彭珍瑞，史鵬程

(蘭州交通大學(xué) 機電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

近年來隨著我國綜合國力的提高,建造了大量鐵路橋梁、隧道等大型土木工程。對于這些大型土木工程結(jié)構(gòu)進(jìn)行實時的健康監(jiān)測是很有必要的,但是這類土木結(jié)構(gòu)的服役時間遠(yuǎn)長于對其進(jìn)行監(jiān)測的傳感器壽命,若部分傳感器老化失效,則對應(yīng)的響應(yīng)信息則會丟失。同時,傳感器布置的位置和數(shù)量往往受到經(jīng)濟原因、傳感器安裝條件等方面的限制,監(jiān)測結(jié)構(gòu)所有節(jié)點上的響應(yīng)是較為困難的。因此,研究一種使用少量響應(yīng)來重構(gòu)所需響應(yīng)及激勵的響應(yīng)重構(gòu)技術(shù)就顯得十分重要[1-4]。

當(dāng)前的響應(yīng)重構(gòu)方法有以下三類:第一類通過傳遞率進(jìn)行重構(gòu)[5-7],此方法通過建立未知響應(yīng)和已知響應(yīng)的傳遞關(guān)系來重構(gòu)未知響應(yīng),這需以精準(zhǔn)的有限元模型為基礎(chǔ),且無法消除傳感器測量噪聲對計算結(jié)果的影響。第二類為基于大數(shù)據(jù)分析的結(jié)構(gòu)響應(yīng)重構(gòu)方法[8-9],此方法使用深度學(xué)習(xí)、寬度學(xué)習(xí)等機器學(xué)習(xí)方法,分析學(xué)習(xí)已有監(jiān)測數(shù)據(jù)與所需重構(gòu)數(shù)據(jù)之間的隱性關(guān)系,實現(xiàn)對未知信號的重構(gòu)。但此類方法需要大量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、學(xué)習(xí),且目前的研究仍處于起步階段。第三類以狀態(tài)空間模型為基礎(chǔ),使用卡爾曼濾波類(Kalman filter,KF)算法進(jìn)行重構(gòu)。張笑華等[10]率先使用KF算法進(jìn)行響應(yīng)重構(gòu)和傳感器優(yōu)化布置。Xu等[11]以懸索橋為試驗對象,使用此方法完成了多類型響應(yīng)信息的重構(gòu)。Hu等[12]采用KF算法對一高層建筑的各類響應(yīng)進(jìn)行重構(gòu),并將重構(gòu)后的數(shù)據(jù)用于地震前后結(jié)構(gòu)性能評估和安全預(yù)警。Zhang等[13]將大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)分為若干個子結(jié)構(gòu)后基于KF算法進(jìn)行結(jié)構(gòu)響應(yīng)重構(gòu),并將重構(gòu)的響應(yīng)應(yīng)用于結(jié)構(gòu)損傷識別。

上述方法都需要事先測得結(jié)構(gòu)外部激勵,但在工程實際中結(jié)構(gòu)外部激勵信息往往較難獲得。在結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析、模型修正以及健康監(jiān)測等領(lǐng)域,外部激勵信息尤為重要。因此,若能在外部激勵未知的情況下,實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)外部激勵和各處響應(yīng)的重構(gòu)將具有非常重要的意義。Liu等[14]基于狀態(tài)空間模型推導(dǎo)了外部激勵與結(jié)構(gòu)響應(yīng)的傳遞矩陣,并結(jié)合正則化方法優(yōu)化傳遞矩陣,用于重構(gòu)外部激勵和結(jié)構(gòu)響應(yīng)。董康立等[15]基于類卡爾曼濾波算法實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)外部激勵和響應(yīng)進(jìn)行重構(gòu)。

此外,由于工程測量中的噪聲大部分是有色噪聲而非白噪聲,而使用KF算法必須滿足噪聲為白噪聲,若忽略此差異則定會影響重構(gòu)結(jié)果。粒子濾波算法是繼KF類算法后發(fā)展的一種可處理有色噪聲的濾波算法,近期不少學(xué)者成功將智能優(yōu)化算法和粒子濾波算法相結(jié)合,以改善粒子貧化現(xiàn)象[16-17]。

