劉存霞

(煙臺大學數學與信息科學學院,山東 煙臺 264005)

PENG[1-3]建立了有關G-期望,G-布朗運動的基礎理論和相應的隨機計算,這里G是相應非線性熱方程的無窮小生成元。由于在不確定性問題,風險度量以及金融產品定價等方面具有豐富的應用潛力,眾多學者對G-期望、G-布朗運動理論開展了大量研究[4-6]。

在系數滿足全局 Lipschitz 假設下,PENG[1]首先給出了如下由d維G-布朗運動驅動的n維隨機微分方程(G-SDE)解的存在唯一性定理:

(1)

其中:x(0)=x0∈n為初值,B是一個d維G-布朗運動,〈B,B〉=(〈Bi,Bj〉)i,j=1,…,d為B的交互變差,系數f(·,·),hij(·,·),gj(·,·):[0,T]×n→n(特別地,本文中采用 Einstein 記號)。由此,G-布朗運動驅動的隨機微分方程解的存在唯一性及相關穩(wěn)定性問題也迅速成為研究的熱點。例如,GAO[7]進一步研究了上述G-SDE解的軌道性質及相應于初值的同胚性問題,文獻[8]研究了G-SDE解的指數穩(wěn)定性問題,文獻[9]和[10]分別給出了脈沖G-SDE解的指數穩(wěn)定性和p-階矩穩(wěn)定的充分條件,文獻[11]討論了時滯G-SDE解的漸近有界和 穩(wěn)定性問題。此外,為克服全局 Lipschitz 假設的局限性,文獻[12]通過引入一個Lyapunov 條件,在系數滿足局部 Lipschitz 條件的假設下給出了解的全局解的存在唯一性,同時討論了平凡解的p階矩指數穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定等問題。文獻[13-14]引入了一致漸近穩(wěn)定函數 (UASF) 來研究線性時變和時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題,文獻[15]基于UASF 改進了若干由有色噪聲驅動的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理。與已有結果來比較,UASF 的引入減弱了構造 Lyapunov 函數時的若干約束。

受以上工作啟發(fā),本文研究G-SDE平凡解的穩(wěn)定性問題,通過 UASF 給出了G-SDE(1)的平凡解擬必然意義下全局漸近穩(wěn)定的一個充分條件,并通過例子予以驗證。

1 預備知識

ρ(ω1,ω2):=

Bt(ω)=ωt為典范過程。

對t∈[0,∞),定義以下記號:

·B(Ω):Ω的 Borelσ-域。

·Ωt={ω.∧t:ω∈Ω},Ft:=B(Ωt)。

·L0(Ω):實值B(Ω)-可測函數空間。

·L0(Ωt):實值B(Ωt)-可測函數空間。

·Bb(Ω):L0(Ω)中的有界元;Bb(Ωt):=Bb(Ω)∩L0(Ωt)。

·Cb(Ω):Bb(Ω)中的連續(xù)元;Cb(Ωt):=Cb(Ω)∩L0(Ωt)。

·Cb,lip(d×n):d×n中的有界Lipschitz 函數全體。

·Lip(Ω):={φ(Bt1,…,Btn):n≥1,0≤t1<…

·Lip(Ωt):=Lip(Ω)∩L0(Ωt)。

ξ=φ(Bt1,Bt2-Bt1,…,Btn-Btn-1),

0≤t1

定義

[ξ]:=u1(0,0),

這里u1(0,0)∈且滿足對k=n,…,1,uk:=uk(t,x;x1,…,xk-1)是(t,x)的函數且以(x1,…,xk-1)∈d×(k-1)為參數,uk為以下定義于[tk-1,tk)×d上的G-熱方程的粘性解:

此時,在G-期望[·]下典范過程(Bt)t≥0是一個G-布朗運動[3]?？紤]下述簡單過程集:

?N∈,0=t0<…

ξi∈Bb(Ωti),i=0,…,N-1},

‖η‖p:=[

其中EP是關于概率測度P的線性期望,B(Ω)是Ω的 Borelσ-域。對于P,相關的容度定義為(A):=supP∈PP(A),A∈B(Ω)

