀態(tài)變量并無實際物理意義，因此無法直接通過控制狀態(tài)變量使系統(tǒng)實現(xiàn)對參考信號的跟蹤。為了實現(xiàn)跟蹤，根據(jù)內(nèi)模原理，引入積分環(huán)節(jié)，構(gòu)成積分增廣的系統(tǒng)，使增廣后的系統(tǒng)具有跟蹤性能。
根據(jù)系統(tǒng)降階模型的狀態(tài)空間實現(xiàn)（16），其對應(yīng)的狀態(tài)空間方程可寫為：
其中：Ar為n×n矩陣，Br為n×m矩陣，Cr為l×n矩陣。
要求系統(tǒng)輸出y（t）跟蹤參考信號yd（t），定義偏差信號為e（t），對偏差信號進(jìn)行積分，其數(shù)學(xué)描述為：
對式（18）求導(dǎo)可得：
由于積分器的引入使原系統(tǒng)升階，故可將積分器的輸出η選作附加的狀態(tài)變量，從而對原系統(tǒng)進(jìn)行增廣，得到積分增廣后的系統(tǒng)模型為：
積分增廣后，系統(tǒng)由原來的n維變?yōu)榱薾+l維，為了能夠采用滑?？刂疲夷軌颢@得穩(wěn)定的、動態(tài)性能滿意的系統(tǒng)，必須要求增廣后的系統(tǒng)能控。
已知rank[B AB A2B A3B A4B A5B]=6，由系統(tǒng)能控性秩判據(jù)可知，增廣系統(tǒng)能控，故可對積分增廣后的系統(tǒng)進(jìn)行滑?？刂破髟O(shè)計。
設(shè)計一個滑?？刂破髦饕▋蓚€部分：（1）設(shè)計切換函數(shù)s，保證其所確定的滑模運動漸進(jìn)穩(wěn)定，且具有良好的動態(tài)品質(zhì)；（2）設(shè)計控制律u，該控制必須滿足可達(dá)性條件，即使得系統(tǒng)的狀態(tài)運動點能夠在有限時間內(nèi)被驅(qū)動到切換面（s=0）上。
4.1.1 滑模切換函數(shù)設(shè)計
設(shè)切換函數(shù)為：
其中，M為l×（n+l）切換函數(shù)系數(shù)矩陣。則滑?？刂葡到y(tǒng)沿切換面進(jìn)行滑模運動時的滑模方程為：
已知rankB=m，故存在非奇異線性變換x=P-1，使增廣系統(tǒng)（20）轉(zhuǎn)換為如下簡約型［20］：
同時，其相應(yīng)的切換面變換為：
將式（25）代入式（23），可得：
式（26）與式（22）完全等價，從而滑?？刂葡到y(tǒng)可等價為如式（26）所示的降階方程。
由（A，B）能控，可得出必是能控的［16］。因此系統(tǒng)（26）的極點可由K任意配置。結(jié)合式（24），可得切換函數(shù)系數(shù)矩陣M為：
顯然，切換函數(shù)（21）的設(shè)計可以保證其所確定的滑模運動漸進(jìn)穩(wěn)定，且具有良好的動態(tài)品質(zhì)。
4.1.2 滑?？刂坡稍O(shè)計
為了保證滑模運動的存在，滑?？刂坡杀仨殱M足可達(dá)性條件：
為了滿足可達(dá)性條件并消除滑模抖振，本文采用改進(jìn)指數(shù)趨近律方法。傳統(tǒng)指數(shù)趨近律如下：
傳統(tǒng)指數(shù)趨近律雖能夠有效抑制滑模抖振，但卻無法將其消除，為消除抖振，本文采用連續(xù)函數(shù)sgmf(s)=替代符號函數(shù)sgn（s）。
改進(jìn)指數(shù)趨近律如下：
其中：ε＞0，k＞0，α＞0。ε，k，α是改進(jìn)指數(shù)趨近律的三個參數(shù)，可通過設(shè)置ε，k，α的取值，調(diào)整滑?？刂频内吔^程。
由改進(jìn)指數(shù)趨近律（30），可得出滿足可達(dá)性條件（28）的滑?？刂坡蓇：
求得滑模控制律u為：
穩(wěn)定性分析：滑?？刂葡到y(tǒng)存在著特殊的滑模運動。當(dāng)s=0 時，系統(tǒng)沿著切換面進(jìn)行滑模運動，只要適當(dāng)?shù)厝缡剑?7）設(shè)計M就能保證系統(tǒng)（22）的穩(wěn)定性；當(dāng)s≠0 時，設(shè)計李亞普諾夫函數(shù)V（x）=s2，因滑?？刂坡蓇始終保證式（28）成立，故(x)≤0。可見以上滑?？刂葡到y(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。
4.2 狀態(tài)觀測器設(shè)計
在積分增廣滑模控制器的設(shè)計中，滑模切換函數(shù)與控制律均由積分增廣系統(tǒng)的全維狀態(tài)變量構(gòu)造。對于積分增廣系統(tǒng)（20），狀態(tài)變量η為跟蹤誤差的積分，可測量；狀態(tài)變量xr是原系統(tǒng)的狀態(tài)變量，不具實際物理意義，無法測量。因此，為實現(xiàn)滑?？刂疲舍槍Ψe分增廣系統(tǒng)設(shè)計降維狀態(tài)觀測器，此時，觀測器僅針對原系統(tǒng)（17）進(jìn)行狀態(tài)估計。
狀態(tài)觀測器的形式如下：
其中，L為調(diào)節(jié)漸進(jìn)于xr的反饋增益矩陣。
利用觀測器理論，在狀態(tài)xr不可測的情況下，即不能構(gòu)造切換函數(shù)s=Mx時，根據(jù)估計出的狀態(tài)來代替xr，從而構(gòu)造出漸進(jìn)的切換函數(shù)：
根據(jù)分離原理［16］，基于極點配置的滑模控制器設(shè)計與狀態(tài)觀測器設(shè)計可以分開進(jìn)行，所以其相應(yīng)的滑?？刂坡煽勺?yōu)椋?/p>
因此，針對增廣系統(tǒng)（20），采用狀態(tài)觀測器（33）、切換函數(shù)（34）和控制律（35）的設(shè)計方案，可確?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)定性［20］，并可實現(xiàn)對參考信號的跟蹤。
雙軸VCA-FSM 滑模伺服控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖10 所示。
