摘 要：多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法因其強(qiáng)大的搜索能力和簡(jiǎn)單的實(shí)現(xiàn)方式受到廣泛關(guān)注，然而它在收斂性和多樣性之間常常存在不平衡的問題。為了解決這一問題，作者提出了一種雙子群自適應(yīng)變異多目標(biāo)粒子群算法（BAMOPSO），旨在更好地平衡收斂性和多樣性。首先，采用一種新穎的雙子群初始化方法，使粒子在目標(biāo)空間中分布更均勻，從而提高算法的多樣性。其次，設(shè)計(jì)了一種新的自適應(yīng)變異策略，依據(jù)進(jìn)化過程中目標(biāo)函數(shù)值的變化來提升收斂性。最后，通過將BAMOPSO算法與六個(gè)經(jīng)典多目標(biāo)優(yōu)化算法在十五個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行比較實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了該算法在平衡收斂性和多樣性方面的顯著提升。

關(guān)鍵詞：多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法；雙子群；自適應(yīng)變異；

中圖分類號(hào)：TP18" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1009-3583（2024）-0086-08

Binary Group Adaptive Variation Multi-objective Particle Swarm Optimization Algorithm

CHEN Jian-jie1， LIU Yan-min2*， LUO Yi3

（1. College of Data Science and Information Engineering， Guizhou Minzu University， Guiyang 550025， China; 2. School of Mathematics， Zunyi Normal University， Zunyi 563006， China; 3. School of Mathematics and Statistics， Guizhou University， Guiyang 550025， China）’

Abstract： Multi-objective particle swarm optimization has been widely concerned because of its powerful search ability and simple implementation， but it often has an imbalance between convergence and diversity. To solve this problem， a binary group adaptive variation multi-objective particle swarm optimization （BAMOPSO） algorithm is proposed to better balance convergence and diversity. Firstly， a novel binary group initialization method is used to make the particles more evenly distributed in the target space， thus improving the diversity of the algorithm. Secondly， a new adaptive variation strategy is designed to improve the convergence according to the change of the objective function value during evolution. Finally， by comparing BAMOPSO algorithm with six classical multi-objective optimization algorithms on 15 benchmark functions， it is verified that the algorithm has a significant improvement in balance convergence and diversity.

Keywords： multi-objective particle swarm optimization algorithm; binary group; adaptive variation

粒子群優(yōu)化（Particle swarm optimization， PSO）[1]最早由Eberhart和Kennedy于1995年提出。PSO是一種基于群體智能的優(yōu)化算法，它通過模仿鳥類等生物的社會(huì)行為來尋找最優(yōu)解。與鳥一樣，PSO中的候選解（也稱為粒子）通常由兩個(gè)關(guān)鍵部分組成：飛行速度和當(dāng)前位置，它們根據(jù)自身的飛行歷史信息和整個(gè)社會(huì)群體在進(jìn)化過程中的飛行經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整。由于其結(jié)構(gòu)和實(shí)現(xiàn)的簡(jiǎn)單性，粒子群算法具有許多優(yōu)點(diǎn)，不僅在目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練等各種數(shù)學(xué)優(yōu)化領(lǐng)域表現(xiàn)出良好的性能，而且在工程優(yōu)化中的制造控制、云計(jì)算中的多源調(diào)度等諸多實(shí)際優(yōu)化問題中得到廣泛應(yīng)用。然而，與其他經(jīng)典群智能優(yōu)化算法一樣，粒子群優(yōu)化算法也存在收斂性和多樣性不平衡的問題，特別是在處理大規(guī)模復(fù)雜優(yōu)化問題時(shí)。

