張 瑜,陳曉平

1.虎山中學(xué)，廣東 梅州 514200

2.石門高級(jí)中學(xué)，廣東 佛山 528225

多普勒效應(yīng)是指當(dāng)聲源與觀察者之間存在相對(duì)速度時(shí)，接收頻率與源頻率比會(huì)發(fā)生改變，也稱為頻移。多普勒效應(yīng)在日常生活中的應(yīng)用非常廣泛，包括道路測(cè)速、醫(yī)學(xué)彩超、天體觀察等方面。不少學(xué)者對(duì)于多普勒效應(yīng)的應(yīng)用進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，包括利用多普勒效應(yīng)測(cè)量聲速、重力加速度、滑動(dòng)摩擦力與相對(duì)速度的關(guān)系以及驗(yàn)證牛頓第二定律［1－4］等。這些學(xué)者在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究時(shí)，都是從接收頻率與速度的關(guān)系或者接收頻率與時(shí)間的關(guān)系對(duì)聲速、重力加速度、滑動(dòng)摩擦力進(jìn)行測(cè)量。隨著科技的進(jìn)步和智能手機(jī)的普及，傳感器越來越廣泛地被應(yīng)用到物理實(shí)驗(yàn)中。

本文經(jīng)過理論分析提出一種新的實(shí)驗(yàn)方法，結(jié)合Spaichinger Schallanalysator 軟件，從頻移隨時(shí)間的變化出發(fā)，測(cè)量物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度和滑動(dòng)摩擦系數(shù)。

1 一維聲學(xué)多普勒效應(yīng)的簡(jiǎn)介

多普勒效應(yīng)中頻率發(fā)生變化是由于有效波速或波長(zhǎng)發(fā)生了變化。當(dāng)波源以速度vs靠近或遠(yuǎn)離靜止的觀察者時(shí)，由于觀察者與介質(zhì)相對(duì)靜止，波在介質(zhì)中傳播的速度就是波相對(duì)于觀察者的速度v［5］，即有效波速不變，而有效波長(zhǎng)為λ＇＝λ?vsT，于是觀察者聽到的頻率為：

2 實(shí)驗(yàn)方案設(shè)計(jì)

2.1 實(shí)驗(yàn)儀器介紹

小車，軌道，一部智能手機(jī)，藍(lán)牙音箱，iPad，麥克風(fēng)，攝像機(jī)，實(shí)驗(yàn)室溫度計(jì)，數(shù)字水平儀。

2.2 實(shí)驗(yàn)軟件介紹

頻率發(fā)生器，Spaichinger Schallanalysator，Tracker，Origin，Excel。

2．2．1 頻率發(fā)生器軟件

頻率發(fā)生器是一款可以發(fā)出特定頻率聲波的軟件，其輸出的頻率范圍為1 Hz～22 000 Hz，包括次聲波、人耳聽覺范圍的聲波以及超聲波。頻率發(fā)生器可以發(fā)出特定頻率的聲波，經(jīng)常被應(yīng)用于聲學(xué)實(shí)驗(yàn)，其中包括頻率是音調(diào)的主要影響因素演示實(shí)驗(yàn)、共振實(shí)驗(yàn)、聲學(xué)多普勒效應(yīng)實(shí)驗(yàn)等。

頻率發(fā)生器的操作界面如圖1 所示，界面簡(jiǎn)潔，在使用的時(shí)候只要輸入目標(biāo)頻率再點(diǎn)擊“開始”按鈕，就可以得到特定頻率的聲波，簡(jiǎn)單便捷。

圖1 頻率發(fā)生器使用界面

2．2．2 Spaichinger Schallanalysator 軟件

Spaichinger Schallanalysator 是Markus Ziegler為物理聲學(xué)實(shí)驗(yàn)專門設(shè)計(jì)開發(fā)的免費(fèi)軟件，在iOS 系統(tǒng)可以免費(fèi)下載使用。

用戶打開該軟件后，點(diǎn)擊“star”，可自主選擇0.186 s（點(diǎn)擊“Messung schnell”）或0.930 s（點(diǎn)擊“Messung langsam”）的采樣率（圖2），軟件會(huì)根據(jù)采樣率實(shí)時(shí)測(cè)量聲壓級(jí)、聲壓和頻率。以測(cè)量聲音的頻率為例，在測(cè)量的過程中屏幕會(huì)實(shí)時(shí)顯示聲音的頻率（圖3），測(cè)量結(jié)束后，點(diǎn)擊“stop”鍵，進(jìn)入操作界面，點(diǎn)擊“Schallpegelwerte senden”鍵（圖4），可以輸出CSV 文件（圖5）。