圖10 雙軸VCA-FSM 滑?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.10 Structure diagram of dual-axis VCA-FSM sliding mode control system
5 實驗驗證與分析
本部分基于VCA-FSM 數(shù)學(xué)模型設(shè)計控制系統(tǒng)，并開展了頻域與時域性能測試實驗［21］。為證明雙軸滑?？刂疲―ual-axis Sliding Mode Control，D-SMC）方法的有效性和先進(jìn)性，將其與單軸滑?？刂疲⊿ingle-axis Sliding Mode Control，SSMC）和PID 控制方法進(jìn)行對比。
特殊說明的是，本研究開展的是較大行程的控制實驗，若縮小偏轉(zhuǎn)角度范圍，可通過調(diào)整控制器參數(shù)，增加控制器增益，進(jìn)一步提高系統(tǒng)的控制性能。
5.1 實驗參數(shù)設(shè)定
根據(jù)閉環(huán)頻率特性和階躍響應(yīng)表現(xiàn)，經(jīng)過多次實驗調(diào)整，最終確定PID 控制器的參數(shù)為：Kx=Ky=0.06+
需要強調(diào)的是，具體參數(shù)選擇需要根據(jù)實際系統(tǒng)的特性和性能要求進(jìn)行調(diào)整。不同系統(tǒng)的參數(shù)需求可能有所不同，因此，在實際應(yīng)用中，需要通過實驗調(diào)整來確定最佳的參數(shù)值，以實現(xiàn)所需的控制性能。以上提到的參數(shù)值僅作為本次研究的一個示例。
5.2 伺服控制實驗
基于圖3 所示的VCA-FSM 伺服控制系統(tǒng)實驗平臺，對上述三種不同控制系統(tǒng)進(jìn)行了頻域和時域性能測試，并分別從閉環(huán)跟蹤帶寬、軸間耦合閉環(huán)頻率特性、擾動抑制帶寬、階躍響應(yīng)動態(tài)性能、軸間耦合運動特性及螺旋線跟蹤精度等方面全面評價了控制方法的控制性能。
5.2.1 頻域性能測試
（1）閉環(huán)頻率特性
X軸參考信號（θxd）為幅值0.15°、頻率0.1～1 000 Hz 的正弦 掃頻信 號，Y軸參考信號（θyd）為0，X-X軸 和X-Y軸頻率 特性曲 線如圖11（a）和圖11（b）所示；Y軸參考信號為幅值0.15°、頻率0.1～1000 Hz 的正弦 掃頻信 號，X軸參考 信號為0，Y-X軸和Y-Y軸頻率特性曲線如圖11（c）和圖11（d）所示，X軸和Y軸的閉環(huán)頻域性能表現(xiàn)幾乎一致。
從圖11（a）和圖11（d）可以看出，三種不同控制方法下系統(tǒng)的X軸閉環(huán)跟蹤帶寬（-3 dB）分別為141 Hz，94 Hz 和40 Hz；Y軸閉環(huán)跟蹤帶寬分別為140 Hz，93 Hz 和40 Hz，D-SMC 相比于SSMC 和PID 的閉環(huán)跟蹤帶寬分別提升了約50.3% 和251.3%，且D-SMC 方法下伺服系統(tǒng)的閉環(huán)跟蹤帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)不確定性出現(xiàn)的頻率（80 Hz），這表明D-SMC 方法具有很強的魯棒性。
從圖11（b）和圖11（c）可以看出，D-SMC 和SSMC 方法下系統(tǒng)的X-Y軸耦合和Y-X軸耦合的幅頻特性曲線均位于-20 dB 以下，系統(tǒng)的軸間耦合基本消除，通過控制實現(xiàn)了解耦，而PID 控制方法下系統(tǒng)X軸和Y軸間仍存在較大的耦合。
一般情況下，增加PID 控制器的增益可以提高控制帶寬。但是，根據(jù)頻率特性曲線，PID 控制系統(tǒng)存在一個較大的諧振峰值，約為10 dB@30 Hz。如果進(jìn)一步增加PID 控制器的增益，系統(tǒng)可能存在諧振峰值超過限制行程的安全隱患，且會導(dǎo)致時域性能變差，這是由系統(tǒng)本身特性決定的。綜上所述，表明本文中PID 控制器的參數(shù)設(shè)置是合理的。
（2）抗擾頻率特性
X軸 和Y軸參考 信號均 為0，X軸干擾信號（dx）為幅值0.015°、頻率0.1～1000 Hz 的正弦掃頻信號，Y軸干擾信號（dy）為0，dx-ex幅頻特性曲線如圖12（a）所示；Y軸干擾信號為幅值0.015°、頻率0.1～1000 Hz 的正弦掃頻信號，X軸干擾信號為0，dy-ey幅頻特性曲線如圖12（b）所示，X軸和Y軸的抗擾性能表現(xiàn)幾乎一致。
圖12 抗擾幅頻特性曲線Fig.12 Anti-disturbance amplitude-frequency characteristic curve
從圖12 可以看出，三種不同控制方法下系統(tǒng)的X軸擾動抑制帶寬（0 dB）分別為142 Hz，109 Hz 和26 Hz；Y軸擾動 抑制帶 寬分別 為145 Hz，112 Hz 和26 Hz，D-SMC 相比于S-SMC 和PID的擾動抑制帶寬分別提升了約39.9% 和451.9%。
5.2.2 時域性能測試
（1）階躍信號響應(yīng)
分別給X軸和Y軸在不同時刻參考幅值為0.3°的階躍信號，三種不同控制方法下系統(tǒng)的X軸和Y軸的階躍響應(yīng)曲線如圖13 所示，X軸和Y軸的時域階躍性能表現(xiàn)幾乎一致。
圖13 閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線Fig.13 Closed-loop step response curve
以±5%誤差帶為標(biāo)準(zhǔn)，三種不同控制方法下系統(tǒng)的X軸調(diào)節(jié)時間分別為3.9 ms，5.6 ms 和172.6 ms；Y軸調(diào) 節(jié)時間分別為3.9 ms，5.5 ms和173.2 ms，D-SMC 相比于S-SMC 和PID 的調(diào)節(jié)時間分別縮短了約29.7% 和97.7%。且DSMC 和S-SMC 方法下系統(tǒng)的X軸和Y軸間的運動基本互不影響，運動耦合特性得到大幅改善，而PID 控制方法下系統(tǒng)的X軸和Y軸間的運動互相影響很大，仍存在較大耦合。
