劉曉桂 周湘杰 蔣逢靈 劉小勇

(1.湖南鐵路科技職業(yè)技術(shù)學院鐵道供電與電氣學院 株洲 412006；2.湖南鐵道職業(yè)技術(shù)學院軌道交通電務(wù)技術(shù)學院 株洲 412001)

1 引言

隨著現(xiàn)代電力工業(yè)的飛速發(fā)展和互聯(lián)電網(wǎng)運行規(guī)模的不斷擴大，電力系統(tǒng)的運行已不能僅依靠局部反饋信號來保持[1]。近年來，基于相量測量單元的廣域測量系統(tǒng)的發(fā)展與應(yīng)用為互聯(lián)電網(wǎng)的協(xié)調(diào)控制和分布式同步測量帶來了新的機遇[2]。廣域反饋控制信號雖然能提高系統(tǒng)的動態(tài)性能，但其遠距離的信號接收與發(fā)送存在較明顯的時滯現(xiàn)象。大量試驗研究表明，時滯現(xiàn)象的存在會降低電力系統(tǒng)的控制性能，使區(qū)域電網(wǎng)動態(tài)失穩(wěn)，甚至出現(xiàn)大面積停電現(xiàn)象，所以確?；ヂ?lián)電網(wǎng)的安全穩(wěn)定運行至關(guān)重要。眾所周知，頻率是衡量電能質(zhì)量的一個重要指標[3]。電力系統(tǒng)穩(wěn)定運行的要求是確保電網(wǎng)頻率始終維持在某個固定值或在某個固定值上下小范圍內(nèi)浮動，而負荷頻率控制(Load frequency control，LFC)就是實現(xiàn)這一要求的最常用方法。因此，研究時滯LFC 系統(tǒng)對確保電網(wǎng)的安全穩(wěn)定運行具有十分重要的價值與意義[4]。

目前，用于時滯電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的方法很多，但由于電力系統(tǒng)本身具有時變性與參數(shù)不確定性，因此，基于Lyapunov 穩(wěn)定理論分析法成為最主要的分析方法[5-6]。該方法主要通過構(gòu)造一個合適的Lyapunov-Krasovskii 泛函，并對泛函進行求導(dǎo)運算，有效處理泛函導(dǎo)數(shù)中存在的積分項，從而導(dǎo)出系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件[7]。它的優(yōu)點是泛函的解析過程一般可以有效轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題進行求解，缺點是得出的結(jié)論具有較大的保守性，有待進一步改善[8]。因此，如何有效降低結(jié)論的保守性成為學者們一直努力的方向。文獻[9]對時滯電力系統(tǒng)的穩(wěn)定域進行了分析，由于在Lyapunov-Krasovskii 泛函中引入的自由變量較少，所以運算效率高，但未考慮時滯變化率對電力系統(tǒng)穩(wěn)定域的影響。文獻[10]在構(gòu)造 Lyapunov-Krasovskii 泛函基礎(chǔ)上應(yīng)用了Wirtinger 積分不等式方法對電力系統(tǒng)穩(wěn)定域進行分析，在一定層面上改善了結(jié)論保守性。文獻[11]在應(yīng)用Wirtinger 積分不等式的基礎(chǔ)上引入松散項，推導(dǎo)了含不確定性參數(shù)的多時滯電力系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)。文獻[12]使用PI 控制器研究了在定常時滯與時變時滯情況下含LFC 控制方案的電力系統(tǒng)穩(wěn)定性。盡管上述文獻研究的時滯電力系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)的保守性在一定程度上得到了降低，但是構(gòu)造的泛函都僅考慮引入常實數(shù)矩陣，且對泛函導(dǎo)數(shù)進行界定時未采用擴展逆凸二次不等式方法，所以使得結(jié)論保守性依然明顯。