現(xiàn)實(shí)生活中存在的問題往往和理想狀態(tài)下設(shè)想的問題相差很大，實(shí)際工程優(yōu)化中的制造控制、云計(jì)算中的多源調(diào)度等諸多實(shí)際優(yōu)化問題，多數(shù)都存在多個(gè)難以平衡相互沖突的目標(biāo)，即多目標(biāo)優(yōu)化問題（Multi-objective Optimization Problems，MOPs）[2，3]。為了更好處理現(xiàn)實(shí)生活中遇到的諸多多目標(biāo)問題，Coell和Lechuga等將原先的單目標(biāo)優(yōu)化問題（Particle swarm optimization， PSO）改進(jìn)拓展為多目標(biāo)粒子群算法（Multi-objective Particle Swarm Optimization ， MOPSO）[4]。從單目標(biāo)到多目標(biāo)的擴(kuò)展雖然在很多方面大大優(yōu)化了求解中的很多問題，然而這種擴(kuò)展也不可避免地引出了新的MOPSO問題，即算法的解在收斂性和多樣性方面很容易失衡。為了得到更好的多目標(biāo)優(yōu)化算法，研究者們?cè)O(shè)計(jì)了很多不同的策略來解決收斂性和多樣性不平衡的問題，這也為多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法提供了新的研究方向。

為了更好平衡收斂性和多樣性，提高粒子群算法的性能，人們提出了多種策略。最近興起了一種通過修改原始隨機(jī)初始化種群而選擇自定義初始化種群的方法來增加種群多樣性，研究者通過特定的方法產(chǎn)生一個(gè)或多個(gè)種群來達(dá)到增加種群多樣性的目的。Chao Wang[5]等提出了一種基于雙種群的進(jìn)化算法，其中一個(gè)種群用于位置優(yōu)化，另一個(gè)種群用于半徑優(yōu)化。這兩個(gè)種群在進(jìn)化過程中迭代交換從精英解中獲得的信息，協(xié)同搜索問題的最優(yōu)解。Bui[6]等在所提算法DPP2中，試圖讓種群達(dá)到這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，但為這些標(biāo)準(zhǔn)設(shè)定的優(yōu)先級(jí)有所不同。一個(gè)種群的重點(diǎn)是實(shí)現(xiàn)更好的收斂性（通過使用基于帕累托的排序方案），另一個(gè)種群的重點(diǎn)是確保種群的多樣性（通過使用基于分解的方法）。之后，通過合作機(jī)制將兩個(gè)種群進(jìn)行融合，形成一個(gè)新的組合種群，希望使種群同時(shí)具有收斂和多樣性的特征。Li[7]等提出了一種基于雙種群的大規(guī)模多目標(biāo)優(yōu)化算法LSTPA。在該算法中，將解分為兩個(gè)子種群：收斂子種群（CP）和多樣性子種群（DP），分別以提高種群收斂和多樣性為目標(biāo)。

可以看出，為了豐富和提升種群多樣性和收斂性，學(xué)者們對(duì)種群進(jìn)行了不同的劃分和改進(jìn)，通過這些操作很大程度上豐富和增強(qiáng)了種群的多樣性和收斂性。此外，另一批學(xué)者選擇另辟蹊徑，企圖通過操作變異手段來提升種群的多樣性和收斂性平衡。Tao[8]等提出了一種基于多尺度自適應(yīng)協(xié)同突變策略的粒子群優(yōu)化算法（MSCPSO）。在該方法中，采用不同標(biāo)準(zhǔn)差的多尺度高斯突變，以提高充分搜索整個(gè)解空間的能力。在采用的多尺度突變策略中，大尺度突變可以使種群在早期探索全局解空間，快速找到較優(yōu)解區(qū)域，從而避免過早收斂，同時(shí)加快收斂速度，而小尺度突變可以使種群在后期更準(zhǔn)確地挖掘局部最優(yōu)解區(qū)域，從而提高最終解的準(zhǔn)確性。Yang[9]等在改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法中引入自適應(yīng)變異，提高了粒子群優(yōu)化算法的收斂性和多樣性平衡。突變概率根據(jù)種群適應(yīng)度的方差進(jìn)行調(diào)整。采用非線性遞減策略調(diào)整慣性權(quán)值，增強(qiáng)搜索能力，使其能夠放棄局部最優(yōu)解而找到全局最優(yōu)解。

綜合前述改進(jìn)策略，本文提出了一種雙子群自適應(yīng)變異多目標(biāo)粒子群算法（BAMOPSO），旨在提高種群的平衡收斂性和多樣性。首先，利用均勻采樣和拉丁超立方體采樣方法生成兩個(gè)子群。其次，根據(jù)種群進(jìn)化中目標(biāo)函數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)差的變化情況，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)突變策略。最后，將提出算法BAMOPSO與六個(gè)經(jīng)典多目標(biāo)優(yōu)化算法在十五個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較，驗(yàn)證了所提出的算法對(duì)平衡收斂性和多樣性有明顯提升。