因此,針對上述問題,本文從外部激勵計算結(jié)合多類型響應(yīng)重構(gòu)的角度出發(fā),首先基于狀態(tài)空間模型推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)外部激勵計算公式。然后,將外部激勵和結(jié)構(gòu)模態(tài)坐標(biāo)組合成新的狀態(tài)向量,構(gòu)建增秩狀態(tài)空間模型,并引入改進(jìn)的粒子濾波算法,處理測量數(shù)據(jù)中的有色噪聲,完成使用部分測量加速度響應(yīng)對結(jié)構(gòu)其余位置速度、加速度響應(yīng)的重構(gòu)和外部激勵的計算。最后對鋼軌和外伸梁分別進(jìn)行數(shù)值模擬和試驗分析,驗證本文方法的有效性。

1 狀態(tài)空間模型及外部激勵計算

1.1 二階運動方程的狀態(tài)空間模型

結(jié)構(gòu)的二階運動方程在模態(tài)空間中可表示為

(1)

由以上二階運動方程建立狀態(tài)空間模型,即

xk+1=Axk+Buk

(2)

yk=Cxk+Duk

(3)

式中:xk、yk、uk分別為離散后的狀態(tài)向量,觀測向量以及外部激勵向量;A和B分別為狀態(tài)矩陣和輸入矩陣;C和D分別為輸出矩陣和直接傳輸矩陣。若觀測量為結(jié)構(gòu)各節(jié)點的加速度,則式(2)和式(3)中的各項具體表示為

(4)

(5)

(6)

(7)

D=ΦΦTL

(8)

1.2 狀態(tài)空間模型下的激勵計算

由狀態(tài)空間模型可推導(dǎo)出各時刻的結(jié)構(gòu)的外部激勵向量uk。

由式(2)可得

xk=Axk-1+Buk-1

(9)

將式(9)代入式(3)可得

yk=C(Axk-1+Buk-1)+Duk

(10)

由式(10)可建立觀測量yk與外部激勵向量uk的關(guān)系為

uk=(DTD)-1DT(yk-C[Axk-1+Buk-1])

(11)

通過式(11)可由結(jié)構(gòu)各處測得的各類響應(yīng)計算出結(jié)構(gòu)外部激勵,但由于工程測量中往往存在一定的噪聲影響,直接用式(11)計算得出的結(jié)果必然與實際存在一定的差距。為了減小測量噪聲帶來的影響,將建立結(jié)構(gòu)狀態(tài)向量xk與外部激勵向量uk的聯(lián)合增秩狀態(tài)向量,并進(jìn)行濾波處理。

1.3 增秩狀態(tài)空間模型

由式(11)計算外部激勵向量后,外部激勵向量在k時刻至k+1時刻的增量Δuk為

Δuk=uk+1-uk

(12)

Xk+1=AaXk+BaΔuk+wk

(13)

Yk=CaXk+vk

(14)

式中:wk和vk分別為系統(tǒng)噪聲和測量噪聲;若重構(gòu)響應(yīng)為速度和加速度響應(yīng),則其余各項具體表示為

(15)

(16)

(17)

(18)

2 結(jié)合螢火蟲算法的粒子濾波算法

2.1 粒子濾波算法

由于測量噪聲的影響,若直接使用上述方法進(jìn)行未知響應(yīng)和外部激勵的計算,其結(jié)果必然不準(zhǔn)確。且實際工程中的噪聲多為有色噪聲,因此引入改進(jìn)的粒子濾波算法,以減小有色噪聲對重構(gòu)的響應(yīng)和激勵精度的影響。

基于第1節(jié)內(nèi)容,系統(tǒng)狀態(tài)空間模型可表示為

Xk=f(Xk-1,vk-1)

(19)

Yk=h(Xk,wk)

(20)

式中:Xk為狀態(tài)向量;vk-1為系統(tǒng)噪聲;Yk為觀測向量;wk為測量噪聲。

在傳統(tǒng)的粒子濾波中,隨著粒子集的不斷迭代,會造成粒子退化,導(dǎo)致大量的算力浪費在極小權(quán)值粒子上。對此,Gordon等[18]提出重采樣理論,但是重采樣會降低粒子的多樣性,從而引起粒子貧化。

2.2 螢火蟲算法

螢火蟲算法借用螢火蟲個體移動的仿生思想實現(xiàn)尋優(yōu)。螢光亮度IF為

IF=I0e-γd

(21)

式中:I0為初始亮度;γ為吸收系數(shù);d為個體之間的距離。

個體之間的吸引度β為

β=β0e-γd2

(22)

式中:β0為初始吸引度。

位置變化表示為

(23)

