夏 亮 孫天夫 李鑫宇, 譚先鋒 鄭登華

(1.重慶智能機(jī)器人研究院 重慶 400000；2.中國科學(xué)院深圳先進(jìn)技術(shù)研究院 深圳 518000；3.燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 秦皇島 066004)

1 引言

伺服系統(tǒng)在數(shù)控機(jī)床、航空航天、軍用武器隨動(dòng)系統(tǒng)以及機(jī)器人等領(lǐng)域具有極其廣泛的應(yīng)用[1-4]。近年來，永磁同步電機(jī)因高轉(zhuǎn)矩電流比、轉(zhuǎn)矩波動(dòng)小、調(diào)速范圍廣等優(yōu)點(diǎn)在工業(yè)領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用[5-6]。隨著科技的發(fā)展，工程中對于伺服控制系統(tǒng)的快速性、準(zhǔn)確性和控制參數(shù)易于整定的需求也不斷增加，另外在實(shí)際應(yīng)用中永磁同步電機(jī)(Permanent magnet synchronous motor, PMSM)作為一個(gè)非線性、強(qiáng)耦合的時(shí)變復(fù)雜系統(tǒng)，會遭遇外部擾動(dòng)(負(fù)載轉(zhuǎn)矩的變化)和內(nèi)部擾動(dòng)(參數(shù)攝動(dòng))等干擾，使得PMSM 控制技術(shù)一直都是研究熱點(diǎn)。針對以上問題，學(xué)者們進(jìn)行了大量研究，一方面，繼續(xù)以經(jīng)典的比例-積分-微分(Proportional-integralderivative, PID)控制器為基礎(chǔ)，研究控制參數(shù)的自整定[7]、參數(shù)辨識[8]等，另一方面則試圖將一些先進(jìn)的控制算法，如滑模變結(jié)構(gòu)控制、自適應(yīng)控制以及預(yù)測控制[9-12]等，應(yīng)用在PMSM 伺服系統(tǒng)中。

針對控制對象的外部和內(nèi)部擾動(dòng)，韓京清[13]在PID 控制思想的基礎(chǔ)上提出了自抗擾控制器(Active disturbance rejection control, ADRC)。ADRC 將被控對象的各種不確定因素包括內(nèi)部擾動(dòng)和外部擾動(dòng)歸結(jié)為總擾動(dòng)，采用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(Extended state observer, ESO)對總擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，然后進(jìn)行擾動(dòng)補(bǔ)償。ADRC 具有超調(diào)量小、精度高、抗干擾能力強(qiáng)和不嚴(yán)重依賴模型的特點(diǎn)，目前已經(jīng)在電力系統(tǒng)、化工過程、精密加工機(jī)床等領(lǐng)域得到了推廣和應(yīng)用[14-17]。但由于ADRC 采用了非線性函數(shù)，需要整定的參數(shù)過多，穩(wěn)定性難以分析，限制了ADRC 的工業(yè)應(yīng)用前景。GAO[18]將ADRC 進(jìn)行了線性化處理，提出了線性自抗擾控制器(Linear active disturbance rejection control, LADRC)，并提出了基于時(shí)間尺度的整定方法，將LESO 和狀態(tài)反饋的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為控制器帶寬(cω)和觀測器帶寬(0ω)的選取，大大簡化了LADRC 的參數(shù)整定過程，開拓了LADRC 的工業(yè)應(yīng)用前景。沈威等[19]通過將ADRC與改進(jìn)型ESO 并聯(lián)并結(jié)合烏鴉算法(Crow search algorithm, CSA)對ADRC 進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，提高了電機(jī)控制系統(tǒng)的魯棒性。劉長良等[20]基于內(nèi)模原理提出自抗擾控制方法，應(yīng)對非最小相位系統(tǒng)建模和擾動(dòng)不確定性。該方法首先依據(jù)被控對象參數(shù)設(shè)計(jì)內(nèi)?？刂破鳎浯卫脛?dòng)態(tài)史密斯補(bǔ)償器補(bǔ)足閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)，解決非最小相位部分導(dǎo)致的響應(yīng)滯后和反向響應(yīng)幅值過大問題。最后，利用被控對象模型設(shè)計(jì)的擾動(dòng)觀測補(bǔ)償器(Disturbance observer and compensation, DOC)增強(qiáng)系統(tǒng)擾動(dòng)抑制能力。