（2）螺旋線信號跟蹤
螺旋線信號方程為：
其中：r為極坐標(biāo)半徑，θ為極坐標(biāo)角度。a=π×0.3°，b=360°×5，t為0～1 s 變化的時間參數(shù)。跟蹤螺旋線信號實驗結(jié)果如圖14 所示。
圖14 螺旋線信號跟蹤結(jié)果Fig.14 Result of spiral signal tracking
定義平 均絕對誤差（Mean Absolute Error，MAE）：
三種不同控制方法下系統(tǒng)的MAE 分別為0.000 46°（1.7″），0.000 93°（3.3″）和0.021°（75.6″），D-SMC 相比于S-SMC 和PID 的跟蹤精度（MAE）分別提高了約48.5%和97.8%。
5.3 小結(jié)
根據(jù)上述實驗，D-SMC、S-SMC 和PID 控制下，控制系統(tǒng)頻域與時域關(guān)鍵性能指標(biāo)匯總?cè)绫? 所示。
表1 VCA-FSM 伺服控制系統(tǒng)頻域、時域性能Tab.1 Time domain &frequency domain performance of VCA-FSM servo control system
實驗結(jié)果表明，本文提出的D-SMC 方法相較于S-SMC 和PID 方法，在閉環(huán)帶寬、抗擾性、動態(tài)響應(yīng)和控制精度等方面都取得了顯著提升，充分證明了D-SMC 方法的先進(jìn)性和優(yōu)越性。
6 結(jié)論
本文圍繞對存在強耦合特性雙軸VCAFSM 的高性能控制問題開展了研究工作，提出了基于系統(tǒng)辨識與模型降階的積分增廣滑?？刂品椒?。首先介紹了VCA-FSM 與伺服控制系統(tǒng)實驗平臺工作原理，然后通過系統(tǒng)辨識與模型降階建立了雙軸VCA-FSM 的精確耦合模型，最后設(shè)計了雙軸積分增廣滑模控制器，并通過伺服實驗對其進(jìn)行了性能測試。
實驗結(jié)果表明，本文提出的雙軸VCA-FSM滑模控制方法有效地消除了X軸和Y軸控制回路間的耦合現(xiàn)象，且控制效果明顯優(yōu)于不考慮耦合的單軸滑模和PID 控制方法，其對系統(tǒng)的不確定性和擾動的魯棒性更強，可以保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制精度。D-SMC 控制下，系統(tǒng)頻域與時域的各項性能均得到了大幅度的提高，其中，閉環(huán)跟蹤帶寬達(dá)到140 Hz，擾動抑制帶寬可達(dá)到142 Hz，階躍響應(yīng)調(diào)節(jié)時間達(dá)到3.9 ms，螺旋線軌跡跟蹤精度達(dá)到1.7″。研究證明了D-SMC 方法的有效性和先進(jìn)性。
本文所提控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)對VCA-FSM這類具有強耦合特性被控對象的高性能控制，為提高VCA-FSM 的控制性能提供了一種有效手段，對實際的工程應(yīng)用具有一定指導(dǎo)作用。
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李智斌，李 亮，張建強，孫崇尚
（山東科技大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院，山東 青島 266590）
1 引言
快速反射鏡（Fast Steering Mirror，F(xiàn)SM）作為一種精密光束指向控制儀器，在激光通信、自適應(yīng)光學(xué)、光束跟蹤等高精密光學(xué)系統(tǒng)中扮演著重要角色，其伺服控制精度決定了高精密光學(xué)系統(tǒng)伺服精度的上限。基于音圈電機(jī)（Voice Coil Actuator，VCA）驅(qū)動的FSM 憑借其精度高、響應(yīng)速度快、行程大和結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點在FSM 中占有主導(dǎo)地位［1］。
相比于壓電陶瓷驅(qū)動的FSM，VCA-FSM 沒有非線性遲滯和蠕變等不利特性，對環(huán)境適應(yīng)性強，適用于空間、海洋等復(fù)雜環(huán)境下的系統(tǒng)控制。但是，VCA-FSM 普遍采用柔性支撐結(jié)構(gòu)，對機(jī)械加工和裝調(diào)精度要求極高。然而，由于結(jié)構(gòu)件加工誤差、裝配誤差和柔性支撐結(jié)構(gòu)自身形變等因素，導(dǎo)致VCA-FSM 存在復(fù)雜軸間耦合問題［2］，嚴(yán)重影響系統(tǒng)的控制性能，以PID、頻域校正為代表的傳統(tǒng)控制方法難以解決復(fù)雜耦合系統(tǒng)的高性能控制問題。
目前，VCA-FSM 的控制系統(tǒng)設(shè)計以單軸控制策略為主，即不考慮軸間耦合，將實際系統(tǒng)視作是兩個單輸入單輸出系統(tǒng)，分別進(jìn)行控制器的設(shè)計。其中，單軸控制策略又以PID 及其改進(jìn)控制算法為主，如模擬PID 控制［3］、模糊自適應(yīng)PID控制［4］、PID 自適應(yīng)前饋復(fù)合控制［5］等，也有一些先進(jìn)控制方法，如自適應(yīng)控制［6］、自抗擾控制［7］、H∞混合靈敏度控制［8］等。上述控制方法都通過實驗驗證了其有效性，但忽略了系統(tǒng)必然存在的耦合特性，在存在強耦合特性的VCA-FSM 中難以取得較好的控制性能。