圖2 采樣率選擇使用界面

圖3 頻率顯示界面

圖4 輸出CSV 文件使用界面

圖5 CSV 文件部分?jǐn)?shù)據(jù)圖

2．2．3 Tracker 軟件

Tracker 軟件可以對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的片段視頻逐幀進(jìn)行分析，追蹤物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，并輸出其在每個(gè)時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)信息，圖6 為其軟件界面。

圖6 Tracker 軟件使用界面

Tracker 軟件有以下兩大優(yōu)勢(shì)：①設(shè)置方式人性化且精確：根據(jù)實(shí)際尺度設(shè)置比例標(biāo)度；可自由設(shè)置原點(diǎn)的位置；可根據(jù)需要對(duì)坐標(biāo)系、定標(biāo)尺以及定標(biāo)桿的方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。②Tracker 軟件還提供了強(qiáng)大的數(shù)據(jù)采集和動(dòng)態(tài)分析功能：可手動(dòng)或自動(dòng)跟蹤目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡；可定量分析質(zhì)點(diǎn)在特定時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)位移、運(yùn)動(dòng)速度、運(yùn)動(dòng)加速度等，輸出所需要的數(shù)據(jù)表格或圖像［6］。

2.3 實(shí)驗(yàn)原理

當(dāng)小車在傾斜角為θ 的斜面軌道上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其受力分析如圖7 所示。將重力沿著平行斜面和垂直斜面的方向進(jìn)行分解：

圖7 小車在斜面軌道上的受力分析圖

Gx=mgsinθ

Gy=mgcosθ

f=μmgcosθ

小車在斜面上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度為：

根據(jù)一維聲波多普勒效應(yīng)

令X0=0，展開到一階：

小車在做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的過程中，繪制頻率的變化量Δf（t）曲線，該曲線的斜率k1與加速度a 的關(guān)系

由此可以得到加速度的實(shí)驗(yàn)值。繪制（2）式的圖像，該圖像的斜率k2就是滑動(dòng)摩擦系數(shù)的理論值。

2.4 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

（1）將小車的運(yùn)動(dòng)視頻導(dǎo)入Tracker 軟件，分析小車的位移和速度隨時(shí)間的變化情況，得到小車運(yùn)動(dòng)加速度的實(shí)際值。

（2）當(dāng)傾斜角度不同時(shí)，測(cè)量當(dāng)聲源分別發(fā)出13 000 Hz 聲波時(shí)靠近靜止觀察者時(shí)頻移隨時(shí)間的變化，繪制Δf-t 圖像并進(jìn)行擬合，通過斜率k1計(jì)算加速度，并與實(shí)際值進(jìn)行比較。

（3）繪制（2）式的圖像并進(jìn)行擬合，通過斜率k2計(jì)算滑動(dòng)摩擦系數(shù)。

2.5 實(shí)驗(yàn)步驟

（1）如圖8 和圖9 所示，將藍(lán)牙音箱固定在小車上，調(diào)節(jié)軌道呈合適的傾斜角，使小車在軌道上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，利用數(shù)字水平儀測(cè)量軌道的傾斜角θ。

圖8 聲源勻加速靠近觀察者實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

圖9 聲源勻加速靠近觀察者實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物圖

（2）在軌道底端放置與藍(lán)牙音箱正對(duì)的麥克風(fēng)，麥克風(fēng)與運(yùn)行Spaichinger Schallanalysator 軟件的iPad 連接，作為觀察者。

（3）調(diào)節(jié)好攝像機(jī)高度，方便攝像機(jī)把小車整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程都錄下來，打開攝像機(jī)，使之呈錄制狀態(tài)。

（4）打開手機(jī)上的頻率發(fā)生器軟件，將小車與音箱通過藍(lán)牙連接，讓音箱發(fā)出13 000 Hz 的聲波。

（5）通過實(shí)驗(yàn)室溫度計(jì)記錄室內(nèi)溫度。

（6）讓小車從軌道頂端由靜止開始向軌道底端運(yùn)動(dòng)，釋放小車的同時(shí)打開iPad 的Spaichinger Schallanalysator 軟件開始測(cè)量聲音頻率。當(dāng)小車運(yùn)動(dòng)到軌道底端的同時(shí)，關(guān)閉Spaichinger Schallanalysator 軟件，停止測(cè)量，關(guān)閉攝像機(jī)，停止錄制。