1" "基本概念

1.1" 多目標(biāo)優(yōu)化問題

通常多目標(biāo)優(yōu)化問題都是以最小化問題為例，對(duì)于最大化問題通過取相反數(shù)的形式化為最小化問題進(jìn)行求解。由于多目標(biāo)優(yōu)化問題的多準(zhǔn)則性質(zhì)，解的“最優(yōu)性”必須重新定義，從而產(chǎn)生了帕累托最優(yōu)性的概念。與單目標(biāo)優(yōu)化情況相反，多目標(biāo)優(yōu)化問題的特點(diǎn)是權(quán)衡，因此，有大量的帕累托最優(yōu)解。

1.2" 粒子群優(yōu)化

2" "算法設(shè)計(jì)

2.1" 雙子群初始化

現(xiàn)有的大多數(shù)MOPS算法基本上初始化種群都采用隨機(jī)初始化，這會(huì)導(dǎo)致搜索空間中的粒子分散不均勻從而陷入局部最優(yōu)。本文利用均勻采樣（Uniform Sampling，縮寫US）和拉丁超立方采樣（Latin Hypercube Sampling，縮寫為L(zhǎng)HS）來分別生成兩個(gè)子群，然后將兩個(gè)子群合并為一個(gè)主種群來增加種群多樣性。

均勻采樣（US）能夠確保粒子在搜索空間的均勻覆蓋，避免了某些區(qū)域的過度集中，其實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，易于操作和理解。通過均勻覆蓋整個(gè)搜索空間，減少陷入局部最優(yōu)的可能性。假設(shè)有N個(gè)樣本，每個(gè)樣本有M個(gè)維度，則均勻采樣（US）公式為：xi，j～U（0，1），其中xi，j為樣本在目標(biāo)空間中的每個(gè)維度j∈{1，2，…，M}上均勻分布生成的，i∈{1，2，…，M}為每個(gè)樣本的索引。將生成的樣本從單位區(qū)間[0，1]映射到目標(biāo)空間的實(shí)際范圍[targetmin，targetmax]產(chǎn)生目標(biāo)粒子：

我們利用均勻采樣（US）生成的第一個(gè)子群PA和拉丁超立方體采樣（LHS）生成的第二個(gè)子群PB合并后得到主種群P，種群P綜合兩子群的優(yōu)點(diǎn)，均勻采樣提供了廣泛且均勻的搜索空間覆蓋，而拉丁超立方體采樣確保每個(gè)維度的樣本分布均勻。這種組合方法提高了搜索的全面性，增強(qiáng)全局探索能力，減少局部最優(yōu)的影響，從而提升優(yōu)化算法的性能。

2.2" 自適應(yīng)變異策略

目前普遍使用的變異方式大多是無(wú)規(guī)律隨機(jī)變異，這種變異無(wú)法根據(jù)搜索環(huán)境控制變異程度，往往會(huì)把一個(gè)優(yōu)的粒子變異為一個(gè)劣的粒子導(dǎo)致算法性能變差。本文提出了一種根據(jù)粒子群在搜索過程中的目標(biāo)函數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)差變化情況自適應(yīng)改變變異率，從而提升了算法的收斂性。

如圖 1函數(shù)值對(duì)應(yīng)圖中我們可以看出雖然函數(shù)值均值最貼合收斂距離，但由于迭代后期均值基本保持不變這違背我們需要的變異期望（我們希望迭代后期對(duì)粒子進(jìn)行擾動(dòng)）。因此，函數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)差是最優(yōu)反映了收斂到真實(shí)帕累托前沿變化情況，我們可以利用函數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)差來動(dòng)態(tài)調(diào)整變異過程的變異率。

當(dāng)檢測(cè)到當(dāng)前代種群位于優(yōu)的位置時(shí)，下一次迭代就減小這個(gè)粒子的變異率。反之，當(dāng)種群在當(dāng)前代位于劣的位置則在下一次迭代中增加變異率。而判斷種群位置的優(yōu)劣則通過計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)差衡量，將當(dāng)前代目標(biāo)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差與上一代目標(biāo)函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行比較來調(diào)節(jié)適合的變異率。首先，將第一次種群初始化后的目標(biāo)函數(shù)值計(jì)算其標(biāo)準(zhǔn)差記為S0，再把種群第一次迭代的目標(biāo)函數(shù)值記為S1，計(jì)算絕對(duì)值標(biāo)準(zhǔn)差：€%]=€HLS1-S0€HL。其次，根據(jù)€%]的變化情況設(shè)置相應(yīng)的變異率，計(jì)算公式如下：