為實現(xiàn)對存在強耦合特性VCA-FSM 的高性能控制，需針對耦合模型設(shè)計雙軸控制方法。文獻(xiàn)［9］通過設(shè)計X軸校正控制器、Y軸校正控制器、X軸對Y軸的補償控制器以及Y軸對X軸的補償控制器，顯著提高了雙軸VCA-FSM 的穩(wěn)定性和抗干擾能力。文獻(xiàn)［10］通過雙前饋與雙神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的解耦算法分別補償直流耦合分量和非直流耦合分量，大幅度降低了X軸和Y軸間的耦合度。文獻(xiàn)［11］通過在控制回路中引入解算網(wǎng)絡(luò)，使X軸和Y軸相互獨立、互不影響，降低控制系統(tǒng)的設(shè)計難度，并在此基礎(chǔ)上實現(xiàn)了VCAFSM 的雙軸閉環(huán)控制。上述控制方法能夠有效降低系統(tǒng)的軸間耦合，提高控制精度，具有重要的理論意義和實際工程價值。但是，高精密光學(xué)系統(tǒng)不僅要求VCA-FSM 具有較高指向精度，同時要求其具有高跟蹤帶寬，且能夠有效校正載體抖動和大氣擾動等因素帶來的干擾。而上述工作均采用的是復(fù)合頻域校正方法，本質(zhì)上屬于低通濾波算法，跟蹤和抗擾性能難以保證，因此，采用先進(jìn)的多變量控制方法對提升VCA-FSM 控制性能具有重要意義。
滑?？刂剖且环N魯棒性較強的先進(jìn)控制方法，其對于模型參數(shù)不確定性、外部擾動以及系統(tǒng)間耦合擾動等因素具有較強的抑制能力，對于VCA-FSM 系統(tǒng)中的柔性模態(tài)、軸間耦合等因素具有較好的控制能力，是提高VCA-FSM 控制性能的理想控制方法之一。但是，需要提及的是，滑?？刂频膽?yīng)用主要存在兩方面的技術(shù)問題，其一，滑模控制器的高性能控制依賴于精確的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型；其二，滑模抖振可能會激發(fā)系統(tǒng)復(fù)雜模態(tài)進(jìn)而影響實際控制效果。
對于上述問題，本文開展了系統(tǒng)辨識、模型降階與滑模控制器設(shè)計方面的研究工作，論文的主要內(nèi)容與貢獻(xiàn)可概述為兩個方面：（1）采用基于脈沖響應(yīng)的Hankel 矩陣系統(tǒng)辨識方法和基于平衡實現(xiàn)與平衡截斷的模型降階方法，建立了雙軸VCA-FSM 系統(tǒng)的精確耦合模型；（2）設(shè)計了積分增廣滑模控制器，并基于VCA-FSM 伺服控制系統(tǒng)實驗平臺對該控制方法進(jìn)行了測試與評估。
2 VCA-FSM 機(jī)理分析與實驗平臺介紹
2.1 VCA-FSM 伺服機(jī)構(gòu)概述與數(shù)學(xué)模型描述
本文研究對象為1 英寸鏡面的雙軸VCAFSM，其結(jié)構(gòu)如圖1 所示，采用柔性鉸鏈作為支撐結(jié)構(gòu)，VCA 作為驅(qū)動元件，四象限探測器（Four-quadrant Detector，QD）作為位 置檢測 元件。該結(jié)構(gòu)具有驅(qū)動電壓低、響應(yīng)速度快、行程范圍大等優(yōu)點，其偏轉(zhuǎn)角度范圍可達(dá)±1.5°。
圖1 雙軸VCA-FSM 結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of dual-axis VCA-FSM
雙軸VCA-FSM 通過四個圓周分布的VCA來實現(xiàn)反射鏡在水平（X軸）方向和垂直（Y軸）方向上的偏轉(zhuǎn)。在對控制性能要求不高的系統(tǒng)中，可將VCA-FSM 視為兩個獨立的單輸入單輸出（Single Input Single Output，SISO）系統(tǒng)，即不考慮軸間耦合，以簡化控制系統(tǒng)設(shè)計。
軸間耦合是指X軸和Y軸間的運動相互影響，導(dǎo)致系統(tǒng)的控制性能受到限制，這種耦合產(chǎn)生的原因主要有：（1）柔性鉸鏈支撐結(jié)構(gòu)自身的變形以及加工誤差引起的兩個旋轉(zhuǎn)軸線不垂直；（2）兩對VCA 的坐標(biāo)軸線與柔性鉸鏈支撐結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)軸線的夾角與45°有偏差；（3）VCA 與反射鏡之間的連接結(jié)構(gòu)導(dǎo)致振動傳遞和受力不均衡等［12-13］。
鑒于上述因素，軸間耦合是不可避免的。因此，在高精密光學(xué)系統(tǒng)中，要滿足高性能指標(biāo)的要求，必須要考慮耦合特性的影響，將雙軸VCAFSM 視為一個雙輸入雙輸出（Double Input Double Output，DIDO）系統(tǒng)，并采取相應(yīng)的控制策略來克服這些問題。
如圖2 所示為雙軸VCA-FSM 耦合模型，其中ux，uy表示在X軸和Y軸施加的控制電壓；θx，θy表示反射鏡在X軸和Y軸方向上的偏轉(zhuǎn)角度；Gxx（s）表示控制電壓ux與偏轉(zhuǎn)角度θx之間的傳遞函數(shù)；Gxy（s）表示控制電壓ux與偏轉(zhuǎn)角度θy之間的傳遞函數(shù)；Gyx（s）表示控制電壓uy與偏轉(zhuǎn)角度θx之間的傳遞函數(shù)；Gyy（s）表示控制電壓uy與偏轉(zhuǎn)角度θy之間的傳遞函數(shù)。耦合模型數(shù)學(xué)描述如式（1）所示：
圖2 雙軸VCA-FSM 耦合模型Fig.2 Coupling model of dual-axis VCA-FSM
其中：Ux（s），Uy（s）表示控制電壓ux，uy的拉氏變換；Θx（s），Θy（s）表示偏轉(zhuǎn)角度θx，θy的拉氏變換。
2.2 VCA-FSM 伺服控制系統(tǒng)實驗平臺介紹
VCA-FSM 伺服控制系統(tǒng)實驗平臺如圖3 所示，主要包括dSPACE，AD/DA，電壓放大驅(qū)動電路，VCA，反射鏡及QD 等部件。實驗平臺采用10 kHz 采樣頻率，采樣周期為0.000 1 s，通過上位機(jī)軟件Control Desk 實時控制此系統(tǒng)的運行和終止。