本文將線性自抗擾控制理論應(yīng)用于伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了電流環(huán)一階LADRC 控制器、速度環(huán)一階LADRC 控制器以及位置環(huán)二階LADRC 控制器。其中，位置控制系統(tǒng)采用雙環(huán)的結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了位置和速度的復(fù)合精準(zhǔn)控制，給出了相應(yīng)的參數(shù)整定方法，與傳統(tǒng)的伺服系統(tǒng)相比，需要調(diào)試的參數(shù)大大減少，并通過試驗(yàn)對LADRC 的控制性能進(jìn)行了研究。

2 線性自抗擾控制原理

以二階系統(tǒng)為例，二階系統(tǒng)微分方程一般形式為

式中，w(t) 為外部擾動(dòng)，b為系統(tǒng)增益，u為輸入，f為系統(tǒng)總擾動(dòng)。實(shí)際中b很難得到，這里用b0作為b的估計(jì)值，則式(1)可化為

將估計(jì)不準(zhǔn)的部分 (b-b0)u并入f中，可將微分方程化為狀態(tài)空間方程形式，令

式中，3x為系統(tǒng)擴(kuò)張狀態(tài)變量，即把原來的2 階系統(tǒng)擴(kuò)展成3 階系統(tǒng)，從而多了一個(gè)方程用于求解人為設(shè)定的f。這里把所有與輸入無關(guān)的項(xiàng)f視為系統(tǒng)總擾動(dòng)，狀態(tài)空間方程形式為

式中，x為列向量形式。其中這一項(xiàng)可以通過觀測器獲得，因此在設(shè)計(jì)觀測器時(shí)不考慮該項(xiàng)。

對該系統(tǒng)可建立線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(ESO)

式中，z為對x觀測狀態(tài)向量；為y的觀測值；L為狀態(tài)觀測器的反饋增益。

由式(6)中兩式相減得到

該微分方程的解為error= exp[(A-LC)t]，當(dāng)(A-LC)為負(fù)值時(shí)，error會收斂到0。因此可通過設(shè)計(jì)(A-LC)矩陣的特征值使得狀態(tài)向量z收斂至x來實(shí)現(xiàn)狀態(tài)觀測。

將L=[β0β1β2]T代入(A-LC)可得

這里將該系統(tǒng)三個(gè)極點(diǎn)配置在相同位置，則該矩陣的特征多項(xiàng)式為

式中，0w為系統(tǒng)極點(diǎn)的值，0w決定了觀測器的收斂速度，這里稱之為觀測器帶寬。

通過解式(9)可得

在觀測器對總擾動(dòng)f(即x3)進(jìn)行觀測之后，即可對控制器進(jìn)行擾動(dòng)補(bǔ)償

式中，u為補(bǔ)償后的輸出，將補(bǔ)償后的u代入式(2)，得到

至此，包含擾動(dòng)的二階系統(tǒng)被化簡為一個(gè)不含擾動(dòng)的二階系統(tǒng)。對于二階系統(tǒng)，使用PD 控制器設(shè)計(jì)u0，則其表達(dá)式為

式中，r為參考值，一般為定值，則r˙為0。把式(13)代入式(12)可得

配置上式極點(diǎn)為

得到PD 參數(shù)值

式中，cw為系統(tǒng)極點(diǎn)的值，同理將系統(tǒng)極點(diǎn)配置在相同位置。cw決定了控制器的收斂速度，稱之為控制器帶寬。一般在進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，觀測器帶寬為控制器帶寬的三到五倍。

3 伺服電機(jī)系統(tǒng)線性自抗擾控制器設(shè)計(jì)

3.1 電流環(huán)控制器設(shè)計(jì)

伺服系統(tǒng)dq軸電流表達(dá)式如式(17)所示

式中，以q軸電流控制為例實(shí)現(xiàn)線性自抗擾控制，uq相當(dāng)于輸入，稱為u，為系統(tǒng)增益，稱為b，其他項(xiàng)視為總擾動(dòng)，稱為f，iq為輸出，稱為y。