2.3 算法步驟

3" "仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1" 性能指標(biāo)

3.2" 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

本文將五個(gè)ZDT[13]基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)和十個(gè)UF[14]基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)用于評(píng)估本文提出的BAMOPSO算法的性能。這些測(cè)試問題都具有不同的復(fù)雜特征和形狀，能夠更為全面評(píng)估算法的性能。為了驗(yàn)證提出算法的性能，使用了擁有較強(qiáng)競(jìng)爭(zhēng)力的NMPSO[15]、MPSOD[16]、MOEADD[17]、NSGAIII[18]、SPEAR[19]、MOPSO[4]六個(gè)經(jīng)典的多目標(biāo)優(yōu)化算法進(jìn)行比較。

3.3" 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置

本文使用了雙目標(biāo)測(cè)試函數(shù)ZDT系列、UF系列以及三目標(biāo)測(cè)試函數(shù)UF8-UF-10來驗(yàn)證算法的綜合性能，本文通過將所有對(duì)比算法的參數(shù)都與原算法保持一致來保證各個(gè)算法之間更具有可比性和公平性。設(shè)置種群規(guī)模為200，外部存檔的閾值也為200，最大評(píng)估次數(shù)設(shè)置為10000，每個(gè)算法在每個(gè)測(cè)試函數(shù)上獨(dú)立運(yùn)行30次。此外所有算法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)都是在AMD Ryzen 7 4800U with Radeon Graphics 1.80 GHz、windows 11系統(tǒng)，MATLAB R2022b條件下實(shí)現(xiàn)的。對(duì)比算法的原代碼均由 PlatEMO[20]提供。

3.4" 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了更好地驗(yàn)證改進(jìn)算法的綜合性能，本次實(shí)驗(yàn)選擇了ZDT 系列和 UF 系列中的 15個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行測(cè)試。這些函數(shù)用于評(píng)估算法在不同條件下的表現(xiàn)，并通過表1、表2詳細(xì)分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，以全面了解改進(jìn)算法的實(shí)際效果和優(yōu)越性。表1和表2顯示了算法NMOPSO、MPSOD、MOEADD、NSGAIII、SPEA、MOPSO和BAMOPSO在 ZDT和UF系列基準(zhǔn)問題上獨(dú)立運(yùn)行 30 次的IGD和HV的平均值及標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果。這些結(jié)果作為算法評(píng)估的標(biāo)準(zhǔn)，以平均值（mean）和標(biāo)準(zhǔn)差（std）形式表示，并且在IGD和HV上的最佳結(jié)果已加粗標(biāo)出。

表1展示了包括經(jīng)典算法MOPSO、MPSOD、NSGAIII、MOEADD 、SPEAR、NMPSO以及提出算法BAEMOPSO在ZDT和UF系列測(cè)試函數(shù)上的IGD指標(biāo)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。通過對(duì)這些數(shù)據(jù)的分析，可以看出改進(jìn)算法BAEMOPSO在大多數(shù)測(cè)試函數(shù)中都取得了最佳的結(jié)果。盡管BAEMOPSO在ZDT6和UF1、2、4、5、6上的表現(xiàn)并不是絕對(duì)最優(yōu)，但其最優(yōu)結(jié)果個(gè)數(shù)依然多于其他六種經(jīng)典算法。此外，BAEMOPSO在ZDT系列的測(cè)試函數(shù)中表現(xiàn)出顯著的優(yōu)勢(shì)，得益于其使用了雙子群初始化種群和自適應(yīng)變異策略。這兩種策略有效地提高了算法的收斂性和種群多樣性，從而在整體性能上取得了提升。結(jié)合表 1中的數(shù)據(jù)，我們可以得出結(jié)論：改進(jìn)算法BAEMOPSO在所有15個(gè)測(cè)試函數(shù)中表現(xiàn)最為出色，相較于其他經(jīng)典算法，具有明顯的優(yōu)勢(shì)。這一結(jié)果不僅證明了BAEMOPSO算法的有效性，也展示了其在多目標(biāo)優(yōu)化問題中的良好性能。