VCA-FSM 伺服控制系統(tǒng)的工作原理框圖如圖4 所示。通過QD 輸出由反射鏡的偏轉(zhuǎn)角度（θx，θy）引起的反饋電壓（Δux，Δuy）；通過實驗平臺的AD 接口采集QD 的輸出信號，并在dSPACE 中解算出伺服機(jī)構(gòu)反射鏡的偏轉(zhuǎn)角度，與參考信號一起經(jīng)過控制算法運算后得到伺服機(jī)構(gòu)的控制信號（xin，yin）；通過DA 接口輸出控制信號，并經(jīng)過電壓放大器放大后（ux，uy）驅(qū)動伺服機(jī)構(gòu)的兩對VCA 執(zhí)行推拉工作，從而實現(xiàn)雙軸閉環(huán)控制。
3 VCA-FSM 系統(tǒng)辨識與模型降階
由于VCA-FSM 的柔性模態(tài)與復(fù)雜耦合特性導(dǎo)致其模型很難被準(zhǔn)確描述，這就造成了基于VCA-FSM 自身物理特性建立的數(shù)學(xué)模型與實際系統(tǒng)無法很好地匹配。而現(xiàn)如今，先進(jìn)控制方法的應(yīng)用更加依賴于準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，因此，VCA-FSM 的精確建模是滑?？刂茟?yīng)用的前提和關(guān)鍵條件。下文分別從系統(tǒng)辨識與模型降階兩個方面開展了研究工作，建立了VCA-FSM 的精確耦合模型。
關(guān)于雙軸VCA-FSM 的系統(tǒng)辨識與模型降階可理解為對Gxx，Gxy，Gyx，Gyy四個SISO 子系統(tǒng)模型的階次與參數(shù)辨識以及對其并聯(lián)組合模型的降階，技術(shù)方法路線如圖5 所示。
3.1 基于脈沖響應(yīng)的Hankel 矩陣系統(tǒng)辨識方法
本文在參考文獻(xiàn)［14-15］的基礎(chǔ)上開展VCA-FSM 子系統(tǒng)模型的階次與參數(shù)辨識。
設(shè)VCA-FSM 子系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間方程為：
其脈沖響應(yīng)序列g(shù)（k）與系統(tǒng)離散狀態(tài)空間方程的參數(shù)滿足如式（3）所示的關(guān)系：
根據(jù)系統(tǒng)脈沖響應(yīng)構(gòu)造的d維Hankel 矩陣H與系統(tǒng)離散狀態(tài)空間方程參數(shù)的關(guān)系如式（4）所示：
對d維Hankel 矩陣H進(jìn)行奇異值進(jìn)行分解：
其中：U=[u1u2…ud]，V=[v1v2…vd]，σ1≥σ2≥…≥σe?σe+1≥…≥σd≥0。
利用實驗數(shù)據(jù)構(gòu)造的Hankel 矩陣通常是非奇異矩陣（即所有的奇異值均大于零），但是大部分的非零奇異值是由于測量噪聲引起的。Hankel 矩陣的奇異值可表征系統(tǒng)各模態(tài)在系統(tǒng)中的重要程度，將奇異值從大到小排列，根據(jù)奇異值跳變的位置選擇系統(tǒng)的階次，故選擇系統(tǒng)階次為e。
根據(jù)確定的系統(tǒng)階次，將Hankel 矩陣H奇異值分解的結(jié)果進(jìn)一步分解：
其中：U1=[u1u2…ue]，V1=[v1v2…ve]，∑1=diag{σ1σ2…σe}。
其中：E1表示矩陣的第一行，E1表示矩陣的第一列。
根據(jù)式（4），再構(gòu)建新的d維Hankel 矩陣H1：
綜上，可確定VCA-FSM 子系統(tǒng)的離散數(shù)學(xué)模型。利用Matlab 軟件中的d2c 函數(shù)將離散數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為連續(xù)時間數(shù)學(xué)模型，以方便后續(xù)的模型降階及滑模控制系統(tǒng)設(shè)計。
3.2 VCA-FSM 系統(tǒng)辨識
基于圖3 所示的實驗平臺開展系統(tǒng)辨識實驗。
選取兩個周期的幅值為5 mV、階次為14 的偽隨機(jī)序列作為激勵信號。給X軸施加激勵信號，Y軸自由；給Y軸施加激勵信號，X軸自由，X軸和Y軸響應(yīng)如圖6 所示?？梢钥闯觯瓷溏R在X（或Y）軸方向VCA 的驅(qū)動下繞X（或Y）軸偏轉(zhuǎn)的同時，在Y（或X）軸方向上產(chǎn)生了較大的耦合運動。
圖6 激勵信號與響應(yīng)信號曲線Fig.6 Excitation signal &response signal curve
VCA-FSM 從靜態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閭坞S機(jī)信號激勵下的動態(tài)過程中存在過渡過程，會導(dǎo)致模型參數(shù)計算不準(zhǔn)確，因此根據(jù)第二個周期的實驗數(shù)據(jù)，分別針對Gxx，Gxy，Gyx，Gyy四個SISO 子系統(tǒng)開展系統(tǒng)辨識。Hankel 矩陣的奇異值如圖7 所示，選擇四個SISO 子系統(tǒng)模型的階次均為4。
圖7 Hankel 矩陣奇異值Fig.7 Singular value of the Hankel matrix
由此，根據(jù)式（7）和式（9）可確定系統(tǒng)離散數(shù)學(xué)模型，通過Matlab 連續(xù)化后，得到其對應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的狀態(tài)空間實現(xiàn)分別為：
基于線性子系統(tǒng)并聯(lián)組合理論［16］，得到雙軸VCA-FSM 系統(tǒng)DIDO 耦合模型的狀態(tài)空間實現(xiàn)為：
3.3 VCA-FSM 模型降階
通過上述辨識方法得到的雙軸VCA-FSM系統(tǒng)的DIDO 耦合數(shù)學(xué)模型階次為Gxx，Gxy，Gyx，Gyy四個子系統(tǒng)模型階次之和，即耦合系統(tǒng)模型階次為16，高階次模型會導(dǎo)致滑?？刂葡到y(tǒng)設(shè)計復(fù)雜、數(shù)字控制系統(tǒng)難以實現(xiàn)等問題。因此，有必要對VCA-FSM 系統(tǒng)的高階次數(shù)學(xué)模型進(jìn)行降階。