基于上述分析，本文建立了系統(tǒng)矩陣中含PID參數(shù)的時滯LFC 系統(tǒng)數(shù)學模型。通過構(gòu)造一個時滯乘積型Lyapunov-Krasovskii 泛函，并應(yīng)用文獻[13]中提出的擴展逆凸二次不等式方法來精確界定泛函導(dǎo)數(shù)中的積分項，推導(dǎo)出具有更小保守性的系統(tǒng)穩(wěn)定新判據(jù)。采用典型二階系統(tǒng)數(shù)值算例進行試驗仿真，仿真結(jié)果表明新判據(jù)的有效性。同時，還將新判據(jù)應(yīng)用于系統(tǒng)矩陣中含PID 參數(shù)的電力系統(tǒng)LFC系統(tǒng)模型中，分析了系統(tǒng)在不同控制增益參數(shù)KP、KI的情況下，KP、KI參數(shù)與系統(tǒng)時滯穩(wěn)定裕度之間的關(guān)系。

2 LFC 系統(tǒng)模型建立

在系統(tǒng)的穩(wěn)定性探討中，為了分析復(fù)雜高階系統(tǒng)，一般從簡單低階系統(tǒng)著手研究，本文從電力系統(tǒng)中簡化的LFC 模型結(jié)構(gòu)入手，分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，其模型結(jié)構(gòu)如圖1 所示[14]。

圖1 頻率調(diào)節(jié)系統(tǒng)

從圖1 可看出，LFC 系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)由五個子模型組成。各模型的簡化傳遞函數(shù)式如下所示。

(1) 原動機模型。簡化的傳遞函數(shù)式為[15-16]

式中，TT為原動機的慣性時間常數(shù)。

(2) 發(fā)電機-負荷模型。該模型存在如下關(guān)系[14]

式中，ΔPm為發(fā)電機機械功率的變化量；ΔPd為負荷端功率的變化量；Δf為頻率的變化量；D為發(fā)電機的阻尼系數(shù)；M為轉(zhuǎn)動慣量。

(3) 輔助模型。目前電力系統(tǒng)中的電能頻率控制一般采用PID 控制器來實現(xiàn)，其模型的傳遞函數(shù)為[14]

式中，KP、KI與KD分別為PID 控制器的比例、積分與微分增益；u和ACE 分別為控制輸出量和控制誤差量；ACE 可定義為[17]

式中，β為偏差因子，可表示為

(4) 調(diào)速模型。其模型函數(shù)式可表示為

式中，ΔPC是負荷參考值；R是調(diào)速器的速度跌落系數(shù)；TG為調(diào)速器的慣性時間常數(shù)。

(5) 時滯模型。時滯主要體現(xiàn)在測量信號的收集與發(fā)送中，常采用函數(shù)式exp(-s)τ來表示，τ反映了時滯的大小。

綜合上述所示，可得出簡化的時滯LFC 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖2 所示[17]。

圖2 考慮通信延遲的LFC 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

定義x(t)和y(t)分別為系統(tǒng)的狀態(tài)變量和輸出變量，由圖2 可知

則系統(tǒng)狀態(tài)空間模型可以表示為

同時，PID 控制器可描述為

假定系統(tǒng)的虛擬變量為

由于CB=0，結(jié)合式(8)、(9)，可得出如下靜態(tài)輸出反饋控制系統(tǒng)模型

對上述系統(tǒng)進行簡化，可得出如下時滯線性系統(tǒng)

假設(shè)為系統(tǒng)的平衡點，則存在

則線性時滯系統(tǒng)數(shù)學模型為

式中，As與Ads為系統(tǒng)矩陣；τ(t)是時變時滯函數(shù)且滿足0≤τ(t)≤τ，≤u，φ(t)是系統(tǒng)的初始狀態(tài)。

3 穩(wěn)定新判據(jù)

3.1 主要引理

為推導(dǎo)出本文新判據(jù)，需要用到以下三個引理。其中，Rn×m表示實數(shù)域的n×m階矩陣空間，Rn表示n維向量空間；N為非負整數(shù)(即自然數(shù))；Sn×n表示n×n的實對稱矩陣，上標“T”為矩陣的轉(zhuǎn)置；0 代表合適維度的零矩陣；P>0 表示矩陣P為正定對稱；diag{…}表示對角矩陣；Sym{X}=X+XT。