式中:Xi和Xj分別為兩個體i和j的位置,i和j分別為兩個粒子;α為步長因子;E為n×1的全一矩陣;rand為隨機數(shù)。

2.3 結(jié)合螢火蟲算法的粒子濾波

傳統(tǒng)算法為了避免算法陷入局部最優(yōu),在式(23)中添加了隨機項,但式(13)中各行非同一個數(shù)量級,不可按原方法直接運算,改進(jìn)運動更新,即

(24)

(25)

2.4 算法步驟

(26)

式中:q為粒子的重要性分布。

Step2將螢火蟲算法中的螢火蟲個體看作粒子濾波中的粒子,根據(jù)式(22)及式(24)計算粒子i的吸引度并指導(dǎo)其進(jìn)行移動。

Step3根據(jù)式(25)的熒光度值更新最優(yōu)粒子。

Step4當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到預(yù)設(shè)值則停止迭代(本文中為15次)。

Step5計算并歸一化粒子權(quán)重,計算狀態(tài)向量并求得所需響應(yīng)。

2.5 算法總結(jié)

引入結(jié)合螢火蟲算法的粒子濾波算法處理測量響應(yīng)中的有色噪聲,優(yōu)化粒子貧化問題,并對結(jié)合螢火蟲算法的粒子濾波[18]進(jìn)行適用性改進(jìn)。結(jié)合1.3節(jié)中建立的增秩狀態(tài)空間模型,可以在結(jié)構(gòu)外部激勵未知的情況下對結(jié)構(gòu)進(jìn)行響應(yīng)重構(gòu)并對外部激勵進(jìn)行計算,即通過部分測量加速度響應(yīng)計算結(jié)構(gòu)其余位置的未知速度、加速度響應(yīng)和外部激勵。

3 數(shù)值模擬

采用一根60 kg/m的鋼軌模擬整個響應(yīng)重構(gòu)過程,該鋼軌長度為600 mm,彈性模量、密度和泊松比分別為200 GPa、7 850 kg/m3和0.3,在鋼軌兩端的底部兩側(cè)施加約束,模擬扣件對鋼軌的固定。進(jìn)行響應(yīng)重構(gòu)時,以前5階模態(tài)振型為目標(biāo)模態(tài),對應(yīng)的固有頻率分別為286.94、637.38、1 071.71、1 117.31、1 644.42 Hz。如圖1所示,鋼軌從左到右劃分為20個單元,從左到右節(jié)點編號分別為1～21,其中1和21節(jié)點受到約束。在鋼軌上端的第16節(jié)點施加垂向錘擊激勵,現(xiàn)通過測量鋼軌上端的7節(jié)點、19節(jié)點的垂向加速度響應(yīng)來重構(gòu)10節(jié)點和16節(jié)點的垂向速度和加速度響應(yīng),并計算外部激勵。為了模擬正常工作的傳感器的測量響應(yīng),在測量響應(yīng)中加入3%的有色噪聲,有色噪聲的功率譜見圖2。提取所需重構(gòu)點的測量響應(yīng)與重構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行對比,見圖3。

圖1 測點布置

圖2 有色噪聲功率譜

圖3 重構(gòu)信息與測量信息對比

由圖3可知,所提方法在3%的有色噪聲下,能夠?qū)Y(jié)構(gòu)的未知響應(yīng)進(jìn)行有效重構(gòu),并能計算出結(jié)構(gòu)外部激勵。同時,粒子質(zhì)量可以通過粒子的權(quán)重間接反映。某一時刻的粒子權(quán)重見圖4,由圖4可知,權(quán)重分布良好,沒有發(fā)生粒子退化或粒子貧化現(xiàn)象。

圖4 粒子權(quán)重

為探究此方法在不同等級的噪聲條件下的重構(gòu)效果,分別在測量響應(yīng)中加入6%和10%的噪聲,使用相對百分比誤差eRPE來衡量重構(gòu)精度,具體公式為

(27)

式中:std為標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù);Ye為由式(18)重構(gòu)得出的響應(yīng);Yr為提取的真實響應(yīng)。

計算得到的相對百分比誤差見表1。由表1可知,在不同等級的噪聲下,重構(gòu)出的各點響應(yīng)以及激勵的精度隨著噪聲的增強,精度逐步降低。重構(gòu)的響應(yīng)和外部激勵在各等級噪聲的影響下,相對百分比誤差均低于5%。綜上分析,所提方法在不同的噪聲條件下能對結(jié)構(gòu)各點未知響應(yīng)進(jìn)行有效重構(gòu),并能計算出結(jié)構(gòu)外部激勵。測量噪聲對重構(gòu)精度有一定的影響,但總體精度仍保持較好水平。