本文在參考文獻(xiàn)［17-18］的基礎(chǔ)上開展VCA-FSM 系統(tǒng)DIDO 耦合模型的降階。
系統(tǒng)（11）的能控性格拉姆矩陣Lc與能觀測性格拉姆矩陣Lo滿足以下李亞普諾夫方程，其中Lc與Lo均為正定矩陣［19］。
存在線性非奇異平衡變換矩陣T，使得變換后系統(tǒng)的能控性格拉姆矩陣與能觀測性格拉姆矩陣滿足以下關(guān)系：
其中：Λ=diag{λ1λ2…λN}，其對角元素為系統(tǒng)奇異值，且λ1≥λ2≥…≥λr?λr+1≥…≥λN≥0。
變換后系統(tǒng)的平衡實現(xiàn)模型為：
系統(tǒng)模型平衡實現(xiàn)后，根據(jù)系統(tǒng)奇異值的大小對所得到的平衡模型進(jìn)行平衡截斷，保留奇異值相對較大的這部分系統(tǒng)，故選擇降階系統(tǒng)的階次為r，從而得到平衡截斷后的降階模型。
其中，Gr維數(shù)為r。
根據(jù)上述降階方法，得到VCA-FSM 系統(tǒng)平衡實現(xiàn)模型的奇異值如圖8 所示。
圖8 系統(tǒng)平衡實現(xiàn)模型的奇異值Fig.8 Singular value of system's balanced realization model
選擇降階模型的階次為4，得到降階模型的狀態(tài)空間實現(xiàn)為：
式（16）所示的降階模型（綠色實線）、式（10）所示的辨識模型（藍(lán)色實線）與真實系統(tǒng)（紅色實線）的頻率特性曲線對比如圖9 所示(彩圖見期刊電子版）。
圖9 降階前后模型與實際系統(tǒng)的頻率特性對比曲線Fig.9 Comparison curves of frequency characteristic of the model and the actual system before and after the reduction
根據(jù)圖9 可得：（1）基于脈沖響應(yīng)的Hankel矩陣系統(tǒng)辨識方法建立的系統(tǒng)模型能夠充分表征系統(tǒng)的幅頻特性與相頻特性；（2）基于平衡實現(xiàn)與平衡截斷模型降階方法得到的降階模型與未降階模型的頻率特性具有極高的相似性，可滿足高性能控制系統(tǒng)的設(shè)計需求；（3）系統(tǒng)存在強耦合特性，且系統(tǒng)在80 Hz 后出現(xiàn)了較大的不確定性，這對控制系統(tǒng)的設(shè)計帶來了很大挑戰(zhàn)，控制器必須具有一定的魯棒性，以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。
4 控制器設(shè)計
4.1 積分增廣滑模控制器設(shè)計
VCA-FSM 的DIDO 耦合模型是通過系統(tǒng)辨識與模型降階得到的，所得模型的狀態(tài)變量并無實際物理意義，因此無法直接通過控制狀態(tài)變量使系統(tǒng)實現(xiàn)對參考信號的跟蹤。為了實現(xiàn)跟蹤，根據(jù)內(nèi)模原理，引入積分環(huán)節(jié)，構(gòu)成積分增廣的系統(tǒng)，使增廣后的系統(tǒng)具有跟蹤性能。
根據(jù)系統(tǒng)降階模型的狀態(tài)空間實現(xiàn)（16），其對應(yīng)的狀態(tài)空間方程可寫為：
其中：Ar為n×n矩陣，Br為n×m矩陣，Cr為l×n矩陣。
要求系統(tǒng)輸出y（t）跟蹤參考信號yd（t），定義偏差信號為e（t），對偏差信號進(jìn)行積分，其數(shù)學(xué)描述為：
對式（18）求導(dǎo)可得：
由于積分器的引入使原系統(tǒng)升階，故可將積分器的輸出η選作附加的狀態(tài)變量，從而對原系統(tǒng)進(jìn)行增廣，得到積分增廣后的系統(tǒng)模型為：
積分增廣后，系統(tǒng)由原來的n維變?yōu)榱薾+l維，為了能夠采用滑?？刂疲夷軌颢@得穩(wěn)定的、動態(tài)性能滿意的系統(tǒng)，必須要求增廣后的系統(tǒng)能控。
已知rank[B AB A2B A3B A4B A5B]=6，由系統(tǒng)能控性秩判據(jù)可知，增廣系統(tǒng)能控，故可對積分增廣后的系統(tǒng)進(jìn)行滑?？刂破髟O(shè)計。
設(shè)計一個滑?？刂破髦饕▋蓚€部分：（1）設(shè)計切換函數(shù)s，保證其所確定的滑模運動漸進(jìn)穩(wěn)定，且具有良好的動態(tài)品質(zhì)；（2）設(shè)計控制律u，該控制必須滿足可達(dá)性條件，即使得系統(tǒng)的狀態(tài)運動點能夠在有限時間內(nèi)被驅(qū)動到切換面（s=0）上。
4.1.1 滑模切換函數(shù)設(shè)計
設(shè)切換函數(shù)為：
其中，M為l×（n+l）切換函數(shù)系數(shù)矩陣。則滑?？刂葡到y(tǒng)沿切換面進(jìn)行滑模運動時的滑模方程為：
已知rankB=m，故存在非奇異線性變換x=P-1，使增廣系統(tǒng)（20）轉(zhuǎn)換為如下簡約型［20］：
同時，其相應(yīng)的切換面變換為：
將式（25）代入式（23），可得：
式（26）與式（22）完全等價，從而滑?？刂葡到y(tǒng)可等價為如式（26）所示的降階方程。
由（A，B）能控，可得出必是能控的［16］。因此系統(tǒng)（26）的極點可由K任意配置。結(jié)合式（24），可得切換函數(shù)系數(shù)矩陣M為：
顯然，切換函數(shù)（21）的設(shè)計可以保證其所確定的滑模運動漸進(jìn)穩(wěn)定，且具有良好的動態(tài)品質(zhì)。
4.1.2 滑?？刂坡稍O(shè)計
為了保證滑模運動的存在，滑?？刂坡杀仨殱M足可達(dá)性條件：
為了滿足可達(dá)性條件并消除滑模抖振，本文采用改進(jìn)指數(shù)趨近律方法。傳統(tǒng)指數(shù)趨近律如下：
傳統(tǒng)指數(shù)趨近律雖能夠有效抑制滑模抖振，但卻無法將其消除，為消除抖振，本文采用連續(xù)函數(shù)sgmf(s)=替代符號函數(shù)sgn（s）。