引理1[18]：給定一個n×n實對稱正定矩陣R，如果存在標量α、β(α<β)和向量值函數(shù)ω，則有以下積分不等式成立

引理2[13]：對于一個n×n實對稱正定矩陣R和標量α∈(0,1)，如果存在實對稱矩陣X1、X2、X3、X4∈Sn×n和任意實矩陣Y1、Y2、Y3、Y4∈Rn×n，滿足不等式

則有

引理3[7,13]：給定函數(shù)f(s) =a2s2+a1s+a0，其中s∈[0,τ]且α2，α1，α0∈Rn。如果有以下條件成立，則f(s)<0 成立。

(1)f(0) < 0。

(2)f(τ) < 0。

其中，N∈ N，i= 1,2, …, 2N。

3.2 主要結(jié)論

本節(jié)應(yīng)用擴展的逆凸二次不等式技術(shù)，推導(dǎo)出系統(tǒng)矩陣含PID 參數(shù)的時滯LFC 系統(tǒng)穩(wěn)定新判據(jù)。為了簡化表示，首先定義如下向量和矩陣。

基于構(gòu)造的時滯乘積型泛函和逆凸二次不等式方法，得到以下穩(wěn)定性準則。

定理1：給定兩個標量u和τ>0，若存在對稱矩陣Q1(∈S4n×4n)>0，Q2(∈S4n×4n)>0，P11∈S5n×5n，P12∈S5n×5n，P21∈S5n×5n，P22∈S5n×5n，Z(∈Sn×n)>0，對稱矩陣X1、X2、X3、X4∈S3n×3n和任意矩陣Y1、Y2、Y3、Y4∈R3n×3n，當 式(17)滿 足 時 滯 約 束 條 件τ(t) ∈ [ 0,τ]，≤u時，則有

則數(shù)學模型為式(17)的系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

證明：首先，選取如下Lyapunov-Krasovskii 泛函

式中，P1(t)=P11+τ(t)P12,P2(t) =P21+(τ-τ(t))P22。

注釋1：V1(t)中的耦合矩陣包含時變矩陣P1(t)和P2(t)兩部分，此時不需要P11、P12、P21和P22均大 于 0 ， 只 需 要P11+τ(t)P12>0和P21+[τ-τ(t)]P22>0即可，這增大了矩陣P12和P22的自由度，從而降低了穩(wěn)定性條件的保守性。當P1(t)>0、P2(t)>0、Q1>0、Q2>0 和Z>0 時，則V(t)>0，即該泛函正定。

然后，對V(t)沿著系統(tǒng)軌跡進行求導(dǎo)運算可得

基于引理1 可得

基于引理2，式(29)右邊的逆凸項可以被處理為

其中

綜合式(26)～(30)可以得出

式中，?0、?1和?2定義在定理1 中。

因 此，時 滯 在 滿 足 約 束 條 件τ(t) ∈[0,τ]和≤u時，若式(24)成立，則有<0成立，從而可以證明數(shù)學模型為式(17)的系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

注釋2：由于式(23)和式(24)分別是關(guān)于α和τ(t)的二次函數(shù)，因此需要采用二次函數(shù)不等式處理方法將其轉(zhuǎn)化為LMI 形式的穩(wěn)定性條件?；谝? 可以得到以下穩(wěn)定性條件。

定理2：給定兩個標量u和τ>0，若存在對稱矩陣Q1(Q1∈S4n×4n)>0，Q2(Q2∈S4n×4n)>0，P11∈S5n×5n，P12∈S5n×5n，P21∈S5n×5n，P22∈S5n×5n，Z(Z∈Sn×n)>0，對稱矩陣X1，X2，X3，X4∈S3n×3n和任意矩陣Y1，Y2，Y3，Y4∈R3n×3n，當系統(tǒng)滿足時滯約束條件τ(t) ∈ [ 0,τ]、≤u且滿足式(21)、(22)時，則有

則式(17)是漸近穩(wěn)定的。

4 數(shù)值算例分析

針對文獻[19]中提出的PID 控制器的時域性和魯棒性與兩個參數(shù)有關(guān)的結(jié)論，本節(jié)深入分析了 PID 參數(shù)對電力系統(tǒng)中 LFC 系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