由于控制電流微分方程為一階，在這里采用一階線性自抗擾控制器。其原微分方程為

式中，b可根據(jù)實(shí)際測量獲得，也可以進(jìn)行估計(jì)，這里用b0作為b的估計(jì)值。其他估計(jì)不準(zhǔn)的部分也可并入f。則式(18)可寫為

令

可將微分方程化為狀態(tài)空間方程

式中，2x為系統(tǒng)擴(kuò)張狀態(tài)變量，這里為系統(tǒng)總擾動(dòng)，x為列向量形式，C=[1 0]。

對該系統(tǒng)可建立線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(ESO)

由前文可知L的取值，這里不再贅述，則ESO 可以寫成

展開上式為

在觀測器對總擾動(dòng)f進(jìn)行觀測之后，即可對控制器進(jìn)行擾動(dòng)補(bǔ)償

式中，u為補(bǔ)償后的輸出，將補(bǔ)償后的輸出代入原微分方程，得到

對于一階系統(tǒng)，使用P 控制器設(shè)計(jì)u0，則其表達(dá)式為

將上式寫成傳遞函數(shù)形式為

式中，kp為控制器帶寬。

3.2 速度環(huán)控制器設(shè)計(jì)

速度環(huán)經(jīng)常會面臨PMSM 參數(shù)不確定、負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化等擾動(dòng)。

根據(jù)電機(jī)動(dòng)力學(xué)模型

式中，w為電機(jī)轉(zhuǎn)速，tk為轉(zhuǎn)矩系數(shù)，J為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，LT為負(fù)載轉(zhuǎn)矩，B為黏滯摩擦因數(shù)。

由微分方程可以得到速度環(huán)控制與電流環(huán)具有類似的形式，同樣為一階微分方程。其中電流i為系統(tǒng)輸入，為系統(tǒng)增益，其他項(xiàng)為總擾動(dòng)。速度環(huán)的LADRC 設(shè)計(jì)與電流環(huán)相同，這里不再贅述。

3.3 位置環(huán)控制器設(shè)計(jì)

位置環(huán)控制同樣可以看成由速度控制的一階微分方程

位置環(huán)的LADRC 設(shè)計(jì)同樣可以采用前文所述一階LADRC 設(shè)計(jì)理論進(jìn)行設(shè)計(jì)。

4 仿真分析

為了驗(yàn)證前文所提算法的性能，在永磁同步電機(jī)伺服控制系統(tǒng)中對算法進(jìn)行仿真分析，仿真中所使用的PMSM 參數(shù)如表1 所示。

表1 PMSM 仿真參數(shù)

仿真系統(tǒng)采用電流環(huán)、速度環(huán)、位置環(huán)三環(huán)閉環(huán)控制。各控制參數(shù)如表2 所示。

表2 控制系統(tǒng)三環(huán)控制參數(shù)

下面對比LADRC 與PI 控制器在電流環(huán)、轉(zhuǎn)速環(huán)、位置環(huán)的控制效果。

首先對比LADRC 電流控制器與PI 電流控制器的電流控制效果。如圖1 所示，階躍電流幅值命令設(shè)為10 A，當(dāng)LADRC 電流環(huán)帶寬與PI 電流環(huán)帶寬相同時(shí)，兩種控制器的電流控制效果幾乎等價(jià)，因此可以優(yōu)先考慮PI 控制器，以減少電流環(huán)計(jì)算量。

圖1 LADRC 電流控制器與PI 電流控制器的電流控制效果對比

保持上述LADRC 和PI 電流控制器參數(shù)不變，增加LADRC 和PI 速度控制器，并將LADRC 和PI控制器的速度環(huán)帶寬調(diào)節(jié)至相近，則基于PI 電流環(huán)、速度環(huán)的轉(zhuǎn)速控制效果；基于LADRC 電流環(huán)、速度環(huán)的轉(zhuǎn)速控制效果；基于LADRC 速度環(huán)和PI電流環(huán)的轉(zhuǎn)速控制效果如圖2 所示。