改進(jìn)指數(shù)趨近律如下：
其中：ε＞0，k＞0，α＞0。ε，k，α是改進(jìn)指數(shù)趨近律的三個參數(shù)，可通過設(shè)置ε，k，α的取值，調(diào)整滑?？刂频内吔^程。
由改進(jìn)指數(shù)趨近律（30），可得出滿足可達(dá)性條件（28）的滑?？刂坡蓇：
求得滑模控制律u為：
穩(wěn)定性分析：滑?？刂葡到y(tǒng)存在著特殊的滑模運動。當(dāng)s=0 時，系統(tǒng)沿著切換面進(jìn)行滑模運動，只要適當(dāng)?shù)厝缡剑?7）設(shè)計M就能保證系統(tǒng)（22）的穩(wěn)定性；當(dāng)s≠0 時，設(shè)計李亞普諾夫函數(shù)V（x）=s2，因滑?？刂坡蓇始終保證式（28）成立，故(x)≤0。可見以上滑?？刂葡到y(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。
4.2 狀態(tài)觀測器設(shè)計
在積分增廣滑模控制器的設(shè)計中，滑模切換函數(shù)與控制律均由積分增廣系統(tǒng)的全維狀態(tài)變量構(gòu)造。對于積分增廣系統(tǒng)（20），狀態(tài)變量η為跟蹤誤差的積分，可測量；狀態(tài)變量xr是原系統(tǒng)的狀態(tài)變量，不具實際物理意義，無法測量。因此，為實現(xiàn)滑?？刂疲舍槍Ψe分增廣系統(tǒng)設(shè)計降維狀態(tài)觀測器，此時，觀測器僅針對原系統(tǒng)（17）進(jìn)行狀態(tài)估計。
狀態(tài)觀測器的形式如下：
其中，L為調(diào)節(jié)漸進(jìn)于xr的反饋增益矩陣。
利用觀測器理論，在狀態(tài)xr不可測的情況下，即不能構(gòu)造切換函數(shù)s=Mx時，根據(jù)估計出的狀態(tài)來代替xr，從而構(gòu)造出漸進(jìn)的切換函數(shù)：
根據(jù)分離原理［16］，基于極點配置的滑模控制器設(shè)計與狀態(tài)觀測器設(shè)計可以分開進(jìn)行，所以其相應(yīng)的滑?？刂坡煽勺?yōu)椋?/p>
因此，針對增廣系統(tǒng)（20），采用狀態(tài)觀測器（33）、切換函數(shù)（34）和控制律（35）的設(shè)計方案，可確?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)定性［20］，并可實現(xiàn)對參考信號的跟蹤。
雙軸VCA-FSM 滑模伺服控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖10 所示。
圖10 雙軸VCA-FSM 滑?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.10 Structure diagram of dual-axis VCA-FSM sliding mode control system
5 實驗驗證與分析
本部分基于VCA-FSM 數(shù)學(xué)模型設(shè)計控制系統(tǒng)，并開展了頻域與時域性能測試實驗［21］。為證明雙軸滑?？刂疲―ual-axis Sliding Mode Control，D-SMC）方法的有效性和先進(jìn)性，將其與單軸滑?？刂疲⊿ingle-axis Sliding Mode Control，SSMC）和PID 控制方法進(jìn)行對比。
特殊說明的是，本研究開展的是較大行程的控制實驗，若縮小偏轉(zhuǎn)角度范圍，可通過調(diào)整控制器參數(shù)，增加控制器增益，進(jìn)一步提高系統(tǒng)的控制性能。
5.1 實驗參數(shù)設(shè)定
根據(jù)閉環(huán)頻率特性和階躍響應(yīng)表現(xiàn)，經(jīng)過多次實驗調(diào)整，最終確定PID 控制器的參數(shù)為：Kx=Ky=0.06+
需要強調(diào)的是，具體參數(shù)選擇需要根據(jù)實際系統(tǒng)的特性和性能要求進(jìn)行調(diào)整。不同系統(tǒng)的參數(shù)需求可能有所不同，因此，在實際應(yīng)用中，需要通過實驗調(diào)整來確定最佳的參數(shù)值，以實現(xiàn)所需的控制性能。以上提到的參數(shù)值僅作為本次研究的一個示例。
5.2 伺服控制實驗
基于圖3 所示的VCA-FSM 伺服控制系統(tǒng)實驗平臺，對上述三種不同控制系統(tǒng)進(jìn)行了頻域和時域性能測試，并分別從閉環(huán)跟蹤帶寬、軸間耦合閉環(huán)頻率特性、擾動抑制帶寬、階躍響應(yīng)動態(tài)性能、軸間耦合運動特性及螺旋線跟蹤精度等方面全面評價了控制方法的控制性能。
5.2.1 頻域性能測試
（1）閉環(huán)頻率特性
X軸參考信號（θxd）為幅值0.15°、頻率0.1～1 000 Hz 的正弦 掃頻信 號，Y軸參考信號（θyd）為0，X-X軸 和X-Y軸頻率 特性曲 線如圖11（a）和圖11（b）所示；Y軸參考信號為幅值0.15°、頻率0.1～1000 Hz 的正弦 掃頻信 號，X軸參考 信號為0，Y-X軸和Y-Y軸頻率特性曲線如圖11（c）和圖11（d）所示，X軸和Y軸的閉環(huán)頻域性能表現(xiàn)幾乎一致。
從圖11（a）和圖11（d）可以看出，三種不同控制方法下系統(tǒng)的X軸閉環(huán)跟蹤帶寬（-3 dB）分別為141 Hz，94 Hz 和40 Hz；Y軸閉環(huán)跟蹤帶寬分別為140 Hz，93 Hz 和40 Hz，D-SMC 相比于SSMC 和PID 的閉環(huán)跟蹤帶寬分別提升了約50.3% 和251.3%，且D-SMC 方法下伺服系統(tǒng)的閉環(huán)跟蹤帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)不確定性出現(xiàn)的頻率（80 Hz），這表明D-SMC 方法具有很強的魯棒性。