4.1 典型二階系統(tǒng)

本文通過兩個常用二階系統(tǒng)算例來驗證新判據(jù)的有效性，通過試驗仿真證明了新判據(jù)在改善系統(tǒng)保守性方面與其他方法相比具有顯著優(yōu)越性。

二階系統(tǒng)矩陣方程算例一

借助Matlab 中的LMI 工具箱對本文獲得的穩(wěn)定新判據(jù)進行試驗仿真，試驗運算結(jié)果及基于相關(guān)文獻中的穩(wěn)定性判據(jù)獲得的結(jié)果如表1 所示。其中“—”表示在相應(yīng)的文獻中沒有提供這種情況的最大時滯允許上界。

表1 給定不同u 時的系統(tǒng)時滯上界τmax

由表1 可以看出，應(yīng)用本文推導(dǎo)出的新判據(jù)，能讓系統(tǒng)的保守性得到很大改善。當u=0.1，N=1時，基于本文定理2 獲得的最大時滯允許上界是4.961，由文獻[23]中的推論1 情形(I)得到的運算結(jié)果是4.946，改善率達到0.303%；而給定u=0.1 時，文獻[22]得出的運算結(jié)果與文獻[21]相比提高了0.006，改善率僅為0.121%。上述對比結(jié)果說明，將本文新判據(jù)應(yīng)用于二階系統(tǒng)矩陣方程算例一中，確實降低了系統(tǒng)的保守性。另外，由圖3 還可以進一步看出，由本文定理 2(N=2)得出的系統(tǒng)最大允許時滯上界τmax明顯大于文獻[23]推論1 情形(II)與文獻[22]中的結(jié)果，這充分說明了本文構(gòu)造的時滯乘積型Lyapunov-Krasovskii 泛函以及在界定泛函導(dǎo)數(shù)時所應(yīng)用的擴展逆凸二次不等式方法在降低系統(tǒng)保守性方面與文獻[22-23]中的增廣型Lyapunov-Krasovskii 以及在界定泛函導(dǎo)數(shù)時所應(yīng)用的其他方法相比具有明顯優(yōu)勢。本文構(gòu)造的時滯乘積型Lyapunov-Krasovskii 泛函考慮了更多系統(tǒng)狀態(tài)信息，并增大了矩陣P12和P22的自由度，而本文應(yīng)用的擴展逆凸二次不等式方法在界定泛函導(dǎo)數(shù)中出現(xiàn)的積分項時，能使計算值更接近于理論值，從而有效降低了系統(tǒng)的保守性。

圖3 通過改變u 獲得不同判據(jù)下系統(tǒng)的最大允許時滯上界τmax

二階系統(tǒng)矩陣方程算例二

用同樣的試驗運算方法，可以得出試驗運算結(jié)果如表2 所示。

表2 給定不同u 時的系統(tǒng)時滯上界τmax

將本文新判據(jù)應(yīng)用于二階系統(tǒng)矩陣算例二中進行仿真后發(fā)現(xiàn)，本文新判據(jù)在算例二中也能減小系統(tǒng)的保守性。

通過對以上二階系統(tǒng)矩陣方程的算例仿真驗證后，可以得出共同結(jié)論：本文提出的穩(wěn)定性準則具有更小的保守性，并且與其他文獻中提出的方法相比具有顯著的優(yōu)越性。

4.2 含PID 參數(shù)的LFC 系統(tǒng)

本文將新判據(jù)應(yīng)用于系統(tǒng)矩陣中含PID 參數(shù)的時滯電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析當中，目的在于探討含PID 參數(shù)的時滯電力系統(tǒng)穩(wěn)定性問題，進一步驗證本文新判據(jù)的有效性。