圖2 LADRC 速度控制器與PI 速度控制器的轉(zhuǎn)速控制效果對比

如圖2 所示，階躍轉(zhuǎn)速命令設(shè)為100 rad/s，雖然PI 轉(zhuǎn)速控制器和LADRC 轉(zhuǎn)速控制器對轉(zhuǎn)速階躍命令響應(yīng)的上升時(shí)間相同，但是PI 控制器會導(dǎo)致明顯的振蕩和超調(diào)，這是由于 PI 控制器無法像LADRC 控制器一樣，把速度環(huán)轉(zhuǎn)化為一階系統(tǒng)。因此在速度控制上，LADRC 控制器具有更好的動(dòng)態(tài)性能。另外，圖2 也展示了PI 電流控制器與LADRC 速度控制器組合的控制效果，其控制效果與電流、轉(zhuǎn)速均由LADRC 控制的效果等價(jià)，進(jìn)一步說明了LADRC 和PI 控制對電流控制的等價(jià)性。

為了測試LADRC 和PI 速度控制器對擾動(dòng)的魯棒性，在t=4 s 時(shí)開始增加電機(jī)負(fù)載，則電機(jī)電流也隨之增加。如圖2 所示，隨著負(fù)載和電流的爬升，基于PI 速度控制器的轉(zhuǎn)速有明顯波動(dòng)，而基于LADRC 轉(zhuǎn)速控制器的轉(zhuǎn)速控制結(jié)果展現(xiàn)出明顯的抗干擾性。

保持上述LADRC 和PI 控制器參數(shù)不變，增加LADRC 和PI 位置控制器，則基于PI 電流、速度、位置控制器的位置環(huán)控制效果；基于LADRC 電流、轉(zhuǎn)速、位置控制器的位置環(huán)控制效果；基于LADRC電流、位置控制器和PI 速度控制器的位置環(huán)控制效果如圖3 所示。

圖3 LADRC 位置控制器與PI 位置控制器的位置控制效果對比

如圖3 所示，階躍位置命令設(shè)為100 rad，并將基于PI 位置控制器和LADRC 位置控制器的位置階躍響應(yīng)時(shí)間調(diào)節(jié)至相近，則基于PI 三環(huán)控制的速度響應(yīng)峰值最大，基于LADRC 三環(huán)控制的速度響應(yīng)峰值次之，基于LADRC 電流、位置控制器和PI 速度控制器的電流響應(yīng)峰值最小。這主要是由于PI位置環(huán)沒有前饋擾動(dòng)補(bǔ)償和PI 速度環(huán)調(diào)節(jié)時(shí)間較長導(dǎo)致。同樣地，為了驗(yàn)證LADRC 和PI 位置控制器對擾動(dòng)的魯棒性，在t=4 s 時(shí)開始增加電機(jī)負(fù)載。三種控制方式的控制效果如圖4 所示。

圖4 LADRC 位置控制器與PI 位置控制器在擾動(dòng)下的控制效果對比

如圖4 所示，基于LADRC 的三環(huán)控制對擾動(dòng)具有很強(qiáng)的魯棒性，在擾動(dòng)下位置波動(dòng)和轉(zhuǎn)速波動(dòng)都最小?；贚ADRC 電流、位置控制器和PI 速度控制器的三環(huán)控制對擾動(dòng)具有一定的魯棒性?；赑I 的三環(huán)控制對擾動(dòng)的魯棒性最弱。因此基于LADRC 位置控制相對于PI 控制器的位置控制也有明顯的優(yōu)勢。

5 結(jié)論

本文將線性自抗擾控制理論應(yīng)用在永磁同步電機(jī)控制系統(tǒng)中，給出了電流環(huán)、速度環(huán)和位置環(huán)的LADRC 控制器設(shè)計(jì)方法。并通過分析仿真結(jié)果的方式探究了LADRC 與PI 控制器相互組合對伺服電機(jī)位置控制的影響，從仿真結(jié)果中得出以下結(jié)論。

(1) LADRC 與PI 作為電流內(nèi)環(huán)效果幾乎等價(jià)。

(2) 對于速度環(huán)與位置環(huán)而言，LADRC 控制器的動(dòng)態(tài)性能和對擾動(dòng)的魯棒性相對PI 控制器具有明顯的優(yōu)勢。