定義1如果(A)=0,則稱集A∈B(Ω)為極集。如果一個性質在一個極集之外成立,那么它就被稱為擬必然成立(簡記為:q.s.)。

引理1(G-Markov不等式)[5]設對任意p>0,X∈L0(Ω)滿足[|X|P]<∞,則對任意實數a>0有

?xvV(·,X(·))(hvij(·,X(·))+hvji(·,X(·)))+

下面給出一致漸近穩(wěn)定函數的定義,詳細內容可參見文獻[13]或[14]。

2 主要結果

首先給出以下定義。

定義4記x(t):=x(t;0,x0)為G-SDE(1)對應初值x(0)=x0∈n的解,若對任意的∈(0,1),均存在函數β∈KL使得

{|x(t)|≤β(|x0|,t)}≥1-,?t≥0,

則稱G-SDE (1)的平凡解是擬必然全局漸近穩(wěn)定的。

(A1) 系數f(·,·),hij(·,·),gj(·,·):[0,T]×n→n關于變量t均為確定性函數且對任意的x,x′∈B0(R):={a:|a|≤R},存在僅依賴于R的正數CR使得對任意t∈[0,T],均有

|f(t,x)-f(t,x′)|+‖h(t,x)-h(t,x′)‖+

‖g(t,x)-g(t,x′)‖≤CR|x-x′|,

這里‖·‖表示Hilbert-Schmidt 矩陣范數。

經典的隨機微分方程中,局部Lipschitz 條件僅能保證最大區(qū)間[0,σ∞)上解的存在唯一性[16],這里

σk=inf{t≥0:|x(t)|≥k},

且設定infΦ=∞,這一結論在G-SDE中同樣成立。為獲得局部Lipschitz 條件下G-SDE(1)全局解的存在唯一性,文獻[12]給出了以下 Lyapunov-型條件:

(A2) 存在 Lyapunov 函數V∈C1,2([0,T]×n;+)以及常數C>0,使得

且對任意的(t,x)∈[0,T]×n,有

LV(t,x)≤CV(t,x),

其中L是如下形式的微分算子:

LV=?tV+?xvVfv+G((?xvV·(hvij+

(2)

文獻[12]在條件 (A1),(A2) 下證明了G-SDE(1) 全局解的存在唯一性。為研究系統(tǒng)穩(wěn)定性,引入如下假設:

(A3) 對任意的t≥0,f(t,0)=0,h(t,0)=0,g(t,0)=0。

顯然,在假設 (A3) 下G-隨機系統(tǒng) (1) 對應初值x0=0存在平凡解x(t)≡0。

定理1對G-SDE(1),設條件 (A1),(A3) 成立且存在函數V(t,x)∈C1,2([0,∞)×n;+),c1,c2∈K∞以及一個UASFμ(t)使得

c1(|x|)≤V(t,x)≤c2(|x|),t≥0,

(3)

LV(t,x)≤μ(t)V(t,x),

(4)

則G-SDE(1) 存在唯一解且其平凡解是擬必然全局漸近穩(wěn)定的。

應用G-It公式,得

dφ(t,x(t))=

(?tφ(t,x(t))+?xvφ(t,x(t))fv(t,x(t)))dt+

(?xvφ(t,x(t))hvij(t,x(t))+

由引理2,有

φ(t,x(t))-φ(0,x0)=

(5)

其中

即

由局部Lipschitz 條件知,G-SDE(1)存在最大解。進一步地,由G-馬爾科夫不等式,采用類似文獻[12]中 Theorem 3.19 或文獻[16]中 Theorem 4.5 的證明方法,易得σ∞=∞,q.s.,即G-SDE(1)存在唯一全局解。進一步地,由條件(4)得

V(t,x(t))≤e-λt+d0V(0,x0)≤e-λt+d0c2(|x0|)。

記β2(t,|x0|)?e-λt+d0c2(|x0|),由引理1,對0<<1有

{c1(|x(t)|)≥-1β2(t,|x0|)}≤

{V(t,x(t))≥-1β2(t,|x0|)}≤,

從而

-1β2(t,|x0|))}≥1-,

注:由引理3知,當μ(t)=-λ(λ≥0)時是一個USAF,易見定理1的結果在一定程度上推廣了文獻[12]中的相關結果。

3 例 子

例1 考慮下述G-SDE:

(6)

這里B(t)是一個1維G-布朗運動且

Vx(t,x(t))h(t,x(t))=2sin2tx2(t),

及

G(〈Vx(t,x(t)),2h(t,x(t))〉+

〈Vxx(t,x(t))g(t,x(t)),g(t,x(t))〉)=

從而

LV(t,x(t))=Vt(t,x(t))+Vx(t,x(t))f(t,x(t))+

G(〈Vx(t,x(t)),2h(t,x(t))〉+

〈Vxx(t,x(t))g(t,x(t)),g(t,x(t))〉)≤