（7）改變軌道的傾斜角θ。

（8）重復(fù)（1）—（6）步驟。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析

將視頻導(dǎo)入Tracker 軟件，得到小車在4 個(gè)不同傾斜角上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)位移隨時(shí)間變化的擬合曲線以及加速度實(shí)際值：

s1=0.033 6t2-0.061 5t+0.098 7（傾角θ=2.30°）

s2=0.102 7t2+0.053 6t+0.069 2（傾角θ=3.46°）

s3=0.228 5t2+0.005 2t+0.105 1（傾角θ=4.60°）

s4=0.352 0t2+0.026 8t+0.106 8（傾角θ=6.00°）

a1=0.067 2 m/s2（傾角θ=2.30°）

a2=0.205 4 m/s2（傾角θ=3.46°）

a3=0.457 0 m/s2（傾角θ=4.60°）

a4=0.704 0 m/s2（傾角θ=6.00°）

圖10 所示為小車在不同傾斜角軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)頻移隨時(shí)間變化圖像和擬合圖像。當(dāng)傾斜角分別為2.30°，3.46°，4.60°，6.00°時(shí)，頻率隨時(shí)間擬合圖像的斜率依次為：2.615 7，7.916 0，16.993 1，26.286 5。軌道的傾斜角越大，小車運(yùn)動(dòng)的加速度越大；速度隨時(shí)間的變化越大，頻移隨時(shí)間的變化量也越大。這與理論一致。

圖10 聲源在不同傾斜角的軌道靠近觀察者時(shí)頻移隨時(shí)間變化圖像及擬合圖像

實(shí)驗(yàn)在溫度為21 ℃時(shí)進(jìn)行，聲波在空氣中的傳播速度為

當(dāng)θ=3.46°時(shí)，將頻率隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)導(dǎo)出，并計(jì)算出每個(gè)時(shí)刻頻率的變化量，如表1 所示。將頻移隨時(shí)間變化曲線的斜率代入（4）式，得到小車在4 個(gè)軌道傾斜角上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)值，并與理論值進(jìn)行比較，如表2 所示。

表1 θ=3.46°時(shí)接收頻率隨時(shí)間的變化數(shù)據(jù)表

表2 加速度實(shí)驗(yàn)值與理論值比較分析表

從表中可以得到，利用一維聲學(xué)多普勒效應(yīng)可以測(cè)量小車運(yùn)動(dòng)的加速度，誤差不超過±3.4 %，且當(dāng)傾斜角度越大，小車加速度越大，誤差越小。這是因?yàn)楫?dāng)小車運(yùn)動(dòng)速度越大，頻移越大，頻率的測(cè)量值更準(zhǔn)確。

將加速度實(shí)驗(yàn)值代入（2）式，得到表3。將以上數(shù)據(jù)繪制圖像并進(jìn)行擬合，如圖11 所示，該直線是k2<0 的一次函數(shù)，與（2）式一致。該擬合直線的表達(dá)式為

表3 -cotθ 數(shù)據(jù)表

表3 -cotθ 數(shù)據(jù)表

傾斜角（θ/°）a gsinθ?cotθ 2.300.1724.90 3.460.3616.59 4.600.5812.43 6.000.699.52

圖11 -cotθ 圖像及擬合圖像

y=-0.034 5x+0.992 4

R2=0.969 2

根據(jù)理論，該擬合直線的斜率為小車在軌道上的滑動(dòng)摩擦系數(shù)：μ=0.034 5。

4 誤差分析

實(shí)驗(yàn)的誤差主要來自以下幾個(gè)方面：

（1）環(huán)境的噪音對(duì)觀測(cè)頻率產(chǎn)生影響，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)值在理論值附近波動(dòng)。

（2）一維多普勒效應(yīng)要求波源與觀察者的連線以及二者速度矢量在同一直線上［5］，但是實(shí)驗(yàn)中聲源與觀察者有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，音箱的揚(yáng)聲器與麥克風(fēng)難以絕對(duì)做到在同一直線上。

（3）根據(jù)理論，實(shí)驗(yàn)要求聲源做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。在實(shí)際實(shí)驗(yàn)時(shí)，小車有微小的初速度，帶來誤差。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文采用了攝像機(jī)對(duì)小車在軌道上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行錄像，運(yùn)用了Tracker 軟件對(duì)錄制的視頻進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，在Origin 軟件中對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，利用Spaichinger Schallanalysator 軟件導(dǎo)出頻率隨時(shí)間的變化，繪制頻移隨時(shí)間變化的圖像，結(jié)合圖像的斜率信息，測(cè)量了小車在軌道上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度和滑動(dòng)摩擦系數(shù)。