表1 相對百分比誤差 %

為了探究在不同形式的外部激勵下此方法的穩(wěn)定性,將施加激勵由錘擊激勵變?yōu)檎壹?得

us=20sin(5πt)+50sin(15πt)+20sin(60πt)

(28)

激勵施加位置仍然為16節(jié)點,方向為垂直向下。所加噪聲仍為3%的有色噪聲,測量響應(yīng)為7節(jié)點、19節(jié)點的垂向加速度響應(yīng),所需重構(gòu)響應(yīng)為10節(jié)點和16節(jié)點的垂向速度和加速度響應(yīng)。重構(gòu)效果見圖5。

圖5 正弦激勵下重構(gòu)信息與測量信息對比

由圖5可知:在正弦激勵下,結(jié)構(gòu)響應(yīng)以及外部激勵仍然能被有效地重構(gòu),10節(jié)點垂向速度、16節(jié)點垂向速度的RPE分別為2.99%、2.97%;10節(jié)點垂向加速度、16節(jié)點垂向加速度的RPE分別為3.70%、3.99%;外部激勵重構(gòu)的RPE為4.14%。不同的激勵下的重構(gòu)精度略有改變,但總體精度仍然保持良好,驗證了此方法適用于不同類型的外部激勵。

4 試驗驗證

為進(jìn)一步驗證所提方法在實際工程中的實用性,使用一根外伸梁作為試驗對象,見圖6。外伸梁尺寸為2 000 mm×100 mm×10 mm,外伸梁分為20個單元,21個節(jié)點,在第2和20節(jié)點施加約束。取前4階模態(tài)振型進(jìn)行響應(yīng)重構(gòu),頻率分別為11.53、35.42、69.70、118.99 Hz。如圖7所示,在節(jié)點9的垂向施加錘擊激勵,在第8、11、14節(jié)點布置3個加速度傳感器采集加速度響應(yīng),用于重構(gòu)信號和外部激勵的計算,同時在第5和17節(jié)點布置兩個加速度傳感器測量振動信號與重構(gòu)值做對比。試驗所采用的加速度傳感器型號為ICP型的INV9821;網(wǎng)絡(luò)分布式采集儀為北京東方振動和噪聲技術(shù)研究所的INV3062-C2。

圖6 外伸梁試驗

圖7 測點布置

重構(gòu)響應(yīng)與測量響應(yīng)的對比見圖8。由圖8可知,重構(gòu)響應(yīng)與傳感器測量響應(yīng)吻合良好。5節(jié)點垂向加速度、17節(jié)點垂向加速度重構(gòu)的RPE分別為18.19%、14.52%;5節(jié)點垂向速度、17節(jié)點垂向速度重構(gòu)的RPE分別為16.34%、12.94%;外部激勵重構(gòu)的RPE為27.20%。由于所對比數(shù)據(jù)為傳感器實測所得,存在一定的測量噪聲,與實際響應(yīng)稍有差距,試驗中計算所得RPE與仿真算例相比必然有所增加。

圖8 重構(gòu)信息與測量信息對比

綜上所述,試驗驗證了所提方法能在使用少量加速度傳感器所測得的結(jié)構(gòu)振動加速度響應(yīng),實現(xiàn)對于結(jié)構(gòu)其余未測量位置的速度和加速度響應(yīng)的重構(gòu),并可以有效計算結(jié)構(gòu)外部激勵。

5 結(jié)論

本文研究了使用少量包含有色噪聲的加速度響應(yīng),對結(jié)構(gòu)其余各點的速度、加速度以及外部激勵進(jìn)行重構(gòu)的方法,并分別進(jìn)行了數(shù)值模擬和試驗驗證。結(jié)論如下:

1)提出的基于狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)外部激勵計算與響應(yīng)重構(gòu)方法可在僅使用少量加速度響應(yīng)的情況下對于結(jié)構(gòu)其余位置的速度、加速度響應(yīng)以及結(jié)構(gòu)外部激勵進(jìn)行有效重構(gòu)。

2)激勵類型的改變以及噪聲等級的變化未對重構(gòu)的響應(yīng)以及外部激勵的精度造成較大影響,此方法可以適用于不同類型的激勵,也具有一定的抗噪性。

3)外伸梁試驗表明,該方法能夠?qū)崿F(xiàn)基于有限傳感器的測量信息對結(jié)構(gòu)其余各處響應(yīng)及外部激勵的重構(gòu),可以為后續(xù)的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測、損傷識別等提供更完備的響應(yīng)數(shù)據(jù)。