從圖11（b）和圖11（c）可以看出，D-SMC 和SSMC 方法下系統(tǒng)的X-Y軸耦合和Y-X軸耦合的幅頻特性曲線均位于-20 dB 以下，系統(tǒng)的軸間耦合基本消除，通過控制實現(xiàn)了解耦，而PID 控制方法下系統(tǒng)X軸和Y軸間仍存在較大的耦合。
一般情況下，增加PID 控制器的增益可以提高控制帶寬。但是，根據(jù)頻率特性曲線，PID 控制系統(tǒng)存在一個較大的諧振峰值，約為10 dB@30 Hz。如果進(jìn)一步增加PID 控制器的增益，系統(tǒng)可能存在諧振峰值超過限制行程的安全隱患，且會導(dǎo)致時域性能變差，這是由系統(tǒng)本身特性決定的。綜上所述，表明本文中PID 控制器的參數(shù)設(shè)置是合理的。
（2）抗擾頻率特性
X軸 和Y軸參考 信號均 為0，X軸干擾信號（dx）為幅值0.015°、頻率0.1～1000 Hz 的正弦掃頻信號，Y軸干擾信號（dy）為0，dx-ex幅頻特性曲線如圖12（a）所示；Y軸干擾信號為幅值0.015°、頻率0.1～1000 Hz 的正弦掃頻信號，X軸干擾信號為0，dy-ey幅頻特性曲線如圖12（b）所示，X軸和Y軸的抗擾性能表現(xiàn)幾乎一致。
圖12 抗擾幅頻特性曲線Fig.12 Anti-disturbance amplitude-frequency characteristic curve
從圖12 可以看出，三種不同控制方法下系統(tǒng)的X軸擾動抑制帶寬（0 dB）分別為142 Hz，109 Hz 和26 Hz；Y軸擾動 抑制帶 寬分別 為145 Hz，112 Hz 和26 Hz，D-SMC 相比于S-SMC 和PID的擾動抑制帶寬分別提升了約39.9% 和451.9%。
5.2.2 時域性能測試
（1）階躍信號響應(yīng)
分別給X軸和Y軸在不同時刻參考幅值為0.3°的階躍信號，三種不同控制方法下系統(tǒng)的X軸和Y軸的階躍響應(yīng)曲線如圖13 所示，X軸和Y軸的時域階躍性能表現(xiàn)幾乎一致。
圖13 閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線Fig.13 Closed-loop step response curve
以±5%誤差帶為標(biāo)準(zhǔn)，三種不同控制方法下系統(tǒng)的X軸調(diào)節(jié)時間分別為3.9 ms，5.6 ms 和172.6 ms；Y軸調(diào) 節(jié)時間分別為3.9 ms，5.5 ms和173.2 ms，D-SMC 相比于S-SMC 和PID 的調(diào)節(jié)時間分別縮短了約29.7% 和97.7%。且DSMC 和S-SMC 方法下系統(tǒng)的X軸和Y軸間的運動基本互不影響，運動耦合特性得到大幅改善，而PID 控制方法下系統(tǒng)的X軸和Y軸間的運動互相影響很大，仍存在較大耦合。
（2）螺旋線信號跟蹤
螺旋線信號方程為：
其中：r為極坐標(biāo)半徑，θ為極坐標(biāo)角度。a=π×0.3°，b=360°×5，t為0～1 s 變化的時間參數(shù)。跟蹤螺旋線信號實驗結(jié)果如圖14 所示。
圖14 螺旋線信號跟蹤結(jié)果Fig.14 Result of spiral signal tracking
定義平 均絕對誤差（Mean Absolute Error，MAE）：
三種不同控制方法下系統(tǒng)的MAE 分別為0.000 46°（1.7″），0.000 93°（3.3″）和0.021°（75.6″），D-SMC 相比于S-SMC 和PID 的跟蹤精度（MAE）分別提高了約48.5%和97.8%。
5.3 小結(jié)
根據(jù)上述實驗，D-SMC、S-SMC 和PID 控制下，控制系統(tǒng)頻域與時域關(guān)鍵性能指標(biāo)匯總?cè)绫? 所示。
表1 VCA-FSM 伺服控制系統(tǒng)頻域、時域性能Tab.1 Time domain &frequency domain performance of VCA-FSM servo control system
實驗結(jié)果表明，本文提出的D-SMC 方法相較于S-SMC 和PID 方法，在閉環(huán)帶寬、抗擾性、動態(tài)響應(yīng)和控制精度等方面都取得了顯著提升，充分證明了D-SMC 方法的先進(jìn)性和優(yōu)越性。
6 結(jié)論
本文圍繞對存在強耦合特性雙軸VCAFSM 的高性能控制問題開展了研究工作，提出了基于系統(tǒng)辨識與模型降階的積分增廣滑?？刂品椒?。首先介紹了VCA-FSM 與伺服控制系統(tǒng)實驗平臺工作原理，然后通過系統(tǒng)辨識與模型降階建立了雙軸VCA-FSM 的精確耦合模型，最后設(shè)計了雙軸積分增廣滑模控制器，并通過伺服實驗對其進(jìn)行了性能測試。
實驗結(jié)果表明，本文提出的雙軸VCA-FSM滑模控制方法有效地消除了X軸和Y軸控制回路間的耦合現(xiàn)象，且控制效果明顯優(yōu)于不考慮耦合的單軸滑模和PID 控制方法，其對系統(tǒng)的不確定性和擾動的魯棒性更強，可以保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制精度。D-SMC 控制下，系統(tǒng)頻域與時域的各項性能均得到了大幅度的提高，其中，閉環(huán)跟蹤帶寬達(dá)到140 Hz，擾動抑制帶寬可達(dá)到142 Hz，階躍響應(yīng)調(diào)節(jié)時間達(dá)到3.9 ms，螺旋線軌跡跟蹤精度達(dá)到1.7″。研究證明了D-SMC 方法的有效性和先進(jìn)性。
本文所提控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)對VCA-FSM這類具有強耦合特性被控對象的高性能控制，為提高VCA-FSM 的控制性能提供了一種有效手段，對實際的工程應(yīng)用具有一定指導(dǎo)作用。
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