LFC 系統(tǒng)矩陣方程算例

根據(jù)已建立的LFC 系統(tǒng)矩陣方程As、Ads以及相關(guān)參數(shù)[14](其中，D=1.0、TG=0.10、R=0.05、M=10和TT=0.3)，利用Matlab 中的Yalmip 優(yōu)化工具集成器和SDPT 3.0來求解系統(tǒng)矩陣中含PID參數(shù)的時滯電力系統(tǒng)處于定常時滯(u=0)和時變時滯(u=0.5)情況下，PI 控制增益與系統(tǒng)時滯穩(wěn)定上界之間的關(guān)系。運算結(jié)果如表3、4 所示。

表3 KP、KI 分別取不同值時的系統(tǒng)時滯上界τmax(u=0)

表4 KP、KI 分別取不同值時的系統(tǒng)的時滯上界τmax(u=0.5)

從表3 中可以看出，處于定常時滯(u=0)的情況下，當LFC 系統(tǒng)中的控制增益參數(shù)KP、KI分別給定不同值時，應(yīng)用本文新判據(jù)得出的仿真結(jié)果明顯優(yōu)于文獻[14, 17]中的結(jié)果，并且其計算值非常接近于系統(tǒng)最大允許時滯上界理論值，如圖4 所示。

圖4 不同時滯下的系統(tǒng)頻率偏差(KP=KI=0.4，u=0)

從圖4 中可以看出，當τ=3.472 s 時，經(jīng)過LFC系統(tǒng)的二次調(diào)頻使系統(tǒng)頻率偏差快速收斂到0，這說明通過文獻[14]中的穩(wěn)定判據(jù)得到的系統(tǒng)仿真結(jié)果非常保守，而當τ=3.950 s 時，系統(tǒng)頻率偏差仍然呈收斂趨勢，但是保守性得到了極大改善，當τ=4.050 s 時，系統(tǒng)頻率偏差呈發(fā)散狀態(tài)，這意味著當KP=KI=0.4，u=0 時，該系統(tǒng)的時滯穩(wěn)定上界取值范圍在3.950～4.050 s。然而，應(yīng)用本文新判據(jù)獲得的時滯穩(wěn)定上界為3.980 s，這說明應(yīng)用本文新判據(jù)獲得的最大允許時滯上界非常接近于理論值，同時，也充分證明了本文新判據(jù)的正確性。事實上，當τ=3.980 s 時，KP=KI=0.4，u=0 時系統(tǒng)頻率偏差如圖5 所示。

圖5 τ=3.980 s 時的系統(tǒng)頻率偏差(KP=KI=0.4，u=0)

另外，由表3、4 還可以觀察出，增益參數(shù)KP、KI的選取會對系統(tǒng)的最大允許時滯上界產(chǎn)生一定影響。當增益參數(shù)KI一定時，系統(tǒng)時滯穩(wěn)定上界隨KP的增大呈先增大后減小的趨勢；而當增益參數(shù)KP一定時，系統(tǒng)的最大允許時滯上界隨著KI的增大而減小。

綜上所述，將本文定理2 應(yīng)用在典型二階系統(tǒng)與含PID 參數(shù)的LFC 系統(tǒng)中，都能使系統(tǒng)的保守性得到極大改善，上述試驗仿真結(jié)果充分驗證了這一結(jié)論的正確性。

5 結(jié)論

為了分析系統(tǒng)矩陣中PID 參數(shù)對時滯LFC 系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，本文以建立的時滯電力系統(tǒng)數(shù)學模型為基礎(chǔ)， 考慮了構(gòu)建時滯乘積型Lyapunov-Krasovskii 泛函、擴展的逆凸二次不等式方法，推導(dǎo)出一個時滯電力系統(tǒng)穩(wěn)定新判據(jù)，通過試驗仿真得到如下結(jié)論。

(1) 通過將新判據(jù)應(yīng)用于兩個典型二階矩陣方程算例與一個LFC 系統(tǒng)矩陣方程算例中，試驗仿真結(jié)果驗證了新判據(jù)的正確性以及在改善系統(tǒng)保守性方面與其他工作相比具有顯著優(yōu)勢。

(2) 當系統(tǒng)處于定常時滯或時變時滯情況下，改變增益參數(shù)KP、KI的取值，系統(tǒng)的時滯穩(wěn)定裕度與PI 控制增益會呈現(xiàn)一定關(guān)系。