表2展示了六種經(jīng)典算法MOPSO、MPSOD、NSGAIII、MOEADD 、SPEAR、NMPSO，以及提出算法BAEMOPS在ZDT和UF系列測(cè)試函數(shù)（包括ZDT和UF系列）上的HV指標(biāo)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。從表2中可以直觀看出與其他六種經(jīng)典算法相比，BAEMOPSO在十五個(gè)測(cè)試函數(shù)中有超過一半多的測(cè)試函數(shù)結(jié)果比其他算法優(yōu)?？傮w而言， BAEMOPSO在所有15個(gè)測(cè)試函數(shù)上表現(xiàn)最佳，驗(yàn)證了提出算法的優(yōu)越性能，展示了其在多目標(biāo)優(yōu)化問題中的強(qiáng)大優(yōu)化性能。

為了更直觀地展示算法性能差異，圖3展示了七個(gè)算法在ZDT1測(cè)試問題中收斂情況結(jié)果。這些圖表明了Pareto最優(yōu)解在理想解附近的分布情況。具體來看，在ZDT1問題中，NMPSO 算法的Pareto最優(yōu)解雖然接近理想解，但分布較為集中在中間區(qū)域，表現(xiàn)出多樣性較差的分布特征。與其相比，BAMOPSO算法的Pareto最優(yōu)解不僅接近理想解，而且在理想解附近的分布較為均勻，明顯多樣性更好。相比于其他六個(gè)算法BAMOPSO的收斂性遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于它們，這直觀展示了提出的算法具有較強(qiáng)競(jìng)爭(zhēng)力。

圖4 展示了七個(gè)算法在ZDT3測(cè)試問題上的PF圖，與在ZDT1測(cè)試函數(shù)上情況一樣，雖然NMPSO在收斂到真實(shí)Pareto時(shí)表現(xiàn)很好，但也顯示了它的收斂都是局部最優(yōu)的缺點(diǎn)，與之相比，本文所提出的算法BAMOPSO不僅能收斂到真實(shí)Pareto前沿而且分布更加均勻。此外，相比其他六種算法所提出的算法無(wú)論收斂性還是多樣性都表現(xiàn)出更優(yōu)，這說明BAMOPSO算法的收斂性能和多樣性能都有更好的競(jìng)爭(zhēng)力。

圖5展示了對(duì)比算法與提出的BAMOPSO算法在ZDT1和ZDT3問題上的IGD值收斂軌跡。通過圖中的信息，可以觀察到所有算法IGD值的變化趨勢(shì)，同時(shí)明顯可以看出，BAMOPSO算法的收斂速度相比對(duì)比算法更為迅速。

圖6展示了七種算法在ZDT系列問題上的IGD值箱型圖，其中1至7分別代表算法MOPSO、MPSOD、NSGAIII、MOEADD、SPEAR、NMPSO和BAMOPSO。從圖中可以觀察到各算法數(shù)據(jù)的離散分布情況，可以看出BAMOPSO算法的數(shù)據(jù)波動(dòng)相對(duì)較小。

4" "結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種新型的雙子群自適應(yīng)變異算法，簡(jiǎn)稱BAMOPSO算法，該算法采用不同的種群初始化方法和自適應(yīng)變異技術(shù)。具體來說，BAMOPSO算法通過兩種特定的初始化方法來生成兩個(gè)不同的子種群，從而有效增加了整體種群的多樣性。另外，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)值的變化情況動(dòng)態(tài)調(diào)整變異率，以提升算法的收斂性。為了驗(yàn)證算法的有效性，將BAMOPSO與其他六種現(xiàn)有算法進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試基準(zhǔn)問題的對(duì)比實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相較于其他算法，BAMOPSO在解決ZDT和UF系列測(cè)試問題時(shí)展現(xiàn)出了顯著的優(yōu)勢(shì)，顯示出其在處理多目標(biāo)優(yōu)化問題方面的強(qiáng)大競(jìng)爭(zhēng)力。

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（責(zé)任編輯：羅東升）